EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI PHYSIQUE 1. Durée : 4 heures

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1 SESSION PSIP3 EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI PHYSIQUE Durée : 4 heures NB : Le candida aachera la plus grande imporance à la claré, à la précision e à la concision de la rédacion Si un candida es amené à repérer ce qui peu lui sembler êre une erreur d énoncé, il le signalera sur sa copie e devra poursuivre sa composiion en expliquan les raisons des iniiaives qu il a éé amené à prendre Les calcularices son auorisées Le suje compore pages Cee épreuve compore deux problèmes indépendans : le premier pore sur l éude des phénomènes d hysérésis en physique grâce à différens exercices indépendans e le deuxième problème pore sur les effes des champs magnéiques dans différens sysèmes / Tournez la page SVP

2 PROBLEME A : quelques phénomènes d hysérésis en physique En grec, «υστερησιζ», hysérésis signifie «en reard» Hysérésis en élecronique : rigger de Schmid On considère le monage de la figure où l amplificaeur opéraionnel es supposé parfai e idéal mais foncionnan en régime non-linéaire Le monage es alimené par une ension e() d ampliude variable La ension de sorie de l amplificaeur vau s = ± V sa R R e() s() Figure : monage rigger de Schmid A A quelle condiion sur V +, poeniel de la borne d enrée non-inverseuse, a--on s = + V? A Monrer que le poeniel V + s écri comme une combinaison linéaire des ensions e e s : V = α e + s où l on précisera les valeurs des coefficiens α e β + β A3 Supposons que la ension e soi suffisammen négaive pour que s soi égale à Vsa La ension e augmene alors Pour quelle valeur V de e la sorie s bascule de Vsa à + Vsa? Supposons mainenan que la ension e soi suffisammen posiive pour que s soi égale à + V sa La ension e diminue alors Pour quelle valeur V de e la sorie s bascule de + Vsa à V sa? A4 Tracer avec le plus grand soin l allure de la caracérisique ( e) s du monage On précisera bien le sens de parcours de la caracérisique en y plaçan des flèches A5 Applicaions : - Un el monage peu servir à socker de l informaion : par exemple, lorsque la sorie es «bloquée» à la valeur + Vsa, on di que l on a enregisré un bi de valeur e lorsque la sorie es «bloquée» à la valeur Vsa, on di que l on a enregisré un bi de valeur sa /

3 On souhaie enregisrer un code formé de 4 chiffres (allan de à 9) On rappelle que ou enier peu se décomposer en binaire selon la relaion N = p b k k = k où b k = ou L ensemble des b k forme le code binaire de l enier N Quel es le plus grand nombre que l on puisse écrire avec un code binaire de 3 chiffres e de 4 chiffres? En déduire le nombre de circuis «rigger de Schmid» à uiliser pour socker un code formé de 4 chiffres en base décimale - Ciez une aure applicaion du rigger de Schmid que vous avez éudiée pendan l année Hysérésis en opique : pore logique opique Une onde lumineuse es caracérisée par la grandeur scalaire S don la représenaion complexe en un poin d abscisse x es de la forme S( x, ) = a exp[ j( ω ϕ( x) )] où a es l ampliude supposée consane de l onde, ϕ(x) sa phase au poin considéré, j es le nombre imaginaire pur el que j = e ω es la pulsaion de l onde L inensié lumineuse I associée es reliée à S par la relaion I = S On éudie l inerféromère de PEROT FABRY (figure ) consiué d une lame à faces parallèles d un maériau ransparen d indice de réfracion n occupan l espace compris enre x = e x = L Les faces de la lame son raiées de façon à posséder une réflecivié élevée L ensemble es placé dans le vide On envoie depuis x = une onde lumineuse monochromaique plane de pulsaion ω se propagean dans la direcion e x Cee onde arrive en incidence normale sur la face d enrée de l inerféromère I I L x Figure : Inerféromère de PEROT FABRY A6 Les ondes lumineuses peuven se réfléchir sur les inerfaces verre / vide On considère une onde lumineuse qui a effecué aller e p allers-reours dans la lame e qui sor de la lame Exprimer le déphasage φ enre cee onde e celle qui a effecué aller e p + allers-reours en foncion de n, L, de la pulsaion ω e de la célérié de la lumière dans le vide c A7 On appelle I l inensié lumineuse avan raversée de la lame On monre que l inensié lumineuse ransmise oale es I ( R) = I où R es une consane dépendan du + R R cosφ coefficien de réflexion de l inerface verre / vide Pour quelles valeurs φ P de φ aura--on une inensié ransmise maximale? On inroduira un nombre enier P 3/ Tournez la page SVP

4 A8 Représener graphiquemen e succincemen I en foncion de φ sur quelques périodes pour les deux valeurs suivanes de R : R =, puis R =, 9 (sur le même graphique en précisan bien la légende) On précisera les valeurs des inensiés lumineuses maximale e minimale On suppose mainenan que le maériau forman la lame possède des propriéés opiques nonlinéaires : son indice de réfracion n en un poin du maériau dépend de l inensié I ( x) en ce poin selon la loi n = n ( + α I( x) ) où α es une consane posiive L Le déphasage φ s écri alors ϕ = k n( x) dx où k es le veceur d onde L A9 Exprimer alors φ en foncion de k, L, n, α e de l inensié moyenne I = I( x) dx L On admera que l inensié ransmise I es proporionnelle à l inensié moyenne I : I = ξ I où ξ es le coefficien de proporionnalié que l on ne cherchera pas à calculer A Monrer alors que I varie de manière affine avec φ selon une relaion de la forme I = γ ( φ φ ) On noe (E) cee équaion Exprimer γ e φ en foncion des paramères de l énoncé : k, L, n, α e λ L inensié ransmise I varie de manière affine avec φ ET varie selon la loi vue en A7 Pour la suie, on supposera que φ = φ P, La figure 3 représene I / I en foncion du déphasage φ auour d un maximum φ P I / I φ P, φ P, φ φ P +, φ P +, P Figure 3 : courbe I / I (φ ) φ A Monrer graphiquemen (on pourra reproduire le graphique de la figure 3) qu il exise deux valeurs criiques I e I de I elles que dans l inervalle de φ considéré sur la figure 3 : - pour I < I e I > I, l équaion (E) adme une seule soluion pour φ ; - pour I < I < I, l équaion (E) adme rois soluions 4/

5 On pourra racer la droie d équaion ( φ φ ) γ I = sur le graphique de la figure 3 I I A l aide du graphique de la figure 3, déerminer graphiquemen le rappor I / I On admera que l inensié ransmise I varie coninumen en foncion de I sauf lorsque c es impossible On précise que, pour I < I < I, seules les deux soluions correspondan aux valeurs exrêmes du déphasageφ corresponden à des siuaions sables Ce domaine d éclairemen inciden es di «domaine bisable» La courbe donnan I en foncion de I es représenée sur la figure 4 A Expliquer e commener cee courbe La reproduire sur la copie e y ajouer le sens de parcours On précisera aussi les valeurs pariculières correspondan aux deux poins d inerrogaion I I?? Figure 4 : I en foncion de I A3 Voyez-vous une applicaion praique à ce disposiif? Hysérésis en élecromagnéisme : ferromagnéisme On considère ou d abord le monage expérimenal de la figure 5 Il s agi d un ransformaeur don le noyau ferromagnéique es un ore rès mince de rayon moyen R m Le bobinage primaire (formé de N spires) es parcouru par le couran i ( ) Le bobinage secondaire es relié à un monage inégraeur On visualise à l oscilloscope la ension u aux bornes de r e la ension u s en sorie de l inégraeur, elle que u s = u ( ) d où τ es une consane posiive On précise que l inensié du τ couran i es nulle On supposera que les grandeurs magnéiques (champ magnéique, exciaion magnéique e momen magnéique) son invarianes par roaion dans le ore ferromagnéique e y son uniformes 5/ Tournez la page SVP

6 i i u e Primaire, N spires Secondaire, N spires u u s r Figure 5 : monage expérimenal pour la visualisaion de l hysérésis ferromagnéique (les poins noirs indiquen la convenion de signe des enroulemens) A4 Proposer un monage comporan deux amplificaeurs opéraionnels, rois résisors ideniques de résisance R e d un condensaeur de capacié C permean de réaliser u s = u ( ) d τ On précisera l expression de τ en foncion de R e C A5 En appliquan le héorème d Ampère sur un conour que l on précisera, monrer que l exciaion magnéique H es proporionnelle à N i( ) On précisera le faceur muliplicaif On supposera H uniforme dans ou le ore, de valeur égale à celle en r = R A6 En appliquan la loi de Faraday au niveau du circui secondaire (formé de N spires, chacune τ de secion S ), monrer que le champ magnéique s écri B = f ( ) où l on précisera N S f () en foncion de u s A7 On veu racer l aimanaion M en foncion de l exciaion H Commen faire en praique? Expliquer le proocole expérimenal On rappelle la relaion suivane : H = B M µ On supposera de plus que les veceurs H, B e M son colinéaires A8 Tracer l allure du cycle d hysérésis M en foncion de l exciaion H On précisera sur ce graphique les valeurs de l exciaion coerciive H, de l aimanaion rémanene M e de l aimanaion à sauraion M sa A9 Exprimer la puissance P reçue par le bobinage primaire en foncion de u e de i En déduire db qu elle es proporionnelle au produi H Monrer alors que la puissance moyenne d dissipée dans le maériau ferromagnéique es proporionnelle à l aire du cycle d hysérésis H (M ) On pourra admere que HdB = µ HdM c T T où T es la période des signaux uilisés r 6/

7 A Applicaion : élémens de spinronique La spinronique (ou élecronique de spin) es une echnologie émergene qui exploie la propriéé quanique du spin des élecrons dans le bu de socker des informaions On peu monrer qu un élecron, suivan la valeur de son spin, ne raversera pas avec auan de facilié un maériau ferromagnéique selon la direcion e le sens de l aimanaion globale Les physiciens on développé des sysèmes formés de deux couches de maériaux ferromagnéiques différens séparés par une couche isolane Les êes de lecure des disques durs son formées de els disposiifs On considère alors le sysème de la figure 6 Aiman en fer doux Couche isolane Aiman en fer dur Figure 6 : disposiif à deux couches ferromagnéiques On relève expérimenalemen le cycle d hysérésis suivan, donné par la figure 7 (l unié Oe ou Oersed es une unié d exciaion magnéique H) Aimanaion (M/Msa) Champ (Oe) Figure 7 : cycle d hysérésis expérimenal En modélisan le cycle de chaque aiman par un cycle recangulaire, expliquer l allure du cycle d hysérésis mesuré On pourra faire plusieurs croquis rapides pour éclairer l explicaion Pour des raisons de simplicié, on pourra supposer que l aimanaion rémanene de es égale à celle de 7/ Tournez la page SVP

8 Hysérésis en mécanique : déformaion plasique d un maériau On considère un ruban d acier inoxydable, de largeur d, que l on ord en appliquan un couple de forces F anagonises à une des exrémiés du ruban, l aure exrémié es fixée dans un bâi immobile (figure 8) Les forces F son appliquées à angle droi de l exrémié du ruban En modifian la valeur du momen Γ, on modifie l angle θ don a ourné l exrémié du ruban On compera posiivemen le momen Γ lorsque celui-ci es oriené selon la vericale ascendane Figure 8 : ruban déformé A Exprimer Γ en foncion de F e de d En calculan le ravail élémenaire des deux forces F, monrer que si l exrémié du ruban ourne d un angle élémenaire d θ, alors le ruban a reçu le ravail élémenaire δw = Γ dθ A On par d une siuaion où le ruban n es pas déformé ( θ = ) e on applique un couple de momen Γ croissan On admera que Γ es proporionnel à θ, selon la loi Γ = C θ an que θ es inférieur à une valeur maximale θ au-delà de laquelle la déformaion devien Max plasique : on a alors θ bloqué à θ Max, quelles que soien les valeurs de Γ plus élevées (dans la limie de la rupure du ruban) - Commen peu-on qualifier la déformaion dans la phase où Γ = C θ? - Quelle es l unié de la consane C? - Tracer la courbe θ ( Γ) monran les deux ypes de déformaion Cee courbe s appellera "courbe de première déformaion" A3 Modélisaion du phénomène d hysérésis : On déforme pour la première fois un ruban d acier inoxydable jusqu au domaine plasique Puis, on diminue le momen Γ L angle θ rese bloqué à θ Max an que Γ es posiif Puis, quand Γ devien négaif (ce qui signifie que l on force le ruban à se déformer dans l aure sens), l angle θ décroi de manière affine avec Γ en décrivan une droie parallèle à la "courbe de première déformaion" e ce, jusqu à aeindre la valeur exrémale θ Max où l angle θ resera bloqué à cee valeur an que la norme du momen appliqué ne diminuera pas Ensuie, on diminue la norme de Γ e le ruban se déforme en sens inverse de manière symérique à la phase précédene Représener l allure du cycle d hysérésis θ ( Γ) en précisan les poins pariculiers, noammen le momen "coerciif " Γc à exprimer en foncion de θ Max e de C Calculer le ravail fourni par un opéraeur pour faire décrire un cycle par le ruban 8/

9 PROBLEME B : quelques effes des champs magnéiques Effe d un champ magnéique sur le mouvemen d une paricule chargée B On considère un champ magnéique uniforme de norme B e dirigé selon le veceur e z d un sysème d axes carésiens Une paricule de masse m, de charge q > es émise à l origine du repère avec une viesse iniiale v = v ex suivan l axe (Ox) En négligean oues les forces aures que la force de Lorenz, écrire le sysème d équaions v, v, v du veceur viesse Monrer que le différenielles vérifiées par les composanes ( ) qb mouvemen es plan A quoi es homogène la quanié? On jusifiera à parir des m qb équaions déerminées dans cee quesion Pour la suie, on posera ω c = m B Pour résoudre le sysème précéden, on pose V = vx + j v y où j = Ecrire l équaion différenielle vérifiée par V La résoudre en enan compe des condiions iniiales B3 On pose mainenan R x( ) + j y( ) x ( ), y( ) son les coordonnées de la paricule dans le plan z = Quelle es la relaion enre V e R? En déduire l équaion carésienne de la rajecoire de la paricule On mera cee équaion sous la forme suivane : ( x xc ) + ( y y C ) = ρ L où l on précisera l expression des consanes x, y C C e ρ L = où ( ) B4 Pour communiquer une viesse à une paricule chargée, on l accélère grâce à un champ élecrique Supposons qu une paricule de charge q soi accélérée enre le poin A e le poin B pour lesquels la différence de poeniel élecrique vau U BA = VB VA Exprimer le gain d énergie cinéique de la paricule en négligean oue ineracion aure que la force élecrique B5 Applicaion : specromère de masse Une source éme des ions de même charge +q mais de masses m différenes Les ions n on pas ous la même viesse Ces ions pénèren en A dans une zone où règne un champ magnéique B uniforme comme représené sur la figure 9 x y z source d A B M Figure 9 : disposiif magnéique Le champ magnéique dévie la rajecoire des ions e ces ions viennen percuer une plaque d enregisremen (symbolisée par le rai épais) au poin M siué à une disance d du poin A 9/ 9/ Tournez la page SVP

10 - Exprimer la disance d en foncion de la masse m de l ion, de la charge q, de la norme du champ magnéique B e de la viesse V de l ion - Monrer qu il es impossible de rier les paricules selon leur masse uniquemen - Pour pallier ce problème, la source es consiuée d un four ionisan duquel soren des ions de même charge +q à des viesses quasi nulles Puis, on accélère les ions à l aide d un disposiif formé de deux grilles parallèles enre lesquelles on applique une ension U > placée dans le bon sens Exprimer la viesse des ions en sorie de ce disposiif - Calculer alors le rappor d / d pour deux ions de masses respecives m e m Effe d un champ magnéique sur un conduceur : effe d inducion Une ige CD de cuivre de masse m e de longueur L es suspendue par ses deux exrémiés à deux ressors ideniques de consane de raideur k e de longueur à vide (figure ) Le couran élecrique peu circuler à ravers les ressors e le «plafond» On noe R la résisance élecrique de ou le circui e on négligera le phénomène d inducion dans les ressors e d auo-inducion dans le circui On appelle g l accéléraion de la pesaneur Un champ magnéique uniforme e consan B es appliqué orhogonalemen au plan de la figure z «Plafond» B g O y C D x Figure : disposiif élecro-mécanique B6 Le sysème es au repos Quelle es la longueur des ressors dans ce cas? On placera l origine de l axe (Oz) au niveau de la barre quand elle es à l équilibre B7 On appelle e ind la force élecromorice induie dans la ige orienée dans le sens de C vers D dz La viesse de la barre vau ez Exprimer e ind en foncion des données du problème d B8 On noe i() l inensié du couran élecrique parcouran le circui e oriené dans le sens de C vers D Calculer la force de Laplace qui s applique sur la ige en foncion de i(), B, L e du veceur uniaire e z B L B9 Déerminer l équaion différenielle vérifiée par z() On posera = α e mr k m = ω /

11 B On supposera que : ω α = γ > Quel es le régime obenu? Déerminer complèemen z(), en foncion de α e γ, en prenan comme condiions iniiales dz z ( ) = e ( ) = V > Tracer l allure de z() en indiquan l enveloppe exponenielle d B Appliquer le héorème de l énergie cinéique à la barre enre l insan de dépar e l insan infini pour calculer le ravail de la force de Laplace En déduire sans calcul supplémenaire l énergie Joule dissipée enre l insan iniial e l insan infini Effe d un champ magnéique sur un maériau supraconduceur : effe Meissner Un maériau supraconduceur es un maériau qui présene une résisivié nulle en dessous d une ceraine empéraure criique : il laisse passer le couran sans aucune résisance! Ce phénomène n es pas encore rès bien compris à l heure acuelle malgré quelques héories qui on fai leurs preuves Une héorie ancienne, la héorie de London fondée sur un modèle à deux «fluides», condui à formuler l exisence d une densié volumique de couran élecrique jl relié au champ magnéique local B selon la relaion ro j L = B où Λ es une consane, appelée consane de London µ Λ B En se servan de l équaion de Maxwell-Ampère, déerminer l unié de la consane Λ On considère une plaque infinie d épaisseur délimiée par les plans z = e z = Cee plaque es consiuée d un maériau supraconduceur de consane de London Λ On applique un champ magnéique exérieur B = B ex uniforme e consan (figure ) Il apparaî donc un champ magnéique à l inérieur de la plaque On se propose de déerminer ce champ Pour des raisons de symérie e d invariance, le champ recherché es de la forme B ( M, ) = B( z) e x x B O z Figure : géomérie du problème / Tournez la page SVP

12 B3 Dans le cadre d un régime ne dépendan pas du emps, éablir l équaion différenielle vérifiée par la foncion B (z) B4 Rappeler les condiions de passage pour le champ magnéique e en déduire les valeurs de B(z) en z = e z = sachan qu il n y a pas de courans superficiels B5 Résoudre complèemen l équaion différenielle On écrira B (z) sous la forme : z B( z) = D ch où ch es la foncion cosinus hyperbolique e D es une consane que l on Λ exprimera en foncion de B, Λ e B6 Tracer l allure de B(z) en foncion de z dans le cas où Λ << Proposer un commenaire B7 Des courans volumiques son créés dans la plaque selon la relaion de London ro j L = B vue auparavan On admera que le veceur densié volumique de couran µ Λ es dirigé selon l axe (Oy) : j = j ( z) e Déerminer à parir du résula de la quesion B5 L L y l expression de la foncion j L (z) Tracer l allure de cee foncion dans le cas où Λ << Pourquoi di-on que la plaque supraconducrice plongée dans un champ magnéique exérieur B es le siège de courans superficiels dus à la supraconducivié? B8 Applicaion Le niobium es un méal qui devien supraconduceur au dessous d une empéraure de 3 K On plonge un pei cylindre de niobium dans un bain d hélium liquide don la empéraure d ébulliion es de 4, K Le pei cylindre ainsi refroidi es ensuie placé au dessus d un aiman permanen qui a éé préalablemen refroidi Le pei cylindre lévie au dessus de l aiman (figure ) A la lumière des quesions précédenes, commen fau-il placer l aiman par rappor au pei cylindre (faire un schéma pour expliquer) On jusifiera succincemen qu il lévie à l aide de la force de Laplace qui s applique sur le pei cylindre Figure : léviaion d un pei cylindre de niobium / Fin de l'énoncé IMPRIMERIE NATIONALE 47 D après documens fournis

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