Lycée Clemenceau. PCSI 1 - Physique. PCSI 1 (O.Granier) Lycée. Clemenceau. Filtres linéaires. (1 er ordre - 2 ème ordre) Olivier GRANIER
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- Heloïse Jolicoeur
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1 PCSI - Physique ycée Clemenceau PCSI (O.Granier Filtres linéaires ( er ordre - ème ordre Oliier GANIE
2 PCSI - Physique I - Intérêt de l étude ; définitions générales : Contraintes extérieures Système linéaire électrique ou mécanique (réseaux électriques, suspensions de oitures, atomes excités par des ondes lumineuses, éponse du système analyse harmonique (ou fréquentielle d un système est son étude au moyen de sa réponse harmonique s(t, c est-à-dire de sa réponse en régime permanent sinusoïdal lorsqu il est soumis à une entrée sinusoïdale e(t dont on fait arier la pulsation. e (te m cost «Filtres» mécaniques ou électriques s (ts m cos(tϕ Oliier GANIE
3 PCSI - Physique Filtre du er ordre : (u en SI e (te m cost Filtre du er ordre s (ts m cos(tϕ s K ( t H ( e ( t e ( t T (Filtre passe-bas Filtre du ème ordre : (u en SI e (te m cost Filtre du ème ordre s (ts m cos(tϕ s K ( t H ( e ( t ( t (Filtre passe-bas e ξ Oliier GANIE
4 PCSI - Physique Notations et définitions générales : e ( t em t V e ; ( t s V sm e ϕ e t ϕ est le déphasage de la tension de sortie par rapport à la tension d entrée du filtre. s H ( H( est la fonction de transfert en tension du filtre : G db Vsm G ( H ( Vem V ( logg( log V e sm em V V sm em e ϕ G( est le gain réel G db ( est le gain en décibels Oliier GANIE
5 PCSI - Physique Diagramme de Bode : G db ϕ Échelle logarithmique pour Oliier GANIE
6 PCSI - Physique II Filtres du er ordre (passifs, sans AOP : Circuit (,C : a Aux bornes de C (filtre passe bas : étude qualitatie En sortie ouerte : (règle du diiseur Y A Y B de tension C s e (Sortie C e C s ouerte On pose : C H ( s e H ( s e C Oliier GANIE
7 PCSI - Physique e gain et le déphasage s en déduisent : G( tanϕ ϕ cos > π ϕ, Etude asymptotique du gain : << ( < : G( et GdB >> ( > : G( et G db log ( : G( et GdB log 3 db db Oliier GANIE
8 PCSI - Physique Diagramme de Bode (oir cours de SI : Animations Jaa / / log( / est la pulsation de coupure (de cassure à 3 db [, ] est la bande passante du filtre G db Pente de - db/décade Oliier GANIE
9 PCSI - Physique Diagramme de Bode (oir cours de SI : Animations Jaa log(/ Filtre passe-bas ϕ Pour << : s e π/ Oliier GANIE
10 PCSI - Physique Circuit (,C : b Aux bornes de (filtre passe haut : étude qualitatie En sortie ouerte : (règle du diiseur Y A C Y B de tension s e (Sortie C e s ouerte On pose : C H ( s e H ( s e C C Oliier GANIE
11 PCSI - Physique e gain et le déphasage s en déduisent : G( tan cos ϕ > ϕ ϕ, π Etude asymptotique du gain : << ( < : G( et G db log >> ( > : G( et GdB db ( : G( et GdB log 3 db Oliier GANIE
12 PCSI - Physique Diagramme de Bode (oir cours de SI : Animations Jaa log(/ Pente de db/décade G db est la pulsation de coupure (de cassure à 3 db [, ] est la bande passante du filtre Oliier GANIE
13 PCSI - Physique Diagramme de Bode (oir cours de SI : Animations Jaa π/ Filtre passe-haut ϕ Pour >> : s e log(/ Oliier GANIE
14 PCSI - Physique II Filtres du er ordre (passifs, sans AOP : Circuit (, : a Aux bornes de (filtre passe bas : étude qualitatie Y A e On pose : Y B s (Sortie ouerte H ( En sortie ouerte : (règle du diiseur de tension s e H ( s e s e Oliier GANIE
15 PCSI - Physique II Filtres du er ordre (passifs, sans AOP : Circuit (, : b Aux bornes de (filtre passe haut : étude qualitatie Y A e On pose : Y B s (Sortie ouerte H ( s e En sortie ouerte : (règle du diiseur de tension s e H ( s e Oliier GANIE
16 PCSI - Physique II Filtres du er ordre (passifs, sans AOP : 3 Cas d une sortie «non ouerte» : On reprend l exemple du circuit (, : la bobine est reliée à une résistance d utilisation u. Y A e z éq y éq u Y B s u On se ramène à la règle du diiseur de tension : H ( s e H ( z z éq éq u y éq Oliier GANIE
17 PCSI - Physique Soit l expression de la fonction de transfert : ( ( H u u u u On pose : Oliier GANIE u u u u A ; ( ( A H Fonction de transfert «normalisée» d un filtre passe haut, de gain maximum A et de pulsation de coupure. emarque : (, A et si u u u
18 PCSI - Physique III Filtres du ème ordre (passifs : Circuit (,,C série : a Aux bornes de C en sortie ouerte (filtre passe bas : étude qualitatie e i a règle du diiseur de tension donne : C H ( s C C C C On souhaite écrire cette fonction de transfert sous la forme normalisée : H ( K Oliier GANIE
19 PCSI - Physique Par identification : ; ; K C C D où : ; ; K C C C Oliier GANIE ( H C ( G [ ],, (sin tan π ϕ ϕ ϕ <
20 PCSI - Physique En se référant à l étude des oscillateurs mécaniques (réponse en élongation, on obtient : Il y a «résonance de tension aux bornes de C («ésonance de charge», c est à dire correspondant à une tension aux bornes de C maximale, pour une pulsation r du GBF telle que : r aec < Et la tension maximale aux bornes de C à la «résonance de charge» est : ( V s, m r Ve, m Oliier GANIE
21 PCSI - Physique es formules précédentes deiennent, en utilisant le facteur de qualité Q à la place du coefficient d amortissement (Q /, et noter que s identifie au coefficient ξ utilisé en SI : r aec Q Q > Q V s, m ( r Ve, m emarque : pour de faibles amortissements ( «faible» et Q «grand», alors : r et 4Q V s, m ( r QVe, m Ainsi, si Q, l amplitude lors de la résonance aut fois celle de l excitation : la résonance est dite «aiguë» et peut causer la destruction du système oscillant. Oliier GANIE
22 PCSI - Physique Comportement asymptotique du gain : G( Pour << ( <, G( et G db Pour >> ( >, G( et Dans ce dernier cas, on obtient une droite de pente -4 db/décade. Cette étude permet de tracer le diagramme de Bode dans les interalles [, /] et [, ]. Dans l interalle [ /, ], on trace le diagramme à «main leée», en tenant compte de la aleur de (existence ou non d une résonance. db G db 4log Oliier GANIE
23 PCSI - Physique Tracé du diagramme de Bode :,,5, log(/,6 G db 3 5 Animation Cabri Pente de -4 db/décade Oliier GANIE
24 PCSI - Physique Tracé du diagramme de Bode : log(/,,5,,,6 3 ϕ π/ Animation Cabri 5 π Oliier GANIE
25 PCSI - Physique III Filtres du ème ordre (passifs : Circuit (,,C série : b Aux bornes de en sortie ouerte (filtre passe bande : étude qualitatie a règle du diiseur de tension donne : Oliier GANIE C C H ( a règle du diiseur de tension donne : K K H ( On souhaite écrire cette fonction de transfert sous la forme normalisée : C e (t s
26 PCSI - Physique Par identification : C D où (rapport membres à membres : ; ; K C Oliier GANIE ; ; K C C ( H,, (cos tan > π π ϕ ϕ ϕ 4 ( G
27 PCSI - Physique ésonance de tension aux bornes de («résonance d intensité» : Il y a «résonance de tension aux bornes de («résonance d intensité», correspondant à une tension aux bornes de maximale, pour une pulsation du GBF égale à la pulsation propre du circuit (C série : C Et la tension maximale aux bornes de à la «résonance d intensité» est : V s, m Ve, m Bande passante : (oir définition et calcul en mécanique c c ; Q Oliier GANIE
28 PCSI - Physique Comportement asymptotique du gain : Pour Pour G( << ( <, G( et GdB log log( ( >, G( >> db 4 Dans les cas, on obtient des droites de pente ± db/décade. Cette étude permet de tracer le diagramme de Bode dans les interalles [, /] et [, ], en tenant compte de la aleur de. Dans l interalle [ /, ], on trace le diagramme à «main leée», en tenant compte de la aleur de. et G log log( Oliier GANIE
29 PCSI - Physique Tracé du diagramme de Bode : log(/ Animation Cabri,,5,,,6 db/décade G db 3 Oliier GANIE
30 PCSI - Physique Tracé du diagramme de Bode : π/, Animation Cabri,3 ϕ log(/ π/ Oliier GANIE
31 PCSI - Physique III Filtres du ème ordre (passifs : Circuit (,,C série : c Aux bornes de en sortie ouerte (filtre passe haut : étude qualitatie e (t s a règle du diiseur de tension donne : H ( C C C C C H ( On souhaite écrire cette fonction de transfert sous la forme normalisée : K Oliier GANIE
32 PCSI - Physique Par identification, on retroue les mêmes caractéristiques : ; ; K C C C Oliier GANIE ( H π ϕ ϕ bas passe haut passe 4 ( G Etude mathématique similaire à celle du filtre passe - bas
33 PCSI - Physique Tracé du diagramme de Bode :, log(/ Animation Cabri G db 3 Oliier GANIE
34 PCSI - Physique Tracé du diagramme de Bode : π, Animation Cabri 3 ϕ π/ log(/ Oliier GANIE
35 PCSI - Physique III Filtres du ème ordre (passifs : e Circuit (,,C série : d Aux bornes de (C en sortie ouerte (filtre réecteur ou coupe - bande : C étude qualitatie a règle du diiseur de tension donne : C C H ( C C C On souhaite écrire cette fonction de transfert sous la forme normalisée : H ( K s Oliier GANIE
36 PCSI - Physique Par identification, on retroue les mêmes caractéristiques : ; ; K C C C Oliier GANIE ( ( H H π ϕ ϕ ± bas passe réecteur Etude mathématique similaire à celle du filtre passe - bande 4 ( G
37 PCSI - Physique Tracé du diagramme de Bode :, log(/ 3 G db Oliier GANIE
38 PCSI - Physique Tracé du diagramme de Bode : π/, 3 ϕ log(/ π/ Oliier GANIE
39 PCSI - Physique III Filtres du ème ordre (passifs : Conclusion sur les filtres du nd ordre : Q PASSE - BANDE Oliier GANIE K Q K H ( PASSE - BAS PASSE - BANDE PASSE - HAUT EJECTEU : pulsation propre du filtre ; Q : facteur de qualité et : facteur d amortissement ( /Q. Ces grandeurs dépendent de la nature du filtre (oir exemples à suire.
40 PCSI - Physique III Filtres du ème ordre (passifs : 3 Quelques exemples de filtres du nd ordre : Animation Cabri (Pont de Wien Animation Jaa (Wien, Colpitts, Voir également feuilles de TD Oliier GANIE
41 PCSI - Physique III Filtres du ème ordre (passifs : 4 Circuit parallèle (C en sortie «non ouerte» : C u u éq C y Etude qualitatie Oliier GANIE e (t s u éq e s y H ( C H u ( u u u u u C C K C ; ;
42 PCSI - Physique IV Exemples de filtres actifs (du er ou du ème ordre : Structure de auch : Filtre de Sallen - Kay : Animation Jaa (Structure de auch Animation Jaa (Filtre de Sallen-Kay Oliier GANIE
43 PCSI - Physique IV Exemples de filtres actifs (du er ou du ème ordre : 3 Mise en cascade de deux filtres du er ordre : Montage suieur ( ; ( H H Oliier GANIE - s e C C Sortie ouerte Filtre passe-bas du er ordre ( / C Filtre passe-haut du er ordre ( / C e montage suieur permet de multiplier les deux fonctions de transfert (alables en sortie ouerte : H H H
44 PCSI - Physique IV Exemples de filtres actifs (du er ou du ème ordre : 3 Mise en cascade de deux filtres du er ordre : - C Sortie ouerte K H Oliier GANIE s e C > K Filtre passe-bande du nd ordre peu sélectif ( >
45 PCSI - Physique Tracé du diagramme de Bode : G db, db G, db ϕ ϕ ϕ G et On choisit : 5 rad. s ; 3 rad. s 3 db G,dB G, db log log(,59 log 4 db G db G, db G, db Oliier GANIE
46 PCSI - Physique V Etude du régime transitoire à partir de la fonction de transfert : Exercice n 8 : (stabilité d'un montage C 'AOP est idéal. On posera : A - / C ; / C c ; < k < e C k (-k s a Dans l'hypothèse de la stabilité d'un tel montage, déterminer la fonction de transfert d'un tel montage : H ( s / e b Montrer qu'il existe une aleur critique k c de k telle que le système est instable pour < k < k c et stable pour k c < k <. Oliier GANIE
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