SIMULATION ELEMENTS FINIS. Etude de cas 2 : Rigidité et fréquences propres d un triangle de suspension

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1 SIMULATION ELEMENTS FINIS Etude de cas 2 : Rigidité et fréquences propres d un triangle de suspension J. Cugnoni, LMAF/ EPFL, 2009 Le présent document : décrit la méthodologie adoptée pour la réalisation de cette étude par éléments finis présente les principaux résultats obtenus (rapport d étude) J. Cugnoni, LMAF/EPFL, 2009 p. 1 / 12

2 Méthodologie et check-list J. Cugnoni, LMAF/EPFL, 2009 p. 2 / 12

3 Rapport d étude Etude de cas 2 : Rigidité et fréquences propres d un triangle de suspension 26 mai 2009 J. Cugnoni, LMAF / EPFL, joel.cugnoni@epfl.ch 1. But de l'étude 1.1 Objectifs Le but de cette étude est de vérifier et valider (ou non) les performances statiques et dynamiques d une nouvelle version d un triangle de suspension d une automobile de compétition. La comparaison de performance et la validation se fera par comparaison entre les performances simulée du nouveau design et les données mesurées sur la précédente version. Les critères de comparaisons retenus sont : rigidité de flexion augmentée de 20% contraintes max. admissibles (charge 1000N) 1 ère fréquence propre augmentée de 25% Masse réduite de 10% 1.2 Type d'analyse & Méthodologie Nous réaliserons deux types d analyses dans cette étude : premièrement nous effectuerons un calcul statique avec un premier ensemble de conditions limites pour déterminer les contraintes maximales et la rigidité de flexion de la pièce. Une étude de convergence sera réalisée sur ce premier cas de charge et le maillage retenu sera utilisé directement pour la seconde étape. dans un deuxième temps, une analyse modale du modèle numérique sera réalisée pour un deuxième ensemble de conditions limites afin de déterminer les premières fréquences propres de la structure. La géométrie fournie et le cahier des charges étant suffisamment complets, aucune autre source de donnée n a été utilisée. 2. Hypothèses Géométriques 2.1 Présentation de la géométrie La pièce étudiée nous est fournie dans le fichier «suspensionrep.stp» est présentée dans la figure suivante. J. Cugnoni, LMAF/EPFL, 2009 p. 3 / 12

4 2.2 Système d'unités utilisé La géométrie étant fournie en unité millimétriques, nous utiliserons les unités suivantes pour la modlisation : mm, N, MPa, tonne 2.3 Assemblage & configuration La pièce n est pas repositionnée ou réorientée ; nous travaillerons donc dans le même système de coordonnée que la géométrie STEP fournie. 2.4 Dimensions caractéristiques Le triangle de suspension étudié à les caractéristiques suivantes : Volume : mm3 = 0.92 dm3 Masse : tonne = 2.48 kg Longueur : 400 mm ; Largeur : 330 mm, Epaisseur : 30 mm 2.5 Symétries du problème & Espace de modélisation géométrique Bien que la géométrie possède un plan de symétrie, le problème ne peut pas être considéré comme symétrique car les cas de charges ne le sont pas. Nous modélisons donc toute la pièce en tant que solide 3D. 3. Hypothèses de comportements physiques 3.1 Descriptions des matériaux La pièce est usinée dans un bloc d aluminium 7000 monolithique. Aucun autre matériau n est utilisé Modèle(s) de comportement physique(s) L aluminium 7000 utilisé est supposé linéaire, élastique et isotrope. Il est caractérisé par les propriétés constitutives suivantes : 3.2 Propriétés constitutives J. Cugnoni, LMAF/EPFL, 2009 p. 4 / 12

5 Elasticité : module de Young = 71 GPa = 71'000 MPa, coef. de Poisson = 0.33 Masse volumique = 2700 kg/m3 = 2700 e -12 tonne/mm3 Limite élastique = 400 MPa, facteur de sécurité Sections & Assignation des comportements Une seule «section» est utilisée dans le modèle : solide 3D + matériau alu7000. L ensemble de la pièce se voit affecté cette unique section. 4. Hypothèses de chargements 4.1 Modèle de conditions limites A) Conditions limites statiques On suppose les axes d articulation «châssis», «porte fusée» et «amortisseur» comme infiniment rigide. L amortisseur est également considéré comme parfaitement rigide. Ainsi, les axes A-A et B-B ne peuvent pas se déplacer sous l effet de la charge. Une force totale de 1000 N est appliquée sur l axe de porte fusée. Les conditions de charge statiques sont modélisées de la manière suivante : Déplacement radial nul sur les alésage d axe A-A et B-B La force est représentée par une traction distribuée sur l alésage de l axe C-C dans la direction X (surface traction ; traction = general). La surface de cette surface cylindrique est de mm2 ; nous appliquons donc une charge distribuée de 1000 N / mm2 = N/mm2 B) Conditions limite d analyse modale Le calcul des modes et fréquences propres est effectué dans les conditions limites suivantes : Déplacement radial nul sur les trous d axe «châssis» A-A 4.2 Conditions de symétries J. Cugnoni, LMAF/EPFL, 2009 p. 5 / 12

6 Il n y a pas de symétries dans ces modèles. 4.3 Modes de corps rigides A) Cas de charge statique : Pour l analyse statique, il est important de supprimer tous les modes de corps rigides du système. Dans notre cas, un seul mode rigide est présent : la translation selon Y. Nous bloquons ce mode rigide en imposant un déplacement Y nul sur un point du modèle. Comme il n y a aucune charge appliquée selon Y, cette hypothèse ne doit pas introduire de contraintes locale et donc ne devrait pas poser de problème. B) Cas de charge dynamique : Dans ce cas, les modes de corps rigide (rotation autour de Y, translation Y) ne posent pas de problème numériques insurmontables : il suffit d introduire un décalage spectral (frequency shift) supérieur à zéro pour que l extraction modale fonctionne correctement. 4.4 Systèmes de coordonnées En plus du système de coordonnées global, deux systèmes de coordonnées cylindriques sont utilisés : le premier nommée «cyl1» selon l axe A-A et le second selon B-B 5. Hypothèses de discrétisation [Maillage(s)] 5.1 Choix du type d'éléments finis Pour des raisons de complexité de maillage et de temps d étude restreint, nous utiliserons ici principalement des éléments solides 3D tétraédriques quadratiques modifiés (élément Abaqus C3D10M). Le but de ce modèle éléments finis étant principalement d obtenir une bonne représentation de la rigidité du système (et aussi des fréquences propres), la convergence en déplacement du modèle est essentielle. Pour le calcul des déplacement / rigidité, les éléments tétraédriques quadratiques sont généralement suffisant et devraient converger assez rapidement (ce n est à priori pas le cas de contraintes ) 5.2 Méthode(s) de maillage A cause de la relative complexité de la géométrie analysée et des contraintes de temps, une méthode de maillage tétraédrique libre est utilisée majoritairement. Plusieurs maillages sont générés pour l étude de convergence. Pour chaque cas, la qualité du maillage est vérifiée pour s assurer qu aucun élément est invalides ou distordu. Note : un léger partitionnement de la géométrie permettrait de mieux cibler la zone de raffinement de maillage. En partitionnant suffisamment, il serait possible de mailler les bras en éléments prismatiques par extrusion (méthode wedge => «sweep» ). 5.3 Taille / Nombre d'éléments Les tailles globales d éléments des différents maillages sont : o Maillage 1 : 9.1 mm o Maillage 2 : 7 mm Les maillages générés consistent respectivement en : J. Cugnoni, LMAF/EPFL, 2009 p. 6 / 12

7 o Maillage 1 : nœuds soit ~92k DDL, éléments tétra. quad. o Maillage 2 : nœuds, soit ~169k DDL, éléments tétra. quad. 6. Type de Problème / Résolution 6.1 Type de problème résolu A) Analyse statique : Dans un premier temps, nous réalisons une analyse statique des contraintes / déformations de la pièce. Les matériaux sont supposés linéaires et élastiques et on ne considère que des petits déplacements et rotations. Le problème est donc de type statique linéaire et correspond à la résolution du système d équation K u = f, où K représente la matrice de rigidité de la structure discrétisée par éléments finis, u représente le vecteur des déplacements au nœuds (3 composantes par nœuds) et f le vecteur des forces nodales. Ce type d analyse étant sensible aux modes de corps rigides, ceux-ci ont dû être bloqués par des conditions limites appropriées. B) Analyse modale : Dans un deuxième temps, nous réalisons une analyse modale numérique du modèle éléments finis. L extraction des premiers modes propres u et fréquences propres ω correspond à la résolution approchée du problème aux valeurs propres généralisé (K ω 2 M) u = 0, où M représente la matrice de masse du système discrétisé par éléments finis et ω = 2π f est la pulsation propre du système. Les modes de corps rigides peuvent également être extrait en imposant un décalage fréquence > 0 (frequency shift) au solveur d extraction modale 6.2 Résultats calculés A) Analyse statique : Le champ de déplacements aux nœuds ainsi que le champs tensoriel des contraintes sont calculés automatiquement. La contrainte équivalente de von Mises est également calculée B) Analyse modale : Seul le champ de déplacement correspondant à chaque mode est calculé. Comme il s agit de mode, l amplitude de déformation du mode est définie à un facteur près. Le déplacement modal est normalisé en interne par Abaqus, les fréquences propres sont quand à elles calculées et affichées en Hz. 7. Etude de convergence de maillage 7.1 Critère La convergence du maillage est étudiée en comparant les déplacements X maximaux et les contraintes équivalentes de von Mises pour les deux maillages sous cas de charge statique. 7.2 Résultat des maillage initial & raffiné Les résultats obtenus sont les suivants : Maillage 1 : déplacement X max = mm, contrainte Mises max = MPa Maillage 2 : déplacement X max = mm, contrainte Mises max = MPa J. Cugnoni, LMAF/EPFL, 2009 p. 7 / 12

8 Ecart relatifs : déplacement 0.02% ; contrainte 1.6 % 7.3 Estimation d erreur relative & discussion Au vu des ces résultats, nous pouvons conclure que ces deux maillages semblent effectivement suffisamment fin pour obtenir un bon niveau de convergence en déplacement et en contraintes. Bien que le premier maillage grossier donne déjà de bons résultats, nous utiliserons le Maillage 2 pour la suite de cette étude. Note : Les contraintes maximales n étant pas dans un «coin» ou une arête vive du modèle, mais au contraire dans une zone relativement «lisse», la convergence en contrainte est bonne et ne présente pas de mauvaise surprise comme vu précédemment avec le piston. 8. Résultats 8.1 Présentation des résultats A) Cas de charge statique : Champ de Déplacements X Avec le cas de charge choisi, la déformée de la pièce consiste essentiellement en un flexion des bras dans la direction X. On constate que le déplacement maximal liés à la déformation du triangle de suspension sous charge de 1000 N est d environ 0.37 mm. Pour extraire précisément le déplacement X de l axe de porte fusée C-C, on extrait localement le déplacement sur 4 points diamétraux de chaque côté de l alésage C-C pour calculer un déplacement X moyen de l axe C-C de mm. J. Cugnoni, LMAF/EPFL, 2009 p. 8 / 12

9 Contraintes équivalente von Mises L état de contraintes équivalentes de von Mises dans la pièce reflète également le mode de déformation : on note très clairement que la flexion des bras domine l état de contrainte. Plus particulièrement, la contrainte liée à la flexion du bras avant du triangle est la plus importante où l on note une accentuation locale des contraintes proche du trou de passage de l axe d amortisseur B-B. Le maximum de la contrainte équivalente von Mises calculée pour une charge de 1000 N est de MPa. B) Analyse modale : Mode 1, Hz, flexion bras arrière + torsion Le premier mode propre (excepté corps rigides) calculé correspond à une flexion du bras arrière entraînant une rotation globale de l axe de porte fusée C-C autour de la direction Z J. Cugnoni, LMAF/EPFL, 2009 p. 9 / 12

10 combinée à un déplacement X. La fréquence estimée pour ce premier mode est de Hz. A titre d information les modes suivants sont également présentés ci-dessous : Mode 2, Hz, flexion bras avant + torsion Mode 3, 883 Hz, déformation dans le plan Y-Z J. Cugnoni, LMAF/EPFL, 2009 p. 10 / 12

11 9. Analyse & conclusions 9.1 Résumé des résultats calculés Cette étude par éléments finis nous a permis d évaluer les déplacements, contraintes et fréquences propres du nouveau design de triangle de suspension. Pour le cas de charge statique donné (axes A-A et B-B bloqués radialement, force X de 1000 N sur axe C-C), nous avons obtenu un déplacement maximal de l axe de porte fusée de mm et une contraintes équivalente maximale de MPa proche du trou d axe d amortisseur B-B. La première fréquence propre calculée est quand à elle de Hz. 9.2 Pertinence / précision des résultats? causes d'incertitude majeures? Au vu de l analyse de convergence de maillage, les grandeurs extraites sont précises à moins de 1-2 % ; la géométrie, les cas de charge et les données de matériaux sont toutes fournies dans le cahier des charge : aucune grosse hypothèse n a dû être prise pour réaliser l analyse. Nous concluons que les résultats de cette étude peuvent être considérés comme fiables et fidèle au cahier des charges. 9.3 Critères et analyse Les critères suivants doivent être évalués : Masse : La masse de la nouvelle pièce est de 2.48 kg. A comparer avec les 2.89 kg de la version précédente, nous obtenons une diminution de masse de 14 %, soit bien au-delà des 10% escompté : Critère de masse OK Rigidité de flexion : La rigidité de flexion est définie ici comme étant k flex = Force X sur l axe de porte fusée / déplacement X de l axe de porte fusée avec les axes de châssis et d amortisseurs bloqué. Dans notre cas, nous avons un déplacement X de mm pour 1000 N appliqués, ce qui nous donne une rigidité de flexion calculée de k flex = 1000 / = 2994 N / mm En comparaison avec le précédent design (2200 N/mm), nous avons une augmentation de 36 % de la rigidité de flexion, soit bien au dessus des 20% escomptés : Critère de rigidité OK Contrainte maximale : La contrainte équivalente maximale σ max calculée pour une charge statique de 1000N est de MPa. Avec un limite élastique σ e de l aluminium 7000 à environ 400 MPa et un facteur de sécurité S f de 1.5, nous vérifions sans problème le critère σ max < σ e / S f. La marge de sécurité est ici de [400/ ]/25.15 soit un facteur de charge d environ 9. Le design actuel est donc largement surdimensionné par rapport au critère fourni. Critère de contrainte max : OK 1 ère Fréquence propre La première fréquence propre calculée est de Hz ; à comparer à 375 Hz mesurés sur la précédente version. On observe donc une augmentation de 40 % de la première fréquence propre du triangle. Nous concluons là encore que l amélioration de performance J. Cugnoni, LMAF/EPFL, 2009 p. 11 / 12

12 obtenue avec le nouveau design dépasse largement les attentes. Critère modal : OK 9.4 Conclusion: De cette étude numérique, nous pouvons conclure sans aucun doute que le nouveau design de triangle de suspension dépasse largement les attentes avec : Une diminution de masse de 14% Une augmentation de rigidité de flexion de 36 % Une contrainte maximale bien au dessous de la limite (facteur de charge limite de 9) Une première fréquence propre augmentée de 40% 9.5 Recommandations La contrainte maximale, bien que très faible par rapport aux limites admissible, est fortement amplifiée par le trou d axe d amortisseur qui crée un «point faible» localement sur les zones les plus chargées du triangle de suspension. Un renforcement local pourrait s avérer intéressant si la résistance de la pièce devenait un problème. 10. Annexes Le cahier des charge de l étude ainsi que les fichiers de modélisation sont annexés à ce document sous forme de fichiers. J. Cugnoni, LMAF/EPFL, 2009 p. 12 / 12