f(x) = 4x et g(x) = x.

Transcription

1 3 ème A DS5 fonctions linéaire et affine sujet 1 Problème (20 points) L unité de longueur est le cm. Ne pas reproduire la figure. La figure n est pas à l échelle 1. Partie A (4 points) Soit C un cercle de diamètre [RM] avec RM = 10. Soit T un point de C tel que RT = 6. 1) Démontrer que RMT est un triangle rectangle. 2) Démontrer que TM = 8. Partie B (8 points) Soit S un point de [RT] et H le point de [RM] tel que (SH) // (TM). On pose RS = x. 1) Donner un encadrement de x. 2) Démontrer que RH = 5 3 x et SH = 4 3 x. 3) Exprimer, en fonction de x, le périmètre du triangle RSH. 4) Démontrer que le périmètre du trapèze STMH est égal à : x. Partie C (8 points) On considère les fonctions affines f et g telles que : f(x) = 4x et g(x) = x. 1) Calculer f(0), f(6), g(0) et g(6). 2) Représenter graphiquement f et g dans un repère orthonormé : - origine du repère en bas à gauche. - unité le centimètre 3) a) Déterminer par le calcul la valeur de x pour laquelle f(x) = g(x). b) Retrouver cette valeur sur le graphique : faire apparaître les pointillés nécessaires. 4) Que représente la solution de l équation f(x) = g(x) pour la partie B de ce problème? 1

2 3 ème A DS5 fonctions linéaire et affine sujet 2 Problème (20 points) L unité de longueur est le cm. Ne pas reproduire la figure. La figure n est pas à l échelle 1. Partie A (4 points) Soit C un cercle de diamètre [AB] avec AB = 5. Soit C un point de C tel que BC = 4. 1) Démontrer que ABC est un triangle rectangle. 2) Démontrer que AC = 3. Partie B (8 points) Soit M un point de [BC] et N le point de [AB] tel que (MN) // (CA). On pose BM = x. 1) Donner un encadrement de x. 2) Démontrer que BN = 5 4 x et MN = 3 4 x. 3) Exprimer, en fonction de x, le périmètre du triangle BMN. 4) Démontrer que le périmètre du trapèze ANMC est égal à : x. Partie C (8 points) On considère les fonctions affines f et g telles que : f(x) = 3x et g(x) = x. 1) Calculer f(0), f(4), g(0) et g(4). 2) Représenter graphiquement f et g dans un repère orthonormé : - origine du repère en bas à gauche. - unité le centimètre 3) a) Déterminer par le calcul la valeur de x pour laquelle f(x) = g(x). b) Retrouver cette valeur sur le graphique : faire apparaître les pointillés nécessaires. 4) Que représente la solution de l équation f(x) = g(x) pour la partie B de ce problème? 2

3 3 ème A DS5 fonctions linéaire et affine sujet 1 Partie A (4 points) 1) Le triangle RMT étant inscrit dans le cercle de diamètre [RM] est rectangle en T. 2) Le triangle RMT étant rectangle en T, on peut appliquer le théorème de Pythagore : RM² = RT² + TM². Soit : 10² = 6² + TM² TM² = = 64 = 8² Donc TM = 8. Partie B (8 points) 1) S appartient au segment [RT] donc 0 x 6. 2) Les droites (SH) et (TM) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles RSH et RTM : RS RT = RH RM = SH TM. Soit : x 6 = RH 10 = SH 8. On en déduit que : RH = 10 6 x = 5 3 x et SH = 8 6 x = 4 3 x. 3) Le périmètre du triangle RSH est donné par : p(rsh) = RS + SH + RH = x x x = x = 4x 4) Le périmètre du trapèze STMH est donné par : p(stmh) = ST + TM + MH + SH = 6 x x x = 24 + x 3 3 p(stmh) = x Partie C (8 points) 1) f(0) = 4 0 = 0 f(6) = 4 6 = 24 g(0) = = 24 g(6) = = ) 3

4 3 ème A DS5 fonctions linéaire et affine sujet 1 3) a) f(x) = g(x) 4x = x 4x x = x = 24 x = = 9 2 = 4,5 La solution de l équation f(x) = g(x) est 4,5. b) Voir graphique question précédente. 4

5 3 ème A DS5 fonctions linéaire et affine sujet 1 On détermine graphiquement l abscisse du point d intersection des deux droites. 4) La solution de l équation f(x) = g(x) correspond à l égalité des périmètres du triangle RST et du trapèze STMH. Pour x = 4,5 ces deux périmètres sont égaux. 5

6 3 ème A DS5 fonctions linéaire et affine sujet 2 Partie A (4 points) 1) Le triangle ABC étant inscrit dans le cercle de diamètre [AB] est rectangle en C. 2) Le triangle ABC étant rectangle en C, on peut appliquer le théorème de Pythagore : AB² = AC² + BC². Soit : 5² = AC² + 4² AC² = = 9 = 3² Donc AC = 3. Partie B (8 points) 1) M appartient au segment [BC] donc 0 x 4. 2) Les droites (MN) et (CA) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles BMN et BCA : BM BC = BN BA =MN CA. Soit : x 4 = BN 5 = MN 3. On en déduit que : BN = 5 4 x et MN = 3 4 x. 3) Le périmètre du triangle BMN est donné par : p(bmn) = BM + MN + BN = x x x = x = 3x 4) Le périmètre du trapèze ANMC est donné par : p(anmc) = AN + NM + MC + AC = x x + 4 x + 3 = x Partie C (8 points) 1) f(0) = 3 0 = 0 f(4) = 4 3 = 12 g(0) = = 12 g(4) = = 6 2) 6

7 3 ème A DS5 fonctions linéaire et affine sujet 2 3) a) f(x) = g(x) 3x = x 3x x = x = 12 x = 24 9 = 8 3 La solution de l équation f(x) = g(x) est x = 8 3. b) Voir graphique question précédente. On détermine graphiquement l abscisse du point d intersection des deux droites. On trouve environ 2,7 proche de ,67 4) La solution de l équation f(x) = g(x) correspond à l égalité des périmètres du triangle RST et du trapèze STMH. 7

8 3 ème A DS5 fonctions linéaire et affine sujet 2 Pour x = 24 ces deux périmètres sont égaux. 9 8