Élc 6 : Filtrage linéaire

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1 Cours de l Éléctrocinétique 04/05 PCSI A.BADI lycée Ibn Taimiya Année Élc 6 : Filtrage linéaire Table des matières Introduction Généralisation : Fonction de transfert. Filtre linéaire Fonction de transfert en régime sinusoïdal Filtre passe-bas du premier ordre 3 3. Comportement asymptotique Fonction de transfert Diagramme de Bode - Pulsation de coupure à -3dB eprésentation de la courbe de gain eprésentation de la courbe de phase Filtre passe-haut du premier ordre 6 4. Comportement asymptotique Fonction de transfert Diagramme de Bode - Pulsation de coupure à -3dB eprésentation de la courbe de gain eprésentation de la courbe de phase PCSI- Marrakech - A. BADI TABLE DES MATIÈES

2 Cours de l Éléctrocinétique 04/05 Introduction Qu est-ce qu un filtre? De même qu un filtre optique ne laisse passer que certaines couleurs, un filtre en électrocinétique ne laissera passer que certains signaux sinusoïdaux caractérisés par une pulsation ω. A l entrée du filtre, on applique par exemple une tension de pulsation ω ; si, à la sortie du filtre, la tension n est pas trop atténuée, on considère que le filtre laisse passer la pulsation ω ; si au contraire, la tension est très atténuée, on considère que le filtre ne laisse pas passer la pulsation ω. Le filtre sera alors caractérisé par l ensemble des pulsations ou fréquences qu il laisse passer appelé bande passante. Un filtre passe bas laisse passer les pulsations inférieures à une pulsation ω c. Un filtre passe haut laisse passer les pulsations supérieures à une pulsation ω c. Un filtre passe bande laisse passer les pulsations comprises entre ω c et ω c. Un filtre coupe bande ou réjecteur de bande laisse passer les pulsations inférieures à ω c et supérieures à ω c. Un filtre peut donc être utilisé pour ne sélectionner que certaines pulsations (radio, TV...). D une manière générale, comme tout signal périodique peut-être considéré comme une superposition de signaux sinusoïdaux, connaissant le spectre dignal d entrée et les caractéristiques du filtres, on peut en déduire le spectre dignal de sortie et donc la forme dignal après passage dans le filtre. Généralisation : Fonction de transfert. Filtre linéaire Un filtre est linéaire si tous les éléments qui le constituent sont linéaires, alors : - si le signal d entrée est sinusoïdal de pulsation ω, le signal de sortie est également sinusoïdal de même pulsation ; - les tensions d entrée u e et de sortie sont reliées par une équation différentielle linéaire à coefficients constants d n A n dt n A d dt + A d m u e 0 = B m dt m B du e dt + B 0u e Un filtre passif ne comporte que des éléments passifs ; la puissance moyenne disponible en sortie est donc toujours inférieure ou égale à la puissance moyenne reçue en entrée. Un filtre actif comporte en plus des sources (AO par exemple) ; la puissance moyenne disponible en sortie peut alors être supérieure à celle reçue en entrée.. Fonction de transfert en régime sinusoïdal u e = cos(ωt + ϕe ) = U s cos(ωt + ϕs ) L équation différentielle devient alors u e = exp(jωt) = U s exp(jωt) A n (jω) n A (jω) + A 0 = B m (jω) m u e B (jω)u e + B 0 u e PCSI- Marrakech - A. BADI Généralisation : Fonction de transfert

3 Cours de l Éléctrocinétique 04/05 ce qui permet d exprimer le rapport appelé fonction de transfert = B 0 + B (jω) B m (jω) m u e A 0 + A (jω) A n (jω) n H(jω) = U s Son module donne le rapport tension de sortie sur tension d entrée H(jω) = U sm m = U s Son argument donne la différence de phase entre la tension de sortie et la tension d entrée arg H(jω) = ϕ s ϕ e La fonction de transfert n est pas une propriété intrinsèque du filtre, elle dépend du filtre mais aussi de la charge branchée à la sortie de celui-ci. Pour tous les systèmes réels H(ω) garde une valeur finie ce qui implique que m est toujours inférieur à n qui défini l ordre du filtre. La fonction de transfert d un filtre s étudie en général sur un domaine fréquentiel très étendu (de 0 jusqu à éventuellement plusieurs MHz), il est alors très utile d introduire des échelles log. Le diagramme de Bode comprend la représentation : du gain en décibel G db = 0 log H(jω) en fonction de log ω ou en fonction de ω sur du papier semilog ; de la phase ϕ = arg H(jω) en fonction de log ω ou en fonction de ω sur du papier semilog. 3 Filtre passe-bas du premier ordre PSfrag replacements i e i s = 0 u e 3. Comportement asymptotique L impédance du condensateur vaut Z C = Si ω 0 alors Z C (refaire le schéma en supprimant la branche contenant le condensateur) et U s. PCSI- Marrakech - A. BADI 3 Filtre passe-bas du premier ordre

4 Cours de l Éléctrocinétique 04/05 Si ω alors Z C 0 (refaire le schéma en remplaçant la branche contenant le condensateur par un fil) et U s 0. On peut donc déjà dire que le filtre transmet les signaux de basse fréquence et atténue ceux de haute fréquence d où la dénomination de filtre passe-bas. 3. Fonction de transfert La fonction de transfert est définie par H(jω) = U s U s = + = + H(jω) = + j ω en posant = C 3.3 Diagramme de Bode - Pulsation de coupure à -3dB 3.3. eprésentation de la courbe de gain Le module de la fonction de transfert est appelé gain H(ω) = H(jω) = ( ω + ) expérimentalement H(ω) = U sm m = U s (oscilloscope ou multimètre) On définie le gain en décibel G db = 0 log H(jω) ( ( ) ) ω = 0 log + On représente le gain en décibel non pas en fonction de ω (ou ω ou f) mais en fonction de log ω (la plage de fréquence pouvant s étendre de quelques Hz à 0 6 Hz et plus) Si ω petit devant alors G db 0 Si ω grand devant alors G db 0 log ω droite de pente 0 db par décade ce qui signifie que si ω est multiplié par 0, log ω augmente de et G db diminue de 0 db PCSI- Marrakech - A. BADI 4 Filtre passe-bas du premier ordre

5 PSfrag replacements u e Cours de l Éléctrocinétique 04/05 i e i s = 0 0 log ω 0 Les deux asymptotes se coupent pour 0 = 0 log ω c est à dire pour ω = ; pour ω =, H(ω) = et G db = 0 log 3 db. est appelé pulsation de coupure à 3 db et noté ω c. La pulsation de coupure à 3 db du filtre est par définition la pulsation telle que G db (ω c ) = 3 db Elle peut être interprétée comme la limite entre les comportements BF et HF du filtre : les signaux de pulsations ω < ω c sont transmis en sortie avec une atténuation inférieure à 3 db ; les signaux de pulsations ω > ω c sont transmis en sortie avec une atténuation supérieure à 3 db ; Idéalement on considérera que le filtre laisse passer une pulsation ω si l atténuation en sortie est inférieure à 3 db. La bande passante de ce filtre, c est à dire l ensemble des pulsations qu il laisse passer, est donc [0, ] eprésentation de la courbe de phase L argument de la fonction de transfert est appelé phase ϕ(ω) = arg H(jω) = 0 arg( + j ω ) = arctan ω expérimentalement ϕ(ω) = ϕ s ϕ e (oscilloscope) On représente la phase non pas en fonction de ω (ou ω ou f) mais en fonction de log ω (la plage de fréquence pouvant s étendre de quelques Hz à 0 6 Hz et plus) Si ω petit devant alors ϕ 0 Si ω grand devant alors ϕ π Si ω = alors ϕ = π 4 PCSI- Marrakech - A. BADI 5 Filtre passe-bas du premier ordre

6 Cours de i e l Éléctrocinétique i s = 0 04/05 ϕ 0 log ω PSfrag 0 replacements π Pour ω = 0,, ϕ = 6 Pour ω = 0, ϕ = 84 L essentiel de la rotation log ω de phase se fait donc entre 0, et 0 c est à dire sur deux décades. 4 Filtre passe-haut du premier ordre 0 0 ϕ π u e i e i s = 0 4. Comportement asymptotique L impédance du condensateur vaut Z C = Si ω 0 alors Z C (refaire le schéma en supprimant la branche contenant le condensateur) et U s 0. Si ω alors Z C 0 (refaire le schéma en remplaçant la branche contenant le condensateur par un fil) et U s. On peut donc déjà dire que le filtre transmet les signaux de haute fréquence et atténue ceux de basse fréquence d où la dénomination de filtre passe-haut. 4. Fonction de transfert La fonction de transfert est définie par U s = + = + H(jω) = U s H(jω) = j ω + j ω PCSI- Marrakech - A. BADI 6 Filtre passe-haut du premier ordre

7 Cours de l Éléctrocinétique 04/05 en posant = C 4.3 Diagramme de Bode - Pulsation de coupure à -3dB 4.3. eprésentation de la courbe de gain ω H(ω) = H(jω) = + ( ω ) expérimentalement H(ω) = U sm m = U s (oscilloscope ou multimètre) PSfrag replacements u e G db = 0 log H(jω) ( = 0 log ω ( ) ) ω 0 log + Si ω petit devant i alors G db 0 log ω e Si ω grand devant alors G db 0 log ω ( ) i ω s = 0 0 log = 0 0 log ω 0 ϕ π Les deux asymptotes se coupent pour 0 = 0 log ω coupure à 3 db. c est à dire pour ω = = ω c, pulsation de La bande passante de ce filtre, c est à dire l ensemble des pulsations qu il laisse passer, est donc [, [ eprésentation de la courbe de phase ϕ(ω) = arg H(jω) expérimentalement ϕ(ω) = ϕ s ϕ e (oscilloscope) = arg(j ω ) arg( + j ω ) = π arctan ω La courbe se déduit de celle du passe-bas par une translation de π. PCSI- Marrakech - A. BADI 7 Filtre passe-haut du premier ordre

8 i s = 0 Cours de l Éléctrocinétique 04/05 ϕ π 0 π 0 log ω PCSI- Marrakech - A. BADI 8 Filtre passe-haut du premier ordre