Introduction à la droite réelle et aux fonctions de la variable réelle à valeurs réelles

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1 Lycée du Parc PCSI Introduction à la droite réelle et aux fonctions de la variable réelle à valeurs réelles 1 La droite réelle 1.1 Relation d ordre Vrai ou Faux 1. x,y R, x y = 1 y 1 x 2. x,y,z R, x y et 0 z = xz yz 3. x,y,z,t R, x y et z t = xz yt 4. x 1,y 1,z 1,x 2,y 2,z 2 R +, x 1 y 1 z 1 et x 2 y 2 z 2 = x 2 y 2 z 2 x 1 y 1 z 1 5. x 1,y 1,z 1,x 2,y 2,z 2 R +, x 1 y 1 z 1 et x 2 y 2 z 2 = x 2 y 2 z 2 z 1 y 1 x 1 Le corps R (c est-à-dire l ensemble des nombres réels munis des lois d addition et de multiplication usuels) est un corps ordonné, car la relation d ordre est compatible avec les opérations : x,y,x,y R, x y et x y = x+x y +y x,y R, 0 x et 0 y = 0 xy. On démontre à partir de cela, les règles opératoires suivantes : Lemme 1. Soient x, y, z, t R, on a alors 1. x y = x+z y +z 2. x y = y x 3. 0 z et x y = xz yz 4. 0 < x y = 0 < 1 y 1 x 5. 0 x y et 0 z t = 0 xz yt Remarques : (1) Faire attention dans l utilisation de ces règles, en particulier quand il y a des conditions de positivité. C est une cause fréquente d erreurs. (2) La manipulation d une suite d inégalités est parfois un moyen simple d obtenir une inégalité, mais fréquemment une étude d une fonction sera plus précise (les inégalités obtenues seront plus fines) et moins sujet à des erreurs. On présentera en détail les règles d étude de fonction à la fin ce chapitre et au chapitre suivant. On définit les intervalles à partir de la relation d ordre pour a b par [a,b] = { x ; a x b} [a,b[ = { x ; a x < b} ]a,b] = { x ; a < x b} ]a,b[ = { x ; a < x < b}. Le premier cas est appelé intervalle fermé, le quatrième intervalle ouvert. 1

2 1.2 Valeur absolue Définition Soit x R, on définit la valeur absolue de x noté x que le plus grand élément de {x, x}, soit x = max(x, x). Remarque : Par construction, pour x R, on a x x x et on a donc x M M x M Propriétés Définition 1. Soient x,y R, on définit la distance entre x et y, noté d(x,y) par d(x,y) = x y. Lemme 2. La partie de R définie pour a,b R avec b 0 par { x ; x a b} est l intervalle [a b,a+b]. 0 a b a a+b b b Proposition 1 (Inégalité triangulaire). Soient x,y R, alors on a x y x+y x + y. 1.3 Majoration, minoration Soit A une partie de R, on dit que (i) La partie A est majorée, si il existe un réel M plus grand que tous les éléments de A : x A, x M. Un tel nombre M, si il existe, est appelé majorant de A, celui-ci n est pas unique L intervalle [1,2[ est majoré, il admet 2, mais aussi 3 comme majorant. (ii) La partie A est minorée, si il existe un réel m plus petit que tous les éléments de A : x A, m x. Un tel nombre m, si il existe, est appelé minorant de A, celui-ci n est pas unique. (iii) La partie A est bornée, si A est minorée et majorée. 2

3 (iv) La partie A admet un plus grand élément, si il existe un élément de A plus grand que tous les éléments de A. Un tel nombre, si il existe, est unique et sera appelé maximum de A et noté maxa. Si A admet un plus grand élément, elle est majoré, car maxa est un majorant. La réciproque est fausse. L intervalle [1, 2[ est majoré, il admet 2 comme majorant, mais n admet pas de plus grand élément. L intervalle [3,4] est majoré, il admet 5 comme majorant et il admet 4 comme plus grand élément. (v) La partie A admet un plus petit élément, si il existe un élément de A plus petit que tous les éléments de A. Un tel nombre, si il existe, est unique et sera appelé minimum de A et noté mina. Si A admet un plus grand élément, elle est majoré, car mina est un majorant. La réciproque est fausse. Remarque : Pour montrer qu une partie A est bornée, on montrera en général que tout élément x de A est de valeur absolue majorée : M > 0, x A, x M. 2 Généralités sur les fonctions 2.1 Ensemble de définition En mathématiques, une fonction (ou application) f est la donnée d un ensemble de départ (ou ensemble de définition) A, d un ensemble d arrivée B et d une expression f(x) permettant d associer à chaque élément x de A un unique élément de B. La question fréquente qui est de demander l ensemble de définition de la fonction f est donc un abus. La question exacte serait déterminer l ensemble départ le plus grand possible sur lequel l expression f(x) permet de définir une fonction. On fera, dans la suite, attention à faire la différence entre f et f(x). La première forme est la fonction f et la seconde est une expression donnant la valeur de la fonction f en x. On notera aussi x f(x) pour noter une fonction. Il y a une différence entre x et x x. 1. L expression f(x) = 1 x permet de définir une fonction sur R à valeur dans R. 2. L expression g(x) = ln(1 x 2 ) permet de définir une fonction sur ] 1,1[ à valeur dans R. 2.2 Graphe d une fonction Représentation graphique et équations Soit f une fonction défini sur un intervalle [a,b] à valeur dans R, on trace sa courbe dans un repère (0, i, j ) : Le but d une étude de fonction sera d obtenir des informations sur le comportement de cette courbe, d obtenir un tracé approximatif de la courbe et savoir interprétrer graphiquement des solutions d équations et d inéquations : Soit la fonction f définie sur R par f(x) = 2(x+ 1 2 )(x 1)(x 2). Interpréter graphiquement les solutions de f(x) = λ et de f(x) λ 3

4 λ x 0 x 1 x 2 2,5 La lecture graphique nous donne x 0,x 1 et x 2 solutions de f(x) = λ. L ensemble S des solutions de l inéquation f(x) λ est S =],x 0 ] [x 1,x 2 ]. 2.3 Transformation et invariance d une courbe de fonction On considère dans ce paragraphe une fonction f définie sur R : Transformations On considère la courbe et on cherche à déterminer la courbe de C g dans les cas suivants : 1. g = x f(x). On obtient la courbe C g par symétrie de la courbe par rapport à l axe Ox : C g 2. g = x f( x). On obtient la courbe C g par symétrie de la courbe par rapport à l axe Oy : 4

5 C g 3. g = x k f(x), avec k R. On obtient la courbe C g par multiplication des valeurs des ordonnées des points de la courbe par k de la courbe (une dilatation ou une contraction selon l axe des ordonnées) : Pour k = 1 2, on obtient C g 4. g = x f(kx), avec k R. On obtient la courbe C g par multiplication des valeurs des abscisses des points de la courbe par k(une dilatation ou une contraction selon l axe des abscisses) : Pour k = 1 2, on obtient C g 5. g = x f(x)+a, avec a R. On obtient la courbe C g par translation de la courbe par le vecteur a j. Pour a = 1, on obtient 5

6 C g 6. g = x f(x+a), avec a R. On obtient la courbe C g par translation de la courbe par le vecteur a i. Pour a = 1, on obtient C g Remarque : Cette liste de transformation n est pas exhaustive, on peut en particulier les composer entre elles. En exercice, on interprétera la transformation géométrique à effectuer pour tracer la courbe de g pour g = x f(a x) Invariances Une fonction f est 1. paire si x R, f( x) = f(x). La courbe de f est symétrique par rapport à l axe Oy. Exemple de courbe de fonction paire : 6

7 2. impaire si x R, f( x) = f(x). La courbe de f est symétrique par rapport au centre du repère. Exemple de courbe de fonction impaire : 3. T-période avec T R, si x R, f(x) = f(x+t). La courbe de f est invariante par translation de vecteur T i. Le fonction sin est 2π-périodique Remarques : 1. Comme exercice, on déterminer la propriété géométrique vérifiée par pour f satisfaisant x R, f(a x) = f(x). 2. Les remarques de parité et de périodicité permettent de réduire le domaine d étude d un fonction, on complète ensuite le graphe en utilisant les propriétés géométrique. La T-périodicité permet de réduire l étude à un intervalle de longueur T (en général, on le choisit symétrique par rapport à 0 ([ T 2, T 2 ]) pour pouvoir utiliser les remarques de parité). Si la fonction à une parité, on peut se limiter à une étude sur les réelles positifs. 2.4 Opérations sur les fonctions et monotonie Définitions 1. Soient f, g 2 fonctions définies sur un intervalle I à valeurs dans R et λ un nombre réel, on définit les fonctions de I dans R : (a) f par x I, ( f )(x) = f(x). (b) f +g par (c) λf par x I, (f +g)(x) = f(x)+g(x). x I, (λf)(x) = λ f(x). 7

8 (d) f g (ou f g) par x I, (f g)(x) = f(x) g(x). 2. Soient f une fonction définie sur un intervalle I à valeurs dans un intervalle J et g une fonction définie sur un intervalle J à valeurs dans un intervalle R, la composée de g et f est une fonction définie sur I à valeurs dans R notée g f tel que x I, (g f)(x) = g(f(x)). 3. Soit f une fonction définie sur un intervalle I à valeurs dans R, on dit que (a) f est une fonction croissante sur I, si elle conserve la relation d ordre, c est-à-dire : x,y I, x y = f(x) f(y). La croissance est stricte, si la condition satisfaite est «x,y I, x < y f(x) < f(y).». (b) f est une fonction décroissante sur I, si elle change la relation d ordre, c est-à-dire : x,y I, x y = f(x) f(y). La décroissance est stricte, si la condition est «x,y I, x < y f(x) > f(y).». (c) f est une fonction (strictement) monotone sur I, si elle est (strictement) croissante ou décroissante sur I. Remarques : 1. Toutes les définitions sont ici données pour des fonctions définies sur un intervalle I, elles peuvent s adapter à un ensemble de définition plus compliqué. Dans la pratique, on travaille généralement sur des intervalles ou éventuellement une union d intervalles. 2. Pour la composition de fonctions, il faut faire attention aux ensembles de définitions pour que les objets mathématiques est bien un sens (En exemple, la composition par la fonction x 1 x nécessite que les quantités ne s annulent pas.) Propriétés Proposition 2 (monotonie et opérations algébriques). Soient f, g 2 fonctions définies sur un intervalle I à valeurs dans R, on a (i) f et g fonctions croissantes (respectivement décroissantes) = f + g fonction croissante (respectivement décroissante) (ii) f et g fonctions croissantes à valeurs dans R + = f g croissante. (iii) f fonction croissante et λ 0 (respectivement λ 0) = λf fonction croissante (respectivement décroissante). Proposition 3 (monotonie et composition). Soient f une fonction définie sur un intervalle I à valeurs dans un intervalle J et g une fonction définie sur un intervalle J à valeurs dans R, (i) f et g fonctions croissantes (respectivement décroissantes) = g f fonction croissante. (ii) f et g fonctions monotones de sens de variations opposé = g f fonction décroissante. Remarque : Ces deux propositions sont des listes non exhaustives, on peut les combiner en particulier entre elles. On peut parfois se servir des tels arguments pour conclure rapidement à la monotonie d une fonction, plutôt que d utiliser des outils plus évolués et plus calculatoires (en particulier la dérivation que nous verrons au chapitre suivant) 8

9 2.4.3 Fonctions bijectives Soit f une fonction définie sur I à valeurs dans R, on appelle image de I par f noté f(i) l ensemble : f(i) = {f(x) ; x I}. Soit f une fonction définie sur I à valeurs dans J, on dit f est bijective de I dans J, si pour tout y 0 J, il existe un unique élément x 0 I, tel que f(x 0 ) = y 0, un tel x 0 est appelé antécédent de y 0. La bijectivité signifie l existence et l unicité de l antécédent. Si un fonction f est bijective de I dans J, on peut définir la fonction réciproque notée f 1 de J dans I qui à chaque élément y 0 de J associe son unique antécédent x 0. Proposition 4. Soit f une fonction définie sur I et strictement monotone, alors f est une bijection de I dans f(i) et sa fonction réciproque à même sens de variation que f. Proposition 5. Soit f une fonction bijective I dans J, les courbes et 1 de f et f 1 sont symétriques l une de l autre rapport à la première bissectrice (la droite d équation y = x). On a formellement x I, (x,f(x)) et (f(x),x) 1. La fonction f définie sur R par f(x) = 1 5 x3. y = x Fonctions majorées, minorées, bornées Soit f une fonction définie sur I à valeurs dans R, on dit que 1. la fonction f est majorée, si la partie f(i) est majorée, c est-à-dire M R, x I, f(x) M. Cela s interprète géométrique par le fait que la courbe de f est en dessous de la droite d équation y = M. 9

10 y = M 2. la fonction f est minorée, si la partie f(i) est minorée, c est-à-dire m R, x I, f(x) m. Cela s interprète géométrique par le fait que la courbe de f est au dessus de la droite d équation y = m. y = m 3. la fonction f est bornée, si la partie f(i) est bornée, c est-à-dire m,m R, x I, m f(x) M. Remarque : Dans la pratique, on démontrera généralement que f est bornée en utilisant la caractérisation suivante : La fonction f est bornée La fonction f est majorée. 10