INTRODUCTION À L ALGÈBRE LINÉAIRE

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1 CHAPITRE II INTRODUCTION À L ALGÈBRE LINÉAIRE Sommaire A Systèmes linéaires 2 A1 Généralités sur les systèmes linéaires 2 A2 Échelonnement et algorithme du pivot de Gauss 7 B Calcul matriciel 12 B1 Ensembles de matrices 12 B2 Matrices carrées inversibles 21 Quelques exercices sur les matrices 27

2 2 Chapitre II - Introduction à l algèbre linéaire Dans tout le chapitre, K désigne l ensemble R des nombres réels ou l ensemble C des nombres complexes Les éléments de K seront désignés sous le terme de scalaires A - Systèmes linéaires A1 - Généralités sur les systèmes linéaires A11 - Définition et notation d un système linéaire On rappelle qu une équation linéaire à p inconnues est une relation de la forme : a 1 x 1 + a 2 x a p x p = b où a 1, a 2,, a p et b sont fixés dans K et x 1, x 2,, x p sont les inconnues Une solution de cette équation dans K p est un p-uplet (s 1, s 2,, s p ) de scalaires tel que si l on calcule la somme a 1 s 1 + a 2 s a p s p, on trouve b S il n y a que deux inconnues, on les notera souvent x et y plutôt que x 1 et x 2, s il n y en a que trois alors on les notera souvent x, y et z plutôt que x 1, x 2 et x 3, etc Lorsque p 2, une équation linéaire à p inconnues admet une infinité de solutions dans K p Par exemple, l équation à deux inconnues 2x + 3y = 1 est linéaire et, dans R 2, ses solutions sont les couples ( ) x, 1 2x 3 Définition 1 1 Un système d équations linéaires ou, plus simplement, un système linéaire de n équations à p inconnues est la donnée simultanée de n équations linéaires à p inconnues : (S) : où les inconnues sont x 1,, x p a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,p x p = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,p x p = b 2 a n,1 x 1 + a n,2 x a n,p x p = b n 2 Une solution du système linéaire (S) dans K p est un p-uplet (s 1, s 2,, s p ) de scalaires qui est solution de chacune des équations du système 3 Résoudre le système (S) dans K p consiste à trouver l ensemble de toutes les solutions de ce système Exemples 1 Considérons le système linéaire de 3 équations à 3 inconnues suivant : x + y z = 2 (S) : y + z = 0 z = Sébastien PELLERIN

3 A - Systèmes linéaires 3 2 Considérons le système linéaire de 2 équations à 2 inconnues suivant : (S) : { x y = 1 x y = 2 Remarques 1 Les coefficients des inconnues sont notés avec un double indice : a i,j où le premier indice i indique la ligne (c est-à-dire l équation) et le second indice j indique la colonne (c est-à-dire l inconnue devant laquelle se trouve ce coefficient) Par exemple, a 3,2 (que l on lit «a 3 2») est le coefficient de x 2 dans la troisième équation, a 1,3 est le coefficient de x 3 dans la première équation, etc Les équations, ou les lignes, sont notées L 1,L 2,,L n 2 Lorsqu un système n a pas de solutions, on dit que son ensemble de solutions est vide 3 Dans la pratique, il est rare que le système soit suffisamment simple pour qu il ne reste plus qu à «lire» les solutions comme dans le premier exemple ou qu à constater que deux équations sont contradictoires comme dans le second Il importe donc de savoir «simplifier» le système 4 Lorsque les scalaires b 1,b 2,,b n sont tous nuls, ont dit que le système linéaire (S) est homogène Sinon, on dit que b 1,b 2,,b n sont les seconds membres des équations 5 De façon générale, on dit que : (S 0 ) : est le système linéaire homogène associé à (S) a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,p x p = 0 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,p x p = 0 a n,1 x 1 + a n,2 x a n,p x p = 0 A12 - Opérations élémentaires sur les lignes Il est clair que lorsque l on cherche à résoudre un système, le nom donné aux inconnues n importe pas, seuls comptent les valeurs et les emplacements des coefficients (quel scalaire est devant la j -ème inconnue dans la i -ème équation?) On se focalise donc sur cette famille de coefficients que l on dispose dans un tableau rappelant l écriture du système Définition 2 Une matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K est la donnée de np éléments de K répartis dans un tableau à n lignes et p colonnes L ensemble de ces matrices est noté M n,p (K) Par exemple, ( ) est une matrice à 2 lignes et 3 colonnes Sébastien PELLERIN

4 4 Chapitre II - Introduction à l algèbre linéaire Remarques 1 Nous notons ( ) a i,j 1 i n pour désigner la matrice dont le terme à la i -ème ligne et j -ème colonne est a i,j 1 j p Pour désigner le coefficient à la i -ème ligne et j -ème colonne, on emploie l expression «coefficient à la place (i, j )» Il faut bien noter que le premier indice indique la ligne et le second indique la colonne 2 Une matrice à une ligne est appelée une matrice ligne Une matrice à une colonne est appelée une matrice colonne 3 Notons que l on dit que deux matrices A et B sont égales lorsqu elles sont de même taille et que les coefficients à la même place sont identiques Définition 3 Considérons un système linéaire de n équations à p inconnues : a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,p x p = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,p x p = b 2 (S) : a n,1 x 1 + a n,2 x a n,p x p = b n La matrice du système linéaire (S) est la matrice à n lignes et p colonnes : a 1,1 a 1,2 a 1,p a 2,1 a 2,2 a 2,p a n,1 a n,2 a n,p La matrice augmentée du système linéaire (S) est la matrice à n lignes et p + 1 colonnes : a 1,1 a 1,2 a 1,p b 1 a 2,1 a 2,2 a 2,p b 2 a n,1 a n,2 a n,p b n Remarque Si A M n,p (K) désigne la matrice de (S) et si on note B = membres alors la matrice augmentée du système est souvent notée (A B) b 1 b n M n,1 (K) la matrice colonne des seconds La barre verticale n est qu un outil visuel pour séparer les coefficients relatifs aux inconnues de ceux des seconds membres, elle peut donc être omise Nous allons maintenant décrire des opérations élémentaires que l on peut effectuer sur les lignes d un système ou de la matrice (augmentée) d un système On montrera ensuite que ces opérations ne modifient pas l ensemble des solutions du système Le fait d échanger deux lignes L i et L j se note L i L j Le fait d ajouter λ L j à L i, pour i j, se note L i L i + λl j Le fait de multiplier L i par λ 0 se note L i λl i Sébastien PELLERIN

5 A - Systèmes linéaires 5 Exemple On considère le système suivant : (S) : { x + y = 1 2x + 3y = 0 L intérêt de cette succession d opérations apparaît dans le résultat suivant Proposition et définition 1 1 Deux systèmes linéaires (S) et (S ) sont dits équivalents lorsque l on passe de l un à l autre par une suite finie d opérations élémentaires sur les lignes On note alors : (S) (S ) 2 Deux systèmes linéaires équivalents ont le même ensemble de solutions Démonstration Il s agit de montrer que les trois types d opérations élémentaires ne modifient pas l ensemble des solutions du système C est une évidence pour l échange de lignes et la multiplication par un scalaire λ non nul puisque : a i,1 x 1 + a i,2 x a i,p x p = b i λa i,1 x 1 + λa i,2 x λa i,p x p = λb i Pour la dernière opération, on s intéresse à deux équations d un même système : (L i ) : a i,1 x 1 + a i,2 x a i,p x p = b i et (L j ) : a j,1 x 1 + a j,2 x a j,p x p = b j Sébastien PELLERIN

6 6 Chapitre II - Introduction à l algèbre linéaire Si (s 1, s 2,, s p ) est une solution commune à ces deux équations alors on a : et il s ensuit que si λ est un scalaire alors : a i,1 s 1 + a i,2 s a i,p s p = b i et a j,1 s 1 + a j,2 s a j,p s p = b j (a i,1 + λa j,1 )s 1 + (a i,2 + λa j,2 )s (a i,p + λa j,p )s p = b i + λb j ce qui signifie que (s 1, s 2,, s p ) est une solution de l équation L i + λl j Réciproquement, considérons les deux équations L i + λl j et L j D après ce que l on vient de montrer, l ensemble des solutions est le même que celui du système : { (Li + λl j ) λl j L j i e { Li L j ce qui termine la preuve Remarques 1 Ces trois opérations sont «inversibles» puisque : effectuer deux fois l opération L i L j n a aucun effet sur le système ; lorsque λ est un scalaire non nul, effectuer L i 1 λ L i après L i λl i permet de revenir au système initial ; lorsque i j, effectuer L i L i λl j après L i L i + λl j permet de revenir au système initial 2 Dans la mesure où l on peut effectuer successivement une opération L i al i, avec a 0, puis une opération L i L i + bl j, avec i j, on peut directement effectuer une opération : L i al i + bl j avec a 0 et i j 3 L opération d échange de lignes est en fait inutile c est-à-dire que l on peut l obtenir avec les deux autres types d opérations En effet, soit l et l deux équations linéaires, on a : { l l { l l + l { l l + l { l l { l l (L 2 L 2 + L 1 ) (L 1 L 1 L 2 ) (L 2 L 2 + L 1 ) (L 1 L 1 ) 4 La notation matricielle d un système linéaire induit une terminologie analogue : deux matrices A et A sont dites équivalentes par lignes lorsqu elle se déduisent l une de l autre par une suite finie d opérations élémentaires sur les lignes ; on note alors A L A Si l on passe d un système linéaire (S) à un système linéaire (S ) par une suite finie d opérations élémentaires sur les lignes alors la matrice augmentée de (S ) s obtient en effectuant la même suite d opérations élémentaires sur la matrice augmentée de (S) et réciproquement La réciproque évoquée ci-dessus induit que si deux matrices augmentées sont équivalentes par lignes alors les systèmes associés sont équivalents donc ont les même solutions Sébastien PELLERIN

7 A - Systèmes linéaires 7 5 D autre part, puisque les opérations élémentaires sont «inversibles» (on peut faire à chaque fois une opération élémentaire permettant de revenir en arrière), la relation d équivalence par lignes est symétrique et transitive : si (S) (S ) alors (S ) (S); si (S) (S ) et (S ) (S ) alors (S) (S ) On en déduit en particulier que si (S) (S ) et (S ) (S ) alors (S) (S ) On a bien entendu les analogues en termes de matrices A2 - Échelonnement et algorithme du pivot de Gauss Le cas le plus favorable pour résoudre un système est celui d un système s écrivant sous la forme : x 1 = b 1 x 2 = b 1 x n = b n puisqu il n y a alors qu à «lire» les solutions Sans être dans cette situation, il est aisé de conclure lorsque x 1 n est présente que sur la première ligne, x 2 que sur la première et la deuxième, x 3 que sur les trois premières, etc Par exemple, lorsque le système est de la forme : x 1 + 2x 2 3x 3 = 1 x 2 + x 3 x 4 = 0 3x 3 + x 4 = 5 2x 4 = 2 On a vu que les opérations élémentaires sur les lignes transforment un système linéaire en un système linéaire qui lui est équivalent donc qui a les mêmes solutions Il est donc utile de connaître un algorithme permettant d aboutir, à l aide d opérations élémentaires sur les lignes, à un système de la forme cidessus KARL F GAUSS L idée générale est de commencer par «supprimer» les x 1 à partir de la deuxième ligne en utilisant le coefficient de la première Une fois cela réalisé, on ne touche plus la première ligne et on utilise le coefficient de la deuxième ligne pour «supprimer» les x 2 à partir de la troisième ligne On continue ainsi jusqu à la dernière ligne ou la dernière inconnue Sébastien PELLERIN

8 8 Chapitre II - Introduction à l algèbre linéaire Pour faciliter la lecture, on explicite l algorithme du pivot de Gauss sur la matrice augmentée M = (m i,j ) 1 i n 1 j p+1 du système 1 Si la première colonne de M est nulle alors on passe au 3 Sinon, quitte à échanger des lignes, on peut se ramener au cas où le coefficient à la place (1,1) est non nul ie on a : 2 Le terme m 1,1 est le premier pivot m 1,1 m 1,2 m 1,p+1 m 2,1 m 2,2 m 2,p+1 M L m n,1 m n,2 m n,p+1 On effectue, pour tout i 2,n, l opération L i L i m i,1 L m 1,1 1 On obtient donc à l issue de cette étape : m 1,1 m 1,2 m 1,p+1 0 m 2,2 m 2,p+1 M L 0 m n,2 m n,p+1 3 À ce stade, on a obtenu dans tous les cas : α 1,1 α 1,2 α 1,p+1 0 α 2,2 α 2,p+1 M L (quitte à ce que α 1,1 = 0) 0 α n,2 α n,p+1 On retourne alors à l étape 1 avec la matrice : α 2,2 α 2,p+1 α n,2 α n,p+1 À l issue de la deuxième itération de cette boucle, on a donc : β 1,1 β 1,2 β 1,3 β 1,p+1 0 β 1,2 β 1,3 β 1,p+1 M 0 0 β L 1,3 β 1,p β n,3 β n,p+1 Puisqu à chaque étape, la matrice considérée contient une ligne et une colonne de moins que la précédente, cette boucle s arrête nécessairement après un nombre fini d itérations (au plus égal à min{n 1, p}) Sébastien PELLERIN

9 A - Systèmes linéaires 9 Exemple On considère le système (S) : 2x + 5y + 3z t = 2 x + 2y + z t = 1 x + 3y + 3z + 4t = 0 3x 4y + 2z 2t = 1 Sébastien PELLERIN

10 10 Chapitre II - Introduction à l algèbre linéaire Cette méthode permet également de conclure même quand il n y a pas une unique solution au système Exemple On considère le système (S) : x + 2y + 3z = 1 3x + y + 4z = 3 2x + y + 3z = 2 Exercice C-40 Résoudre les systèmes linéaires suivants : (S 4 ) (S 1 ) { 2x + 3y = 4 4x + 3y = 2 2x + y 2z = 10 3x + 2y + 2t = 1 5x + 4y + 3t = 4, (S 2 ) x + 2y z = 1 2x y + z = 2 3x + y + 2z = 3, (S 5 ) x + y + z = 3 x + 2y + 3z = 6 x y + 2z = 0 3x + 2y 4z = 1, (S 3 ) x 2y + 3z = 4 2x + y z = 1 3x y + 2z = 1 et (S 6 ) x z + 2t = 2 x y + t = 0 2x + y 2t = 1 y + z 4t = 1, Sébastien PELLERIN

11 A - Systèmes linéaires 11 Exercice C-41 Pour tout nombre réel a, on considère le système (S a ) : Résoudre (S a ) en fonction de la valeur de a 3x + 2y z = 3 x + ay + az = 0 x + 2y + 2z = 0 Exercice C-42 Montrer qu il existe un unique polynôme P de degré au plus 4 vérifiant les relations : P( 2) = 3, P( 1) = 5, P(0) = 1, P(1) = 4 et P(2) = 5 Sébastien PELLERIN

12 12 Chapitre II - Introduction à l algèbre linéaire B - Calcul matriciel B1 - Ensembles de matrices B11 - Opérations algébriques Comme nous l avons vu dans le cadre de l étude des systèmes linéaires, une matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K est la donnée de np éléments de K répartis dans un tableau à n lignes et p colonnes L ensemble de ces matrices est noté M n,p (K) On définit maintenant des opérations algébriques sur l ensemble des matrices Définition 4 On considère deux matrices de même taille A = (a i,j ) 1 i n et B = (b i,j ) 1 i n ainsi qu un scalaire λ 1 j p 1 j p 1 La matrice somme de A et B est la matrice, notée A + B, définie par : A + B = (a i,j + b i,j ) 1 i n 1 j p 2 La matrice produit de A par le scalaire λ de K est la matrice, notée λa, définie par : λa = (λa i,j ) 1 i n 1 j p Additionner deux matrices revient donc à additionner les coefficients de même emplacement dans ces deux matrices Multiplier une matrice par un scalaire revient donc à multiplier chacun des coefficients de la matrice par ce nombre Exemple Pour des matrices à deux lignes et deux colonnes, cela donne : ( ) ( ) ( ) a b α β a + α b + β + = c d γ δ c + γ d + δ et ( ) a b λ = c d ( λa λb λc λd ) On revient au cas d un système linéaire de n équations à p inconnues : a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,p x p = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,p x p = b 2 a n,1 x 1 + a n,2 x a n,p x p = b n ce qui signifie que pour chaque indice i 1,n, on a : a i,1 x 1 + a i,2 x a i,p x p = b i C est dans cette écriture (faisant penser lorsque n = 2 ou n = 3 au produit scalaire de deux vecteurs) que la définition suivante trouve son origine Sébastien PELLERIN

13 B - Calcul matriciel 13 Définition 5 On considère une matrice ligne L = ( ) l 1 l p et une matrice colonne C = avec le même nombre de coefficients Le produit de L par C est le scalaire suivant : L C = l 1 c 1 + l 2 c l p c p c 1 c p Exemple Si L = ( ) 1 et C = 3 alors : LC = 1 De façon plus générale, définissons maintenant le produit de deux matrices Définition 6 Soit A = (a i,j ) 1 i n une matrice de M n,p (K) et B = (b i,j ) 1 i p une matrice de M p,m (K) 1 j p 1 j m La matrice produit de A par B est la matrice, notée AB, de M n,m (K) dont le coefficient à la place (i, j ) est le produit de la ligne i de A par la colonne j de B ie il s agit de : p a i,k b k,j Il faut prendre le temps de bien comprendre la formule de cette définition Pour calculer le coefficient à la place (i, j ) de la matrice AB, on s intéresse aux coefficients de la i -ème ligne de A et à ceux de la j -ème colonne de B Visuellement, cela se traduit par : Sébastien PELLERIN

14 14 Chapitre II - Introduction à l algèbre linéaire Par exemple, dans le cas du terme en haut à gauche du produit : Notons que le nombre de colonnes de A est le même que le nombre de lignes de B Exemples ( ) ( ) = ( ) = La matrice de M n,p (R) dont tous les coefficients sont nuls est appelée matrice nulle et est notée 0 n,p par la suite Si A M n,m (K) alors : A0 m,p = 0 n,p et 0 p,n A = 0 p,m Autrement dit, multiplier une matrice par une matrice nulle (de taille convenable) donne donc une matrice nulle Remarques 1 Soit A M n,p (K) et X M p,1 (K), on note : a 1,1 a 1,p x 1 A = et X = a n,1 a n,p x p alors a 1,1 x a 1,p x p AX = a n,1 x a n,p x p = x 1 a 1,1 a 2,1 a n,1 + x 2 a 1,2 a 2,2 a n,2 + + x p a 1,p a 2,p a n,p donc AX est une combinaison linéaire des colonnes de A Sébastien PELLERIN

15 B - Calcul matriciel 15 2 Si on note en outre B = b 1 b n alors : a 1,1 x a 1,p x p = b 1 AX = B a n,1 x a n,p x p = b n Résoudre le système linéaire ci-dessus revient donc à trouver les matrices X M p,1 (K) telles que AX = B On dit parfois de façon plus concise «le système linéaire AX = B» pour désigner le système linéaire dont AX = B est l interprétation matricielle 3 Considérons deux matrices A M n,p (K) et B M p,m (K), dont on note respectivement a i,j et b i,j les coefficients génériques, alors le coefficient à la place (i, j ) de AB est : p a i,k b k,j donc la j -ème colonne de AB est : p a 1,k b k,j p a n,k b k,j a 1,1 a 1,p i e a n,1 a n,p b 1,j b p,j ce qui signifie que la j -ème colonne de AB est le produit de A par la j -ème colonne de B De même, la i -ème ligne de AB est : ie ( p a i,k b k,1 ) p a i,k b k,m b 1,1 b 1,m ( ) ai,1 a i,p b p,1 b p,m ce qui signifie que la i -ème ligne de AB est le produit de la i -ème ligne de A par B Proposition 2 (Propriétés des opérations) 1 Si (A,B,C) M r,s (K) 3 alors : (A + B) + C = A + (B + C) 2 Si (A,B) M r,s (K) 2 alors : A + B = B + A 3 Si (A,B) M r,s (K) 2 et λ K alors : (λa + λb) = λ(a + B) 4 Si A M r,s (K), B M s,t (K) et C M t,u (K) alors : A(BC) = (AB)C 5 Si A M r,s (K), B M s,t (K) et λ K alors : (λa)b = A(λB) = λ(ab) 6 Si A M r,s (K) et (B,C) M s,t (K) 2 alors : A(B + C) = AB + AC 7 Si (A,B) M r,s (K) et C M s,t (K) alors : (A + B)C = AC + BC Sébastien PELLERIN

16 16 Chapitre II - Introduction à l algèbre linéaire Démonstration Les trois premiers points sont évidents compte tenu de la définition et des propriétés des opérations dans l ensemble K Prouvons la quatrième relation en calculant le coefficient à la place (i, j ) On note avec des lettres minuscules a,b et c les coefficients des matrices A,B et C, on note d et e les coefficients des matrices BC et AB Avec ces notations, le coefficient à la place (i, j ) de la matrice A(BC) est : s a i,k d k,j = = = = s ( t ) a i,k b k,l c l,j s l=1 l=1 t a i,k b k,l c l,j t ( s a i,k b k,l )c l,j l=1 t e i,l c l,j ce qui correspond bien au coefficient à la place (i, j ) de la matrice (AB)C l=1 Le cinquième point est facile Pour prouver le sixième, on procède comme ci-dessus en calculant le coefficient à la place (i, j ) de A(B + C) : s ( ) s s a i,k bk,j + c k,j = a i,k b k,j + a i,k c k,j ce qui correspond bien à la somme du coefficient à la place (i, j ) de AB plus celui de AC La preuve du dernier point est analogue Remarque Observons en revanche l exemple suivant : ( )( ) ( ) = et ( )( ) ( ) = On constate donc que, même lorsque le produit est défini dans les deux sens (AB et BA), il n y a aucune raison que les matrices produits soit identiques D autre part, le produit de deux matrices non nulles peut être nul Sébastien PELLERIN

17 B - Calcul matriciel 17 Exercice C-43 On considère les matrices : ( ) 1 1 A = 2 1, B = ( ) Calculer A + B, A 3B, (B I 2 )(A + I 2 ) et A 3 B 1 1, C = 1 2, D = 3 2 ( ) et I 2 = ( ) Indiquer quels sont les produits entre deux de ces matrices qui ont un sens et donner la matrice produit le cas échéant Exercice C-44 On considère les matrices : A = ( 0 2 ) , B = ( ) C = 0 et D = ( 1 1 ) 1 Indiquer quels sont les produits entre deux de ces matrices qui ont un sens et donner la matrice produit le cas échéant B12 - Matrices carrées Définition 7 Une matrice comportant le même nombre de lignes que de colonnes est appelée une matrice carrée On note M n (K) l ensemble des matrices carrées à n lignes et n colonnes et à coefficients dans K Remarques (vocabulaire spécifique aux matrices carrées) 1 On appelle matrice unité (ou matrice identité) d ordre n, et on note I n, la matrice dont le terme à la place (i, j ) est 1 si i = j et 0 sinon, ie I n = On considère une matrice carrée A = (a i,j ) 1 i,j n i Les termes diagonaux de A sont les nombres a 1,1,, a n,n ii On dit que A est une matrice diagonale lorsque a i,j = 0 dès que i j iii On dit que A est une matrice triangulaire supérieure lorsque a i,j = 0 dès que i > j iv On dit que A est une matrice triangulaire inférieure lorsque a i,j = 0 dès que i < j Sébastien PELLERIN

18 18 Chapitre II - Introduction à l algèbre linéaire Exemple a b c Considérons la matrice A = 0 d e 0 0 f Remarques (propriétés des opérations) 1 Un des avantages des matrices carrées est que si A et B sont deux matrices carrées de même taille alors les deux produits AB et BA ont un sens puisque les nombres de lignes de l une et de colonnes de l autre sont les mêmes De plus si A,B et C sont des matrices carrées de même taille alors : A(BC) = (AB)C, A(B + C) = AB + AC et (A + B)C = AC + BC 2 Un produit de matrices diagonales est une matrice diagonale Plus précisément : λ µ λ 1 µ = 0 0 λ n 0 0 µ n 0 0 λ n µ n 3 Un produit de matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure En effet, considérons A = (a i,j ) 1 i,j n et B = (b i,j ) 1 i,j n toutes deux triangulaires supérieures Le coefficient à la place (i, j ) de la matrice AB est c i,j = n a i,k b k,j Si i = j alors : Si i > j alors : c i,i = i 1 a i,k }{{} =0 car i > k = a i,i b i,i c i,j = j a i,k }{{} =0 car i > k = 0 b k,i + a i,i b i,i + b k,j + n n a i,k k=i+1 a i,k k=j +1 b k,i }{{} =0 car k > i b k,j }{{} =0 car k > j Ce que l on peut donc résumer en : λ 1 µ 1 λ 1 µ 1 = 0 λ n 0 µ n 0 λ n µ n De même, un produit de matrices triangulaires inférieures est une matrice triangulaire inférieure : λ 1 0 µ 1 0 λ 1 µ 1 0 = λ n µ n λ n µ n Sébastien PELLERIN

19 B - Calcul matriciel 19 4 Pour tout matrice A de M n (K) : AI n = I n A = A On dit que I n est un élément neutre pour la multiplication des matrices En effet, si on note a i,j le coefficient générique de la matrice A et δ i,j celui ne la matrice I n alors le coefficient à la place (i, j ) de la matrice AI n est : n n a i,k δ k,j = a i,j δ j,j + }{{} =1 k j = a i,j De même, le coefficient à la place (i, j ) de la matrice I n A est : n n δ i,k a k,j = δ i,i a i,j + }{{} =1 k i = a i,j a i,k δ k,j }{{} =0 car k j δ k,i }{{} =0 car k i a k,j 5 La propriété d associativité énoncée ci-dessus (le fait que la place des parenthèses ne compte pas) a pour conséquence la possibilité de définir les puissances d une matrice carrée En effet, si A est une matrice carrée, alors les matrices (AA)A et A(AA) sont les mêmes et il est naturel de noter A 3 cette matrice De façon générale, on note : A 0 = I n et n N, A n+1 = A n A On a vu que le produit matriciel, même pour les matrices carrées, ne respectait pas les mêmes règles de calcul que les scalaires ; il n y a notamment pas commutativité (on n a pas nécessairement AB = BA) B13 - Transposition Définition 8 On appelle matrice transposée d une matrice A de M n,p (K), la matrice notée t A de M p,n (K) dont les colonnes sont les lignes de A Plus précisément, le coefficient à la place (i, j ) de t A est celui à la place (j,i ) de A On rencontre également la notation A T (mais ce n est pas celle indiquée dans le programme officiel de la classe ECS1) Exemples ( ) Si A = alors t A = La transposée d une matrice ligne est une matrice colonne et vice-versa 3 Une matrice (carrée) diagonale est sa propre transposée 4 La transposée d une matrice (carrée) triangulaire supérieure est triangulaire inférieure et vice-versa Sébastien PELLERIN

20 20 Chapitre II - Introduction à l algèbre linéaire Remarques 1 Pour toute matrice A, on a t ( t A) = A 2 Une matrice carrée A est dite symétrique lorsque A = t A On dit que A est antisymétrique si A = t A 3 Soit A = (a i,j ) 1 i n et B = (b i,j ) 1 i n deux matrices de M n,p (K), on a : 1 j p 1 j p t (A + B) = t A + t B 4 De même, si A = (a i,j ) 1 i n est une matrice de M n,p (K) et si λ est un scalaire, alors : 1 j p t (λa) = λ( t A) 5 Soit A = (a i,j ) 1 i n dans M n,p (K) et B = (b i,j ) 1 i p dans M p,m (K), on a : 1 j p 1 j m t (AB) = t B t A Sébastien PELLERIN

21 B - Calcul matriciel 21 B2 - Matrices carrées inversibles B21 - Définition des matrices inversibles Considérons une matrice A de M n (K) et supposons qu il existe une matrice B de M n (K) telle que l on ait AB = BA = I n La matrice B est alors unique En effet, supposons que l on puisse également écrire AC = CA = I n avec C dans M n (K) alors B(AC) = (BA)C donc BI n = I n C i e B = C Cela autorise la définition suivante : Définition 9 On dit qu une matrice A de M n (K) est inversible lorsqu il existe une matrice B de M n (K) telle que l on ait AB = BA = I n Cette matrice B est appelée l inverse de A et est notée A 1 Exemples Soit A = et B = Alors AB = BA = I 3 donc A et B sont inversibles et sont inverses l une de l autre ( ) Cherchons un inverse éventuel de la matrice A = Il arrive que l on puisse facilement trouver l inverse d une matrice à l aide d une relation polynomiale Considérons la matrice A = 1 1 1, alors : Sébastien PELLERIN

22 22 Chapitre II - Introduction à l algèbre linéaire Remarques 1 Si A et B sont deux matrices inversibles de M n (K) alors le produit AB est inversible et (AB) 1 = B 1 A 1 2 La matrice nulle 0 n n est pas inversible puisque, pour toute matrice B, on a : B0 n = 0 n B = 0 n (donc ce n est pas I n ) 3 Si A est une matrice inversible de M n (K) alors t A est également inversible et on a : ( t A) 1 = t (A 1 ) 4 L ensemble des matrices inversibles de M n (K) est noté GL n (K) et est appelé le groupe linéaire d ordre n à coefficients dans K 5 Soit A une matrice inversible de M n (K) et B et C deux matrices de M n,p (K), on a alors les relations : AB = 0 n,p B = 0 n,p et AB = AC B = C Notons que l on peut énoncer les mêmes résultats avec des produits à gauche Exercice C Soit A = Exprimer A 3 comme une combinaison linéaire des matrices A 2, A et I 3 puis en déduire A 1 B22 - Lien avec les systèmes linéaires On considère un système (S) de n équations à n inconnues dont on note AX = B la traduction matricielle (ie A est la matrice du système et B la colonne des seconds membres) Sébastien PELLERIN

23 B - Calcul matriciel 23 Caractérisons le cas où ce système admet une unique solution (on dit alors que c est un système de Cramer) Proposition 3 Soit A M n (K), les trois assertions suivantes sont équivalentes : i A est inversible ; ii pour tout B M n,1 (K), le système AX = B d inconnue X M n,1 (K) admet une unique solution ; iii le système AX = 0 d inconnue X M n,1 (K) n admet que la solution nulle pour solution Démonstration Sébastien PELLERIN

24 24 Chapitre II - Introduction à l algèbre linéaire Remarques 1 Une matrice triangulaire (en particulier une matrice diagonale) est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont tous non nuls En effet, considérons par exemple le cas où A est triangulaire supérieure : A = α 1 0 α n Si tous les coefficients α i sont non nuls alors le système AX = 0 n admet que la solution nulle donc A est inversible Sinon, on échelonne la matrice A, il y a au plus n 1 pivots donc le système AX = 0 admet une infinité de solutions 2 On en déduit que si A et A sont deux matrices carrées de taille n alors : AA = I n A A = I n Autrement dit, il suffit en fait de disposer de l une de ces deux relations pour pouvoir affirmer que A est inversible d inverse A B23 - Calcul de l inverse d une matrice Considérons une matrice carrée inversible A M n (K) En constatant que la relation AX = B équivaut dans ce cas à la relation X = A 1 B, il suffit de traduire en termes de système la première relation avec des seconds membres quelconques puis de calculer les inconnues en fonctions de ces seconds membres Sébastien PELLERIN

25 B - Calcul matriciel 25 Exemple Cherchons par exemple l inverse (éventuel) de la matrice A = Exercice C-46 Trouver l inverse éventuel des matrices suivantes : ( ) 1 1 A = 1 1, B = ( ) , C = 1 2 4, D = E = 0 2 3, F = 0 1 1, G = et H = Sébastien PELLERIN

26 26 Chapitre II - Introduction à l algèbre linéaire B24 - Cas particulier des matrices 2 2 Proposition 4 ( ) a b Une matrice A = de M 2 (K) est inversible si et seulement si ad bc 0 ; dans ce cas, on a : c d ( ) A 1 1 d b = ad bc c a Démonstration On considère deux matrices colonnes X = ( ) ( ) x α et B = à coefficients dans K, alors : y β ( )( a b x AX = B c d y ) = ( ) α β { ax + by = α cx + d y = β Commençons par traiter le cas où a 0 alors en notant M la matrice augmentée de ce système : ( a b α M = c d β L ( a b α 0 d c a b β c a α L ( a b α 0 ad bc aβ cα ) ) après L 2 L 2 c a L 1 ) après L 2 al 2 ce qui fait apparaître la condition ad bc 0 comme nécessaire et suffisante pour que le système admette une unique solution (on est dans le cas a 0) donc pour que la matrice A soit inversible ; on continue dans ce cas : ie en termes de système : ( ) a 0 α b M ad bc (aβ cα) b après L 1 L 1 L 0 ad bc aβ cα ad bc L 2 ce qui donne l inverse de A dans ce cas { ax = α b AX = B ad bc (aβ cα) (ad bc)y = aβ cα ( ) x = 1 1 ad bc a α(ad bc) b ( ) a (aβ cα) y = 1 ad bc aβ cα ( ) x = 1 ad bc dα bβ ( ) y = 1 ad bc aβ cα ( ) ( ) x 1 dα bβ = y ad bc aβ cα ( ) ( )( ) x 1 d b α = y ad bc c a β ( ) 1 d b X = B ad bc c a Sébastien PELLERIN

27 B - Calcul matriciel 27 Considérons maintenant le cas où a = 0 : M = ( 0 b α c d β L ( c d β 0 b α ) ) après L 1 L 2 ce qui fait apparaître la condition c 0 et b 0, ie bc 0, comme nécessaire et suffisante pour que le système admette une unique solution donc pour que la matrice A soit inversible ; on continue dans ce cas : ie en termes de système : M L ( c 0 β d b α 0 b α AX = B ( x y ( x y ) après L 1 L 1 d b L 2 { cx = β d b α by = α { x = 1 bc (bβ dα) y = 1 ) = 1 bc bc cα ) = 1 X = 1 bc ( ) dα bβ cα ( d b bc c 0 ( ) d b B c 0 )( α β et on constate que le résultat coïncide avec ce qui était obtenu dans le cas a 0 ) Quelques exercices sur les matrices Exercice C-47 On considère la matrice réelle : A = Calculer A 2 puis trouver des réels α et β tels que A 2 + αa + βi 4 = En déduire que A est inversible et déterminer A 1 3 Soit n N, déterminer le reste de la division euclidienne de X n par X 2 + αx + β 4 En déduire la matrice A 2017 en fonction des matrices A et I 4 Sébastien PELLERIN

28 28 Chapitre II - Introduction à l algèbre linéaire Exercice C-48 Tout d abord, si u = (a,b,c) R 3 alors on adopte la notation suivante : Vect(u) = { (λa,λb,λc) ; λ R } Par exemple : Vect ( (1,1,2) ) = { (λ,λ,2λ) ; λ R } On considère la matrice A suivante : A = Soit λ un réel Montrer que A λi 3 est inversible si et seulement si λ { 1;1;3} 2 Résoudre le système homogène dont la matrice est A + I 3 En déduire un triplet u R 3 tel que l ensemble des solutions de ce système soit Vect(u) 3 Résoudre le système homogène dont la matrice est A I 3 En déduire un triplet v R 3 tel que l ensemble des solutions de ce système soit Vect(v) 4 Résoudre le système homogène dont la matrice est A 3I 3 En déduire un triplet w R 3 tel que l ensemble des solutions de ce système soit Vect(w) 5 On note P la matrice dont la première colonne est constituée par les composantes de u, la deuxième par celles de v et la troisième par celles de w Montrer que P est inversible et calculer P 1 6 Calculer le produit AP puis le produit P 1 AP 7 Montrer que, pour tout entier n 0, on a : ( 1) n 0 0 A n = P P n 8 On considère les trois suites réelles x, y et z définies par x 0 = 1, y 0 = 1, z 0 = 1 et : x n+1 = 2x n y n + z n n N, y n+1 = x n z n z n+1 = 2x n 2y n + z n Exercice C-49 Soit n un entier avec n 2 et A = (a i,j ) M n (R) vérifiant : (i, j ) 1,n 2, a i,j > 0 et i 1,n, n a i,j = 1 j =1 1 Montrer qu il existe V M n,1 (R), non nul, tel que AV = V 2 Montrer que si l on a une relation AW = µw avec µ C et W M n,1 (C) non nul, alors µ 1 Indication : il sera pertinent de considérer un coefficient de W de plus grand module 3 a Montrer que si z C vérifie 1 + z = 1+ z alors z est un réel strictement positif b Montrer que si z et z sont deux nombres complexes non nuls tels que : z + z = z + z, alors z et z ont même argument c Soit k N et z 1, z 2,, z k des nombres complexes non nuls vérifiant : z 1 + z z k = z 1 + z z k Montrer que z 1, z 2,, z k ont même argument 4 On suppose que l on a une relation AX = λx avec λ C de module égal à 1 et X M n,1 (C) non nul a Montrer que tous les coefficients de X sont non nuls b Montrer que tous les coefficients de X ont même argument c Montrer que tous les coefficients de X ont le même module d En déduire que λ = 1 5 Montrer que la propriété précédente n est pas vérifiée pour la matrice : B = Exprimer x n, y n et z n en fonction de n Sébastien PELLERIN

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