Chapitre 9. Matrices

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1 Lycée Benjamin Franklin PTSI D Blottière Mathématiques Chapitre 9 Matrices Table des matières 1 Notations 2 2 Matrices de format n p 2 3 Structure de K-espace vectoriel sur M n,p (K 3 31 Addition dans M n,p (K 3 32 Multiplication d une matrice de M n,p (K par un scalaire 4 33 Combinaisons linéaires de matrices de format n p 5 4 Produit matriciel 6 5 Matrices carrées 9 51 La K-algèbre (M n (K,+,, 9 52 Matrice identité 9 53 Puissances d une matrice carrée Formule du binôme de Newton pour deux matrices qui commutent 10 6 Matrices diagonales 10 7 Matrices triangulaires (supérieures 12 8 Matrices élémentaires Matrices de permutation Matrices de dilatation Matrices de transvection Traduction matricielle de l algorithme de Gauß-Jordan 16 9 Matrices carrées inversibles Deux méthodes pour calculer l inverse d une matrice inversible Calcul de l inverse par la résolution d un système linéaire à paramètre Calcul de l inverse par la méthode du pivot de Gauß Transposition 22 1

2 1 Notations La lettre K désigne R ou C Les lettres n, p, q,r désignent des entiers naturels non nuls 2 Matrices de format n p Définition 1 (Matrice de format n p 1 Une matrice de format n p à coefficients dans K est un tableau rectangulaire d éléments de K possédant n lignes et p colonnes 2 Une matrice de format n p à coefficients dans K peut donc s écrire a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p a n1 a n2 a np où a i j désigne l élément de K situé sur la i -ème ligne et la j -ème colonne de la matrice, pour tout (i, j 1,n 1, p 3 La matrice représentée au 2 sera parfois simplement notée ( ai j si son format est précisé par ailleurs Définition 2 (Adresse 1 Soit A une matrice de format n p à coefficients dans K Soit (i, j 1,n 1, p L élément de K situé sur la i -ème ligne et la j -ème colonne de A est appelé coefficient de A d adresse (i, j et est noté A] i j 2 Si A= ( a i j est une matrice de format n p à coefficients dans K, alors par définition pour tout (i, j 1,n 1, p Exercice d application 1 La matrice A] i j = a i j ( A= est une matrice de format 2 3 à coefficient dans K, dont le coefficient d adresse (2,1 est A] 2,1 = 4 Définition 3 (Vecteur ligne, vecteur colonne 1 On appelle vecteur ligne de taille p toute matrice de format 1 p 2 On appelle vecteur colonne de taille n toute matrice de format n 1 Définition 4 (Ensemble M n,p (K L ensemble de toutes les matrices de format n p à coefficients dans K est noté M n,p (K Exercice d application 2 1 La matrice appartient à M 3,2 (K A= L ensemble M 2,1 (K est l ensemble des vecteurs colonnes de taille 2 à composantes/coefficients dans K 2

3 3 Structure de K-espace vectoriel sur M n,p (K 31 Addition dans M n,p (K Définition 5 (Addition de deux matrices de format n p Soient A= ( a i j Mn,p (K et B = ( b i j Mn,p (K 1 La matrice A+ B est la matrice de format n p à coefficients dans K, dont le coefficient d adresse (i, j est a i j + b i j pour tout (i, j 1,n 1, p 2 Cette définition de la matrice A+ B, élément de M n,p (K, peut se formuler de deux autres manières (a ( a i j + ( bi j = ( ai j + b i j (b (i, j 1,n 1, p, A+ B] i j = A] i j + B] i j Exercice d application 3 Calculer ( ( Théorème 1 (Propriétés de l addition dans M n,p (K 1 Associativité de+ ( = (A 1, A 2, A 3 M n,p (K 3, (A 1 + A 2 + A 3 = A 1 + (A 2 + A 3 Les parenthèses n influant pas sur le résultat, nous notons plus simplement A 1 + A 2 + A 3 la matrice (A 1 + A 2 + A 3 = A 1 + (A 2 + A 3 2 Existence d un élément neutre pour+ Si l on note n,p := la matrice de format n p dont tous les coefficients sont nuls alors A M n,p (K, A+ 0 n,p = 0 n,p + A= A 3 Existence d un opposé pour+ Soit A= (a i j M n,p (K Il existe une unique matrice B M n,p (K telle que A+ B = B+A= 0 n,p Cette matrice B est appelée opposée de A et est notée A La matrice A est donnée par Nous avons donc pour tout (i, j 1,n 1, p 4 Commutativité de+ A=( a i j A] i,j = A] i,j (A 1, A 2 M n,p (K 2, A 1 + A 2 = A 2 + A 1 Démonstration Ces propriétés découlent essentiellement des propriétés de l addition dans K Cf prise de notes pour une preuve détaillée de la propriété 3 (existence d un opposé pour+ Remarque 1 L ensemble M n,p (K muni de l addition+définie à la définition 4, qui possède les propriétés du théorème 1, est un un groupe commutatif (ou abélien Exercice d application 4 Résoudre l équation d inconnue X M 2,2 (R ( 1 3 X ( 4 1 = 6 1 3

4 32 Multiplication d une matrice de M n,p (K par un scalaire Définition 6 (Multiplication d une matrice de format n p par un scalaire Soit A= (a i j M n,p (K Soit λ K 1 La matrice λa est la matrice de format n p à coefficients dans K, dont le coefficient d adresse (i, j est pour tout (i, j 1,n 1, p 2 Cette définition de la matrice λa, élément de M n,p (K, peut se formuler de deux autres manières (a λ ( a i j = ( λ ai j (b (i, j 1,n 1, p, λa] i j = λ A] i j λ a i j Exercice d application 5 Calculer ( ( = Exercice d application 6 Soit A M n,p (K Calculer les matrices 1A, 0A et ( 1A Théorème 2 (Structure de K-espace vectoriel sur M n,p (K L ensemble M n,p (K munit des opérations + : M n,p (K M n,p (K M n,p (K (A,B A+ B et : K M n,p (K M n,p (K (λ, A λa est un K-espace vectoriel, ie ces deux opérations possèdent les propriétés suivantes 1 M n,p (K muni de l addition+est un groupe abélien (cf théorème 1 2 Associativité mixte (λ,µ K 2 ( (, A M n,p (K, λµ A= λ µa 3 1 est neutre pour l opération 4 Distributivité à gauche A M n,p (K, 1A=A (λ,µ K 2, A M n,p (K, (λ+µa= λa+ µa 5 Distributivité à droite λ K, (A,B M n,p (K 2, λ(a+ B= λa+ λb Démonstration La propriété 3 a été établie dans l exemple 6 Les autres propriétés découlent essentiellement des propriétés de l addition et de la multiplication dans K Cf prise de notes pour une preuve détaillée de la propriété 5 (distributivité à droite Remarque 2 D après les théorèmes 1 et 2, l addition et la multiplication par un scalaire sur M n,p (K possèdent les mêmes propriétés que les opérations correspondantes sur les vecteurs du plan (ou de l espace, d où la terminologie Exercice d application 7 Résoudre l équation d inconnue X M 2,2 (R ( X ( 6 15 = 9 4 4

5 33 Combinaisons linéaires de matrices de format n p Définition 7 (Combinaison linéaire de matrices de format n p Soient M 1, M 2,, M r des matrices de M n,p (K 1 Une matrice A de M n,p (K est appelée combinaison linéaire des matrices M 1, M 2,, M r s il existe des scalaires λ 1,,λ r appartenant à K tels que A= λ 1 M 1 + λ 2 M λ r M r 2 L ensemble des combinaisons linéaires des matrices M 1, M 2,, M r est noté Vect(M 1, M 2,, M r 3 Par définition, nous avons la description paramétrique de Vect(M 1, M 2,, M r suivante Vect(M 1, M 2,, M r = { λ 1 M 1 + λ 2 M 2 + +λ r M r : (λ 1,λ 2,,λ r K r} Exercice d application 8 Pour tout (i, j 1,2 2, nous définissons la matrice E i j M 2,2 (K comme étant la matrice ayant tous ses coefficients nul, sauf celui d adresse (i, j qui vaut 1 ( 1 0 E 11 = 0 0 ( 0 1 E 12 = 0 0 ( 0 0 E 21 = 1 0 ( 0 0 E 22 = 0 1 ( Démontrer que A = est combinaison linéaire des matrices E ,E 12,E 21,E 22, mais n est pas combinaison linéaire des matrices E 11,E 12,E 21 2 Démontrer que Vect(E 11,E 12,E 21,E 22 =M 2,2 (K Remarque 3 Nous considérons les matrices ( 1 0 M 1 = 0 1 ( 2 1 La matrice A= 1 2 ( 0 1 M 2 = 1 0 appartient à Vect(M 1, M 2, M 3 car ( 1 1 M 3 = 1 1 A= 1M 1 + 0M 2 + 1M 3 Mais cette écriture de A comme combinaison linéaire des matrices M 1, M 2, M 3 n est pas unique Par exemple, nous observons également l identité A= 0M 1 + ( 1M 2 + 2M 3 5

6 4 Produit matriciel Définition 8 (Produit matriciel Soient A= ( a i j Mn,p (K et B = ( b i j Mq,r (K 1 Le produit matriciel de A par B est défini si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B ie si p = q 2 Si le produit matriciel de A par B est défini (donc si p = q, alors le produit matriciel de A par B, noté AB, est une matrice de format n r 3 Si le produit matriciel de A par B est défini (donc si p = q, alors le coefficient d adresse (i, j de AB est p a ik b k j = a i1 b 1i + a i2 b 2j + a i3 b 3j + + a i p b p j k=1 pour tout (i, j 1,n 1,r Autrement dit, nous avons les identités suivantes ( p (a AB = a ik b k j k=1 p (b (i, j 1,n 1,r, AB] i j = A] ik B] k j k=1 Disposition pratique d un produit matriciel a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p a i1 a i2 a i p } a n1 a n2 {{ a np } A B { }} { b 11 b 12 b 1j b 1r b 21 b 22 b 2j b 2r b p1 b p2 b p j b pr AB] 11 AB] 12 AB] 1j AB] 1r AB] 21 AB] 22 AB] 2j AB] 2r AB] i 1 AB] i 2 AB] i j AB] i r } AB] n1 AB] n2 AB] n j {{ AB] nr } AB Exercice d application 9 Nous considérons les matrices 1 2 ( A= B = ( C = Le produit matriciel AB est-il défini? Si oui, préciser le format de la matrice AB, puis la calculer 2 Le produit matriciel B A est-il défini? Si oui, préciser le format de la matrice B A, puis la calculer 3 Le produit matriciel AC est-il défini? Si oui, préciser le format de la matrice AC, puis la calculer 4 Le produit matriciel C A est-il défini? Si oui, préciser le format de la matrice C A, puis la calculer 5 Le produit matriciel BC est-il défini? Si oui, préciser le format de la matrice BC, puis la calculer 6 Le produit matriciel CB est-il défini? Si oui, préciser le format de la matrice CB, puis la calculer 6

7 Théorème 3 (Produit d une matrice par un vecteur colonne Soient A= (a i j M n,p (K On note a 11 C 1 = C 2 = a n1 les colonnes de la matrice A Soit X = colonnes C 1,C 2,,C p de A, ie Démonstration Cf prise de notes x 1 x p a 12 a n2 C p = a 1p a np M p,1 (K Alors AX M n,1 (K est combinaison linéaire des AX Vect ( C 1,C 2,,C p Théorème 4 (Vecteurs lignes (resp colonnes d un produit matriciel Soient A= (a i j M n,p (K et B = (b i j M p,q (K 1 La j -ième colonne de la matrice AB est le produit de A par la j -ième colonne de B, pour tout j 1, q 2 La i -ième ligne de AB est le produit de la i -ème ligne de A par la matrice B, pour tout i 1,n Démonstration Cf prise de notes Théorème 5 (Écriture matricielle d un système linéaire Soit un système linéaire a 11 x 1 + a 12 x a 1p x p = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2p x p = b 2 (S : a n1 x 1 + a n2 x a np x p = b n d inconnue x 1, x 2,, x p dans K, où (a i j 1 i n,1 j p est une famille d éléments de K et où (b 1,b 2,,b n est un élément fixé de K n On note A = (a i j M n,p (K la matrice des coefficients de (S et B = second membre de B Si l on pose X := x 1 x p M p,1 (K alors (S AX = B L écriture AX = B est appelée écriture matricielle du système linéaire (S Démonstration Cf prise de notes Exercice d application 10 Donner l écriture matricielle du système linéaire d inconnues x 1, x 2, x 3 dans R (S : { 2x1 + 4x 2 7x 3 = 2 x 1 13x 2 + 5x 3 = 1 b 1 b n M n,1 (K le vecteur colonne 7

8 Théorème 6 (Propriétés du produit matriciel 1 Associativité (A,B,C M n,p (K M p,q (K M q,r (K, (ABC = A(BC Les parenthèses n influant pas sur le résultat, on note plus simplement ABC la matrice (ABC = A(BC 2 Distributivité à gauche 3 Distributivité à droite (A,B M n,p (K 2, C M p,q (K, (A+ BC = AC+ BC A M n,p (K, (B,C M p,q (K 2, A(B+C= AB+AC 4 Commutativité de la multiplication et de la mutliplication par un scalaire A M n,p (K, B M p,q (K, λ K, (λab = A(λB=λ(AB Démonstration Toutes les propriétés découlent essentiellement des propriétés usuelles des opérations+et dans K, ainsi que de manipulations sur le symbole sommatoire Σ Cf prise de notes pour une preuve détaillée de la propriété 1 Remarque 4 Nous donnerons une preuve quelque peu plus conceptuelle de la propriété d associativité du produit matriciel (cf propriété 1 Elle reposera sur un lien entre matrices et applications (linéaires et sur l associativité du produit de composition (cf pour les applications Remarque 5 (Deux «bizarreries»du produit matriciel 1 Le produit de deux matrices peut être égal à la matrice nulle sans qu aucune des deux matrices ne soient nulles, eg 1 1 ( = 0 2,2 1 1 Il n y a donc pas de propriété d intégrité dans le monde des matrices ( 1 1 et B = 1 1 ( Nous considérons les matrices A = 1 1 définis Nous les calculons Les produits matriciels AB et B A sont B ( {}}{ A { ( }}{ ( 1 1 ( ( 1 1 ( } 1 1 {{ } A } {{ } AB } 1 {{ 1 } B } {{ } B A Nous observons AB B A Il n y a donc pas de propriété de commutativité pour le produit matriciel 8

9 5 Matrices carrées 51 La K-algèbre (M n (K,+,, Définition 9 (L ensemble M n (K On note M n (K l ensemble des matrices carrées de format n n à coefficients dans K On a donc M n (K := M n,n (K Remarque 6 (Synthèse des opérations définies sur M n (K On dispose de trois opérations sur M n (K 1 L addition + : M n(k M n (K M n (K (A,B A+ B 2 La multiplication par un scalaire : K M n(k M n (K (λ, A λa 3 La multiplication d une matrice par une autre matrice : M n(k M n (K M n (K (A,B AB M n (K muni de ces opérations, qui vérifient les propriétés listées dans les théorèmes 1, 2 et 6, est appelée K-algèbre Nous soulignons que la multiplication d une matrice de M n (K par une matrice de M n (K est à manipuler avec précaution en raison du défaut d intégrité et du défaut de commutativité Exercice d application 11 Soient les matrices ( 1 0 A= 1 1 ( 1 2 B = 0 1 Calculer A 2 + 2AB+ B 2 et (A+ B 2, puis commenter 52 Matrice identité Définition 10 (Matrice identité On note I n la matrice de M n (K, appelée matrice identité, dont tous les coefficients sont nuls, sauf ses coefficients diagonaux, tous égaux à 1 En d autres termes I n ] i j = 1 si i = j 0 si i j pour tout (i, j 1,n 2 Nous pouvons donc représenter la matrice I n comme suit I n = Théorème 7 (Caractère neutre pour le produit de la matrice identité Démonstration Cf prise de notes A M n,p (K, AI p = A et I n A= A 9

10 53 Puissances d une matrice carrée Définition 11 (Puissance d une matrice carrée Soit A M n (K Si s N, alors on définit A s par A s = I n si s = 0 A A A A }{{} s fois si s 1 Exercice d application 12 1 Que valent les puissances de I n? 2 Calculer les puissances de la matrice A := Formule du binôme de Newton pour deux matrices qui commutent Théorème 8 (Formule du binôme de Newton pour deux matrices qui commutent Soient A et B deux matrices de M n (K qui commutent, ie telles que AB = B A Alors pour tout s N, on a ( s (A+ B s s = A k B s k = k k=0 ( s s A s k B k k k=0 Démonstration Nous démontrons ce théorème par récurrence Cf prise de notes Exercice d application 13 Calculer les puissances de N := 6 Matrices diagonales ( ( 1 2, puis celles de A := 0 1 Définition 12 (Matrice diagonale Soit A M n (K La matrice A est dite diagonale si tous ses coefficients hors de la diagonale sont nuls, ie si (i, j 1,n 2, i j = A] i j = 0 Une matrice diagonale est donc de la forme? 0 0 0? 0 0 0? où? représente des scalaires non nécessairement égaux Exercice d application 14 Lesquelles des matrices sont diagonales? A := B := C :=

11 Définition 13 (L ensemble D n (K L ensemble des matrices diagonales de format n n à coefficients dans K est noté D n (K Théorème 9 (Propriétés de stabilité de D n (K 1 D n (K est stable par addition (A,B D n (K 2, A+ B D n (K Plus précisément, pour tout (a 11,, a nn K n, pour tout (b 11,,b nn K n a b a 11 + b a 22 0 b 22 0 a 22 + b 22 + = a nn 0 0 b nn 0 0 a nn + b nn 2 D n (K est stable par multiplication par un scalaire λ K, A D n (K, λa D n (K Plus précisément, pour tout λ K, pour tout (a 11,, a nn K n a λa a 22 0 λa 22 λ = a nn 0 0 λa nn 3 D n (K est stable par multiplication A D n (K, B D n (K, AB D n (K Plus précisément, pour tout (a 11,, a nn K n, pour tout (b 11,,b nn K n a b a 11 b a 22 0 b 22 0 a 22 b 22 = a nn 0 0 b nn 0 0 a nn b nn Démonstration Les propriétés 1 et 2 sont claires, compte tenu de la définition de l addition de deux matrices et de la définition de la multiplication d une matrice par un scalaire Cf prise de notes pour la propriété 3 Remarque 7 Calculer les puissances d une matrice carrée A est a priori délicat Toutefois, dans le cas où la matrice A est diagonale, le calcul est aisé En effet pour (a 11,, a nn K n, pour tout s N s a a s a 22 0 a s = a nn 0 0 ann s On déduit cette propriété de la propriété 3 du théorème 9, à l aide d un raisonnement par récurrence Exercice d application 15 Soit A la matrice de D n (C définie par k 1,n, A] kk = e i 2(k 1π n Calculer A n 11

12 7 Matrices triangulaires (supérieures Définition 14 (Matrice triangulaire (supérieure Soit A M n (K La matrice A est dite triangulaire supérieure (ou simplement triangulaire si tous ses coefficients situés sous sa diagonale sont nuls, ie si (i, j 1,n 2, i > j = A] i j = 0 Une matrice triangulaire (supérieure est donc de la forme??? 0?? 0 0? où? représente des scalaires non nécessairement égaux Exercice d application 16 Lesquelles des matrices A := sont triangulaires (supérieures? B := C := Définition 15 (L ensemble T n (K L ensemble des matrices triangulaires (supérieures de format n n à coefficients dans K est noté T n (K Remarque 8 Toute matrice diagonale (de format n n à coefficients dans K est triangulaire (de format n n à coefficients dans K Nous en déduisons l inclusion D n (K T n (K Théorème 10 (Propriétés de stabilité de T n (K 1 T n (K est stable par addition (A,B T n (K 2, A+ B T n (K 2 T n (K est stable par multiplication par un scalaire 3 T n (K est stable par multiplication λ K, A T n (K, λa T n (K (A,B T n (K 2, AB T n (K Démonstration Les propriétés 1 et 2 sont claires, compte tenu de la définition de l addition de deux matrices et de la définition de la multiplication d une matrice par un scalaire Cf prise de notes pour la propriété 3 Exercice d application 17 Calculer les puissances de la matrice T :=

13 8 Matrices élémentaires 81 Matrices de permutation Exercice d application 18 Soit la matrice P 2,3 := Expliquer comment la matrice P 2,3 se déduit de la matrice I 3 à l aide d une opération élémentaire sur ses lignes 2 Soit A M 3 (K Calculer le produit P 2,3 A Définition 16 (La matrice P i1,i 2 de M n (K, où (i 1,i 2 1,n 2 Soit (i 1,i 2 1,n 2 La matrice P i1,i 2 est la matrice obtenue échangeant les lignes d indices i 1 et i 2 de la matrice I n, ie en appliquant l opération élémentaire L i1 L i2 à la matrice I n Donc i 1,n \ {i 1,i 2 }, j 1,n, Pi1,i 2 ]i j = 1 si j = i 0 si j i j 1,n, Pi1,i 2 ]i j = 1 si j = i 2 0 si j i 2 j 1,n, Pi1,i 2 ]i j = 1 si j = i 1 0 si j i 1 Théorème 11 (Multiplication par une matrice de permutation par la gauche Soit A M n,p (K Soit (i 1,i 2 1,n 2 La matrice P i1,i 2 A est la matrice obtenue en échangeant les lignes d indices i 1 et i 2 de la matrice A, ie en appliquant l opération élémentaire à la matrice A L i1 L i2 Démonstration Analyse des lignes de P i1,i 2 A d indices i tels que i i 1 et i i 2 i -ème ligne de P i1,i 2 A = ( ] i -ème ligne de P i1,i 2 A Propriété 2 du théorème 4 = ( ] i -ème ligne de I n A Définition de Pi1,i 2 ] = i -ème ligne de I n A Propriété 2 du théorème 4 = i -ème ligne de A Analyse de la ligne de P i1,i 2 A d indice i 1 i 1 -ème ligne de P i1,i 2 A = ( ] i 1 -ème ligne de P i1,i 2 A Propriété 2 du théorème 4 = ( ] i 2 -ème ligne de I n A Définition de Pi1,i 2 ] = i 2 -ème ligne de I n A Propriété 2 du théorème 4 = i 2 -ème ligne de A Analyse de la ligne de P i1,i 2 A d indice i 2 i 2 -ème ligne de P i1,i 2 A = ( ] i 2 -ème ligne de P i1,i 2 A Propriété 2 du théorème 4 = ( ] i 1 -ème ligne de I n A Définition de Pi1,i 2 ] = i 1 -ème ligne de I n A Propriété 2 du théorème 4 = i 1 -ème ligne de A 13

14 Remarque 9 Mutliplier une matrice A par une matrice de permutation à gauche correspond à une opération élémentaire de type I sur les lignes de A Exercice d application 19 Soit (i 1,i 2 1,n 2 Calculer (P i1,i Matrices de dilatation Exercice d application 20 Soit λ K Soit la matrice 3 (λ := λ 1 Expliquer comment la matrice 3 (λ se déduit de la matrice I 3 à l aide d une opération élémentaire sur ses lignes 2 Soit A M 3 (K Calculer le produit 3 (λa Définition 17 (La matrice i0 (λ de M n (K, où i 0 1,n et λ K Soit i 0 1,n et soit λ K La matrice i0 (λ est la matrice obtenue en remplaçant le coefficient d adresse (i 0,i 0 de I n (qui vaut 1 par λ, ie en appliquant l opération élémentaire L i0 λl i0 à la matrice I n Donc i 1,n, j 1,n, i j = i0 (λ ] i j = 0 i 1,n \ {i 0 }, i0 (λ ] ii = 1 i0 (λ ] i 0 i 0 = λ Théorème 12 (Multiplication par une matrice de dilatation par la gauche Soit A M n,p (K Soient i 0 1,n et λ K La matrice i0 (λa est la matrice obtenue en multipliant la ligne d indice i 0 de A par λ, ie en appliquant l opération élémentaire à la matrice A L i0 λl i0 Démonstration Analyse des lignes de i0 (λa d indices i tels que i i 0 i -ème ligne de i0 (λa = ( i -ème ligne de i0 (λ ] A Propriété 2 du théorème 4 = ( i -ème ligne de I n A Définition de i0 (λ ] ] = i -ème ligne de I n A Propriété 2 du théorème 4 = i -ème ligne de A Analyse de la ligne de i0 (λa d indice i 0 Soit j 1, p i0 (λa ] n i 0 j = i0 (λ ] i 0 k A] k j k=1 = i0 (λ ] i 0 i }{{ 0 A] i0 j + } λ = λa] i0 j 1 k n k i 0 i0 (λ ] i 0 k A] k j Définition de i0 (λ ] }{{} 0 Remarque 10 Mutliplier une matrice A par une matrice de dilatation à gauche correspond à une opération élémentaire de type II sur les lignes de A Exercice d application 21 Soient i 0 1,n et λ K Déterminer une matrice B M n (K telle que i0 (λb = B i0 (λ= I n 14

15 83 Matrices de transvection Exercice d application 22 Soit λ K Soit la matrice T 1,3 (λ := 1 0 λ Expliquer comment la matrice T 1,3 (λ se déduit de la matrice I 3 à l aide d une opération élémentaire sur ses lignes 2 Soit A M 3 (K Calculer le produit T 1,3 (λa Définition 18 (La matrice T i1,i 2 (λ de M n (K, où (i 1,i 2 1,n 2 avec i 1 i 2 et λ K Soient (i 1,i 2 1,n 2 tel que i 1 i 2 et λ K La matrice T i1,i 2 (λ est la matrice obtenue en ajoutant λl i2 à la ligne L i1 de I n, ie en appliquant l opération élémentaire à la matrice I n Donc L i1 L i1 + λl i2 i 1,n \ {i 1 }, j 1,n, Ti1,i 2 (λ ] i j = 1 si i = j 0 si i j j 1,n, Ti1,i 2 (λ ] i 1 j = 1 si j = i 1 λ si j = i 2 0 sinon Théorème 13 (Multiplication par une matrice de transvection par la gauche Soit A M n,p (K Soient (i 1,i 2 1,n 2 tel que i 1 i 2 et λ K La matrice T i1,i 2 (λa est la matrice obtenue en en ajoutant λl i2 à la ligne L i1 de A, ie en appliquant la transformation élémentaire à la matrice A L i1 L i1 + λl i2 Démonstration Analyse des lignes de T i1,i 2 (λa d indices i tels que i i 1 i -ème ligne de T i1,i 2 (λa = ( i -ème ligne de T i1,i 2 (λ ] A Propriété 2 du théorème 4 = ( i -ème ligne de I n A Définition de Ti1,i 2 (λ ] ] = i -ème ligne de I n A Propriété 2 du théorème 4 = i -ème ligne de A Analyse de la ligne de T i1,i 2 (λa d indice i 1 Soit j 1, p Ti1,i 2 (λa ] i 1 j = n Ti1,i 2 (λ ] i 1 k A] k j k=1 = T i1,i 2 (λ ] i 1 i }{{} 1 A] i1 j + T i1,i 2 (λ ] i 1 i 2 A] i2 j + }{{} 1 λ = A] i1 j + λa] i2 j n 1 k n k i 1, k i 2 Ti1,i 2 (λ ] i 1 k A] k j }{{} 0 Remarque 11 Mutliplier une matrice A par une matrice de transvection à gauche correspond à une opération élémentaire de type III sur les lignes de A Exercice d application 23 Soient (i 1,i 2 1,n 2 tel que i 1 i 2 et λ K et λ K Calculer T i1,i 2 (λt i1,i 2 ( λ et T i1,i 2 ( λt i1,i 2 (λ 15

16 84 Traduction matricielle de l algorithme de Gauß-Jordan Définition 19 (Matrice élémentaire On appelle matrice élémentaire toute matrice qui est ou ou une matrice de permutation une matrice de dilatation une matrice de transvection Théorème 14 (Traduction matricielle de la relation L entre matrices de même format Soit (A,B M n,p (K 2 La matrice A est équivalente par lignes à B, ce que l on note A L B, si et seulement s il existe une matrice E M n (K, qui est un produit d un nombre fini de matrices élémentaires de format n n, telle que B = E A Démonstration Cela résulte de la définition (n 12 de deux matrices équivalentes par lignes énoncée dans le chapitre 8 et des remarques 9, 10 et 11 Cf prise de notes pour les détails Théorème 15 (Traduction matricielle de l algorithme de Gauß-Jordan Soient A M n,p (K Alors il existe une matrice E M n (K, qui est produit d un nombre fini de matrices élémentaires de format n n ; il existe une unique matrice échelonnée réduite R M n,p (K telles que A= ER Démonstration Il s agit d une conséquence directe du théorème de Gauß-Jordan (n 6 énoncé dans le chapitre 8 et du théorème 14 de ce chapitre Exercice d application 24 Déterminer une matrice E M 2 (K, produit d un nombre fini de matrices élémentaires, et une matrice R M 2,3 (K telles que ( = ER 16

17 9 Matrices carrées inversibles Définition 20 (Matrice carrée inversible Soit A M n (K La matrice A est dite inversible s il existe B M n (K tel que AB = I n = B A Théorème-Définition 1 (Inverse d une matrice carrée inversible Si A M n (K est inversible, alors la matrice B M n (K vérifiant AB = I n = B A est unique On la nomme matrice inverse de A et on la note A 1 Démonstration Il nous faut établir l unicité d une matrice B M n (K vérifiant AB = I n = B A Soient B 1 et B 2 des matrices de M n (K qui conviennent, ie telles que AB 1 = I n = B 1 A et AB 2 = I n = B 2 A Nous calculons le produit B 1 AB 2 de deux manières pour établir l identité B 1 = B 2 B 1 AB 2 = B 1 (AB 2 = B 1 I n = B 1 B 1 AB 2 = (B 1 AB 2 = I n B 2 = B 2 Remarque 12 Si A M n (K est inversible alors il découle de la définition de la matrice inverse A 1 de A Exercice d application 25 ( Calculer le carré de la matrice A := 0 0 ( Montrer que la matrice B := 0 4 A A 1 = I n = A 1 A et en déduire que A n est pas inversible est inversible, puis expliciter B 1 Définition 21 (L ensemble GL n (K L ensemble des matrices inversibles de format n n à coefficients dans K est noté GL n (K Donc Remarque 13 La matrice identité I n appartient à GL n (K et I 1 n = I n GL n (K := {M M n (K : M est inversible} Théorème 16 (Stabilité de GL n (K par passage à l inverse et formule pour l inverse d un inverse Pour tout A GL n (K A 1 ( GL n (K et A 1 1 = A Démonstration Cf prise de notes Théorème 17 (Stabilité de GL n (K par multiplication et formule pour l inverse d un produit d inversibles Pour tout (A,B GL n (K 2 AB GL n (K et (AB 1 = B 1 A 1 Démonstration Cf prise de notes Théorème 18 (Inversibilité et inverse d une matrice de permutation Soit (i 1,i 2 1,n 2 La matrice de permutation P i1,i 2 est inversible, autrement dit P i1,i 2 GL n (K, et ( Pi1,i 2 1= Pi1,i 2 Démonstration Il s agit d une conséquence du résultat de l exercice d application 19 17

18 Théorème 19 (Inversibilité et inverse d une matrice de dilatation Soit i 0 1,n Soit λ K La matrice de dilatation i0 (λ est inversible, autrement dit i0 (λ GL n (K, et ( i0 (λ 1 = i0 ( 1 λ Démonstration Il s agit d une conséquence du résultat de l exercice d application 21 Théorème 20 (Inversibilité et inverse d une matrice de transvection Soit (i 1,i 2 1,n 2 tel que i 1 i 2 Soit λ K La matrice de transvection T i1,i 2 (λ est inversible, autrement dit T i1,i 2 (λ GL n (K, et ( Ti1,i 2 (λ 1 = Ti1,i 2 ( λ Démonstration Il s agit d une conséquence du résultat de l exercice d application 23 Théorème 21 (Inversibilité des matrices élémentaires Toute matrice élémentaire est inversible Démonstration Ce résultat se déduit directement des théorèmes 18, 19 et 20 Lemme 1 Soit R M n (K une matrice échelonnée réduite telle que R I n 1 Rang(R < n 2 Il existe X M n,1 (K tel que Démonstration X 0 Mn,1 (K et RX n = 0 Mn,1 (K 1 Nous savons que Rang(R n (cf bornes pour le rang De plus, nous observons que la seule matrice de format n n, échelonnée réduite, possédant n pivots (ie de rang n est la matrice I n Comme R I n, nous avons Rang(R n et par suite Rang(R < n 2 Nous considérons système linéaire homogène d inconnue X = x 1 x 2 x n M n,1(k (S : RX = 0 Mn,1 (K (S possède au moins une solution : 0 Mn,1 (K, puisqu il est homogène (S possède n inconnues et est de rang strictement inférieur à n (cf 1 Par suite, au moins une des inconnues x 1, x 2,, x n du système linéaire (S est un paramètre Des deux points précédents, nous déduisons que l ensemble solution de (S est infini En particulier, (S possède une solution distincte de 0 Mn,1 (K Théorème 22 (Affaiblissement de la condition d inversibilité Soit A M n (K 1 S il existe B M n (K telle que AB = I n, alors A est inversible et A 1 = B 2 S il existe B M n (K telle que B A= I n, alors A est inversible et A 1 = B Démonstration Cf prise de notes 18

19 Théorème 23 (Caractérisation des matrices inversibles Soit A M n (K Les propriétés suivantes sont équivalentes 1 A est inversible 2 A L I n 3 Rang(A = n 4 Le système AX = 0 Mn,1 (K d inconnue X M n,1 (K admet une unique solution : 0 Mn,1 (K 5 Pour tout Y M n,1 (K, le système AX = Y d inconnue X M n,1 (K admet une unique solution 6 Pour tout Y M n,1 (K, le système AX = Y d inconnue X M n,1 (K admet au moins une solution Démonstration Cf prise de notes Exercice d application 26 1 Étudier l inversibilité de la matrice A := en appliquant à la matrice augmentée (A I 3 une suite d opérations élémentaires sur les lignes, de manière à la transformer en (R B où R est la matrice échelonnée réduite qui est équivalente à A 2 En déduire que A est inversible et que B = A 1 Exercice d application 27 Étudier l inversibilité et déterminer l inverse éventuelle de la matrice A := en suivant la même démarche que dans l exercice d application 26 Théorème 24 (Système générateur de GL n (R GL n (R est l ensemble des matrices de M n (R qui peuvent s écrire comme un produit fini de matrices élémentaires Démonstration Cf prise de notes Théorème 25 (Inversibilité des matrices diagonales Soit D = (a i j D n (K 1 La matrice D est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls 2 Si D est inversible alors Démonstration Cf prise de notes Exercice d application 28 Montrer que la matrice D := D 1 = 1 a a a nn est inversible et calculer son inverse Théorème 26 (Inversibilité des matrices triangulaires supérieures Soit T T n (K La matrice T est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls Démonstration Cf prise de notes Exercice d application 29 1 Justifier sans calcul l inversibilité de la matrice T := Calculer l inverse de T en suivant la même démarche que dans l exercice d application 26 19

20 10 Deux méthodes pour calculer l inverse d une matrice inversible 101 Calcul de l inverse par la résolution d un système linéaire à paramètre Lemme 2 (Critère d égalité de deux matrices 1 Soit i 1,n Nous définissons X i M n,1 (K comme étant le vecteur colonne dont toutes les composantes sont nulles, sauf la i -ème qui vaut 1 En d autre termes X i := i -ème colonne de la matrice I n Si A M n (K, alors AX i = i -ème colonne de la matrice A 2 Soient A 1 M n (K et A 2 M n (K Si X M n,1 (K, A 1 X = A 2 X alors les matrices A 1 et A 2 sont égales Démonstration Cf prise de notes Théorème 27 (Première méthode pour calculer l inverse d une matrice inversible Soit A M n (K On fixe un vecteur paramètre Y M n,1 (K et on considère le système linéaire AX = Y d inconnue X M n,1 (K On résout celui-ci en utilisant l algorithme de Gauß-Jordan 1 La matrice A est inversible si et seulement si pour tout Y M n,1 (K le système linéaire AX = Y d inconnue X M n,1 (K possède une unique solution 2 Si la matrice A est inversible alors pour tout Y M n (K l unique solution du système linéaire AX = Y d inconnue X M n,1 (K peut s exprimer sous forme matricielle par X = BY où B M n (K est une matrice indépendante de Y Cette matrice B coïncide avec A 1 Démonstration 1 Cette assertion n est autre que l équivalence (1 (5 du théorème 23, déjà démontré 2 Nous supposons qu il existe une matrice B M n (K telle que X M n,1 (K, Y M n,1 (K, AX = Y X = BY et nous démontrons B = A 1 Considérons X M n,1 (K et posons Y := AX M n,1 (K Comme AX = Y (Y est ainsi construite, nous avons X = BY (cf propriété de B et donc X = B AX Ainsi Nous pouvons réécrire ce résultat comme suit X M n,1 (K, X = B AX X M n,1 (K, I n X = B AX Par le lemme 2, nous obtenons alors I n = B A Enfin, d après le théorème 22, nous en déduisons B = A 1 Exercice d application 30 Démontrer que la matrice A= est inversible et calculer A 1 par la méthode exposée dans le théorème 27 20

21 102 Calcul de l inverse par la méthode du pivot de Gauß Théorème 28 (Deuxième méthode pour calculer l inverse d une matrice inversible Soit A M n (K On forme la matrice augmentée (A I n et on applique aux deux matrices A et I n, simultanément, la même suite d opérations élémentaires sur les lignes de manière à obtenir une matrice augmentée (R B où R est la matrice échelonnée réduite qui est équivalente à A 1 La matrice A est inversible si et seulement si R = I n 2 Si la matrice A est inversible, alors B = A 1 Démonstration 1 Cette assertion n est autre que l équivalence (1 (2 du théorème 23, déjà démontré 2 Nous supposons A inversible Notons OE 1,OE 2,,OE r les opérations élémentaires sur les lignes successivement appliquées à A pour la transformer en I n Pour chaque i 1,r, l opération élémentaire OE i correspond à une multiplication à gauche par une matrice élémentaire notée E i (cf partie 8 sur les matrices élémentaires Ces notations introduites, nous avons l identité ( E r E r 1 E 2 E 1 A=I n D après le processus décrit, nous sommes passés de I n à B en appliquant la même suite d opérations élémentaires OE 1,OE 2,,OE r à I n Nous en déduisons de même et donc E r E r 1 E 2 E 1 I n = B ( E r E r 1 E 2 E 1 = B B sert en quelque sorte de matrice témoin, sur laquelle «s impriment» les différentes opérations élémentaires sur les lignes En combinant ( et (, nous obtenons AB = I n D après le théorème 22, nous en déduisons B = A 1 Exercice d application 31 Démontrer que la matrice A= est inversible et calculer A 1 en suivant cette fois la méthode exposée dans le théorème 28, puis comparer au résultat obtenu dans l exercice d application 30 21

22 11 Transposition Définition 22 (Transposée d une matrice Soient A= (a i j M n,p (K La matrice transposée de A est la matrice, notée t A, de format p n, à coefficients dans K, définie par t A := (a j i En d autres termes (k,l 1, p 1,n, t A ] kl = A] lk Remarque 14 La transposée d une matrice A s obtient donc comme suit La 1 ère colonne de t A est la 1 ère ligne de A La 2 ème colonne de t A est la 2 ème ligne de A La dernière colonne de t A est la dernière ligne de A Exercice d application 32 La transposée de la matrice A= ( est t A= Théorème 29 (Propriétés de la transposition 1 La transposition est involutive A M n,p (K, t ( t A = A 2 Linéarité (λ 1,λ 2 K 2, (A 1, A 2 M n,p (K 2, t (λ 1 A 1 + λ 2 A 2 =λ 1 t A 1 + λ 2 t A 2 3 Transposition et produit A M n,p (K B M p,q (K, t (AB= t B t A 4 Transposition et rang A M n,p (K, Rang ( t A = Rang (A 5 Transposition, inversibilité et inverse éventuelle A GL n (K, t A GL n (K et ( t A 1 = t ( A 1 Démonstration 1 Clair 2 Chacun des membres de l identité à prouver est formé d une matrice de format p n Soit (k,l 1, p 1,n λ1 t A 1 + λ 2 t A 2 ]kl = λ 1 t A 1 ]kl + λ 2 t ] ] A 2 kl + et sont définies coefficient ] par coefficient = λ 1 A 1 ] lk + λ 2 A 2 ] lk définition de la transposée ] = λ 1 A 1 + λ 2 A 2 ] lk + et sont définies coefficient par coefficient = t (λ 1 A 1 + λ 2 A 2 ] ] kl définition de la transposée 3 Cf prise de notes 4 Admis 22

23 5 Supposons A inversible Alors A admet une matrice inverse A 1 vérifiant en particulier A A 1 = I n En appliquant la transposée à chaque membre de cette identité, il vient t ( A A 1 = t I n De l identité t I n = I n et de la propriété 3, nous déduisons alors t ( A 1 t A=I n D après le théorème 22, t A est inversible et ( t A 1 = t ( A 1 Exercice d application 33 Une matrice M M n (K est dite symétrique si t M = M Elle est dite antisymétrique si t M = M 1 Donner des exemples de matrices 3 3 symétriques (resp antisymétriques 2 Soit A M n (K Soit λ K (a Quelle propriété remarquable possède la matrice λa+ λ t A? (b Quelle propriété remarquable possède la matrice λa λ t A? 23

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