Exercices résolus de mathématiques. GSP 0 EXGSP000 EXGSP009

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1 Exercices résolus de mathématiques. GSP 0 EXGSP000 EXGSP009 Jacques ollot 1 avril GSP 0-1 -

2 EXGSP001 - Rappels. a) Si d un point pris dans le plan du cercle, on mène des sécantes à ce cercle, le produit des distances de ce point aux deux points d intersection de chaque sécante avec la circonférence est constant, quelle que soit la sécante. b) Si par un point extérieur à un cercle, on mène une tangente et une sécante, la tangente est moyenne proportionnelle entre la sécante entière et sa partie extérieure. c) Réciproque de a) : Soient E le point de concours de deux droites, et deux points de la première, et D deux points de la seconde ; si E. E E. ED, alors les quatre points D appartiennent à une même circonférence. d) Réciproque de b) : Soient E le point de concours de deux droites, et deux points de la première, un point de la seconde ; si E. E E², alors les trois points,, appartiennent à une circonférence tangente en à E. E D E D a) Il y a deux cas selon que E est intérieur ou extérieur à la circonférence. La démonstration est la même dans les deux cas. Tracons D et. Les angles ED et E sont égaux car opposés par le sommet. Les angles D et sont égaux car ils interceptent le même arc. Les triangles ED et E sont semblables et donc : E ED E. E E. ED E E - GSP 0-2 -

3 E b) Les triangles E et E sont semblables, donc : E E ED E 2 E E. E c) En effet, la circonférence qui passe par, et coupe la droite E en un point D ' tel que : E. E E. ED ' ette relation comparée avec la relation donnée montre que ED ED' et par conséquent D ' est confondu avec D. d) Supposons que la circonférence passant par, et coupe la droite E en un second point '; on aurait : E. E E. E ' or E. E E E ' E et donc ' est confondu avec GSP 0-3 -

4 EXGSP002 - Rappels. Les médianes d un triangle se coupent en un même point, situé aux deux tiers de chacune d elles à partir des sommets du triangle. E G D F onsidérons les médianes D et E qui se coupent au point G. Par le point, traçons la parallèle à E qui rencontre le prolongement de D en F. Les deux triangles DG et DF sont égaux, car ils ont un coté égal et deux angles égaux GD DF. Or F est parallèle à GE, et comme E est le milieu de, G est le milieu de F. Par conséquent DG vaut le tiers de D. - GSP 0-4 -

5 EXGSP Rappel Les médiatrices d un triangle se coupent en un même point, équidistant des trois sommets c P M' O N N' P' M Soit O le point d'intersection des médiatrices de et. O est équidistant de et. O est équidistant de et O est equidistant de et et donc O appartient à la médiatrice de. Par conséquent, les trois médiatrices d'un triangle concourent en un même point équidistant des trois sommets. e point est le centre du cercle circonscrit au triangle. - GSP 0-5 -

6 EXGSP004 Rappel. Les trois hauteurs d un triangle se coupent en un même point. ' ' E F H D ' Par les sommets, et du triangle, traçons les parallèles aux côtés opposés du triangle. On obtient un nouveau triangle ' ' '. Par construction ' car D ' est un parallèlogramme. De même : '. Par conséquent, est le milieu de ' ', et D perpendiculaire à, l'est aussi à ' ', parallèle à. D est médiatrice de ' '. De même, on a E médiatrice de ' ' et F médiatrice de ' '. Donc, les trois hauteurs du triangle sont les médiatrices du triangle ' ' '. Elles se coupent en un même point H. Le triangle est appelé le complémentaire de ' ' ' et ' ' ' est l'anticomplémentaire de. - GSP 0-6 -

7 EXGSP005 Rappel. Dans un triangle 1 ) les bissectrices des trois angles se coupent en un même point. 2 ) la bissectrice d un angle intérieur et les bissectrices des angles extérieurs non adjacents se coupent en un même point. I 2 I 3 I I GSP 0-7 -

8 1) Traçons les bissectrices des angles et du triangle. Elles se coupent en I, intérieur au triangle. I à la bissectrice de I est équidistant de et de I à la bissectrice de I est équidistant de et de. Par conséquent, I est équidistant de et, il est donc sur la bissectrice de l'angle. les bissectrices des trois angles intérieurs d'un triangle se coupent en un même point. Le point I est le centre du cercle inscrit au triangle. 2) Soient les bissectrices des angles E et D. omme les angles E et D ont une somme inférieure à quatre droits, leurs moitiés ont une somme inférieure à deux droits. Les bissectrices de E et de D se coupent en un point I extérieur au triangle et intérieur à l'angle. On établit comme au point 1) que I 1 est equidistant des côtés et et que, par suite, il appartient à la bissectrice de l'angle. La bissectrice d'un angle intérieur et les bissectrices des angles extérieurs non adjacents se coupent en un même point. 1 Le triangle est le triangle orthique de I I I Le triangle I I I est l'antiorthique de GSP 0-8 -

9 EXGSP006 Mons, questions-types Louvain, Septembre Espace Math. onsidérons un triangle inscrit dans un cercle. Quel est le lieu du centre de gravité du triangle lorsque le sommet se déplace sur le cercle? O O' M Le centre de gravité du triangle est le point de concours des médianes. Si M est le milieu de, et G le centre de gravité, on a 1 MG M. 3 Par conséquent G est l'image de par l'homothétie de rapport 1/3 et de centre M. Or l'homothétie d'un cercle est un cercle. Le lieu cherché est un cercle, dont le centre est O', image de O, et son rayon est égal au tiers du cercle donné. - GSP 0-9 -

10 EXGSP007 Mons, questions-types onstruire un carré connaissant le support de la diagonale D, sachant que les sommets et appartiennent à deux droites données d et d 1 2 d 1 N 1 N' 1 O D d' 1 ' D' d d' 2 N' 2 d 2 N 2 Soit N N perpendiculaire à la direction d donnée Soient N1N ' 1 N2N ' 2 D 2 On trace d ' / / d et d ' / / d d ' et d ' se coupent en O, centre du carré. vec O pour centre on trace un cercle de diamétre égal à D. Le cercle coupe d en et d en, ce qui détermine le carré cherché GSP

11 EXGSP008 POLYTEH, UMONS, Mons, questionstypes onstruire un cercle tangent à un cercle donné et à deux droites données. Discuter les solutions. H D M''' N O' M'' P M' i I 2 O I''' 2 I'' 2 I' 2 d 2 d 1 ' 2 d' 2 '' 2 ''' 2 d''' 2 d'' 2 b - GSP

12 Le lieu des points équidistants de deux droites sécantes est la bissectrice de l'angle formé par les deux droites. Le lieu des points équidistants d'une droite et d'un cercle est une parabole. (Voir EXGP022). Pour construire la parabole: On trace d ' / / à d à une distance k. 2 2 On trace ' cercle de centre O et de rayon r k M ' ' d ' On recommence pour obtenir les autres points. O ' est l'intersection de la parabole et de la bissectrice, ce qui permet de tracer le cercle. On notera qu'il existe un deuxième cercle correspondant à la deuxième branche de la parabole. Les figures suivantes donnent différentes possibilités. On pourra avoir jusque 8 cercles. - GSP

13 EXGSP009 POLYTEH, UMONS, Mons, questionstypes Soient deux segments I et I ; l angle I est supposé aigu. Entre ces deux segments, on localise un point P quelconque n appartenant ni à I, ni à I. onstruire un ou plusieurs cercles discuter passant par P et tangent s à la fois à I et à I. Pourrait-on trouver deux cercles tangents entre eux? I O P O' d 4 d 3 d 2 d GSP

14 Le lieu des points équidistants de deux droites sécantes est la bissectrice de l'angle formé par les deux droites. Le lieu des points équidistants d'une droite et d'un point est une parabole. (Définition d'une parabole) Pour construire la parabole: On trace d / / à I à une distance k. 2 On trace cercle de centre O et de rayon k M d On recommence pour obtenir les autres points. O et O' sont les intersections de la parabole et de la bissectrice, ce qui permet de tracer deux cercles. Si le point P est situé sur la bissectrice les deux cercles seront tangents. - GSP