Cours 2 AMCT TSI1 TSI2. Le Traitement du signal

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1 AMCT Analyser e Modéliser afin de caracériser le Condiionnemen e le pré Traiemen de l'informaion Cours Cycle 6 : Analyser e Modéliser afin de caracériser le Condiionnemen e le pré Traiemen de l'informaion Cours AMCT TSI TSI Le Traiemen du signal X Période Filrage analogique Durée : 3 semaines X - Inroducion : Dans de nombreux domaines (indusrie, recherche scienifique, services, loisirs...), on a besoin de conrôler de nombreux paramères physiques (empéraure, force, posiion, viesse, luminosié,...). Le capeur es l'élémen indispensable à la mesure de ces grandeurs physiques. Cependan, il es souven nécessaire d adaper le signal élecrique pour lui donner la forme la plus appropriée pour son raiemen. filrage Le condiionnemen du signal Modéliser B Idenifier e caracériser les grandeurs physique agissan sur un sysème B.. Décrire les évoluions emporelles des grandeurs dans la chaîne d informaion B.. Décrire les évoluions fréquenielles des grandeurs dans la chaîne d informaion C Choisir une démarche de résoluion Résoudre C.5 Proposer une méhode de résoluion permean la déerminaion des courans e des ensions C Procéder à la mise en œuvre d une démarche de résoluion analyique C. Déerminer les courans e les ensions dans les composans Paragraphe. Paragraphe Lycée Jules Ferry Page sur 0 TSI

2 AMCT Analyser e Modéliser afin de caracériser le Condiionnemen e le pré Traiemen de l'informaion - Définiion : Le filrage es un condiionnemen du signal, il a pour objecif de sélecionner les fréquences désirées e supprimer du signal en sorie celles qui son considérées comme indésirables. L opéraion de filrage perme : d éliminer ou d affaiblir des fréquences indésirables; d isoler dans un signal la ou les bandes de fréquences uiles. Les applicaions son rès variées : Sysèmes de communicaions (éléphonie, réseaux, ) ; Sysèmes d acquisiion e raiemen des données ; Alimenaion élecrique ; 3 familles de filre : Filrage analogique (avec composans linéaires R, L, C, ALI) ; Filrage numérique (avec composan programmable DSP) ; Dans la famille des filres analogiques, on disingue : Les filres passifs (Composans discres R, L e C) ; Les filres acifs (Composans discres R, L e C + ALI). NOTION DE TRANSMITTANCE La ransmiance ou foncion de ransfer T(jω) d un quadripôle (ici le filre) Q es défini par : T(jω) = V s V e Rappel sur les complexes : Module de a + jb = a² + b² Argumen de a + jb = arcan ( b a ) La ransmiance T(jω) représene un nombre complexe, qui possède un module e un argumen qui dépenden de la pulsaion ω. T(jω) = V s V e = [V s; φ s ] [V e ; φ e ] = [V s V e ; φ s φ e ] = [T; φ] Le module es appelé Amplificaion noé T(ω) (sans unié) e l argumen φ(ω) es appelé phase (en ou rad). La valeur de T dépend donc de la fréquence du signal, elle peu êre amplifiée pour ceraines fréquences ou diminuée pour d aures. M é h o d e B. Décrire les évoluions emporelles des grandeurs dans la chaîne d informaion e(), s() en régime permanen φ E 0 S 0 Soi e() le signal en enrée du filre e s() en sorie : Pour une fréquence f donnée, le filre à les propriéés suivanes : T = 0,5 φ = -90 T Le signal de sorie es rédui de moiié en ampliude e présene un reard de 90 par rappor au signal d enrée. Lycée Jules Ferry Page sur 0 TSI

3 AMCT Analyser e Modéliser afin de caracériser le Condiionnemen e le pré Traiemen de l'informaion Au lieu de ravailler avec l amplificaion, on préfère ravailler avec le gain exprimé en décibel (db). Le gain G s exprime par : G(ω) = 0log T(jω) Exemple : e() Amplificaion Gain A s() e() G s() Amplificaion A = 00 : G = 40 db Amplificaion A = : G = 0 db Amplificaion A = 0, : G = - 0 db Généralisaion : Pour amplifier un signal, G devra êre posiif Pour conserver un signal, G sera nul Pour aénuer un signal, le gain sera négaif TYPES DE FILTRE L objecif du filrage éan de sélecionner une fréquence ou une bande de fréquence, on disingue donc 4 ypes de filre idéal définis selon leur gabari : Filre passe bas : Filre laissan passer les basses fréquences e élimine les haues fréquences. Filre passe hau : Filre laissan passer les haues fréquences e élimine les basses fréquences. Filre passe bande : Filre laissan passer une bande de fréquence e élimine celles en dehors de celle-ci. Filre réjeceur de bande (coupe bande) : Filre laissan passer oues les fréquences sauf une bande de fréquence. Exemple d applicaion du filrage analogique : Lycée Jules Ferry Page 3 sur 0 TSI

4 AMCT Analyser e Modéliser afin de caracériser le Condiionnemen e le pré Traiemen de l'informaion DIAGRAMME DE BODE Le diagramme de Bode es une représenaion graphique permean de racer les variaions du gain G(ω) e de la phase φ(ω) en foncion de la pulsaion ω. NOTION DE BANDE PASSANTE à -3dB La bande passane d un filre caracérise la bande de fréquence qui n es pas éliminée en sorie d un filre. Elle es définie par une borne inférieure e une borne supérieure. Définiion de la bande passane à -3dB : La bande passane à -3dB, es la zone de fréquence pour laquelle on a un gain G supérieur ou égal à G max - 3dB. NOTION DE GABARIT DE FILTRE On défini souven un filre par son gabari comme représené ci-dessous : - Filrage analogique passif : - Eude d un filre passe bas du er ordre : Objecif : Le filre de ype passe bas, perme de laisser passer les basses fréquences e de réduire les haues fréquences. Considérons le monage ci-conre : On applique le diviseur de ension, le couran de sorie es supposé nul. Donc : Z c U s = U e. Z r + Z c T(jω) = U s U e = jcω R + jcω = + jrcω Rappel sur les impédances : Résisance Z = R Inducance Z = jlω Condensaeur Z = jcω Lycée Jules Ferry Page 4 sur 0 TSI

5 AMCT Analyser e Modéliser afin de caracériser le Condiionnemen e le pré Traiemen de l'informaion Calcul de G(ω) : G 0.log T j 0.log 0.log RC RC RC G 0.log Diagrammes de Bode : Pulsaion de coupure ω 0=πf 0 Bande passane à -3dB Aénuaion de 0dB à 0000 rad.s - Déphasage du signal de sorie M é h o d e C.5 Proposer une méhode de résoluion permean la déerminaion des courans e des ensions DETERMINER LA TRANSMITANCE DU FILTRE On applique les lois de l élecricié afin de déerminer le rappor de la ension de sorie sur la ension d enrée. L uilisaion du pon diviseur de ension lorsque c es possible perme d obenir direcemen le résula. Afin d obenir une foncion de ransfer facilemen exploiable on s arrange pour avoir une ransmiance de la forme : T(jω) = V s = K. V e + j ω ω 0 B. Décrire les évoluions fréquenielles des grandeurs dans la chaîne d informaion MODELISER LES COMPOSANTS DANS L OBJECTIF DE DETERMINER LES EVOLUTIONS FREQUENTIELLE On modélise les composans (résisance, condensaeur, e inducance par les impédances complexes). TRACER LE DIAGRAMME DE BODE ASYMPTOTIQUE Parfois, il n es pas nécessaire de racer précisémen le diagramme de Bode. On ne racera donc que le diagramme de Bode asympoique. La foncion de ransfer d un filre passe bas : T(jω) = V s = K. V e K es appelé amplificaion saique, ω 0 la pulsaion de coupure. +j ω ω 0 Lycée Jules Ferry Page 5 sur 0 TSI

6 M é h o d e AMCT Analyser e Modéliser afin de caracériser le Condiionnemen e le pré Traiemen de l'informaion On décompose l ensemble des fréquences (ou pulsaions) en zones : - fréquence ω << ω 0 ; - fréquence ω >> ω 0 ; Eude pour f << f 0 : La ransmiance T(jω) peu se simplifier par : soi : G(ω) = 0 e φ(ω) = 0 T j BF Eude pour f >> f 0 : La ransmiance T(jω) peu se simplifier par : soi : G(ω) = 0log(ω 0) - 0log(ω) e φ(ω) = -π/ Dans le diagramme de Bode, l axe X des abscisses es gradué en X = log(ω), donc le gain en haues fréquences, es une droie du ype - 0X + log(ω 0) Diagrammes de Bode : 0 T j j HF j 0 Gabari Gabari Pene à -0dB par décade ω 0 une décade CONSEQUENCES SUR LE SIGNAL ELECTRIQUE : U p signal parasié ension U f signal filré Lycée Jules Ferry Page 6 sur 0 TSI

7 AMCT Analyser e Modéliser afin de caracériser le Condiionnemen e le pré Traiemen de l'informaion - Eude d un filre passe hau du premier ordre : Considérons le monage ci-conre : On applique le diviseur de ension, le couran de sorie es supposé nul. V Zr s V e. Z Z r c Donc : T Vs R jrc j V e R jrc jc La forme générale d un filre du premier ordre du ype passe hau es donc de la forme : T(jω) = V j ω s ω = K. 0 V e + j ω ω 0 DIAGRAMME DE BODE REEL Gabari Pene à +0dB/dec Gabari 3- Eude des filres du second ordre : 3- Eude d un filre passe bas du second ordre : Considérons le monage ci-conre : On applique le diviseur de ension U Zc s U e. Z Z Z r L c U e U s Lycée Jules Ferry Page 7 sur 0 TSI

8 AMCT Donc : Analyser e Modéliser afin de caracériser le Condiionnemen e le pré Traiemen de l'informaion T Us jc j U e R jl jrc LC j jc De manière générale un filre du second ordre du ype passe bas, peu se mere sous la forme : avec : ω 0 : pulsaion propre ω 0 = LC m : faceur d amorissemen m = R. C L K : amplificaion saique T(jω) = + K m. jω ω 0 + ( jω ω ) 0 M é h o d e B. Décrire les évoluions fréquenielles des grandeurs dans la chaîne d informaion ETUDE GENERALE POUR TRACER LE DIAGRAMME DE BODE REEL On disingue cas pour faire l éude des filres du second ordre. Ces cas son déerminés en foncion du dénominaeur de la ransmiance. Le dénominaeur s écri de façon générale sous la forme : Den. m. j j 0 0 On pose : X = jω On appelle X i les pôles les racines de ce polynôme. Donc les pôles son définis par : Calcul du discriminan : X X. m cas de figure : 4m 4 4. m m 0 j X. j X avec X m. m m 0 jj X. avec j X X avec m X m. m 0m m 0 0 j X X mavec X j. m m m0 m0 Filre insable 0 X INTERDIT m j. m 0 0 Nous allons ravailler sur m la 0foncion Filre de insable ransfer d un INTERDIT filre du ype passe bas. Cas où m > : régime apériodique Dans ce cas de figure, la foncion de ransfer peu s écrire : T(jω) = + K m. jω ω + ( jω 0 ω ) 0 = K. Lycée Jules Ferry Page 8 sur 0 TSI ( + jω ω ). ( + jω ω )

9 AMCT Analyser e Modéliser afin de caracériser le Condiionnemen e le pré Traiemen de l'informaion M é h o d e Avec : m. m e m. m On s aperçoi que cee foncion de ransfer s écri comme le produi de 3 ermes don son des foncions de ransfer du premier ordre... T j T T j T j 0 Pene à 0dB par décade Pene à 40dB par décade ω ω Cas où 0 < m < : régime pseudo-périodique La soluion du dénominaeur présene une soluion double, il y a donc une pulsaion de cassure à ω 0 suivi d une pene aénuarice à -40 db/décade. On consae que la phase présene une phase de -80 au-delà de la pulsaion de cassure. Le filre sera d auan plus sélecif que la pene sera imporane. Pene à -40dB par décade ω 0 Lycée Jules Ferry Page 9 sur 0 TSI

10 AMCT Analyser e Modéliser afin de caracériser le Condiionnemen e le pré Traiemen de l'informaion 4- Exemple de filre d ordre n : Filre de ype passe bande, réjeceur de bande Lycée Jules Ferry Page 0 sur 0 TSI

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