Chapitre 2. Les espaces vectoriels. Cours de mathématiques de BCPST Deuxième année.

Transcription

1 Chapitre 2 Les espaces vectoriels Cours de mathématiques de BCPST Deuxième année.

2 Table des matières 1 Structure d espaces vectoriels Première idée Notion d espace vectoriel Notion de sous-espace vectoriel Conséquences directes Sous-espace engendré par une famille Base d un espace vectoriel Famille génératrice Famille libre Base Dimension d un espace vectoriel Définition Dimension et Famille libre Dimension et Famille génératrice Dimension et Base Inclusion de sous-espaces vectoriels Interprétation matricielle Notions de coordonnées Notion de Rang Rang d une famille Rang d une matrice Matrices échelonnées

3 Chapitre 2: Les espaces vectoriels Structure d espaces vectoriels Le but de ce chapitre est de reprendre les concepts d algèbre linéaire développés en première année et de les généraliser à d autres situations que K n. On se rend compte facilement que de nombreux objets mathématiques présentent des similitudes, c est donc tout naturellement que l on a éprouvé le besoin de construire un cadre général qui englobe tous ces objets, afin de pouvoir démontrer en une seule fois des résultats importants qui s appliquent à chaque fois. Dans tout ce chapitre, on note : K pour désigner R ou C. n un entier naturel non nul. E un K espace vectoriel (E n est pas forcément de dimension finie). F un K espace vectoriel de dimension n. 1 Structure d espaces vectoriels 1.1 Première idée Notons (S 1 ) le système suivant d inconnue (x, y, z, t) K 4 : { x + 2y + 3z = 0 (S 1 ) : y + 10z = 0 On prouve sans difficulté que S 1, l ensemble des solutions de (S 1 ) est : S 1 = { (17z, 10z, z, t) avec (z, t) K 2 } Soit S 2, l ensemble des suites (u n ) n N telles que : On prouve sans problème que : { (( 1 + ) n ) 5 S 2 = a 2 = { z(17, 10, 1, 0) + t(0, 0, 0, 1) avec (z, t) K 2 }. n N, u n+2 = u n+1 + u n. n N + b (( 1 ) n ) 5 2 n N Soit S 3, l ensemble des fonctions deux fois dérivable ϕ telle que : On prouve sans problème que : Il suffit maintenant de poser : On a alors : x R, 3ϕ (x) 18ϕ (x) + 24ϕ(x) = 0. avec (a, b) K 2 } S 3 = { ϕ : x a exp (4x) + b exp (2x) avec (a, b) K 2 }. e 1 = (17, 10, 1, 0), e 2 = (0, 0, 0, 1) ( e 3 = 1 + ) n+1 ( 5, e 4 = 1 ) n n N n N e 5 : x exp (4x), e 6 : x exp (2x) S 1 = { ae 1 + be 2 avec (a, b) K 2 } S 2 = { ae 3 + be 4 avec (a, b) K 2 } S 3 = { ae 5 + be 6 avec (a, b) K 2 }. Institut d Alzon /2018

4 Chapitre 2: Les espaces vectoriels Structure d espaces vectoriels 1.2 Notion d espace vectoriel Définition 1 Soit G un ensemble. On dit que G est un K- espace vectoriel si on peut définir les deux applications + et suivantes : 1. + : G G G (loi de composition interne) 2. : K G G (loi de composition externe) ce qui signifie que : (a, x, y) K G 2, x + y G et a x G et que ces deux opérations vérifient les propriétés suivantes pour tout (u, v, w, a, b) G 3 K 2 : 1. u + (v + w) = (u + v) + w 2. u + v = v + u 3. Il existe un élément de G noté 0 G tel que : u + 0 G = u 4. Il existe un élément de G noté u tel que : u + ( u) = 0 G 5. 1 u = u 6. (a + b) u = a u + b u 7. a (v + w) = a v + a w 8. a (b u) = (a b) u 0 G est alors appelé vecteur nul. Les éléments de K sont appelés les scalaires. Les éléments de G sont alors appelés les vecteurs. Un espace vectoriel n est jamais vide, il contient nécessairement l élément neutre de son addition. Attention, il n y a pas, a priori, de produit entre vecteurs. On peut multiplier les scalaires, pas les vecteurs! Institut d Alzon /2018

5 Chapitre 2: Les espaces vectoriels Structure d espaces vectoriels Définition 2 Soit a un élément de K. 1. Soient x = (x 1,, x n ) et y = (y 1,, y n ) deux éléments de K n. On définit l égalité de deux éléments de K n par : x = y x 1 = y 1, x 2 = y 2,, x n = y n On définit l addition de deux éléments de K n par : x + y = (x 1 + y 1,, x n + y n ). On définit le produit d un éléments de K n par un scalaire par : a x = (a x 1,, a x n ). 2. Soient A = (a i,j ) 1 i n,1 j p et B = (b i,j ) 1 i n,1 j p deux élément de M n,p (K). On définit l égalité de deux éléments de M n,p (K) par : A = B Pour tout (i, j) de 1, n 1, p, on a : a i,j = b i,j. On définit l addition de deux éléments de M n,p (K) par : A + B = (a i,j + b i,j ) 1 i n,1 j p. On définit le produit d un éléments de M n,p (K) par un scalaire par : aa = (a a i,j ) 1 i n,1 j p. 3. Soient f et g deux fonctions définies sur D une partie de R. On définit l égalité de deux éléments de F(D, R) par : f = g Pour tout x de D, on a : f(x) = g(x). On définit l addition de deux éléments de F(D, R) par : f + g : x f(x) + g(x) On définit le produit d un éléments de F(D, R) par un scalaire par : af : x af(x) Munis des opérations rappelées dans la définition précédente, les ensembles suivants sont des espaces vectoriels : {0} est un R-espace vectoriel et un C-espace vectoriel. R est un R-espace vectoriel. C est un R-espace vectoriel et un C-espace vectoriel. C n est un R-espace vectoriel et un C-espace vectoriel.. R n est un R-espace vectoriel. Par contre, ce n est pas un C-espace vectoriel. Institut d Alzon /2018

6 Chapitre 2: Les espaces vectoriels Structure d espaces vectoriels C N est un R-espace vectoriel et un C-espace vectoriel. R N est un R-espace vectoriel. Par contre, ce n est pas un C-espace vectoriel. M n,p (C) est un R-espace vectoriel et un C-espace vectoriel. M n,p (R) est un R-espace vectoriel. Par contre, ce n est pas un C-espace vectoriel. L ensemble des polynômes à coefficient dans R est un R-espace vectoriel. Par contre, ce n est pas un C-espace vectoriel. L ensemble des polynômes à coefficient dans C est un R-espace vectoriel et un C-espace vectoriel. L ensemble des solutions d un système linéaire homogéne. L ensemble des solutions d une équation différentielle linéaire homogéne. L ensemble des variables aléatoires réelles sur un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P ) est un R- espace vectoriel. Si on dit G est un espace vectoriel, le corps des scalaires est sous-entendu. Le contexte indique s il s agit de R ou de C. Notez aussi tout C-espace vectoriel est un R-espace vectoriel en restreignant la multiplication par les scalaires à R. 1.3 Notion de sous-espace vectoriel Définition 3 Soit G une partie de E. On dit que G est un K sous-espace vectoriel de E si les trois conditions suivantes sont vérifiées : 1. 0 E G. 2. x G, λ K, λx G. 3. (x, y) G 2, x + y G. Un sous-espace vectoriel de E n est jamais vide, il contient nécessairement 0 E. Proposition 4 Soit G une partie de E. G est un K sous-espace vectoriel de E si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées : 1. 0 E G. 2. (x, y, λ) G 2 K, λx + y G. Institut d Alzon /2018

7 Chapitre 2: Les espaces vectoriels Structure d espaces vectoriels Proposition 5 Soit G une partie de E. On a l équivalence suivante : G est un K espace vectoriel G est un K sous-espace vectoriel. Méthode: 1. Pour prouver qu un ensemble G est un espace vectoriel, on procède ainsi : Étape 1 : On cherche un ensemble E tel que G soit une partie de E et E est, d après le cours, un K espace vectoriel (cf les exemples déj donnés d espace vectoriel). Étape 2 : On montre que 0 E est un élément de G. Étape 3 : On prend deux éléments x et y de G, un scalaire λ (un réel si on parle de R sous-espace vectoriel, un complexe si on parle de C sous-espace vectoriel) et on démontre que λx + y G. On ne vous demandera jamais de vérifier les axiomes, on ne prouvera donc jamais qu un ensemble est un espace vectoriel mais uniquement qu un ensemble est un sous-espace vectoriel d un ensemble dont on sait déjà que c est un espace vectoriel. 2. Pour prouver qu une partie G de E n est pas un sous-espace vectoriel de E, il suffit de : Ou bien démontrer que 0 E n est pas un élément de G. Ou bien on trouve un élément x de G et un scalaire λ tels que λx n appartienne pas à G. Ou bien on trouve deux éléments x et y de G tels que x + y n appartienne pas à G. Les ensembles suivants sont des espaces vectoriels : {(a + b, 2b, b a), (a, b) R 2 }. C est un sous-espace vectoriel de R 3. {(x, y, z, t) C 4 tel que x = 2z }. C est un sous-espace vectoriel de C 4. Une droite de R n passant par l origine est un sous-espace vectoriel de R n. Une plan de R n (en supposant n 2) passant par l origine est un sous-espace vectoriel de R n. R n [X]. C est un sous-espace vectoriel de R[X] C n (D) avec D un ensemble de réels. C est un sous-espace vectoriel de F(D, R). C (D) avec D un ensemble de réels. C est un sous-espace vectoriel de F(D, R). L ensemble des fonctions de R dans R paires, l ensemble des fonctions de R dans R impaires. C est un sous-espace vectoriel de F(R, R). L ensemble des fonctions de R dans R T -périodiques avec T un réel strictement positif. C est un sous-espace vectoriel de F(R, R). L ensemble des des suites (u n ) n N telles que : n N, u n+2 = u n+1 + u n. C est un sous-espace vectoriel de R N. L ensemble des matrices diagonales d ordre n, c est un sous-espace vectoriel de M n (C). Institut d Alzon /2018

8 Chapitre 2: Les espaces vectoriels Structure d espaces vectoriels L ensemble des matrices triangulaires d ordre n, c est un sous-espace vectoriel de M n (C). L ensemble des matrices symétriques d ordre n, c est un sous-espace vectoriel de M n (C). Les ensembles suivants ne sont pas des sous-espaces vectoriels : L ensemble des polynômes de degré n. L ensemble des matrices inversibles d ordre n. L ensemble des suites géométriques. L ensemble des fonctions de R dans R discontinue en {(a + b, 2b, b a), (a, b) R 2 } est bien un sous-espaces vectoriels de R 3 et pas de R 2. Il ne faut pas confondre le nombre de coordonnées des vecteurs (3 ici) et le nombre de données nécessaires (ici 2, connaître a et b suffit). 2. {(x, y, z, t) C 4 tel que x = 2z } a bien du sens, ce n est pas grave si, dans les équations, des coordonnées n interviennent pas. Cela signifie juste qu elles sont quelconques. Par contre, {(x, y, z) R 3 tel que x = 2t} n aurait pas de sens! Exercice 1 : On appelle A l ensemble des fonctions numérique positive et B l ensemble des éléments de R 5 [X] s annulant en 10. Ces ensembles sont-ils des espaces vectoriels? 1.4 Conséquences directes Proposition 6 Pour tout (u, a) E K, on a : a 0 E = 0 E et 0 u = 0 E a u = 0 E u = 0 E ou a = 0 ( a) u = a ( u) = (a u) On en déduit que pour tout ((u, a), (v, b)) (E K) 2, on a : a u = a v u = v ou a = 0 a u = b u u = 0 E ou a = b Proposition 7 L intersection de deux sous-espace vectoriel de E est un sous-espace vectoriel de E. Une réunion de sous-espaces vectoriels n est pas en général un sous-espace vectoriel (cf exemple de deux droites vectorielles distinctes!). Si A et B sont deux sous-espace vectoriel de E, A B est un sous-espace vectoriel de E uniquement si A B ou B A. Les ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de R 3 : Institut d Alzon /2018

9 Chapitre 2: Les espaces vectoriels Structure d espaces vectoriels 1. A = {(x, t, z) R 3 tel que x = 2t}. 2. B = {(x, t, z) R 3 tel que z = t}. Ce sont des plans. A B est aussi un sous-espace vectoriel de R 3, c est une droite, c est l ensemble suivant : A B = { (x, t, z) R 3 tel que x 2t = z t = 0 }. 1.5 Sous-espace engendré par une famille Définition 8 Une famille de n vecteurs de E est un élément de (E) n. Ainsi, si e 1,, e n sont n vecteurs de E, (e 1,, e n ) est une famille de vecteurs de E. 1. ((1, 2), (3, 4), ( 2, 1)) est une famille à 3 éléments de R (2 + X 3, 5X 4 + X 2, X 3, X 2 X) est une famille de 4 éléments de R 5 [X]. Attention, quand on parle d une famille (e 1,, e n ) de E, les e i sont des éléments de E, i.e. des vecteurs. Quand on parle d un élément (e 1,, e n ) de K n, les e i sont des éléments de K (i.e. des scalaires). Définition 9 Soit x un élément d un E. Soit (e 1,, e n ) une famille de vecteurs de E. On dit que x est une combinaison linéaire de (e 1,, e n ) s il existe n scalaires a 1,, a n tels que : x = a 1 e a n e n. L ensemble des combinaisons de (e 1,, e n ) est appelé Vect (e 1,, e n ). On a donc : Vect (e 1,, e n ) = {a 1 e a n e n, (a 1,..., a n ) K n } Vect (e 1,, e n ) n est pas un vecteur. C est un ensemble de vecteurs qui comporte (à moins que les e 1,, e n soient n vecteurs nuls) une infinités de vecteurs. Institut d Alzon /2018

10 Chapitre 2: Les espaces vectoriels Structure d espaces vectoriels 1. (15, 21, 27, 31) est une combinaison linéaire de (2, 3, 4, 0), (5, 6, 7, 0) et (0, 0, 0, 1) car : (15, 21, 27, 31) = 5 (2, 3, 4, 0) + (5, 6, 7, 0) + 31 (0, 0, 0, 1). On peut donc dire que (15, 21, 27, 31) est un élément de Vect ((2, 3, 4, 0), (5, 6, 7, 0), (0, 0, 0, 1)). 2. Posons P = 2X + X 4. P est une combinaison linéaire de X et X Si f : x cos(2x + 5), g : x cos(2x) et h : x sin(2x) alors f est une combinaison linéaire de g et h car, pour tout réel x, on a : f(x) = cos(2x + 5) = cos(2x) cos(5) sin(2x) sin(5). On peut donc dire que f appartient à Vect (g, h). 4. On a déjà vu que si (u n ) n N est une suite telle que : alors il existe a et b deux réels tels que : n N, u n = a n N, u n+2 = u n+1 + u n. (u n ) n N est donc une combinaison linéaire de Un peu de python: ( 1 + ) n+1 ( 5 1 ) n b. 2 2 ( 1 + ) n+1 5 et 2 n N ( 1 ) n n N import numpy as np import matplotlib. pyplot as plt Listing 1 AL-fonctions.py def somme_evfct (f,g) : """ somme_ evfct ( f, g) : retourne la fonction somme des deux fonctions f et g """ def s(x) : return f(x)+g(x) return s def mult_evfct (l,f): """ mult_ evfct ( f, g) : retourne la fonction produit du scalaire l par la fonction f rq: lambda est un mot r é serv é du langage, on ne peut pas l utiliser Institut d Alzon /2018

11 Chapitre 2: Les espaces vectoriels Structure d espaces vectoriels """ def m(x) : return return m l*f(x) def CL_evfct ( liste_coeff_fct ) : """ CV_evfct ( liste_coeff_fct ) : retourne la fonction combinaison lineaire de la liste cette liste est une liste de couples [ scalaire, fonction ] """ # si la liste est vide on retourne la fonction nulle def zero (x) : return 0.0 result = zero for l, f in liste_coeff_fct : result = somme_evfct ( result, mult_evfct (l,f)) return result # essais graphiques liste =[[1.0, np.sin ],[2.0, np.cos ]] f = CL_evfct ( liste ) # on construit la fonction CL de la liste pr é c é dente On reprend l exemple avec f : x cos(2x + 5), g : x cos(2x) et h : x sin(2x). Comme pour tout réel x, on a : f(x) = cos(2x) cos(5) sin(2x) sin(5) on peut dire que f est une combinaison linéaire de g et h. Attention, ne pas dire que f est une combinaison linéaire de x cos(5) et x sin(5) à cause de l égalité précédente. Reprenons les Institut d Alzon /2018

12 Chapitre 2: Les espaces vectoriels Base d un espace vectoriel notations de la proposition : Quand on écrit x = a 1 e a n e n, les a i sont des scalaires et les e i des vecteurs. Dans l espace des fonctions de R dans R, g et h sont bien des vecteurs et cos(5) et sin(5) des scalaires. L inverse n est pas vrai! Proposition 10 Soit (e 1,, e n ) une famille de E. Vect (e 1,, e n ) est un K-espace vectoriel, il est appelé sous-espace vectoriel engendré par e 1,, e n. Vect (e 1,, e n ) est le plus petit espace vectoriel contenant les vecteurs e 1,, e n. Cela signifie que si G est un espace vectoriel contenant les vecteurs e 1,, e n alors on a Vect (e 1,, e n ) G. Soit x un vecteur non nul de E. Vect (x) est alors appelée droite vectorielle engendrée par x. Soient v 1, v 2 deux vecteurs non coplanaires de E. Vect (v 1, v 2 ) est alors appelée plan vectoriel engendré par v 1 et v 2. 2 Base d un espace vectoriel 2.1 Famille génératrice Définition 11 Une famille (e 1,, e n ) de E est dite génératrice de E si : E = Vect (e 1,, e n ). Proposition 12 Une famille (e 1,, e n ) de E est génératrice de E si et seulement si on a : x E, (a 1,, a n ) K n tels que x = a 1 e a n e n. Institut d Alzon /2018

13 Chapitre 2: Les espaces vectoriels Base d un espace vectoriel 1. Une famille génératrice de E est donc une famille contenant suffisamment d information pour engendrer E en entier. C est un résumé de l information de E. 2. Le caractère générateur d une famille ne dépend pas de l ordre des éléments. 3. Le caractère générateur est une propriété extrinsèque, on parle de famille génératrice de E. Cela n a donc a priori aucun sens de dire qu une famille est génératrice sans préciser de quel sous-espace elle l est. Toute famille est génératrice de l espace qu elle engendre! Toute famille (e 1,..., e n ) est génératrice de Vect (e 1,, e n ). 4. Par convention, lorsqu on dit qu une famille est génératrice (sans préciser de quel sous-espace), on sous-entend qu elle est génératrice de l espace ambiant tout entier. 1. ((1, 0), (1, 1)) est une famille génératrice de R 2. ((1, 0), (2, 3), (1, 1)) est aussi une famille génératrice de R ((1, 0), (2, 3), (1, 1)) n est pas une famille génératrice de R ((1, 0, 0), (1, 1, 1)) n est pas une famille génératrice de R ((1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1)) est une famille génératrice de R ((1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1), (5, 4, 1), (3, 2, 1)) est aussi une famille génératrice de R (1, X, X 2, X 3 ) est une famille génératrice de R 3 [X]. 7. (X i ) i N est une famille génératrice de R[X]. 8. Pour tout (i, j) 1, n 2, on considère les matrices E i,j d ordre n définies par : { Pour tout (i, j) 1, n 2 0 si k i ou l j, E i,j = (a k,l ) 1 k n,1 l n avec a k,l = 1 si k = i et l = j. (E i,j ) 1 i n,1 j n est une famille génératrice de M n (K). (1, X, X 2, X 3 ) n est pas une famille génératrice de R 2 [X]. Reprenons les notations de la définition : On ne veut pas E Vect (e 1,, e n ) mais E = Vect (e 1,, e n ). La première qualité d une famille génératrice de E est d être une famille de E. Proposition 13 Toute famille de E contenant une famille génératrice de E est génératrice de E. Toute famille de E engendrant une famille génératrice de E est génératrice de E. Par contre, une partie d une famille génératrice de E n est pas nécessairement génératrice de E. Enlever des vecteurs à une famille génératrice est donc un acte dangereux! ((1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 1)) est une famille génératrice de R 3 mais ((1, 0, 0), (1, 0, 1)) n est pas une famille génératrice de R 3. Institut d Alzon /2018

14 Chapitre 2: Les espaces vectoriels Base d un espace vectoriel Méthode: Pour montrer que (e 1,, e n ), une famille de E, est génératrice de E, il faut prendre un élément quelconque x de E et chercher (a 1,, a n ) K n tels que : x = a 1 e a n e n. Une fois traduit cette égalité dans une base, cela revient à résoudre un système linéaire. Ce système doit toujours avoir au moins une solution, il ne doit pas y avoir de condition sur le x précédent. Pour trouver une famille génératrice de E, on chercher à exprimer E sous la forme suivante : E = Vect (e 1,, e n ). (e 1,, e n ) est alors une famille génératrice de E. 2.2 Famille libre Définition 14 Une famille (e 1,, e n ) de E est dite libre (ou linéairement indépendant) si on a : Pour tout (a 1,, a n ) K n, a 1 e a n e n = 0 E = a 1 = = a n = 0. Cela siginfie que la décomposition du vecteur nul sur cette famille est alors unique. Une famille de vecteur qui n est pas libre est dite liée (ou linéairement dépendant). Méthode: Pour montrer que (e 1,, e n ), une famille de E, est une famille libre, on prend des scalaires quelconques (a 1,, a n ) et on suppose qu ils vérifient a 1 e 1 + +a n e n = 0 E. On prouve alors, par le calcul, que nécessairement a 1 = = a n = 0. Pour cela, on explicite les e i dans une base puis on développe l égalité a i e i = 0 E et enfin on identifie les coefficients. 1 i r Dans les espaces de fonctions, on peut utiliser des outils spécifiques aux fonctions : Identifier en des points particuliers, prendre des limites, dériver cette relation, faire un développement limité, utiliser la régularité de a i e i (qui est de classe C puisque c est 0 E )... 1 i r Il faut bien comprendre qu écrire v = 0 E n a pas la même signification suivant l espace E que l on manipule : 1. Si E est K n alors v s écrit (x 1,, x n ) et : x 1 = 0, x 2 = 0,, x n = 0. Institut d Alzon /2018

15 Chapitre 2: Les espaces vectoriels Base d un espace vectoriel 2. Si E est M n,p (K) alors v s écrit (a i,j ) 1 i n,1 j p et : Pour tout (i, j) de 1, n 1, p, on a : a i,j = Si E est F(R, R) alors v est une fonction définie sur R et : Pour tout réel x, on a : v(x) = 0. Voici quelques familles libres : 1. ((1, 1)). 2. ((1, 1), (3, 4)). 3. (1 + X 3, 2 X 2, X). 4. (sin, cos, exp). 5. (sin, cos, θ exp (iθ)) dans le R-espace vectoriel C R. Voici quelques familles liées : (( ) ( ) ( )) ,, ((1, 1), (3, 4), (5, 6)). 3. (1 + X 3, 2 X 2, X, 5X 7X 2 ). 4. (sin, cos, θ exp (iθ)) dans le C-espace vectoriel C R. 5. (x 1, x cos(2x), x cos 2 (x)) est liée. Proposition 15 Ainsi, une famille (e 1,, e n ) de E est donc liée si et seulement si il existe des scalaires a 1,, a n non tous nuls tels que : a 1 e a n e n = 0 E. On parle de famille libre ou liée. Cela ne dépend pas de l espace vectoriel dans lequel on se place. Par contre, on parle de famille génératrice de E. Parler de famille génératrice sans préciser l espace n a pas d intérêt, toute famille étant génératrice de l espace qu elle engendre. Proposition 16 Soient u et v deux vecteurs de E. (u) est une famille libre si et seulement si u n est pas 0 E. (u, v) est une famille libre si et seulement si (u, v) ne sont pas colinéaires. (u, v) est une famille liée si et seulement si (u, v) sont colinéaires. Institut d Alzon /2018

16 Chapitre 2: Les espaces vectoriels Base d un espace vectoriel La précédente équivalence n est pas vraie pour les familles comportant plus de 3 vecteurs. Par exemple, les vecteurs de ((1, 1), (3, 4), (2, 5)) sont deux à deux non colinéaires mais cette famille est tout de même liée! Proposition 17 Soit (P i ) 1 i r une famille de polynômes non nuls. Si les polynômes sont de degrés tous distincts alors cette famille est libre. La réciproque de la précédente proposition n est pas vraie. (1 + X 3, 2 X 3 ) est une famille libre. Exercice 2 : 1. Évaluer, pour tout k entier naturel, la quantité π 2. En déduire la liberté de la famille (x sin(kx)) (1 k 20). 0 sin(x) sin(kx)dx. Proposition 18 Toute famille contenant le vecteur nul est liée. Toute famille contenant une famille liée est liée. Toute sous-famille d une famille libre est aussi libre. Si (e 1,, e n ) est une famille libre de E, alors on a pour tout scalaires ((a 1,, a n ), (b 1,, b n )) de (K n ) 2 : a 1 = b 1 a 2 = b 2 a 1 e a n e n = b 1 e b n e n. a n = b n Une famille (e 1,, e n ) de E est liée si et seulement si l un de ses vecteurs est combinaison linéaire des n 1 autres. On n a pas nécessairement le choix dans les vecteurs en trop : si u = (1, 0), v = (2, 0) et w = (0, 1), on peut écrire v comme combinaison linéaire de u et w, u comme combinaison linéaire de v et w mais pas w comme combinaison linéaire de u et v. Institut d Alzon /2018

17 Chapitre 2: Les espaces vectoriels Base d un espace vectoriel Par contre, une famille contenant une famille libre n est pas nécessairement libre. Ajouter des vecteurs à une famille libre est donc un acte dangereux! 2.3 Base Définition 19 On appelle base de E une famille libre et génératrice de E. Proposition 20 Soit (e 1,, e n ) une famille de E. (e 1,, e n ) est donc une base de E si et seulement si on a : x E,!(a 1,, a n ) K n tels que x = a 1 e a n e n. Dans cette dernière proposition, l unicité est due au caractère libre de la famille et l existence au caractère générateur de la famille. La famille B = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) est une base de R 3 : 1. Pour tout (x, y, z) dans R 3, on a : (x, y, z) = (0, 0, 0) x = y = z = 0. B est donc une famille libre. 2. Pour tout vecteur u de R 3, il exsite trois réels x, y et z tels que u = (x, y, z), on a donc : u = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1). B est donc une famille génératrice de R 3. La famille B = ((1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)) est aussi une base de R 3 : 1. Pour tout (x, y, z) dans R 3, on a... B est donc une famille libre. 2. Pour tout vecteur u de R 3,... B est donc une famille génératrice de R 3. La famille B = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) est une base de R 3. Si on enlève un seul vecteur de cette famille, on perd le caractère générateur. Si on rajoute un vecteur, on perd le caractère libre. Institut d Alzon /2018

18 Chapitre 2: Les espaces vectoriels Dimension d un espace vectoriel Proposition 21 La famille ((1, 0,, 0),, (0,, 0, 1)) est une base de K n, c est la base canonique de K n. La famille (1, X,, X n ) est une base de K n [X], c est la base canonique de K n [X]. Pour tout (i, j) 1, n 1, p, on considère les matrices E i,j de M n,p (K) définies par, pour tout (i, j) 1, n 1, p, on a : { 0 si k i ou l j E i,j = (a k,l ) 1 k n,1 l p avec a k,l = 1 si k = i et l = j. La famille (E i,j ) 1 i n,1 j p est une base de M n,p (K), c est la base canonique de M n,p (K). 3 Dimension d un espace vectoriel 3.1 Définition Définition 22 On dit que E est de dimension finie si et seulement si il admet une famille génératrice de cardinal fini. On dit que E est de dimension infinie dans le cas contraire. Voici quelques espaces vectoriels de dimension finie : 1. K n. 2. K n [X]. 3. M n,p (K). Voici quelques espaces vectoriels de dimension infinie : 1. K K. 2. K[X]. 3. K N. Théorème 23 Soit G un espace vectoriel de dimension finie non réduit au vecteur nul. G admet alors une base. Toutes les bases de G ont le même nombre d éléments, ce nombre est appelé la dimension de G et est noté dim(g). On pose par convention dim ({0 E }) = 0. Institut d Alzon /2018

19 Chapitre 2: Les espaces vectoriels Dimension d un espace vectoriel Tout espace vectoriel, même de dimension infinie, a une base. Cetet remarque dépasse, et de beaucoup, le programme de BCPST2. Méthode: Pour trouver la dimension d un espace vectoriel de dimension finie, il suffit donc de trouver une base et de compter ses éléments. Proposition 24 On en déduit : dim (K n ) = n. dim (K n [X]) = n + 1. dim (M n,p (K)) = n p. Exercice 3 : On appelle C l ensemble {P R 3 [X] tels que P (1) = P (2) = 0}. Évaluer la dimension de C. 3.2 Dimension et Famille libre On rappelle que l on désigne par F, dans tout ce chapitre, un espace vectoriel de dimension n, c est donc en particulier un espace de dimension finie. Théorème 25 Théorème de la base incomplète. Soient L une famille de F libre et G une famille génératrice de F. On peut compléter L avec des vecteurs de G pour créer une base de F. ) Corollaire 26 : Soit (u 1,..., u p ) une famille libre de F. On a alors : 1. p n 2. Si p = n, (u 1,..., u p ) est une base de F. Dans un espace de dimension n, une famille libre ne peut pas avoir strictement plus de n éléments. Cela ne signifie pas que toute famille ayant moins de n éléments est une famille libre. On peut prendre la famille (( ), ( ), ( )) comme contre exemple. Institut d Alzon /2018

20 Chapitre 2: Les espaces vectoriels Dimension d un espace vectoriel Ainsi, si on connaît une famille libre et la dimension d un espace vectoriel, il ne reste qu à compter le nombre de membres de cette famille pour savoir si cette famille est ou non une base de l espace vectoriel. Si on cherche une base, on va compléter cette famille pour en faire une base. 3.3 Dimension et Famille génératrice Proposition 27 Soit (u 1,..., u p ) une famille génératrice de F. On a alors : 1. p n 2. Si p = n, (u 1,..., u p ) est une base de F. 3. On peut extraire une base de (u 1,..., u p ), c est à dire qu il existe (a 1,..., a n ) {u 1,..., u p } n tel que (a 1,..., a n ) soit une base de F. Ainsi, si on connaît une famille génératrice et la dimension d un espace vectoriel, il ne reste qu à compter le nombre de membres de cette famille pour savoir si cette famille est une base de l espace vectoriel. Si on cherche une base, on va éliminer dans cette famille le bon nombre de vecteurs judicieusement choisis. Dans un espace de dimension n, une famille génératrice ne peut pas avoir strictement moins de n éléments. Cela ne signifie pas que toute famille ayant plus de n éléments est une famille génératrice. On peut prendre la famille (1 + X, X 2, 1 + X + X 2, 1 X) comme contre exemple. 3.4 Dimension et Base Proposition 28 Soit (u 1,..., u n ) une famille de F. Les trois propositions suivantes sont alors équivalentes : 1. (u 1,..., u n ) est une famille libre de F. 2. (u 1,..., u n ) est une famille génératrice de F. 3. (u 1,..., u n ) est une base de F. Il est plus facile actuellement de démontrer qu un famille est libre que de démontrer qu une famille est génératrice. C est pourquoi, si on connaît la dimension d un espace vectoriel, on ne démontrera que le caractère libre d une famille puis on comptera le nombre de membres de cette famille pour prouver qu une famille est une base. Institut d Alzon /2018

21 Chapitre 2: Les espaces vectoriels Dimension d un espace vectoriel Dans un espace de dimension n, une base ne peut avoir que n éléments. Cela ne signifie pas que toute famille ayant n éléments est une base. On peut prendre la famille ((1, 0), (2, 0)) comme contre exemple. Pour montrer que ((0; 0; 1), ( 2; 1; 0), ( 1; 0; 1)) est une base de R 3, il suffit de rappeler que c est une famille de R 3 et prouver qu elle est libre. 3.5 Inclusion de sous-espaces vectoriels Proposition 29 Soit G un sous-espace vectoriel de F. On suppose que F est de dimension finie. G est alors de dimension finie. On a : dim(g) dim(f ). Si on prouve que dim(f ) = dim(g) alors F = G. Pour démontrer que deux espaces vectoriels de dimension finie sont égaux, on peut faire un raisonnement par double inclusion. On peut aussi, si on sait déjà que ces deux espaces vectoriels ont même dimension, se contenter d une simple inclusion. Institut d Alzon /2018

22 Chapitre 2: Les espaces vectoriels Interprétation matricielle 4 Interprétation matricielle 4.1 Notions de coordonnées Définition 30 Soit B = (u 1,..., u n ) une base de F. Soit x un vecteur de F. Il existe un unique n-uplet (x 1,..., x n ) de K n tel que : x = x 1 u 1 + x 2 u x n u n. On appelle ce n-uplet (x 1,..., x n ) les coordonnées de x dans la base B. On appelle matrice des coordonnées du vecteur x dans la base B la matrice suivante : Mat B (x) = Soit (a 1,..., a p ) une famille de p vecteurs de F. Pour tout j 1, p, on note (a 1,j,..., a n,j ) les coordonnées de a j dans la base B. Pour tout j 1, p, on a donc : a j = a 1,j u 1 + a 2,j u a n,j u n. On appelle matrice des coordonnées de la famille (a 1,..., a p ) dans la base B la matrice suivante : a 1,1 a 1,p Mat B (a 1,..., a p ) =.. a n,1 a n,p x 1. x n. 1. Soient B la base canonique de R n et C la base canonique de R 3. 4 On a : Mat C ((4, 5, 6)) = 5. 6 Soit a = (a 1,..., a n ) un vecteur de R n. On a : Mat B (a) = 2. Soient B = ((1; 1), (1; 0)), a 1 = (3; 1), a 2 = (11; 2) et a 3 = (8; 1). B est une base de R 2 (car famille de R 2 ayant dim (R 2 ) éléments et libre (car composée de deux vecteurs non colinéaries)) et on a : ( ) 1 Mat B (a 1 ) =. 2 ( ) Mat B (a 1, a 2, a 3 ) = a 1. a n. Institut d Alzon /2018

23 Chapitre 2: Les espaces vectoriels Interprétation matricielle 3. Soient B = ( ( 1 (0; 1; 0), 3 ; 1 ) ) 3 ; 0, (1; 13; 3). B est une base de R 3 et on a : 19 Mat B ((5, 2, 3)) = Exercice 4 : On note dans cet exercice B la famille (1, (X 1), (X 1) 2,, (X 1) n ). Montrer que B est une base de R n [X] et déterminer Mat B (P ) avec P un élément de R n [X]. Proposition 31 Soient B une base de F, u et v deux vecteurs de F et λ un scalaire. On a : 1. Mat B (u + v) = Mat B (u) + Mat B (v) 2. Mat B (λu) = λmat B (u) 4.2 Notion de Rang Rang d une famille Définition 32 Soit (u 1,..., u p ) une famille de E. On appelle rang de la famille (u 1,..., u p ) la dimension de l espace vectoriel qu elle engendre, on a donc : rang (u 1,..., u p ) = dim (Vect (u 1,..., u p )). Proposition 33 Soit (u 1,..., u p ) une famille de E. On a : rang (u 1,..., u p ) p rang (u 1,..., u p ) = p si et seulement si (u 1,..., u p ) est une famille libre. Proposition 34 Soit (u 1,..., u p ) une famille de F. On a : rang (u 1,..., u p ) min(n, p) rang (u 1,..., u p ) = p si et seulement si (u 1,..., u p ) est une famille libre. rang (u 1,..., u p ) = n si et seulement si (u 1,..., u p ) est une famille génératrice de F. Institut d Alzon /2018

24 Chapitre 2: Les espaces vectoriels Interprétation matricielle Il faut différencier ces deux propositions. Dans la première, on ne sait pas si l espace vectoriel ambiant est, ou non, de dimension finie. Dans la deuxième, l espace vectoriel ambiant est de dimension finie. Le rang est donc une notion fondamentale puisqu il permet de caractériser la notion de famille libre et de famille génératrice Rang d une matrice Définition 35 Soit A une matrice ayant n lignes et p colonnes. On appelle (C 1,..., C p ) ses p vecteurs colonnes, ce sont des éléments de M n,1 (K). On appelle rang de A, et on note rang(a), le rang de la famille des p vecteurs colonnes de A. On a : rang(a) = rang (C 1,..., C p ) = dim (Vect (C 1,..., C p )). Soit A une matrice. On a : rang(a) = 0 si et seulement si A = 0 rang(a) = 1 si et seulement si les différentes colonnes de A sont proportionnelles deux à deux et l une d elles n est pas nulle Matrices échelonnées Définition 36 Soit A = (a i,j ) 1 i n,1 j p une matrice. On appelle (L 1,..., L n ) ses n vecteurs lignes. Pour chaque ligne L i non nulle de A, on note d(i) le plus petit indice j tel que a i,j 0. On dit que A est échelonnée supérieurement s il existe un élément r de {0,..., n} tel que : Pour tout i de {1,..., r }, la ligne L i est non nulle (Il n y a donc pas de ligne nulle si r = 0). Pour tout i de {r + 1,..., n}, la ligne L i est nulle (Il n y a donc pas de blocs de lignes nulles à la fin si r = n). La suite (d(k)) 1 k r est strictement croissante. On appelle pivots de A les n coefficients non nuls situés aux positions (k, d(k)) avec 1 k r. Les matrices suivantes sont échelonnées : Institut d Alzon /2018

25 Chapitre 2: Les espaces vectoriels Interprétation matricielle Les matrices suivantes ne sont pas échelonnées : Proposition 37 On utilise les notations précédentes. Une matrice échelonnée est de rang r. 1. rang 2. rang = 3 = 2 3. rang 4. rang = = 1 Proposition 38 Le rang d une matrice est égal au rang de sa transposée. ) Corollaire 39 : Le rang d une matrice A est égal au nombre maximum de colonnes libres dans A. Il est aussi égal au nombre maximum de lignes libres dans A. Proposition 40 On ne modifie pas le rang d une matrice en lui appliquant une suite d opérations élémentaires sur ses colonnes ou sur ses lignes. Par suite d opérations élémentaires sur les colonnes ou sur les lignes d une matrice, on peut transformer toute matrice en une matrice échelonnée. Institut d Alzon /2018

26 Chapitre 2: Les espaces vectoriels Interprétation matricielle Méthode: Pour calculer le rang d une matrice quelconque, il suffit de la transformer cette dernière en une matrice échelonnée. Proposition 41 Soit B une base de F. Soit (r 1,..., r p ) une famille de F. On a : rang (r 1,..., r p ) = rang (Mat B (r 1,..., r p )). Méthode: Lorqu on est dans un espace vectoriel de dimension finie F et qu on connaît une base B, il est alors simple avec le rang de caractériser les familles libres, les familles génératrice de F et les base de F. Il suffit de calculer le rang de cette famille (r 1,..., r p ) en faisant une interprétation matricielle : On introduit Mat B (r 1,..., r p ) puis on l échelonne. Institut d Alzon /2018