MATRICES SYSTEMES. Soit E un espace vectoriel de dimension p et F un espace vectoriel de dimension n. B = QAP

Transcription

1 Chapitre 6 MATRICES SYSTEMES K est un corps commutatif, E est un espace vectoriel sur K 1 Matrices 1.1 Matrices équivalentes et rang Soit E un espace vectoriel de dimension p et F un espace vectoriel de dimension n. Définition 1 On dit que les deux matrices A et B de M n,p (K) sont équivalentes si il existe Q GL n (K) et P GL p (K) telles que B = QAP Remarque 2 Il s agit donc bien d une relation d équivalence. Proposition 3 Si A est la matrice de u L(E, F ) dans les bases B de E et C de F alors : B est équivalente à A si et seulement si il existe des bases B de E et C de F telles que B est la matrice de u dans les bases B et C. Théorème 4 Une matrice A M n,p (K) est de rang r si et seulement si elle est équivalente à la matrice J r,n,p M n,p (K) définie par J r,n,p = (a i,j ) a i,j = 1 si i = j et i {1,...r} a i,j = 0 sin on Corollaire 5 Deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang. Corollaire 6 Soit A M n,p (K), rg(a) = rg( t A) Proposition 7 rg(a) = r si et seulement si : 1) il existe une matrice carrée de taille r extraite de A inversible, 2) toute matrice carrée de taille strictement supérieure à r extraite de A est non inversible. 1.2 Matrices semblables et trace Soit E un espace vectoriel de dimension n. Définition 8 On dit que les deux matrices A et B de M n (K) sont semblables si il existe P GL n (K) telle que B = P 1 AP Remarque 9 Il s agit bien d une relation d équivalence. Proposition 10 si A est la matrice de u L(E) dans la base B de E : B est semblable à A si et seulement si il existe des bases B de E telle que B est la matrice de u dans la base B. 35

2 Définition 11 Une application f : M n (K) X est dite invariante par similitude si elle associe la même valeur à deux matrices semblables. Définition 12 On appelle trace de la matrice A = (a i,j ) M n (K) le scalaire : tra = n i=1 a i,i Proposition 13 L application tr : M n (K) K est une forme linéaire vérifiant : (A, B) M n (K) 2, tr(ab) = tr(ba) (A, P ) M n (K) GL n (K), tr(p 1 AP ) = tr(a) La trace est donc invariante par similitude. Définition 14 Soit u L(E), si B et B sont deux bases de E alors tr(mat B u) = tr(mat B u) Ce scalaire est appelé trace de u et est noté tr(u). Remarque 15 Si K = Q, R ou C, le rang d un projecteur est égal à sa trace. Proposition 16 L application tr : L(E) K est une forme linéaire vérifiant : 1.3 Matrices par blocs (u, v) L(E) 2, tr(uov) = tr(vou) Soit (I i ) i {1,..,r} la partition de {1,.., n} définie par : I 1 = {1,.., n 1 }, I 2 = {n 1 + 1,.., n 1 + n 2 },..., I r = {n n r 1 + 1,.., n n r }. Définition 17 Soit A = (a i,j ) M n (K). On appelle bloc d indice (i, j) {1,.., r} 2 de A, la sous-matrice de type n i n j définie par : A i,j = (a k,l ) (k,l) Ii I j formée des éléments de A dont les indices de lignes et de colonnes appartiennent respectivement à I i et I j. représentation par blocs de A, l écriture de A sous la forme : A 1,1.. A 1,r A = A r,1.. A r,r Remarque 18 On définit de manière analogue la décomposition par blocs d une matrice de M n,p (K). Définition 19 On dit que A M n (K) est diagonale par blocs si il existe une partition de {1,.., n} telle que si i j alors A i,j = 0, 36

3 triangulaire supérieure par blocs si il existe une partition de {1,.., n} telle que si i > j alors A i,j = 0, triangulaire inférieure par blocs si il existe une partition de {1,.., n} telle que si i < j alors A i,j = 0. Soit (I i ) i {1,..,r} la partition de {1,.., n} et soit (A, B) M n (K) 2 de décomposition par blocs (A i,j ) et (B i,j ) Proposition 20 Soit (α, β) K 2 et C = αa + βb, si (C i,j ) est la décomposition par blocs de C, on a : (i, j), C i,j = αa i,j + βb i,j Soit D = AB, si (D i,j ) est la décomposition par blocs de C, on a : (i, j), D i,j = r A i,k B k,j k=1 Remarque 21 Les règles de calcul par blocs restent valables lorsqu il s agit de matrices rectangulaires compatibles. Proposition L ensemble des matrices triangulaires par blocs liés à une même partition est une sousalgèbre de M n (K). 2. L ensemble des matrices diagonales par blocs liés à une même partition est une sous-algèbre de M n (K). Dans les deux cas les blocs diagonaux des produits sont les produits des blocs diagonaux. Théorème 23 Si A M n (K) est triangulaire par blocs alors det A = r det A i,i i=1 Remarque 24 Attention : les formules de déterminants ne se généralisent pas aux blocs. Pour un partage carré on a en général : ( ) A1,1 A det 1,2 det A A 2,1 A 1,1 det A 2,2 det A 2,1 det A 1,2 2,2 37

4 2 Opérations élémentaires Définition 25 On appelle opération élémentaire sur les lignes d une matrice, l une des opérations suivantes : L i L i + λl j, λ K, la ième ligne est remplacée par la ième plus λ fois la jième, appelée opération élémentaire de transvection, L i λl i,, λ K, la ième ligne est remplacée par λ fois la iième, appelée opération élémentaire de dilatation, L i L j, les lignes i et j sont échangées. On définit de même des opérations élémentaires sur les colonnes. Définition 26 On appelle : matrice de transvection, toute matrice de la forme T i,j (λ) = I n + λe i,j {1,..., n} 2 i j et λ K. où (i, j) matrice de dilatation, toute matrice de la forme D j (λ) = I n +(λ 1)E j,j où j {1,..., n} et λ K. matrice de transposition, toute matrice de la forme P i,j = I n E i,i E j,j + E i,j + E j,i. Proposition 27 Les opérations élémentaires sur les lignes d une matrice correspondent à la multiplication à gauche par une matrice élémentaire, les opérations élémentaires sur les colonnes d une matrice correspondent à la multiplication à droite par une matrice élémentaire. L i L i + λl j L i λl i L i L j C j C j + λc i C j λc j C j C i A T i,j (λ)a A D i (λ)a A P i,j A A AT i,j (λ) A AD j (λ) A AP i,j Proposition 28 Les opérations élémentaires sont inversibles, les inverses sont donnés par le tableau: L i L i + λl j L i L i λl j L i λl i L i 1 L λ i L i L j L i L j T i,j (λ) 1 = T i,j ( λ) D i (λ) 1 = D i ( 1 λ ) P 1 i,j = P i,j Lemme 29 du pivot de Gauss Si A = (a i,j ) M n,p (K) est une matrice dont la première colonne est non nulle, il existe une suite d opérations élémentaires sur les lignes transformant A en une matrice B triangulaire par blocs de la forme : ( ) b1,1 avec b 0 B 1,1 0 1 On peut si on veut se limiter aux matrices de transvections. De plus rg(a) = 1 + rg(b 1 ) 38

5 Remarque 30 En calcul numérique, lorsque K = R ou C, pour limiter les erreurs d arrondis, on choisit i l indice du pivot tel que a i,1 = sup{ a k,1, k {1,.., n}}. 1. Calcul du rang 2. Calcul du déterminant 3. Calcul de l inverse d une matrice : Soit A GL n (K), il existe une suite de transformations élémentaires sur les lignes transformant A en I n, la même suite de transformations élémentaires sur les lignes transforme I n en A 1. Théorème 31 Soit A GL n (K), il existe une suite (T 1,...T s ) de matrice de transvection telle que A = T 1...T s D n (det A) Théorème 32 L ensemble des matrices de dilatations et l ensemble des matrices de transvections engendrent GL n (K). L ensemble des matrices de transvections engendrent SL n (K). 3 Systèmes d équations linéaires Soit E = K p et F = K n Notation A = (a i,j ) M n,p (K), B = (b i ) M n,1 (K), X = (x j ) M p,1 (K) 2. f L(E, F ) de matrice A dans les bases canoniques de E et F ( application linéaire canoniquement associé à A), 3. x = (x 1,..., x p ) E, b = (b 1,..., b n ) F 4. j {1,..., p}, C j = (a i,j ) i M n,1 (K) le jième vecteur colonne de A 5. i {1,..., n}, ϕ i E définie par : ϕ i (x) = p a i,jx j Définition 34 On appelle solution du système (S) d équations linéaires sur K, tout vecteur x de E tel que : i {1,..., n}, a i,j x j = b i On appelle solution du système homogène (S h ) associé à (S), tout vecteur x de E tel que : i {1,..., n}, a i,j x j = 0 Définition 35 Un système est dit compatible s il possède au moins une solution, deux systèmes sont dits équivalents s ils ont même ensemble de solutions. 39

6 AX = B f(x) = b x j C j = B i {1,..., n}, ϕ i (x) = b i Proposition 36 rg(a) = rg(f) = rg(c 1,..., C p ) = rg(ϕ 1,..., ϕ n ), ce nombre r est appelé rang du système (S). Proposition 37 En notant Sol h l ensemble des solutions du système homogène on a : Sol h = ker(f) Sol h = n i=1 ker ϕ i dim Sol h = p r Proposition 38 Le système est compatible ssi b Imf, dans ce cas si x 0 est un antécédent de b on a Sol = x 0 + Sol h, en notant Sol l ensemble des solutions du système. Sol = ou Sol = x 0 + Sol h Théorème 39 Si r = p = n alors le système est toujours compatible, le système est dit de Cramer et on a : Sol h = {0} Sol = {x 0 } j {1,..., n}, x j = det(c 1,..., C j 1, B, C j+1,..., C n ) det A Définition 40 Soit (S h ) un système homogène de rang r, quitte à échanger les lignes ou les colonnes supposons que rg(c 1,..., C r ) = rg(ϕ 1,..., ϕ r ) = r le système (S h ) est équivalent au système (S P ) i {1,..., r}, a i,j x j = 0 Les équations de (S P ) sont appelées équations principales et les autres secondaires. Les inconnues (x j ) j {1,..,r} sont appelées inconnues principales et les autres secondaires. 40