Corrigés des activités

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1 . Foncion logarihme népérien QCM Pour bien commencer Les eercices de cee rubrique son corrigés dans le manuel, p. 9. Corrigés des aciviés Représenaion graphique l a. Voir graphique des quesions a. e A B C D E 0 ep() 0, 0,,7 7, l a. e y 9 y = ep() 8 7 E 6 D A B C l a. On consrui le poin de la droie d abscisse celle de E, appelée E. La droie ayan pour équaion y =, ce poin consrui a même abscisse e ordonnée : il a pour coordonnées ( E ; E ). E a pour ordonnée celle de ce poin, soi E. On consrui ensuie le poin de la droie d ordonnée celle de E, appelée y E. Ce poin a pour coordonnées (y E ; y E ). E a pour abscisse celle de ce poin, soi y E. On peu alors consruire E, connaissan ses deu coordonnées, (y E ; E ). E a pour coordonnées ( ; e ) ; E a pour coordonnées (e ; ). c. A (e ; ) ; B (e ; ) ; C ( ; 0) ; D (e ; ).. Foncion logarihme népérien 67

2 Ci-dessous le racé des poins A, B, C, D e E, avec les rais permean le racé du poin D. y A B y = ep() E D E C C D 0 B A d. La ransormaion du plan qui associe au poins A, B, C, D e E les images respecives A, B, C, D e E es la symérie d ae. l a. Il s agi de l insrucion «ln», liée sur la calcularice à l insrucion «e». Par la oncion ln, l image du nombre e es ln(e ) =, donc le poin A de coordonnées (e ; ) apparien à la représenaion graphique de la oncion ln. On peu suivre ce même raisonnemen pour les poins B, C, D e E. l a. y 9 y = ep() 8 7 E 6 D y = ln() E A B C C D 0 B A lim - e = 0 ; la courbe représenaive de la oncion ep semble se conondre avec l ae des abscisses pour des abscisses de plus en plus «peies». c. Par la symérie d ae, l ae des abscisses a pour symérique l ae des ordonnées. La courbe représenaive de la oncion ln semble se conondre avec l ae des ordonnées pour des abscisses de plus en plus proches de Foncion logarihme népérien

3 l6 a. La oncion ln es déinie, coninue e dérivable sur ]0 ; +[. Lorsque es de plus en plus proche de 0 en gardan des valeurs sricemen posiives, la valeur de ln() semble êre de plus en plus «peie», négaive à l inini. c. 0 + ln d. 0 + ln 0 + l7 l8 a. Sur R, la courbe représenaive de la oncion eponenielle es au-dessus de la droie d équaion y =. Sur ]0 ; +[, la droie d équaion y = es au-dessus de la courbe représenaive de la oncion logarihme népérien. y D 0 C B A E La oncion ln es une oncion concave. Résoluion d équaions l a. Pas de soluion dans R. Pas de soluion dans R. c. Une unique soluion : = 0. l a.,6. 0,7. c. 0,7. d.,. e.,8.. 6,. l La oncion eponenielle es coninue e sricemen croissane sur R. Il es à remarquer que cee quesion pore sur l unicié e non sur l eisence de la soluion.. Foncion logarihme népérien 69

4 l l a. Cee insrucion perme, semble--il, de déerminer une valeur approchée, lorsqu elle eise, de la soluion de l équaion dans R e = k. Lorsqu on ape ln( ) à la calcularice, on obien un message d erreur. En ee, e > 0 sur R. Le message d erreur rappelle que e = n adme pas de soluion dans R. À la calcularice, ln(0,) =, : e = 0, adme une soluion,. À la calcularice, ln(8) =, : e = 8 adme une soluion,. Enrée : k : nombre réel Sorie : : nombre réel Débu : Si k 0 Aicher le message «pas de soluion» Sinon Aicher le message «une soluion :» Aecer à la valeur ln(k) Aicher Fin Si Fin Corrigé des ravau praiques TP Éude d une populaion ; ajusemen aine d une série de données l a. e c. e d. 70. Foncion logarihme népérien

5 e. Les uniés sur les aes des abscisses e des ordonnées son du même ordre de grandeur, e peuven permere une lecure e une comparaison plus eicaces des données.. Les deu graphiques meen en évidence un phénomène de décroissance. Sur le deuième graphique, les poins semblen alignés, ajouan une conjecure de décroissance linéaire. ln 7 ln 7 l a. a = 0,6 e b = ln 7 0,6 (ordonnée à l origine) ; 8 0 y = 0,6 + 0,6. La variable correspond au emps écoulé depuis le er janvier 98, donné en années. e c. d. Les poins de la droie D son conondus avec ceu correspondan au données de la ligne ; les valeurs des lignes e son des valeurs rès proches (égales si on n observe que les arrondis au cenième) : ceci perme d assurer la conjecure eecuée précédemmen (mais ce n es pas une preuve, aenion!). l a. Si on es passé de la ligne à la ligne avec le logarihme népérien, on passe «réciproquemen» de la ligne à la ligne avec l insrucion eponenielle (de base e). D après les quesions précédenes, si la ormule 0,6 + 0,6 perme d approimer la ligne, la ormule e 0,6 + 0,6 doi permere d approimer la ligne. c. Il es alors opporun de parler de décroissance eponenielle pour la populaion de cee ville. d. Si on arrondi les accroissemens relais à chires après la virgule, on observe des variaions relaives consanes, égales à 0,, soi une populaion diminuan consammen chaque année de % : ceci assure encore la conjecure eecuée sur la décroissance eponenielle de la populaion. l a. Le er janvier 98 correspond à = 0 ; une esimaion de la populaion de cee ville à cee dae es donnée par le calcul e 0, ,6 soi environ 8 personnes. Le er juille 90 correspond à =, ; une esimaion de la populaion de cee ville à cee dae es donnée par le calcul e 0,6, + 0,6 soi environ 8 6 personnes. c. Le er ocobre 99 correspond à =,7 ; une esimaion de la populaion de cee ville à cee dae es donnée par le calcul e 0,6,7 + 0,6 soi environ 0 personnes. d. Soi à résoudre e 0,6 + 0,6 e 0,6 + 0,6 e ln 0,6 + 0,6 ln 0,6 + ln 0,6 soi duran l année 986, à parir du er janvier 987. ; 0,6 + ln 0,6 8,6,. Foncion logarihme népérien 7

6 l La décroissance a pu êre amorcée (ou en ou cas enreenue) par la crise qui débua au Éas-Unis, don l année marquane es 99. La deuième guerre mondiale, commencée en 99, pourrai perurber ce phénomène. TP Algorihme de consrucion de angenes l Deu ichiers sous AlgoBo son proposés pour ce TP sur le CD, avec annoaions e eplicaions dans la case «présenaion de l algorihme». l a. M 0 es le poin de coordonnées (0 ; ) ; N 0 es le poin de coordonnées ( ; 0). y CC 0 N 0 M l a. N 0 de coordonnées ( ; 0) es un poin de C car ln = 0. c. La droie (M 0 N 0 ) passe le poin de C d abscisse, N 0, e a pour coeicien direceur. Or le nombre dérivé de la oncion ln en es =. La droie (M 0 N 0 ) es la angene à C en N 0. Coordonnées Coordonnées Coeicien direceur y de M n de N n de la droie (M n N n ) Iniialisaion n = 0 (0 ; ) ( ; 0) e 0 n = (0 ; 0) (e ; ) e e n = (0 ; ) (e ; ) e e 7. Foncion logarihme népérien

7 y M M 0 M N N 0 N CC N de coordonnées (e ; ) es un poin de C car ln e = ; N de coordonnées (e ; ) es un poin de C car ln(e ) =. c. La droie (M N ) passe par le poin de C d abscisse e, N, e a pour coeicien direceur. Or le e nombre dérivé de la oncion ln en e es aussi e. La droie (M N ) es donc la angene à C en N. l On applique la même méhode avec la droie (M N ). a. L insrucion «prend la valeur e» énonce que pour passer d une valeur de à une nouvelle valeur, on muliplie par e, ce qui perme de jusiier que la suie ormée par les nombres es une suie géomérique de raison e. L abscisse du poin N n es, d après la quesion précédene, un erme d une suie géomérique de er erme e de raison e, pouvan alors êre donnée par la ormule e n = e n. c. L insrucion «y prend la valeur + y»» énonce que pour passer d une valeur de y à une nouvelle valeur, on ajoue, ce qui perme de jusiier que la suie ormée par les nombres y es une suie arihméique de raison. d. L ordonnée du poin M n es, d après la quesion précédene, un erme d une suie arihméique de er erme e de raison, pouvan êre alors donnée par la ormule + n = + n. L ordonnée du poin N n es + n + = n. e. À l éape n, M n (0 ; + n) e N n (e n ; n).. Le coeicien direceur es n ( + n) e n = 0 e n. g. On peu reprendre le même mode de raisonnemen qu à la quesion. c., à savoir prouver que N n es un poin de C, puis que le coeicien direceur de la droie (M n N n ) es le coeicien direceur de la angene au poin N n. l a. lim ( ) n + en = + car e >. La suie ormée a pour erme général en oncion de n l epression e n = n ; cee suie es une e suie géomérique de raison e. lim n n + = 0 car 0 < e e <. c. Lorsque n end vers l inini, l abscisse des poins de angence de C donnés par l algorihme end vers l inini e le coeicien direceur de ces angenes end vers 0. On peu conjecurer que lorsque croi en valeurs sricemen posiives, la angene de C au poin d abscisse end vers une angene horizonale (de coeicien direceur 0). On peu alors conjecurer qu en +, la courbe C peu se conondre avec une droie horizonale (reprenan par eemple le principe de la oncion inverse, sa représenaion qui se conond en + avec l ae des abscisses).. Foncion logarihme népérien 7

8 d. La limie de la suie ormée par les ordonnées des poins N n es + ; la conjecure donnée précédemmen es ausse, on peu écrire lim ln = +. + TP Une able de logarihmes népériens des muliples de ou l a. En G, nous pourrons lire le logarihme népérien de 8 = 0 76 ; en C celui de 0 = ; en I6 celui de 0 6 = 79. = ; nous pourrons lire son logarihme népérien en F0. l a. L enier naurel associé à C6 es 0 0 = ; la valeur inscrie en C6 es ln = 0. Nous pourrons lire en C7 le logarihme népérien de 0, en C8 celui de 0, en C9 celui de 0. On passe d un enier au suivan en le muliplian par. c. Pour passer du logarihme népérien d un enier au suivan, on ajoue alors ln (puisque le logarihme népérien ransorme une muliplicaion par en addiion avec ln ). Une approimaion de ln es la case B, don on bloque le, soi B$, pour une recopie en colonne. d. 6 = 0 ; ln 6 se li dans la cellule C0 : ln 6,77. 6 = 6 0 ; ln 6 se li dans la cellule C : ln 6,8 6. l a. Les eniers don le logarihme népérien doi êre inscri dans la colonne D son de la orme n, avec n allan 0 à 9. Les eniers don le logarihme népérien doi êre inscri dans la colonne E son de la orme n, avec n allan 0 à 9. On passe des eniers correspondan à une colonne au eniers de la colonne suivane en muliplian par. c. On passe alors du logarihme népérien d un nombre à celui de la colonne suivane en ajouan ln. On peu inscrire en D6 la ormule «=C6+$B$». d. D après cee able, ln( ),8 8 ; ln(6) = ln( ),8 ; ln() = ln( ) 6,068 e ln(0 76) = ln( 8 ) 9, Foncion logarihme népérien

9 l l a. ln( ) = ln( 9 ) = ln( 9 ) + ln( ). On applique la ormule «=C+C» dans une cellule libre (sur le CD en ongle «quesion») e on obien ln( ) 9,70. ln( ) = ln( 9 ) + ln( 9 ) + ln( ). On applique la ormule «=L6+L6+F6» puis on li ln( ), c. ln( ) = ln( ) + ln( ), soi environ,77 0. d. Avec la calcularice,,7 0, soi un nombre de l ordre de cen mille milliard. Toujours à la calcularice, ln( ),77 9. e. Les deu valeurs rouvées de ln( ) son rès proches, e ceci pour un nombre d ordre de grandeur rès imporan. Cee able des logarihmes népériens de muliples de e peu êre considérée comme iable. a. Les deu cellules de la able qui donnen l encadremen le plus précis possible de 9 son H e J8. Elles donnen 8,98 < 9 < 9,076, encadremen de l ordre du diième. Un encadremen de ce réel inconnu, qui es en ai e 9, es alors donné par les nombres = e 7 = L imprécision de l encadremen rouvé, de l ordre du millier, es dû au changemen d ordre de grandeur des nombres par le passage à l eponenielle (don la méhode ene de s approcher) alors que l encadremen de 9 éai relaivemen plus précis : on obien une remarque conraire à la quesion, qui peu êre logique puisque l uilisaion de l eponenielle es réciproque au logarihme. TP Sagnaion e aures Pour le TP, les ichiers sur le CD concernan l algorihme de l énoncé son donnés pour Casio, TI, Pyhon, Scilab e Algobo. On rouve aussi avec les mêmes langages de programmaion l algorihme modiié el qu il es demandé en quesion. l Pour I = 0, F = 0 e n =, l algorihme aiche le message «sagnaion». I = 00, F = 0 e n =, l algorihme aiche le nombre,7 (sous Algobo). I = 6, F = e n = 7, l algorihme aiche le nombre,09 7 (sous Algobo). l a. F/I correspond au coeicien muliplicaeur qui perme de passer de I à F. Avec l algorihme, r prend au dépar la valeur F/I. r = es équivalen à F = I, donc il n y a ni augmenaion ni diminuion en passan de I à F, soi une sagnaion. Lorsque F > I, F/I > (en ayan gardé à l espri que I > 0 e F > 0). c. F/I > ln(f/i) > ln( re insrucion en rouge) ln(f/i) > 0 ln( F / I ) > 0 n n (e insrucion en rouge e n > 0) ln( F / I ) > 0 n ep ln( F / I ) n > ep( 0)(e insrucion en rouge) ep ln( F / I ) n > Le cas F/I > es équivalen à la condiion r > de l algorihme. d. Le dernier Sinon de l algorihme (insrucion en bleu) renvoie à la condiion r < (ou plus précisémen 0 < r < ). On peu reprendre le raisonnemen de la quesion précédene e monrer que c es équivalen à 0 < F/I <. Avec I > 0 e F > 0, 0 < F/I < es équivalen à F < I. e. L algorihme uilise la variaion absolue des valeurs I e F lors de son applicaion ; les résulas numériques proposés peuven êre un ouil de mesure de cee variaion, ou en ou cas une donnée qui es une conséquence d une diminuion ou d une augmenaion absolue. l a. On peu remplacer la suie d insrucions en rouge par une seule insrucion équivalene commençan par «Aecer à r la valeur ep lnr». n. Foncion logarihme népérien 7

10 , c. e d. Enrées : Débu : Fin I e F des nombres réels sricemen posiis n es un enier naurel non nul r es aecé de la valeur F/I Si r = Aicher le message «sagnaion» Sinon Aecer à r la valeur ep ln r n Si r > Aicher le message «augmenaion» Aecer à r la valeur (r ) 00 Sinon Aicher le message «diminuion» Aecer à r la valeur ( r) 00 Fin Si Aicher r Fin Si l l a. Les données numériques suivanes son données par le logiciel Algobo ; dans chaque cas, le message «augmenaion» apparaî puis : pour I = 00, F = 06 e n =, l algorihme aiche le nombre 6. pour I = 00, F = 0 e n =, l algorihme aiche le nombre 0. pour I = 00, F = 0 e n =, l algorihme aiche le nombre 0. pour I = 00, F = 00 e n =, l algorihme aiche le nombre 0. pour I = 0, F =, e n =, l algorihme aiche le nombre. Dans les deu premiers cas, le nombre aiché correspond à la valeur absolue de I e F ; on peu remarquer que cee correspondance n es pas vraie pour des choi de I diérens de 00, mais que ces nombres aichés son proporionnels à cee variaion absolue, comparaivemen à la valeur de dépar e 00 : on peu conjecurer que le nombre aiché es la variaion relaive de I à F, écrie en pourcenages. I F n Nombre aiché , , 7.77 On peu conjecurer que le rôle de l algorihme dans le cas r > es d aicher l augmenaion en pourcenage moyenne enre I e F, considéran que n es le nombre d augmenaions réalisées pour passer de I à F. On peu conjecurer que le rôle de l algorihme dans le cas r < es d aicher la diminuion en pourcenage moyenne enre I e F, considéran que n es le nombre de diminuions réalisées pour passer de I à F. 76. Foncion logarihme népérien

11 l6 a. Supposons F > I. Soi le pourcenage moyen d augmenaion sur n éapes pour aller de I à F. vériie l équaion I + n = F car une augmenaion de % correspond à une muliplicaion 00 par +, n augmenaions de % corresponden à n muliplicaions par +, soi une muli plicaion par + n ; enin + n 00 = F 00 I. r > ; r es aecé de la valeur + n. 00 Puis r es aecé de la valeur ln r soi ln + n, soi n ln Puis r es aecé de la valeur r/n, soi ln Puis r es aecé de la valeur ep r, soi ep ln + 00 = + 00 ; r > ; on aiche le message «augmenaion», puis r es aecé de la valeur (r ) 00 soi. On aiche la valeur de r, soi. Le cas F < I peu êre raié de manière analogue en commençan par, pourcenage moyen de diminuion sur n éapes pour aller de I à F, vériian l équaion I n = F. 00 TP l La oncion log Le pei algorihme de l énoncé es présené sur le CD es donné sous Casio, TI, Pyhon, Scilab e Algobo. Suivan l ouil uilisé, il au aire aenion à l insrucion log, qui correspond parois au logarihme népérien. a. On peu conjecurer que loga + logb = log(a B). La oncion log semble déinie sur ]0 ; +[. On peu conjecurer que : 0 + log 0 log 0 + c. Les conjecures précédenes concorden avec des propriéés de la oncion logarihme népérien, d où le nom de logarihme. l a. log(0) =. L ajusemen de la enêre d aichage à la calcularice es approimai ; pour un repère orhonormal eac, on peu uiliser Géogébra (avec ichier sur CD). Sur TI8+, avec le graphique ci-conre, la enêre choisie es : Xmin :, Xma :, Ymin :,, Yma :,. On peu conjecurer que dans un repère orhonormal, les courbes représenaives de la oncion log e de la oncion eponenielle de base 0 son symériques par rappor à la droie d équaion y =. c. Les deu remarques précédenes meen en valeur la correspondance enre log e oncion eponenielle de base 0, qui coïnciden avec la oncion ln e la oncion eponenielle de base e, d où le nom de logarihme décimal.. Foncion logarihme népérien 77

12 l a. La probabilié que ce nombre ai pour premier chire es log + 0,0. Chire c Probabilié d appariion de c 0,0 0,76 0, 0,097 0,079 0,067 0,08 0,0 0,06 La probabilié que ce nombre ai pour premier chire es environ 0,0, qui es proche de 0,. On peu aussi remarquer que la probabilié d appariion de c es décroissane alors que c croi. c. Ces données corresponden à une loi de probabilié car les nombres donnés son compris enre 0 e, e que la somme de ces nombres es. De plus, log + log + log + log + 6 log + 7 log + 8 log log log 8 9 = log = log(0) = d. Les données de cee enreprise ne corresponden pas à celles énoncées plus ô. Les données de cee enreprise on pu êre alsiiées, sans enir compe de cee loi de Benord : une vériicaion des données de cee enreprise peu s imposer, ain de conirmer ou non cee irrégularié. Corrigés des eercices e problèmes Eercices d applicaion 6 a. 7 + = 7 7 a. e ln e ln = e ln 7 = 7 e 8 ln a. e ln = ep( ln )ep( ln ) = ep ln ( ) 9 a. ( e ln ) = 9 ( e ln ) 8 = 6 0 a. ( e ln ) e ln = 0 ( e ln ) = a. ( ep( ln ) ) = ep ln 8 ( e ln 6 ) ( e ln 9 ) = 8 ( ) a. (ln ) = 9 (ln ) = 66 c. ( ln ) = a. e + ln e + ln ( e ln ) + = 8 7 a. Impossible car 0 ; ne peu pas êre écri sous noaion eponenielle. Impossible. a. e6 + ln 0 e + ln 6 a. Pas de soluion dans R. e = e 0 = 0. 7 a. e = e ln 0, = ln 0, ;,0. e = e ln = ln ;,0. 8 a. e = e = e ln = ln ; 0,. e = e = e ln = ln ; 0,69. 9 a. e + = e ln 7 = + ln 7 ; 0,0. e = ln = eln = ;, Foncion logarihme népérien

13 0 a. e = = eln = ln ; 0,. e + = ; pas de soluion dans R. e = e ln = ln ; = ln,0 ou = ln,0. e = e ln 0, = ln 0, avec ln 0, < 0 ; pas de soluion dans R. a. e > e ln > ln ; l ensemble des soluions es S = ]ln ; +[. e < e ln < ln ; l ensemble des soluions es S = ] ; ln [. c. e > > ln ; l ensemble des soluions es S = ]ln ; +[. d. e < ; pas de soluion dans R. e. e + e ln + ln ; l ensemble des soluions es S = ] ; + ln ].. e > ; l ensemble des soluions es S = R. g. e + > < ln ; l ensemble des soluions es S = ] ; ln [. Ce eercice es corrigé dans le manuel, p. 9. a. e = e + ln 7 = ln 7. e ln 7 > e ln > 6 + ln ln 7 ; l ensemble des soluions es S = ] 6 + ln ln 7 ; +[. c. e + > ; l ensemble des soluions es S = R. a. e 7 = e + ln 6 = 7 + ln 6. e > 0 e e >0, soi e < 0 ; pas de soluion dans R. c. e e + ln ; ln ; l ensemble des solu- ions es S = [ ln ; +[. 6 a. ln + e 0 + ln e c. ln e d. ln e Il au penser à réinvesir la règle du produi nul dans ce eercice. a. L ensemble des soluions es S = {ln ; + ln }. L ensemble des soluions es S = {ln ; ln }. c. L ensemble des soluions es S = {0}. 8 a. On développe l epression (e )(e ). On résou (e )(e ) = 0 ; l ensemble des soluions es S = {0 ; ln }. c. 0 ln + e e 0 + (e )(e ) L ensemble des soluions es S = ] ; 0[ ]ln ; +[. 9 a. c. L epression n eise pas. d. e. L epression n eise pas.. 0 a. +, epression déinie sur ]0 ; +[., epression déinie sur R. c., epression déinie sur ]0 ; +[. a. = = e c. = e a. ln > 0 ln 0, < 0 c. ln, > 0 d. ln 0,98 < 0 a. = e, ;,8 = e 0, ;, c. = e 0 ; 0,00. Aenion à l écriure scieniique donnée par ceraines calcularices!. Foncion logarihme népérien 79

14 d. = e ; le nombre a une valeur rop imporane pour que la calcularice en donne une écriure décimale. a. L ensemble des soluions es S = { ; e }. L ensemble des soluions es S = { e }. Aenion :, aure soluion possible, n apparien pas à ]0 ; +[! c. L ensemble des soluions es S = {ln 0,9 ; e }. d. L ensemble des soluions es S = { e ; e }. a. ln > ln > ; l ensemble des soluions es S = ] ; +[. ln ln e e ; l ensemble des soluions es S = ]0 ; e [ c. ln > 0 > e 0 ; l ensemble des soluions es S = ] e0 ; +[. d. ln e ; l ensemble des soluions es S = ]0 ; e ]. e. ln < < e ; l ensemble des soluions es S = ]0 ; e[.. ln e ; l ensemble des soluions es S = [e ; +[. 6 Ce eercice es corrigé dans le manuel, p a. 0 e + 7ln L epression es posiive pour [e ; +[. 0 e + ln + 0 L epression es posiive pour ]0 ; e ]. c. 0 e e + ln 0 + ln (ln )(ln + ) L epression es posiive pour ]0 ; e ] [ e ; +[. d. 0 e 7 e + 7ln + 0 ln ( 7ln )( + ln ) L epression es posiive pour ]0 ; e 7 ] [e ; +[. 8 Ce eercice es corrigé dans le manuel, p a. 0 e ln ( + )(8 ln ) L ensemble des soluions es S = [ ; e ]. 0 e ln + e ln ( e + )(ln + ) L ensemble des soluions es S = ] e ; ln [. 0 Ce eercice es corrigé dans le manuel, p. 9. a. L epression ln( + ) es déinie pour + > 0, soi pour < ou ] ; [. Dans ] ; [, ln( + ) = ln( + ) = ln(e ) = e avec e <. c. Dans ] ; [, ln( + ) e. Les soluions son les réels de ] ; [ qui vériien e ; l ensemble des soluions es donc l in- ervalle ] ; e [. a. () = + () = + c. () = ln + ( ) = ln + d. () = ln e. () = ( + ln ) = ln. () = ( + ) ln + ( + ) = ln ( + ) g. () = eln Foncion logarihme népérien

15 a. () = ; sur ]0 ; +[, () > 0 e es alors sricemen croissane. () = = () 0 + a. () = ln + ; sur ]0 ; +[, () < 0 e () 0 + ln 9 a. () = ln = ln 0 e + () + 0 e es donc sricemen décroissane. () = + = () ln + () = ln + = ln 0 e + () 0 + e 0 Ce eercice es corrigé dans le manuel, p. 9. () = ( ln ) + ln = Ce eercice es corrigé dans le manuel, p () = = () + 0 ln 7 Ce eercice es corrigé dans le manuel, p () = = es un rinôme du second degré. = ; il adme deu racines qui son e. 0 e + + ln () 0 + e a. () = ln = ln 0 e + ln () + 0. Foncion logarihme népérien 8

16 a. () = ln ( ln ) + (ln ) ( ) = ln ( ln ) = ln ( ln ) 0 e + ln ln () a. ln ln c. 0 ln d. ln a. ln 9 = ln, donc ln 9,. ln 7 = ln, donc ln 7,. c. ln 8 = ln, donc ln,. 8 d. ln 8 = ln, donc ln 8,. 6 a. c. d. 7 a. ln + ln ln + ln c. ln + ln d. ln + ln e. ln ln. ln + ln g. 6ln ln h. ln ln i. j. ln + ln ln 8 a. ln 0 ln c. ln 6 e. ln 7 d. ln 9 6. ln Ce eercice es corrigé dans le manuel, p a. ln + ln = ln = ln 0 ln ln = ln = ln = 0 c. ln 00 + ln 0 = ln 00 0 = ln 00 = ln(0 ) 6 Ce eercice es corrigé dans le manuel, p a. ln 00 ln 99 = ln ; 00 >, donc A > B. 99 ln = ln 6 ; ln = ln 0 ; 6 < 0, donc A < B. c. ln = ln 8 = ln = ln 9 ; A = B. 9 6 a. e ln a = a pour a > 0 ; ln(e a ) = a pour a réel quelconque. Pour a réel quelconque, a + ln( + e a ) = ln(e a ) + ln( + e a ) = ln(e a ( + e a )) = ln(e a +e a e a ) = ln(e a + ). 6 Ce eercice es corrigé dans le manuel, p L epression ln( ) es déinie pour > ; l epression ln es déinie pour > 0. Conclusion : > e > 0, soi ] ; +[. Dans ] ; +[ : ln( ) + ln = ln ( ) = = 0. = 0 es une équaion du second degré avec = > 0, donc deu soluions e. Dans ] ; +[ : =. 66 Ce eercice es corrigé dans le manuel, p a. L epression ln es déinie pour > 0 ; l epression ln( ) es déinie pour <. Conclusion : > 0 e <, soi ]0 ; [. Dans ]0 ; [ : ln ln( ) = ln 6 ln = ln = 6 = 0. Dans ]0 ; [ : = 8 7. Dans ]0 ; +[ : ln ln = ln 7 ln = ln 7 = 7 = 8 =. 68. Les oncions des quesions a., c., d. e. son des oncions logarihmes ; 8. Foncion logarihme népérien

17 Eemple de démonsraion pour la quesion a. : avec a e b sricemen posiis, (a b) = ln(a b) = [ln a + ln b] = ln a + ln b = (a) + (b). Conre-eemple pour la quesion : a = e b =, (a b) = () = ln ; (a) + (b) = ln e (a b) (a) + (b).. Pour la quesion a., on a une oncion logarihme de base e. Démonsraion : dans ]0 ; +[, ln = ln = = ln e = ln e = e. Pour la quesion c., on a une oncion logarihme de base e. Pour la quesion d., on a une oncion logarihme de base 0. Pour la quesion., on a une oncion logarihme de base e. 69 a. (u n ) es une suie géomérique de raison ; u n = n. Pour n enier naurel, v n+ = ln(u n+ ) = ln u n = ln + ln(u n ) = ln + v n ; (v n ) es une suie arihméique de raison ln ; v 0 = ln e v n = nln. 70 a. ln(, n ) > ln 0 n ln, > ln 0 ln, > 0 e n > ln0 ln, ; ln0,7 soi n = 6. ln, ln( 0,7 n ) ln 0, n ln 0,7 ln 0, ln 0, ln 0,7 < 0 e n ln 0,7 ; ln 0, 8,00 soi n = 9. ln 0,7 7 a. ln(,0 n ) ln n ln,0 ln ln,0 > 0 e n ln ln,0 ; ln 8, soi n = 9. ln,0 ln( 0,9 n 00 )< ln 0 n ln 0,9 < ln 00 0 ln 0,9 < 0 e n > soi n =. ln 00 0 ln 0,9 ; ln 00 0 ln 0,9,98 ln 7 ln 8 7 a. = e = e ln, c. = e e. 7 = 6 ; = e d. = e ln 0, 6 ln 6 ln 0, = 0,8 ; = e 8 7 a. + ln, 00 = e ln, 6 = 00 e 6 ;, ; une augmenaion de 0 % équivau à si augmenaions successives d environ, %. 00 = e ln 0,9 = 00 e ln 0,9 ;, ; une diminuion de 0 % équivau à deu diminuions successives d environ, %. 7 a. + ln 00 = e ln 0 = 00 e 0 ;,6 ; une augmenaion de 00 % équivau à di augmenaions successives d environ,6 %. 00 = e ln 0, = 00 e ln 0, ;,9 ; une diminuion de 0 % équivau à quare diminuions successives d environ,9 %. Eercices d approondissemen 7 L algorihme es donné sur le CD sous Casio, TI, Pyhon, Scilab e Algobo. a. Pour a = e b =, le résula es c = 6 ; pour a = e b =, le résula es c =. Ce programme donne le produi de deu nombres réels (sricemen posiis). Soien deu nombres a e b (lignes e ). c = ln a + ln b (ligne ) ; c eise pour a e b sricemen posiis. c devien e ln a + ln b = e ln a e ln b = a b (ligne ). Le produi de a par b es aiché (ligne ). 76 Ce eercice es corrigé dans le manuel, p a. Posons X = e ; soi à résoudre X X + = 0. = > 0 ; cee équaion adme deu soluions qui son X = ou X =. ( e ) e + = 0 e = ou e = = 0 ou = ln. Sur R, l ensemble des soluions es {0 ; ln }. Posons X = e ; soi à résoudre X + 8X 6 0. = 6 > 0 ; X + 8X 6 = 0 adme deu soluions qui son X = ou X =. + X + 8X e ( ) + 8e 6 0 e e e 0 ou ln Sur R, l ensemble des soluions es S = ] ; 0] [ln ; +[. c. Posons X = e ; soi à résoudre X X = 0.. Foncion logarihme népérien 8

18 = 0 < 0 ; cee équaion n adme pas de soluion dans R : e e = 0 n adme pas de soluion ( ) dans R. d. Posons X = e ; soi à résoudre X 6X = 0 ; l équaion X 6X + 9 = 0 adme une unique soluion X =. + X 6X ( e ) 6e e R. Sur R, l ensemble des soluions es R. 78 Les eercices ercices 76 e 77 doiven êre eecués avan ce eercice car ils permeen de mere en évidence ceraines condiions de l algorihme. Voici l algorihme présené sous Algobo : REMARQUES sous Algobo, l insrucion log() correspond à la oncion ln. Il n y a de message que lorsqu il n y a pas de soluion ; aucun message n es donné pour prévenir d une ou deu soluions (ain de ne pas alourdir l algorihme). L algorihme es aussi donné sur le CD sous Casio, TI, Pyhon, e Scila 79 a. () = e +. Soi à résoudre e + = e + = = eln ln =. Il eise une angene à la courbe représenaive de ln en un poin d abscisse. c. Soi à résoudre e + = e + =, qui n a pas de soluion dans R ; il n eise pas de angene de coeicien direceur, donc parallèle à la droie d équaion y =. 80 a. () = e ln e ln 8 a. () = e e ; e (e ) = e e e = () ln + e 0 + e + () 0 + c. Soi à résoudre e e = ( e ) e = 0. Posons X = e ; soi à résoudre X X = 0. = 9 > 0 ; cee équaion adme deu soluions qui son X = ou X =. ( e ) e = 0 e = ou e = = ln. 8. Foncion logarihme népérien

19 Il eise un poin d inersecion de coordonnées (ln ; ). d. (ln ) = 6 ; (ln ) = ; y = 6 + 6ln. 8 a. (ln )(ln + ) = (ln ) + ln. (ln ) + ln ( ln )(ln + ) = 0 ln = ou ln = = e ou = e. Sur ]0 ; +[, l ensemble des soluions es { e ; e }. 8 Ce eercice es corrigé dans le manuel, p a. Posons X = ln ; soi à résoudre X 9X + 8 = 0 = 7 > 0 ; cee équaion adme deu soluions qui son X = 9 7 ou X = ( ln ) 9ln + 8 = 0 ln = 9 7 ou ln = = e ou = e. Avec les inormaions de la quesion précédene : X 9X ( ln ) 9ln + 8 > 0 ln < 9 7 < e + ou ln > < e ou > e. Les soluions son les réels de ]0 ; +[ qui vériien ou > e ; l ensemble des soluions es donc l inervalle ]0 ; e [ ] e ; +[. c. Posons X = ln ; soi à résoudre 9X + 6X + = 0. = 0 ; cee équaion adme une soluion qui es X =. 9( ln ) + 6 ln + = 0 ln = = e. d. Avec les inormaions de la quesion précédene : 9X + 6X ( ln ) + 6 ln + < 0 n a pas de soluion dans R. e. Posons X = ln ; soi à résoudre X + X = 0. = > 0 ; cee équaion adme deu soluions qui son X = ou X =. ( ln ) + ln = 0 ln = ou ln = = e ou = e.. Avec les inormaions de la quesion précédene : + X + X ( ln ) + ln > 0 ln > e ln < > e e < e. Les soluions son les réels de ]0 ; +[ qui vériien > e e < e ; l ensemble des soluions es donc l inervalle ]e ; e [. 8 a. Sur ]0 ; +[, e n ln = (e ln ) n = n = (). es de la orme e u avec u() = n ln () = n en ln c. () = n n = n n ; cee démonsraion ne peu êre généralisée sur R car elle uilise l epression ln déinie pour > Sur ]0 ; +[, () = n = e n ln es de la orme e u avec u() = n ln () = n e n ln = n n = n n+ 87 a. ln es au dénominaeur ; donc ln 0. () = ( ln ). c. (e) = e ; (e) = ; y = e a. () = ln + = ln +. Soi à résoudre dans]0 ; +[ ln + = ln = = e. Il eise une angene à la courbe représenaive de, au poin d abscisse e. 89 Ce eercice es corrigé dans le manuel, p a. () = e () = 0. () > 0 pour ]0 ; [ ; () > 0 pour ] ; +[. e. a. () = = a + b b ln. b ( a + b ln ) () = a + b ln = a = ; a + b b ln () = 0 = 0 a + b = 0 ; a = b =.. Foncion logarihme népérien 8

20 c. Sur ]0 ; +[, () > 0 ln > 0. 0 e + ln () + 0 () > 0 pour ]0 ; e [ ou ]0 ; e [. Sur ]0 ; +[, () > 0 ln > ln () 0 + () > 0 pour ] ; +[. 9. a. () =, () = e () = a. () = b + c., () = a + b + c ln = a + b = () () = b + c = b + c = () () = 0 b + c = 0 b + c = 0 () On résou le sysème ormé des équaions () e () : b = ; c =. Ensuie, avec (), on obien a =. c. () = + + ln e () = + = () ln 9 a. Sur ]0 ; +[, () = + e ; sur ]0 ; +[, () > 0, donc es sricemen croissane. () 0,7 e () 0,. Sur ]0 ; +[, coninue. Sur ]0 ; +[, () > 0 es sricemen croissane ; () < 0 e () >0. D après le héorème des valeurs inermédiaires, () = 0 adme sur ]0 ; +[ une unique soluion encadrée par e. Donc (E) adme sur ]0 ; +[ une unique soluion encadrée par e. c. On uilise sur la calcularice le ableau de valeurs de la oncion e on déermine que la soluion vau environ,78, ce qui laisse supposer qu il s agi du nombre e. Cee conjecure es vériiée par le calcul : (e) = ln(e) e e = = 0. 9 Ce algorihme perme de ripler un nombre réel. Une jusiicaion : Soi A un nombre réel (ligne ) ; B vau (e A ) (ligne ), soi B = e A. C vau ln B (ligne ), soi C = ln(e A ) = A. On aiche C (ligne ), soi A. 9 a. ab > 0 ; la moyenne géomérique de a e b es ab ; son logarihme népérien es : ln ab = ln ab = (ln a + ln b), soi la moyenne arihméique des logarihmes népériens de a e Sur ]0 ; +[, la oncion ln es une oncion concave. c. On en dédui que ln( a + b ) ln ab, soi a + b ab, ceci pour a e b sricemen posiis. 9 Ce eercice es corrigé dans le manuel, p a. Une diminuion de % correspond à une muliplicaion par % = 0,69. D où 999 0,69 n 00 0,69 n n ln 0,69 ln 00 ln 999 n 999 ln 0,69. ln , ; n = 7. ln 0,69 Soi à déerminer la valeur minimale de n elle que : 0,69 n 0,9 n ln 0,69 ln 0,0 ln 0,0 n ln 0,69. ln 0,0 8, ; n = 9. ln 0, Foncion logarihme népérien

21 97 a. A n = 00,0 n ; B n = 0,0 n. On doi déerminer n el que : 0,0 n > 00,0 n,0,0 c. n >,0,0 n > 00,0 n ln 0,0 ln 00 0 ln,0,0 ln 00 0 ln,0 8, ; n = 9.,0 n > ln 00 0 > Ce eercice es corrigé dans le manuel, p u + u + + u n = u 0,9n 0,9 = 000 ( 0,9 n ) ; u + u + + u n > ( 0,9 n ) > ( 0,9 n ) > 99 0,9 n < 0,0 ln 0,0 n > ln 0,9. ln 0,0,7 ; n =. ln 0,9 00 a. (u n ) es une suie géomérique de raison ; u n = n. Au bou de n quars d heures, le nombre de personnes «au couran» es : u 0 + u + u + + u n = u 0 n + = n +. c. Il au déerminer la plus peie valeur de n el que : n n ln n + ln ln ,0 ; n =, ln soi au bou heures. 0 Ce eercice es corrigé dans le manuel, p a. La suie (u n ) éan géomérique, u 8 = u q 7 soi 0 q 7 =. q > 0 : 0 q 7 = q 7 = 0, ln(q 7 ) = ln 0, ln 0, 7. ln 0, 7 ln q = ln 0, ln q = q = e 7 0 ( q) 7 = ; le réel q n es pas une aure raison possible de la suie (u n ). 0 a. Soi q la proporion quoidienne de diminuion associée à cee siuaion. On a q > 0 e q 7 = 7 % q = e ln 0,7 7 ; q 0,96. La proporion de diminuion au bou de 0 jours = 00( e 0 ln 0,7 7. es q 0 = e 0 Ce eercice es corrigé dans le manuel, p On recherche le pourcenage el que : + = + 00 % = = + ln = e ln ) ;. 06 On recherche le pourcenage el que + 0 0,9 = 00 0, =. + 0 = + ln = e 0 ln = 00( e 0 ) ; a. Sur la période de 009 à 0, le chire d aaires es muliplié par : ( 0 %)( 7 %)( 8 %) = 0,770 0 ; 0,770 0 = 0,9 96, qui correspond à une diminuion de,996 %. = 0,770 0 car on recherche un au 00 annuel moyen de diminuion qui sur une période de années correspond à une muliplicaion par 0, c. = 0,770 0 ln 0, = e = 00( e ln 0,770 0 ) ; 8,. d. En 0, le chire d aaires supposé es de ln 0, e Soi le pourcenage de diminuion de la valeur d un PC sur les di années de 999 à 009. vériie 0 = 0, 00 ln 0, 00 = e 0 ln 0, = 00( e 0 ) ;,87. Soi le pri recherché, di-sep années avan 009. ln 0, 7 vériie e 0 = 0, soi = ln 0, e 0. Foncion logarihme népérien 87

22 Objeci BAC Se eser sur le logarihme népérien Les eercices de cee rubrique son corrigés dans le manuel, p.96. Voir ichiers logiciels. Sujes ype BAC Eercice résolu.. a. Année Monan de la somme aribué L augmenaion en pourcenage diminue, mais il s agi malgré ou chaque année d une augmenaion du monan aribué a. La variaion relaive es = 0,7, 000 soi une hausse de 7 % de la subvenion de 998 à 00. vériie = = =,7 + ln,7 00 = e ln,7 = 00( e ) ;,7. c. La subvenion en 00 es de 0 ( +,7) 7. Ce eercice es corrigé dans le manuel, p. 96. Parie A : Lecures graphiques. a. (), e (0). () = 0 (angene horizonale de coeicien direceur 0 au poin d abscisse ) () + 0,9. a. Les réponses des quesions.,. a. e. ormen un sysème de rois équaions avec rois inconnues. On peu par eemple vériier dans chaque équaion que a = 0,, b = e c = ain de valider () = 0, + + ln, ou résoudre ce sysème. () = + ln (,) ; (0) = + ln 0 ( ) ; le maimum de es () = + ln (,8). 6 Parie A : Éude d une oncion auiliaire. a. g () = +. Sur ]0 ; +[, > 0 e > 0 d où g () > 0. La oncion g es donc sricemen croissane sur ]0 ; +[. g () =.. a. D après la srice croissance de la oncion g, Si alors g () g() d où + ln. Si 0 < alors g () g() d où + ln. Sur ]0 ; +[, d après les quesions précédenes, Si =, alors + ln = 0. Si >, alors + ln > 0. Si 0 < <, alors + ln < 0. Parie B : Éude d une oncion. () = ln = + ln = g ( ) () 0 +. () ( + ) = ln. 0 + ln ln + 0 Parie B : Vériicaions algébriques. a. () = a + c. () = 0 soi a + c = 0 ou encore a + c = 0.. a. () =, soi a + b + c ln =, ou a + b =,. (e) = 7 0,e soi a e + b + c ln e = 7 0,e ou ae + b + c = 7 0,e. Pour =, C e se coupen au poin d abscisse e d ordonnée () =. Pour 0 < <, C es au-dessus de. Pour >, C es en dessous de.. La angene T es parallèle à la droie pour () = soi + ln = ou ln = 0 (ceci pour > 0) e donc = e. 88. Foncion logarihme népérien

23 . y CC I J 9 Surgelée a. C(0) = ae 0k 0 0 =, soi a 0 = e a =. C() = e k 0 =, soi l équaion e k 0 = e k = 0, k = ln 0, = ln. c. On doi déerminer el que e ln 0 = e ln = ln 7 = 7 ln = ln 7, h. ln 0 Équaions e oncions Parie A. = 8 > 0 ; cee équaion adme deu soluions qui son X = ou X = 6. 0 T Posons X = e ; e e +8 = 0 e ( ) e + 8 = 0 X X + 8 = 0 e = ou e = 6 = ln ou = ln 6. Problèmes 7 QCM. A Sur ]0 ; +[, k () = e + ln > 0.. B ln( ) es déinie pour < ; Sur ] ; [ : ln( ) > 0 ln( ) > ln > < 0.. A e ln a + ln b = e ln a e ln b = a. A ln(a) ln a = ln a = ln. a. B Vériicaion à la calcularice. C + ln(e + ) = ln e + ln(e + ) = ln [e(e + )]. 6. B Pour n enier naurel, u n+ = e ( n + )ln u n e n ln = e ln = e ln =. 8 QCM. A On uilise () =, puis () = soi () =.. D Il au penser à e ln = (e ln ).. A Il au penser au propriéés de la oncion ln e au résula ln e =.. C On peu par eemple vériier chaque proposiion avec l équaion correspondane : ln = ln( ), 6 + X X D où ln ln6 + e e Parie B. () = + e e ( ) = ( ) e ( e ) = e = e 6e + 9. ( ) e ( e ) e e + 8 ( e ). ln ln6 + e e (e ) + () 0 + ln 6 déinie pour > 0.. Foncion logarihme népérien 89

24 y m ln 6 CC Téléphonie. a. Sur ]0 ; +[ : () = 0 + ln = 0 = e ; 0,68. Sur ]0 ; +[ : () > 0 + ln > 0 > e ; S = ]e ; +[.. () = ( ln + ) = ln 0 + ln () + 0. a. Un bénéice posii correspond à la résoluion de l inéquaion () 0 soi e soi un nombre d objes minimal de 0,68 millier ou 68 objes. Il au vendre 000 éléphones pour réaliser un bénéice maimal de 000 euros. Éude de variaions. a. () = ( ln + ) = ln. ln = 0 ln = = ln e = e ; ln > 0 < e ; ln < 0 > e. ( e ) = e e ln e = e car ln e =.. a. = e e e ln e = e, car ln e = ; < 0. e (e ) = e e ln(e ) = e, car ln(e ) = ; (e ) < 0. Sur ]0 ; [, () < 0, donc () = 0 n adme pas de e soluion. Sur [ ; e ], es coninue, sricemen croissane, e < 0 e ( e ) > 0. e D après le héorème des valeurs inermédiaires, () = 0 adme une unique soluion. Cee soluion a une valeur approchée de 0,. Sur [ e ; e ], es coninue, sricemen décroissane, ( e ) > 0 e (e ) < 0. D après le héorème des valeurs inermédiaires, () = 0 adme une unique soluion. Cee soluion a une valeur approchée de,. Sur ]e ; + [, () < 0, donc () = 0 n adme pas de soluion. Vélib! Vélo v! Vélo! Parie A. () = ln = ( ln ). ( ) = ln. e 0 ln () + 0 e ln ln0 0 ln. 0,9 > 0, ; Sur [ ; e ], () = 0, n adme pas de soluion. Sur [ e ; 0], es coninue, sricemen décroissane, ( e ) 0,9 > 0, e (0) 0, < 0,. D après le héorème des valeurs inermédiaires, () = 0, adme une unique soluion. α,7. Parie B. La demande sera inérieure à 00 vélos lorsque () < 0,, soi un pri de locaion supérieur à,7.. () 0,60, soi une demande de 60 vélos. (,0) 0,60, soi une demande de 60 vélos ,009 8, soi une diminuion de 60 0,98 %. 90. Foncion logarihme népérien

25 ( ). a. E() = ( ) ( ) = ln ln = ln. ln E(),09, ce qui représene un écar de 0, % par rappor à la valeur calculée précédemmen. Parie C. La recee lorsque le pri es égal à es d environ 60 = 80.. R() = 000 ln = 000 ln.. R () = 000 ln = 000 ln.. e 0 ln R () e 00ln 00ln 0. La recee maimum es d environ,7 pour une recee d environ 89. Changemen de variable Parie A. a. () = ln + = ln. 0 e + ln () + 0. a. = > 0 ; cee équaion adme deu soluions qui son X = ou X =. Posons X = ln. Déerminer les abscisses des poins d inersecion de la courbe C e de l ae des abscisses, c es résoudre () = 0 (ln) ln + = 0 ln = ou ln = = e ou = e. () > 0 pour ]e ; e [. Parie B Le bénéice moyen par obje es donné par ().. Le bénéice moyen de l enreprise pour une producion de 000 objes es () =, soi un bénéice posii oal de = euros. Le bénéice moyen de l enreprise pour une producion de 000 objes es () 0,88, soi un bénéice oal négai de = euros.. L enreprise ai un bénéice posii pour () 0 soi 0 < e ou e, soi au plus 78 objes ou au moins objes. Le programme présené sous TI dans l énoncé es donné sous Casio, Algobo e Pyhon sur le CD.. a. Sur ]0 ; +[, () = ln = ln. 0 e + ln () e ln () 0 + c. D après le ableau de variaions, pour > e, () < e. D après le ableau de signe, pour > e (> ), () > 0. Donc pour > e, () ]0 ; e [.. a. La valeur iniiale de B es > e e, à chaque éape, on ajoue à la valeur de B, donc B > e à oue éape du programme. Y (B) es l image de B par. D après. c., comme B > e, alors Y (B) ]0 ; e [. c. Lorsqu on choisi une variable A supérieure ou égale à, la boucle sous condiion n es pas eecuée e B =, qui es la valeur aichée. e. a. Pour A = 0,, le programme aiche 6. Pour A = 0,, le programme aiche. B es un enier naurel don la valeur croi an que son image par es supérieure sricemen à 0,. es une oncion décroissane sur [ ; + [. () 0,0 > 0, ; (6) 0,099 < 0,. Le programme aiche la première valeur enière don l image es sricemen inérieure à 0,, soi 6. c. (67) 0,00 00 > 0,0 ; (68) 0, < 0,0.. Foncion logarihme népérien 9

26 Le programme aiche la première valeur enière don l image es sricemen inérieure à 0,0, soi 68. Pour 68, 0 < () < 0,0. d. Ce programme perme de déerminer la première valeur enière elle que l image de cee valeur e des valeurs suivanes es inérieure au nombre proposé dans l algorihme.. a. Valeur donnée 0,00 0,000 Valeur aichée Lorsque end vers l inini, () semble endre vers 0. La oncion logarihme népérien es une oncion croissane, ou comme la oncion idenié (qui es une oncion linéaire). Cependan, lorsque end vers l inini, ln semble endre vers 0, qui monre que la croissance logarihmique es aible, comparaivemen à la croissance linéaire. 6 Approimaion du logarihme népérien. a. y =. Pour ou > 0, ln d après la concavié de la oncion ln.. a. e g () = + = g () 0 + g c. Sur ]0 ; +[, g () 0 d après le ableau de variaions de g ; soi + + ln 0 e ln.. a. ln 0,99 0,99 0,99 soi 0,00 ln 0,99 0,00 0. La première approimaion d une valeur encadrée es donnée par la moyenne des valeurs qui 0,00 + 0,0 encadren : ln 0,99 ( ) ou 0,00 0. c. D après la calcularice, ln 0,99 0,00 00, rès proche de l approimaion eecuée précédemmen.. a. La moyenne de e,0 es d environ 0,09 80.,0 La moyenne de e, es d environ, 0,6 67. La moyenne de e es de,. 0 D après la calcularice, ln,0 0,09 80, ln, 0,0 7 e ln,6. Plus un nombre es éloigné de, moins la valeur approchée de son logarihme népérien déerminée par cee méhode semble iable. 7 Posiion relaive. a. n () = e = e e. 0 e + e + 0 e + n () + 0 n (e) = n. c. 0 e + n n. Éude dans le cas n = 0. a. 0 e () 0 Pour = e, 0 () = 0 ln = e : C coupe D 0 ; Pour ]0 ; e[ ]e ; +[, 0 () < 0 ln < e : C es en dessous de D 0 ; c. y D 0 0 CC d. D 0 es la angene à C au poin d abscisse e.. Éude dans le cas n =. a. 0 e + 9. Foncion logarihme népérien

27 (0,) 0, e (0) 0,. c. On applique le héorème des valeurs inermédiaires sur les inervalles [0, ; e] puis [e ; 0]. d. α 0, e β 8,. e. 0 α e β () Pour = α ou = β, () = 0 ln = e : C coupe D ; Pour ]0 ; α[ ]β ; +[, () < 0 ln < e : C es en dessous de D ; Pour ]α ; β[, () > 0 ln > e : C es au-dessus de D ;. Éude dans le cas n >. a. e n = n < < e pour n >. e n (e n ) = ln(e n ) e n + n = n e n + n e = e n < 0. c. On applique le héorème des valeurs inermédiaires en uilisan l inervalle [e n ; e]. d. 0 α n e β n + n 0 0 n () Pour = α n ou = β n, n () = 0 ln = e n : C coupe D n ; Pour ]0 ; α n [ ]β n ; +[, n () < 0 ln < e n : C es en dessous de D n ; Pour ]α n ; β n [, n () > 0 ln > e n : C es au-dessus de D n. 8 Les sons sous pression. 0 ( ) = ln ln( 0) 0 ln( 0) = 00 décibels ; 0 ( 0,) = ln ln( 0) ( ) = 0 ln( 0) = 80 décibels ; ln( 0 ) ln( 0 ) 0 ( 0,0) = ln 000 ln( 0) ( ) = 0 ln( 0) ln( 0 ) = 60 décibels.. On résou : 0 ln( 0 000p) = 0 ln(0 000p) = 6 ln(0) ln( 0) ln(0 000p) = ln(0 6 ) p = 0, soi une pression de 0 Pascals. 0. a. ( 0p) = ln p ln( 0) ( ) 0 = ln 0 ln( 0) ( ) + 0 ln( 0 000p) = 0 + (p). ln( 0) ( 00p) = = 0 ln 00 ln( 0) 0 ln( 0) ( ) + 0 ln ( p ) ln( 0) ln( 0 000p) = 0 + (p). «Le niveau sonore augmene de 0 décibels quand la pression s eerçan sur le ympan es mulipliée par 00.» 9 Analyse médicale Parie A ,9. On passe d un erme au suivan en muliplian par un nombre consan, d environ 0,9. Le nombre de souris encore malades correspond approimaivemen au cinq premiers ermes d une suie géomérique de raison 0,9.. Une diminuion de 6 % correspond à une muliplicaion par 6 00 = 0,9. Donc la suie (u n ) es une suie géomérique de raison 0,9 e de er erme u 0 = 000, soi pour ou enier n, u n = 000 (0,9) n. Parie B. a. (0) = 000e 0 ln(0,9) = 000(e ln(0,9) ) 0 = 000 (0,9) 0 = u 0 ; on sui le même raisonnemen pour () e (). On sui le raisonnemen précéden pour (n).. a. 99 e es le nombre de souris encore malades 7 au bou d un sepième de semaine, soi un jour : = 9 souris guéries au bou de jour. 6 es le nombre de souris encore malades au 7 0 bou de 6 jours ; = %, pourcenage de 000 souris encore malades après un an.. a. () = 000 ln(0,9)e ln(0,9).. Foncion logarihme népérien 9

28 ln(0,9) 0, < 0 ; sur [0 ; +[, () < 0 e alors es sricemen décroissane.. N es soluion de l équaion () = 70 (rois quars des souris son encore malades) ; N. De même, N e N.. a. 000e ln(0,9) = 00 e ln(0,9) = 0, = e ln(0,) ln( 0,) = ln( 0,9). ln( 0,) N = ln( 0,9),. ln 0, 7 ( ) 78,, soi 79 jours nécessaires pour ln( 0,9) que la moiié des souris soien guéries. 0 Arihméique ou géomérique?. a. Sur N, v n+ = u n + = u n = ( u n ) = v n : la suie (v n ) es une suie géomérique de raison e de premier erme v 0 = 6 =. v n = n e u n = v n + = n +. c. lim n v n = 0 car 0 < < e limu n = 0 + =. n. Pour ou n apparenan à N, w n = lnv n + = ln v n = ln + lnvn = ln + wn ; (w n ) es une suie arihméique de raison ln ou ln e de er erme w 0 = ln.. a. w n = ln n ln. ln(7 ) ln 9 = ln( 9 ) ln( ) = ln. Soi à résoudre ln n ln = ln d où n =. Éude des populaions. a. Une évoluion de % correspond à une muli- plicaion par + 00 ; U n+ = U n La raison de cee suie géomérique (U n ) es c. U n = U n.. a. F n = 6,6 + 0, 00 n = 6,6 (,00) n ; B n = 9,8 + 0, 00 n = 9,8 (,00) n ; R n = 7 ( 0,) + 00 n = 7 (0,99) n. F 0 8,9 ; la populaion de la France en 00 sera de 8,9 millions de personnes. c. Soi à résoudre R n < 0 7 (0,99) n < 0 0 ln e n ln(0,99) 7 < e n ln(0,99) < ln 0 7 ln 0 7 n > (Aenion, ln(0,99) < 0 d où l inversion de l ordre!). ln( 0,99) ln 0 7 9,7 ; la populaion de la Russie sera ln( 0,99) inérieure à 0 millions à parir de 00.. a. F n e B n son des ermes de suies géomériques sricemen posiis. F n B n 6,6 (,00) n 9,8 (,00) n ln[6,6 (,00) n ] ln [9,8 (,00) n ] ln6,6 + n ln,00 ln 9,8 + n ln,00 ln9,8 ln6,6 n ln,00 ln,00. ln9,8 ln6,6 7,6 ; la populaion de la ln,00 ln,00 France dépassera celle du Royaume-Uni à parir de 08. Inérês composés. a. Il au rechercher n augmenaions de %, soi n muliplicaions par +, qui doiven êre au 00 moins correspondre à une muliplicaion par, soi correspondre à la résoluion de l inéquaion + n n n ln ln ln n ln c. Tau %, % % % 6 % n a. Les approimaions de Pacioli son ideniques, à l enier près. La conjecure de Pacioli es éonnane car elle n uilise pas de logarihme népérien dans son applicaion.. a. 0,9 0,9,0, 0,08 0,0 0 0,0 0, ln 0,08 0,0 0 0,0 0, Les deu dernières lignes du ableau précéden son approimaivemen ideniques e ceci pour des valeurs de données qui son proches de. c. Une équaion de la angene es y = ; au voisinage du poin d abscisse, courbe repré- 9. Foncion logarihme népérien

29 senaive de la oncion ln e angene d équaion y = se cononden, ce qui eplique la conjecure. d. Pour proche de 0, es proche de 0 e 00 + es proche de. Alors on peu approimer 00 ln(+ 00 ) par d après la quesion précédene. 00 ln e. ln + peu êre approimé par ln soi ln ; de plus, 00 ln 69. Donc, le nombre d années nécessaires pour doubler un capial peu êre approimé par 69, qui es proche de l approimaion de Pacioli. Les observaions de Pacioli éaien judicieuses.. Foncion logarihme népérien 9