Le théorème de Thalès

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1 DERIÈRE IPRESSIO LE 24 juillet 206 à 6:39 Le théorème de Thalès EXERIE ours ) itez le théorème des milieu et sa réciproque. 2) itez le théorème de Thalès et sa réciproque 3) Un segment étant donné, comment le diviser en 5 parties? 4) Quel est le principe d un guide âne? Théorème de Thalès EXERIE 2 Dans la figure ci-dessous, on a() //(). l aide des indications portées sur la figure, calculer et. 3,5 5 EXERIE 3 Dans la figure ci-dessous, on a () //(). alculer. 3 3,6 EXERIE 4 Dans la figure ci-dessous, on a () //(). alculer sachant que = 4. PUL IL RPE

2 EXERIES 4 6 EXERIE 5 Réciproque du théorème de Thalès.. ontrer que () et () sont parallèles? O 3,5 5,25,5 2. D est-il un trapèze? D 7 6,5 O 5 9, 3. Sur la figure ci-dessous les points,, d une part et,, d autre part sont alignés. La figure n est pas à l échelle. On donne =, ; =, ; =, et = On voudrait savoir si les droites () et () sont parallèles. Deu élèves réfléchissent à la question. L un prétend que les droites sont parallèles, l autre affirme le contraire. Lequel a raison? PUL IL 2 RPE

3 EXERIES EXERIE 6 Dans un triangle équilatéral ) onstruire un triangle équilatéral tel que = 4 cm. Soit I un point du segment [] tel que I =. 2) onstruire en utilisant le compas et la règle, la parallèle à la droite () passant par I. (On laissera visibles tous les tracés nécessaires à la construction). ette parallèle coupe [] en J. 3) Que peut-on dire des segments [I] et [J] (justifier votre réponse)? 4) En déduire la nature du quadrilatère IJ (justifier votre réponse). 5) Soit H le pied de la hauteur issue de du triangle. alculer la longueur H. 6) alculer la longueur h de la hauteur issue de du triangle IJ en fonction de. En déduire l aire du triangle IJ en fonction de. 7) Eiste-t-il une valeur de pour laquelle l aire du triangle IJ est égale à la moitié de l aire du triangle? Justifier. EXERIE 7 Un rectangle qui devient un carré. ) Tracer un cercle de 2,5 cm de rayon et de centre O. Soit [] un diamètre et un point du cercle tel que = 3 cm. hoisir un point H quelconque appartenant à [] et construire la perpendiculaire à la droite () qui passe par le point H. Elle coupe [] en I. 2) onstruire la perpendiculaire à la droite () qui passe par le point H. Elle coupe le segment [] en J. 3) ontrer que est un triangle rectangle. 4) alculer la longueur du segment []. 5) Quelle est la nature du quadrilatère IHJ? 6) On décide que IH =. Eprimer I en fonction de. On voudrait savoir pour quelle valeur de le rectangle devient un carré. EXERIE 8 Rectangle dans un triangle. Soit un triangle rectangle en. On donne = 8 cm et = 6 cm. Soit un point quelconque sur []. On trace la parallèle à () qui passe par. Elle coupe [] en. On trace la parallèle à () qui passe par. Elle coupe [] en P. On pose =. ) Faire une figure. 2) alculer et en fonction de. 3) Pour quelle valeur de le rectangle P est-il un carré? 4) alculer l aire du rectangle P en fonction de. alculer cette aire pour les valeurs de suivantes : 2 ; 3,2 et 6. PUL IL 3 RPE

4 EXERIES 5) On suppose que = 4. Quelle est alors la position de sur le segment []. Dans ce cas quelle est la fraction de l aire du triangle représente le rectangle P? 6) alculer. 7) En utilisant les propriétés du rectangle déterminer la position de que pour la distance P soit minimale 8) La position de étant ainsi définie, en calculant l aire du triangle de deu façons différentes déterminer la longueur. alculer alors la longueur. EXERIE 9 Paris 2008 On considère trois cercles, 2 et 3 de même rayon, noté r, et de centres respectifs I, O et J. Dans tout l eercice, le rayon r est un nombre entier non nul. ous savons que : les trois points I, O et J sont alignés et dans cet ordre ; le cercle est tangent au cercle 2 ; le cercle 2 est tangent au cercle 3 ; le point E est à l intersection de la droite (OI) et du cercle, et n appartient pas au cercle 2 ; la droite est tangente au cercle 3 en T et passe par E ; la droite coupe le cercle 2 en et en ; H est le point de tel que (OH) et sont perpendiculaires. E H I O J T 2 3 On pose OH = a et = b ) En utilisant le théorème de Thalès, démontrer que : a = 3 5 r. 2) Epliquer pourquoi le nombre a est toujours un nombre rationnel. 3) a est-il toujours un nombre décimal? Justifier la réponse. 4) Quels sont les nombres r pour lesquels a est un nombre entier? 5) Le nombre a peut-il être un nombre premier? 6) alculer H en fonction de r. PUL IL 4 RPE

5 EXERIES 7) Démontrer que H est le milieu de [] et en déduire que b = 8 5 r. 8) Eiste-t-il des nombres r pour lesquels le nombre b est un nombre premier? Justifier. PUL IL 5 RPE