CHAPITRE 2 EXO CORRIGE
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- Emmanuel Bordeleau
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1 CHAPITRE 2 EXO CORRIGE : Utiliser le théorème de Thalès I Homothétie. Ex 15p161. a) B est le centre de l homothétie. Le rapport de l homothétie est k = BC = 32 = 4. BO 8 On a CA = k OE donc 18 = 4 OE donc OE = 18 = 4,5 4 On a BA = k BE donc 20 = 4 BE donc BE = 20 4 = 5 b) B est le centre de l homothétie. Le rapport de l homothétie est k = BC = 6,3 = O, 7. BO 9 On a CA = 0,7 OE donc 7 = 0,7 OE donc OE = 7 = 10 0,7 On a BA = 0,7 BE donc 4,2 = 0,7 BE donc BE = 4,2 = 6 0,7 Ex 17p161. 1,5 2 = 3 Donc le premier cercle aura pour rayon 3 cm. 0,75 2 = 1,5 Donc le deuxième cercle aura pour rayon 1,5 cm. 2 2 = 4 Donc le troisième cercle aura pour rayon 4 cm. Ex1 2)AF = 3 1,4 = 4,2 cm AG = 4 1,4 = 5,6 cm 3) AE = 4 0,8 = 3,2 cm AD = 3 0,8 = 2,4 cm
2 Ex2 (Difficile : Tracé qui doit être absolument soigneux)
3 5) On peut dire que les points O, G et H sont alignés et que GH = 2 GO 7) Les Trois points obtenus semblent appartenir au cercle (Ω) 8) Les pieds des hauteurs issues de A, B et C semblent aussi appartenir au cercle (Ω) 9) Les milieux des segments [AH], [BH] et [CH] semblent aussi appartenir au cercle (Ω) 10) Les milieux des côtés [AB], [AC] et [BC] semblent appartenir au cercle (Ω) comme vu à la question 7 11) (Ω) est appelé cercle des 9 points car 9 points particuliers semblent appartenir à ce cercle? II Egalité des produits en croix a) 7x x 25 = 5 42 ou 125 x = 210 x = x = x = 6 5 = 1,2 ou x = = 1,2
4 b) c) d) x x 3 8 3x = 4 3 x 40 = 12 x = x = x 10 3 = x x = 5 (x + 3) 7 x = 5x x 5x = 15 2 x = 15 x = 15 2 = 7,5 x 2 2 x 5 5 (x 2) = 2 x 5 x 10 = 2 x 5 x 2 x = 10 3 x = 10 x = 10 3 e) 2x 6 3x 1 = (2x 6) = 2 (3x 1) 6 x 18 = 6x 2 18 = 2 Donc cette équation n a pas de solution. III Théorème de Thalès Ex 24p162 a) L angle MAN = donc les points B, A et N ne sont pas alignés. Une des conditions du Th de Thalès n est pas respectée. b) Les angles MNA et ABC sont alternes-internes mais ils n ont pas la même mesure. Donc les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles. Une des conditions du Th de Thalès n est pas respectée.
5 Ex 27p162 a) b) CE = CD = ED CB CA BA CE 6 = 5,6 8,4 = ED BA c) On a CE = 6 5,6 8,4 = 4 donc CE 6 = 5,6 8,4 Ex 29p162 Les droites (AD) et (CB) se coupent en G. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles. On a donc 45 = 45 = AB On a d après l égalité des produits en croix : AB Ex 32p163 Les droites (UO) et (LS) se coupent en T. Les droites (UL) et (OS) sont parallèles. GA = GB = AB GD GC DC 34 = = 51 TL = TU = LU TS TO SO TL On a donc = TU = TO On a d après l égalité des produits en croix : TL = La calculatrice affiche : , 2590 La distance Terre lune est donc km arrondie au km près. Remarque : En réalité, elle est de km Ex 33p163 Les droites (DE) et (CB) se coupent en A. Les droites (CE) et (BD) sont parallèles. AD = AB = DB AE AC EC On a donc AD AE = = h 35 On a d après l égalité des produits en croix : h = = 15 La hauteur du collège est de 15 m.
6 Ex 36p163 La formule qui permet de calculer l aire d un triangle est : Longueur de la base hauteur Aire(triangle) = 2 Donc BC AH Aire(ABC) = 2 Aire(ABC) = 12 4,5 2 L aire de ABC est donc de 27 cm 2 (MN) étant parallèle à (AC) on peut dire que : Le triangle BMN est une réduction du triangle BAC. Le rapport de réduction est : k = BN BC = 8,4 12 = 0,7 Les aires sont multipliées par k 2 = 0,7 2 = 0,49 Donc Aire(BMN) = 0,49 Aire(ABC) = 0,49 27 = 13,23 Donc l aire de BMN est de 13,23cm 2 Remarque : Le triangle BMN est l image du triangle ABC par l homothétie de centre B et de rapport 0,7 = 27
7 IV Réciproque du Théorème de Thalès Ex 39p163 AC a) = 2,5 = 2,5 4,2 = 10,5 AB 3 3 4,2 12,6 AE et = 3,5 = 3,5 3 = 10,5 AD 4,2 4,2 3 12,6 b) En effectuant 2,5 4,2 = 10,5 on a le même résultat que 3 3,5 = 10,5 c) On a l égalité de Thalès qui est vérifiée. On a aussi les points A,C et B qui sont alignés dans le même ordre que les points A,E et D. On peut donc en déduire d après la réciproque du Théorème de Thalès que : les droites (CE) et (BD) sont parallèles. Ex 43p164 Les points C, G et F sont alignés dans le même ordre que les points D, G et E. Ici GD = = 72 On a aussi GC = = 90 GF GC = = 6 9 = 2 3 GE GD = = = 2 3 On a donc GF GC = GE GD D après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que (CD) est parallèle à (EF). Exos variés : Ex 53p166 On va calculer AD. Le triangle ACD est rectangle en C. D après le théorème de Pythagore, on a :AD 2 = AC 2 + CD 2 Donc AD 2 = 3, ,05 2 = 12,96 + 1,1025 = 14,0625 Donc AD = 14,0625 = 3,75 On va calculer AE. Les droites (DE) et (CB) se coupent en A. Les droites (CD) et (BE) sont parallèles. On a donc 3,75 AE = 3,6 3,6+8,4 donc 3,75 = 3,6 AE 12 D où AE = 3, ,6 = 45 3,6 = 12,5 La longueur AE de cette rampe est 12,5 m AD = AC = DC AE AB EB
8 Ex 54p166 On va montrer que le triangle GJI est rectangle en J. GI 2 = 6 2 = 36 GJ 2 + JI 2 = 4, ,6 2 = 23, ,96 = 36 On a donc GJ 2 + JI 2 = GI 2 L égalité de Pythagore est donc vérifiée. D après la réciproque du Théorème de Pythagore, On en déduit que le triangle GJI est rectangle en J. On va montrer que les droites (FH) et (JI) sont parallèles. Les points H, G et I sont alignés dans le même ordre que les points F, G et J. GJ = 4,8 = 1,2 GF 4 GI = 6 = 1,2 GH 5 On a donc GJ = GI GF GH D après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que (FH) est parallèle à (JI). On va montrer que (FG) est perpendiculaire à (FH) On sait que (FH) est parallèle à (JI) On sait que (IJ) est perpendiculaire à (FJ) (ou (GF) car les points F, G et J sont alignés) On a la propriété : Si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. Donc (FG) est perpendiculaire à (FH) Ex 58p166 Les droites (FD) et (CA) se coupent en B. Les droites (AF) et (CD) sont parallèles. On a donc BC 4 = BD BF = 9 AF BC = BD = CD BA BF AF mais BC = AF donc BC 4 = 9 BC D où BC 2 = 9 4 = 36 si bien que BC = 36 = 6 La longueur BC est donc 6 cm
9 Ex 59p166 (plus difficile) Les droites (EF) et (GH) se coupent en D. Les droites (EG) et (FH) sont parallèles. On va poser DE = x on a alors DF = x + 8,5 Donc x = 32 x+8,5 42 L égalité des produits en croix permet d écrire : 42 x = 32 (x + 8,5) 42 x = 32 x ,5 42 x = 32 x x 32 x = x = 272 x = x = 27,2 DE = DG = EG DF DH FH La largeur de la rivière ainsi mesurée est 27,2 m. Ex 62p167 On va calculer la longueur BJ Le quadrilatère AJDC est un rectangle Donc ses côtés consécutifs sont perpendiculaires. Donc [AJ] est perpendiculaire à [AB] Le triangle ABJ est donc rectangle en A D après le théorème de Pythagore, on peut écrire : BJ 2 = BA 2 + AJ 2 BJ 2 = BJ 2 = BJ 2 = 5625 BJ = 5625 BJ = 75 On va calculer la longueur BN Les droites (JN) et (CA) se coupent en B. Les droites (JA) et (CN) sont parallèles car elles représentent les côtés opposés d un rectangle. BJ = BA = JA BN BC NC mais BC = CA BA = = 36 On a donc 75 BN = 60 BC Donc 75 BN = L égalité des produits en croix donne : 60 BN = BN = 2700 BN = BN = 45 On a finalement : JN = JB + BN = = 120 Noé va donc parcourir 120 m en coupant à travers le parc
10 Ex 66p167 (plus difficile) Les droites (EC) et (FS) se coupent en A. Les droites (FE) et (CS) sont parallèles (rayons du soleil) AE = AF = EF AC AS CS On a donc 8 = 1 (en m) AC L égalité des produits en croix donne : AC = = m = km Le rayon de la terre est donc environ de 6400 km. En réalité, il est de 6371 km.
11 Ex 73p168 (plus difficile) On notera h = BD en mètre (m) Les droites (BC) et (DE) se coupent en A. Les droites (BD) et (CE) sont parallèles On a donc AB AC = h 1 donc h = AB AC AB = AD = BD AC AE CE Les droites (DF) et (AB) se coupent en C. Les droites (BD) et (AF) sont parallèles On a donc CB CA = h 1,5 donc h = 1,5 CB CA CB = CD = BD CA CF AF Mais : h = 1,5 CB CA AB = 1,5 = 1,5 ( CA CA CA AB CA CA Mais on a aussi h = AB donc h = 1,5 (1 h) AC D où l équation d inconnue h à résoudre. h = 1,5 (1 h) h = 1,5 1,5 h h + 1,5h = 1,5 2,5h = 1,5 h = 1,5 2,5 = 0,6 Les deux barrières se croisent à 0,6m = 60 cm du sol. ) = 1,5 (1 AB AC )
12 Ex 77p169 a) Les droites (ED) et (AB) se coupent en C. Les droites (BD) et (EA) sont parallèles CD = CB = DB CE CA EA On a donc CD 6 = 1,1 1,5 L égalité des produits en croix donne : 1,5 CD = 6 1,1 CD = 6,6 1,5 = 4,4 b) ED = EC CD = 6 4,4 = 1,6 c) La fillette est entre E et D car 1,4 < 1,6 = ED On note F sa position entre E et D. On va devoir chercher la longueur FG, puis la comparer à 1,4 m (hauteur de la fillette) pour voir si elle dépasse de l ombre. On a CF = CE EF = 6 1,4 = 4,6 Les droites (EF) et (AG) se coupent en C. Les droites (FG) et (EA) sont parallèles CF = CG = FG CE CA EA On a donc 4,6 6 = FG 1,5 L égalité des produits en croix donne : 6 FG = 1,5 4,6 On a donc 6 FG = 6,9 Donc FG = 6,9 6 = 1,15 A l endroit précis où se trouve la fillette, l ombre mesure 1,15 m 1,5 m > 1,1 m donc la fillette est dans l ombre. Le conducteur ne peut donc pas la voir.
13 Ex 84p170 Les triangles ACB et ANM sont en configuration de Thalès. Le triangle ANM est un agrandissement du triangle ACB. Le coefficient d agrandissement est k = AN = 6,3 = 3,5 AC 1,8 Donc Aire(ANM) = k 2 Aire(ACB) = 3,5 2 Aire(ACB) = 12,25 Aire(ACB) Ayant déjà peint le triangle ABC, il lui reste donc 12,25 1 = 11,25 fois ce qu elle a déjà peint à peindre. 11,25 40 = 450 Il reste donc 450 = Dans 7h30min, elle aura fini de peindre le mur. Ex 85p171 On regarde d abord l inclinaison pour voir si elle est conforme. On a QK = QC CK = PA CK = 0,65 0,58 = 0,7 On a aussi QP = 5 Donc QK = 0,7 = 0,014 et 0,01 < 0,014 < 0,015 QP 5 Donc l inclinaison est conforme aux normes. Il faut maintenant calculer la portée SC Les droites (PK) et (AC) se coupent en S. Les droites (PA) et (CK) sont parallèles On a donc SC = SK = 0,58 SC+CA SP 0,65 SC = SK = CK SA SP AP On pose SC = x On a donc x x+5 = 0,58 0,65 L égalité des produits en croix donne : 0,65 x = 0,58 (x + 5) On développe 0,65 x = 0,58x + 0,58 5 On a : 0,65x 0,58x = 2,9 Si bien que : 0,07 x = 2,9 Donc x = 2,9 0,07 41, On a : 30 < x < 45 Les feux de croisement sont donc correctement réglés.
14 Ex 86p171 Les droites (BD) et (CE) se coupent en A. Les droites (BC) et (DE) sont parallèles AB = AC = BC AD AE DE On a donc 3 = AC = 1,8 10 AE DE L égalité des produits en croix donne : 3 DE = 1,8 10 On a donc DE = 18 3 = 6 La hauteur de l arbre est donc de 6m. Remarque : Il est inutile de calculer AB et AD en mètre avec le nombre de pas réalisés sur 100m.
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