Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

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1 Progrmmes des clsses préprtoires ux Grndes Ecoles Filière : scientifique Voie : Mthémtiques et physique (MP) Discipline : Mthémtiques Seconde nnée

2 Clsse préprtoire MP Progrmme de mthémtiques Tble des mtières Objectifs de formtion 2 Description et prise en compte des compétences Unité de l formtion scientifique Architecture et contenu du progrmme Orgnistion du texte Usge de l liberté pédgogique Progrmme 6 Structures lgébriques usuelles Réduction des endomorphismes et des mtrices crrées Fonctions convexes Topologie des espces vectoriels normés Espces préhilbertiens réels. Endomorphismes des espces euclidiens Séries et fmilles sommbles A - Séries numériques et vectorielles B - Fmilles sommbles de nombres complexes Suites et séries de fonctions, séries entières A - Suites et séries de fonctions B - Séries entières Fonctions vectorielles, rcs prmétrés Intégrtion sur un intervlle quelconque Vribles létoires discrètes Équtions différentielles linéires Clcul différentiel /30

3 Le progrmme de mthémtiques de MP, dns le prolongement de celui de MPSI, s inscrit entre deux continuités : en mont vec les progrmmes rénovés du lycée, en vl vec les enseignements dispensés dns les grndes écoles, et plus générlement les poursuites d études universitires. Il est conçu pour mener progressivement tous les étudints u niveu requis pour poursuivre vec succès un cursus d ingénieur, de chercheur, d enseignnt, de scientifique, et ussi pour leur permettre de se former tout u long de l vie. Ce progrmme permet de conjuguer deux spects de l ctivité mthémtique : d une prt l construction d objets souvent introduits de mnière intrinsèque et l importnce de l démonstrtion ; d utre prt l technique qui permet de rendre ces objets opértionnels. Objectifs de formtion L formtion mthémtique en clsse préprtoire scientifique vise deux objectifs : l cquisition d un solide bgge de connissnces et de méthodes permettnt notmment de psser de l perception intuitive de certines notions à leur pproprition, fin de pouvoir les utiliser à un niveu supérieur, en mthémtiques et dns les utres disciplines. Ce degré d pproprition suppose l mîtrise du cours, c est-à-dire des définitions, énoncés et démonstrtions des théorèmes figurnt u progrmme ; le développement de compétences utiles ux scientifiques, qu ils soient ingénieurs, chercheurs ou enseignnts, pour identifier les situtions uxquelles ils sont confrontés, dégger les meilleures strtégies pour les résoudre, prendre vec un recul suffisnt des décisions dns un contexte complexe. Pour répondre à cette double exigence, et en continuité vec les progrmmes de mthémtiques du lycée, les progrmmes des clsses préprtoires définissent un corpus de connissnces et de cpcités, et explicitent six grndes compétences qu une ctivité mthémtique permet de développer : s engger dns une recherche, mettre en œuvre des strtégies : découvrir une problémtique, l nlyser, l trnsformer ou l simplifier, expérimenter sur des exemples, formuler des hypothèses, identifier des prticulrités ou des nlogies ; modéliser : extrire un problème de son contexte pour le trduire en lngge mthémtique, comprer un modèle à l rélité, le vlider, le critiquer ; représenter : choisir le cdre (numérique, lgébrique, géométrique...) le mieux dpté pour triter un problème ou représenter un objet mthémtique, psser d un mode de représenttion à un utre, chnger de registre ; risonner, rgumenter : effectuer des inférences inductives et déductives, conduire une démonstrtion, confirmer ou infirmer une conjecture ; clculer, utiliser le lngge symbolique : mnipuler des expressions contennt des symboles, orgniser les différentes étpes d un clcul complexe, effectuer un clcul utomtisble à l min ou à l ide d un instrument (clcultrice, logiciel...), contrôler les résultts ; communiquer à l écrit et à l orl : comprendre les énoncés mthémtiques écrits pr d utres, rédiger une solution rigoureuse, présenter et défendre un trvil mthémtique. Description et prise en compte des compétences S engger dns une recherche, mettre en œuvre des strtégies Cette compétence vise à développer les ttitudes de questionnement et de recherche, u trvers de réelles ctivités mthémtiques, prennt plce u sein ou en dehors de l clsse. Les différents temps d enseignement (cours, trvux dirigés, heures d interrogtion) doivent privilégier l découverte et l exploittion de problémtiques, l réflexion sur les démrches suivies, les hypothèses formulées et les méthodes de résolution. Le professeur ne surit limiter son enseignement à un cours dogmtique : fin de développer les cpcités d utonomie des étudints, il doit les mener à se poser eux-mêmes des questions, à prendre en compte une problémtique mthémtique, à utiliser des outils logiciels, et à s ppuyer sur l recherche et l exploittion, individuelle ou en équipe, de documents. Les trvux proposés ux étudints en dehors des temps d enseignement doivent combiner l résolution d exercices d entrînement relevnt de techniques bien répertoriées et l étude de questions plus complexes. Posées sous forme de problèmes ouverts, elles limentent un trvil de recherche individuel ou collectif, nécessitnt l mobilistion d un lrge éventil de connissnces et de cpcités. Modéliser Le progrmme présente des notions, méthodes et outils mthémtiques permettnt de modéliser l étt et l évolution de systèmes déterministes ou létoires issus de l rencontre du réel et du contexte, et éventuellement du tritement qui en été fit pr l mécnique, l physique, l chimie, les sciences de l ingénieur. Ces interpréttions viennent en retour éclirer les concepts fondmentux de l nlyse, de l lgèbre linéire, de l géométrie ou des probbilités. L modélistion contribue insi de fçon essentielle à l unité de l formtion scientifique et vlide les pproches interdisciplinires. À cet effet, il importe de promouvoir l étude de questions mettnt en œuvre des interctions entre les différents chmps de connissnce scientifique (mthémtiques et physique, mthémtiques et chimie, mthémtiques et sciences industrielles, mthémtiques et informtique). 2/30

4 Représenter Un objet mthémtique se prête en générl à des représenttions issues de différents cdres ou registres : lgébrique, géométrique, grphique, numérique. Élborer une représenttion, chnger de cdre, trduire des informtions dns plusieurs registres sont des composntes de cette compétence. Ainsi, en nlyse, le concept de fonction s ppréhende à trvers diverses représenttions (grphique, numérique, formelle) ; en lgèbre, un problème linéire se prête à des représenttions de nture géométrique, mtricielle ou lgébrique ; un problème de probbilités peut recourir à un rbre, un tbleu, des ensembles. Le recours régulier à des figures ou à des croquis permet de développer une vision géométrique des objets bstrits et fvorise de fructueux trnsferts d intuition. Risonner, rgumenter L prtique du risonnement est u cœur de l ctivité mthémtique. Bsé sur l élbortion de liens déductifs ou inductifs entre différents éléments, le risonnement mthémtique permet de produire une démonstrtion, qui en est l forme boutie et communicble. L présenttion d une démonstrtion pr le professeur (ou dns un document) permet ux étudints de suivre et d évluer l enchînement des rguments qui l composent ; l prtique de l démonstrtion leur pprend à créer et à exprimer eux-mêmes de tels rguments. L intérêt de l construction d un objet mthémtique ou de l démonstrtion d un théorème repose sur ce qu elles pportent à l compréhension même de l objet ou du théorème : préciser une perception intuitive, nlyser l portée des hypothèses, éclirer une sitution, exploiter et réinvestir des concepts et des résultts théoriques. Clculer, mnipuler des symboles, mîtriser le formlisme mthémtique Le clcul et l mnipultion des symboles sont omniprésents dns les prtiques mthémtiques. Ils en sont des composntes essentielles, inséprbles des risonnements qui les guident ou qu en sens inverse ils outillent. Mener efficcement un clcul simple fit prtie des compétences ttendues des étudints. En revnche, les situtions dont l gestion mnuelle ne relèverit que de l technicité seront tritées à l ide d outils de clcul formel ou numérique. L mîtrise des méthodes de clcul figurnt u progrmme nécessite ussi l connissnce de leur cdre d ppliction, l nticiption et le contrôle des résultts qu elles permettent d obtenir. Communiquer à l écrit et à l orl L phse de mise u point d un risonnement et de rédction d une solution permet de développer les cpcités d expression. L qulité de l rédction et de l présenttion, l clrté et l précision des risonnements constituent des objectifs très importnts. L qulité de structurtion des échnges entre le professeur et s clsse, entre le professeur et chcun de ses étudints, entre les étudints eux-mêmes, doit églement contribuer à développer des cpcités de communiction (écoute et expression orle) à trvers l formultion d une question, d une réponse, d une idée, d hypothèses, l rgumenttion de solutions ou l exposé de démonstrtions. Les trvux individuels ou en petits groupes proposés ux étudints en dehors du temps d enseignement, u lycée ou à l mison (interrogtions orles, devoirs libres, comptes rendus de trvux dirigés ou d interrogtions orles) contribuent fortement à développer cette compétence. L communiction utilise des moyens diversifiés : les étudints doivent être cpbles de présenter un trvil clir et soigné, à l écrit ou à l orl, u tbleu ou à l ide d un dispositif de projection. L intégrtion des compétences à l formtion des étudints permet à chcun d eux de gérer ses propres pprentissges de mnière responsble en repérnt ses points forts et ses points fibles et en suivnt leur évolution. Les compétences se recouvrent lrgement et il importe de les considérer globlement : leur cquisition doit se fire dns le cdre de situtions suffismment riches pour nécessiter l mobilistion de plusieurs d entre elles. Unité de l formtion scientifique Il est importnt de mettre en vleur l interction entre les différentes prties du progrmme, tnt u niveu du cours que des thèmes des trvux proposés ux étudints. À titre d exemples, le clcul différentiel et l théorie des équtions différentielles linéires pprissent comme un chmp d utilistion des concepts développés en lgèbre ; les probbilités utilisent le vocbulire ensembliste et les fmilles sommbles, et illustrent certins résultts d nlyse. Percevoir l globlité et l complexité du monde réel exige le croisement des regrds disciplinires. Ainsi, les mthémtiques intergissent vec des chmps de connissnces prtgés pr d utres disciplines. Aussi le progrmme vlorise-t-il l interpréttion des concepts de l nlyse, de l lgèbre linéire, de l géométrie et des probbilités en termes de prmètres modélisnt l étt et l évolution de systèmes mécniques, physiques ou chimiques (mouvement, vitesse et ccélértion, signux continus ou discrets, mesure de grndeurs, incertitudes...). L coopértion des enseignnts d une même clsse ou d une même discipline et, plus lrgement, celle de l ensemble des enseignnts d un cursus donné, doit contribuer de fçon efficce et cohérente à l qulité de ces interctions. Il importe ussi que le contenu culturel et historique des mthémtiques ne soit ps scrifié u profit de l seule technicité. En prticulier, il peut s vérer pertinent d nlyser l interction entre un contexte historique et socil donné, une problémtique spécifique et l construction, pour l résoudre, d outils mthémtiques. 3/30

5 Architecture et contenu du progrmme L étude de chque domine du progrmme (nlyse, lgèbre, probbilités) permet de développer des ptitudes u risonnement et à l modélistion, et d étblir des liens vec les utres disciplines. Afin de contribuer u développement des compétences de modélistion et de représenttion, le progrmme préconise le recours à des figures géométriques pour border l lgèbre linéire, les espces préhilbertiens, les fonctions de vrible réelle ou vectorielle. Certines notions de géométrie ffine et euclidienne étudiées u lycée ou en MPSI sont reprises dns un cdre plus générl. Le progrmme d lgèbre comprend trois volets. Le premier formlise les différentes structures lgébriques rencontrées dns le progrmme et introduit l nneu Z/nZ comme exemple de structure quotient. Le deuxième prolonge l étude de l lgèbre linéire bordée en MPSI et boutit à une théorie de l réduction qui llie le registre des éléments propres et celui des polynômes nnulteurs. Le troisième, conscré à l lgèbre préhilbertienne, conduit, en dimension infinie, à l étude des fmilles orthonormles totles et, en dimension finie, u théorème spectrl et ux isométries vectorielles, mettnt l ccent sur les reltions entre les points de vue vectoriel, mtriciel et géométrique. Le progrmme d nlyse comporte un chpitre sur les fonctions convexes d une vrible réelle qui permet de fire le lien vec l géométrie. L topologie est étudiée dns le cdre générl des espces vectoriels normés. Son étude permet d étendre les notions de suite, limite, continuité étudiées en première nnée dns le cdre de l droite réelle, et d introduire les concepts de compcité et de connexité pr rcs. Le chpitre sur les séries complète l étude des séries numériques bordée en MPSI et l prolonge pr celles des séries à vleurs dns un espce vectoriel normé de dimension finie et des fmilles sommbles. L extension de l notion de série convergente à celle de fmille sommble est réduite u minimum nécessire à une présenttion rigoureuse des espces probbilisés dénombrbles et des vribles létoires discrètes. Le chpitre sur les séries entières permet de construire des fonctions de vrible complexe et de fournir un outil pour l résolution d équtions différentielles linéires. L définition des différents modes de convergence d une suite de fonctions bénéficie du cdre topologique introduit dns le chpitre «Espces vectoriels normés». L étude des suites et séries de fonctions conduit ux théorèmes de régulrité de leur limite ou somme et boutit à l énoncé de deux théorèmes d pproximtion. L générlistion ux fonctions à vleurs dns un espce vectoriel normé de dimension finie des résultts d nlyse réelle étudiés en première nnée fournit, vec une étude modeste des rcs prmétrés, une nouvelle occsion de relier les registres nlytique et géométrique. L étude de l intégrtion, entmée en première nnée dns le cdre des fonctions continues sur un segment, se poursuit dns celui des fonctions continues pr morceux sur un intervlle quelconque. L intégrle générlisée est un intermédiire à l introduction de l notion de fonction intégrble. L intégrtion des reltions de comprison dns le cs des fonctions positives permet de fire le lien vec les théorèmes similires étudiés sur les séries. Les théorèmes clssiques sur l intégrtion des suites et séries de fonctions et sur les intégrles à prmètre concluent ce chpitre. Le chpitre reltif u clcul différentiel pour cdre les espces vectoriels normés de dimension finie. L différentielle en un point est définie de mnière intrinsèque fin d étblir un lien vec l lgèbre linéire. Les notions de dérivée selon un vecteur ou le long d un rc, de grdient, de vecteurs tngents à une prtie constituent une première pproche de l géométrie différentielle. Prllèlement à cette vision lgébrique et géométrique, ce chpitre fournit ussi des outils opértionnels pour l résolution de problèmes pouvnt être issus d utres disciplines scientifiques (recherche d extremums, équtions ux dérivées prtielles). Il concourt u développement de l compétence «Représenter» en proposnt des interpréttions et visulistions géométriques. L étude des équtions et des systèmes différentiels est limitée u cs linéire, dont les interventions sont fréquentes tnt en mthémtiques que dns les utres disciplines scientifiques. L utilistion dns ce cdre du théorème de Cuchy permet d étblir l structure de l ensemble des solutions, illustrnt l pertinence des outils de l lgèbre linéire pour résoudre des problèmes d origine nlytique. Le cs prticulier où les coefficients sont constnts permet d utiliser l exponentielle d endomorphisme et de mettre en œuvre des techniques de réduction mtricielle. L enseignement des probbilités présente brièvement le formlisme de Kolmogorov, qui ser repris dns le cursus ultérieur des étudints. Son objectif mjeur est l étude des vribles létoires discrètes, en prolongement des vribles finies étudiées en première nnée, ce qui permet d élrgir ux processus stochstiques à temps discret le chmp des situtions réelles se prêtnt à une modélistion probbiliste. L loi fible des grnds nombres permet de justifier posteriori l pproche fréquentiste d une probbilité pour un schém de Bernoulli, déjà évoquée dns le cursus ntérieur des étudints. L inéglité qui l sous-tend précise l vitesse de convergence de cette pproximtion et vlide l interpréttion de l vrince comme indicteur de dispersion. Ce chpitre voction à intergir vec le reste du progrmme, notmment en exploitnt les séries génértrices. 4/30

6 Orgnistion du texte Les progrmmes définissent les objectifs de l enseignement et décrivent les connissnces et les cpcités exigibles des étudints ; ils précisent ussi certins points de terminologie et certines nottions. Ils fixent clirement les limites à respecter tnt u niveu de l enseignement qu à celui des épreuves d évlution, y compris pr les opérteurs de concours. Le progrmme est décliné en chpitres. Chque chpitre comporte un bndeu définissnt les objectifs essentiels et délimitnt le cdre d étude des notions qui lui sont reltives et un texte présenté en deux colonnes : à guche figurent les contenus du progrmme (connissnces et méthodes) ; à droite un commentire indique les cpcités exigibles des étudints, précise quelques nottions insi que le sens ou les limites à donner à certines questions. Dns le cdre de s liberté pédgogique et dns le respect de l cohérence de l formtion globle, le professeur décide de l orgnistion de son enseignement et du choix de ses méthodes. En prticulier, l ordre de présenttion des différents chpitres ne doit ps être interprété comme un modèle de progression. Prmi les connissnces (définitions, nottions, énoncés, démonstrtions, méthodes, lgorithmes...) et les cpcités de mobilistion de ces connissnces, le texte du progrmme délimite trois ctégories : celles qui sont exigibles des étudints : il s git de l ensemble des points figurnt dns l colonne de guche des différents chpitres ; celles qui sont indiquées dns les bndeux et l colonne de droite comme étnt «hors progrmme». Elles ne doivent ps être tritées et ne peuvent fire l objet d ucune épreuve d évlution ; celles qui relèvent d ctivités possibles ou souhitbles, mis qui ne sont ps exigibles des étudints. Il s git des ctivités proposées pour illustrer les différentes notions du progrmme (visulistions à l ide de l outil informtique, ctivités en lien vec les utres disciplines). Pour les démonstrtions des théorèmes dont l énoncé figure u progrmme et qui sont repérées dns l colonne de droite pr l locution «démonstrtion non exigible», le professeur est libre d pprécier, selon le cs, s il est souhitble de démontrer en détil le résultt considéré, d indiquer seulement l idée de s démonstrtion, ou de l dmettre. Afin de fciliter l orgnistion du trvil des étudints et de montrer l intérêt des notions étudiées, il convient d en border l enseignement en coordintion vec les utres disciplines scientifiques. Les liens vec les disciplines scientifiques et technologiques sont identifiés pr le symbole PC pour l physique et l chimie, SI pour les sciences industrielles de l ingénieur et I pour l informtique. Usge de l liberté pédgogique Dns le cdre de l liberté pédgogique qui lui est reconnue pr l loi, le professeur choisit ses méthodes, s progression, ses problémtiques. Il peut orgniser son enseignement en respectnt deux grnds principes directeurs : pédgogue, il privilégie l mise en ctivité des étudints en évitnt tout dogmtisme : l cquisition des connissnces et des cpcités est en effet d utnt plus efficce que les étudints sont cteurs de leur formtion. Quel que soit le contexte (cours, trvux dirigés), l pédgogie mise en œuvre développe l prticiption, l prise d inititive et l utonomie des étudints ; didcticien, il choisit le contexte fvorble à l cquisition des connissnces et u développement des compétences. L mise en perspective d une problémtique vec l histoire des sociétés, des sciences et des techniques, mis ussi des questions d ctulité ou des débts d idées, permet de motiver son enseignement. 5/30

7 Progrmme Structures lgébriques usuelles L étude des structures lgébriques permet d pprofondir plusieurs points bordés en première nnée : rithmétique de Z et de K[X ], congruences, lgèbre linéire, groupe symétrique, groupes issus de l lgèbre linéire et de l géométrie des espces euclidiens. Ce chpitre ggne à être illustré pr de nombreux exemples. Le prgrphe reltif ux polynômes permet de revenir sur l étude menée en première nnée, dns un cdre étendu et dns un esprit plus lgébrique, mettnt l ccent sur l notion d idél. Sns soulever de difficulté, on signler que les notions d lgèbre linéire étudiées en MPSI s étendent u cs où le corps de bse est un sous-corps de C. ) Groupes et sous-groupes Groupe. Produit fini de groupes. Sous-groupe. Crctéristion. Intersection de sous-groupes. Sous-groupe engendré pr une prtie. Sous-groupes du groupe (Z,+). Exemples issus de l lgèbre et de l géométrie. b) Morphismes de groupes Morphisme de groupes. Imge et imge réciproque d un sous-groupe pr un morphisme. Imge et noyu d un morphisme. Condition d injectivité d un morphisme. Isomorphisme de groupes. Réciproque d un isomorphisme. Exemples : signture, déterminnt. Exemple : groupe spécil orthogonl d un espce euclidien. c) Groupes monogènes et cycliques Groupe (Z/nZ,+). Générteurs de Z/nZ. Groupe monogène, groupe cyclique. Tout groupe monogène infini est isomorphe à (Z, +). Tout groupe monogène fini de crdinl n est isomorphe à (Z/nZ,+). Groupe des rcines n-ièmes de l unité. d) Ordre d un élément dns un groupe Élément d ordre fini d un groupe, ordre d un tel élément. Si x est d ordre fini d et si e désigne le neutre de G, lors, pour n dns Z, on x n = e d n. L ordre d un élément d un groupe fini divise le crdinl du groupe. Si x est d ordre fini, l ordre de x est le crdinl du sousgroupe de G engendré pr x. L démonstrtion n est exigible que pour G commuttif. e) Anneux Anneu. Produit fini d nneux. Sous-nneux. Morphisme d nneux. Imge et noyu d un morphisme. Isomorphisme d nneux. Anneu intègre. Corps. Sous-corps. Les nneux sont unitires. Les corps sont commuttifs. f ) Idéux d un nneu commuttif Idél d un nneu commuttif. Le noyu d un morphisme d nneux est un idél. Reltion de divisibilité dns un nneu commuttif intègre. Idéux de Z. Interpréttion de l divisibilité en termes d idéux. 6/30

8 g) L nneu Z/nZ Anneu Z/nZ. Inversibles de Z/nZ. Théorème chinois : si m et n sont deux entiers premiers entre eux, isomorphisme nturel de Z/mnZ sur Z/mZ Z/nZ. Indictrice d Euler ϕ. Clcul de ϕ(n) à l ide de l décomposition de n en fcteurs premiers. Théorème d Euler. L nneu Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier. Appliction ux systèmes de congruences. I : clcul de ϕ(n) à l ide d une méthode de crible. Lien vec le petit théorème de Fermt étudié en première nnée. I : codge RSA. h) Anneux de polynômes à une indéterminée Dns ce prgrphe, K est un sous-corps de C. Idéux de K [X ]. PGCD de deux polynômes. Reltion de Bézout. Lemme de Guss. Irréductible de K [X ]. Existence et unicité de l décomposition en fcteurs irréductibles. Pr convention, le PGCD est unitire. Extension u cs d une fmille finie. I : lgorithme d Euclide étendu sur les polynômes, recherche simultnée du PGCD et des coefficients de Bézout. Les étudints doivent connître les irréductibles de C[X ] et R[X ]. L étude des polynômes sur un corps fini est hors progrmme. i) Algèbres Algèbre. Sous-lgèbre. Morphisme d lgèbres. Les lgèbres sont unitires. Exemples : K[X ], L (E), M n (K), F (X,K). Réduction des endomorphismes et des mtrices crrées L réduction des endomorphismes et des mtrices prolonge les notions d lgèbre linéire vues en clsse de MPSI et trouve des pplictions dns d utres domines du progrmme. Les méthodes présentées dns ce chpitre sont de deux types, qu il convient de souligner : les premières, de nture géométrique, reposent sur les notions de sous-espce stble et d éléments propres ; les secondes, de nture lgébrique, font ppel ux polynômes nnulteurs. On se limite en prtique u cs où le corps de bse K est R ou C. ) Générlités Mtrices semblbles, interpréttion géométrique. Sous-espce stble pr un endomorphisme. Endomorphisme induit. Les étudints doivent svoir utiliser l endomorphisme cnoniquement ssocié à une mtrice crrée. En dimension finie, trduction de l stbilité d un sousespce F pr un endomorphisme u à l ide de l mtrice de u dns une bse dptée à F. 7/30

9 b) Éléments propres d un endomorphisme, d une mtrice crrée Droite stble pr un endomorphisme. Vleur propre, vecteur propre (non nul), sous-espce propre. Le spectre d un endomorphisme d un espce de dimension finie est l ensemble de ses vleurs propres. L somme d une fmille finie de sous-espces propres est directe. Le spectre d un endomorphisme d un espce de dimension finie n est fini, et de crdinl u plus n. Si deux endomorphismes u et v commutent, tout sousespce propre de u est stble pr v. Vleurs propres, vecteurs propres, sous-espces propres et spectre d une mtrice crrée. SI : mtrice d inductnce : inductnce cyclique et inductnce homopolire. L notion de vleur spectrle est hors progrmme. Toute fmille de vecteurs propres ssociés à des vleurs propres distinctes est libre. Éqution ux éléments propres M X = λx. Deux mtrices semblbles ont même spectre. Si K est un sous-corps de K et si M M n (K), le spectre de M dns K est contenu dns le spectre de M dns K. c) Polynôme crctéristique Polynôme crctéristique d une mtrice crrée, d un endomorphisme d un espce vectoriel de dimension finie. Les rcines du polynôme crctéristique sont les vleurs propres. Multiplicité d une vleur propre. Polynôme crctéristique d une mtrice tringulire. Polynôme crctéristique d un endomorphisme induit. Deux mtrices semblbles ont même polynôme crctéristique. Le polynôme crctéristique est unitire. Nottions χ u,χ A. Les étudints doivent connître les vleurs des coefficients de degrés 0 et n 1. L dimension du sous-espce propre ssocié à λ est mjorée pr l multiplicité de λ. d) Endomorphismes et mtrices crrées digonlisbles Un endomorphisme d un espce vectoriel E de dimension finie est dit digonlisble s il existe une bse de E dns lquelle s mtrice est digonle. Pour qu un endomorphisme soit digonlisble, il fut et il suffit que l somme de ses sous-espces propres soit égle à E. Une mtrice crrée est dite digonlisble si l endomorphisme de K n cnoniquement ssocié est digonlisble. Pour qu une mtrice crrée soit digonlisble, il fut et il suffit qu elle soit semblble à une mtrice digonle. Cs d un endomorphisme d un espce de dimension n dmettnt n vleurs propres distinctes. Pour qu un endomorphisme u soit digonlisble, il fut et il suffit que χ u soit scindé et que, pour toute vleur propre de u, l dimension de l espce propre ssocié soit égle à s multiplicité. Une telle bse est constituée de vecteurs propres. Cs des projecteurs, des symétries. Dns l prtique des cs numériques, on se limite à n = 2 ou n = 3. Trduction mtricielle. Trduction mtricielle. e) Endomorphismes et mtrices crrées trigonlisbles Un endomorphisme d un espce vectoriel E de dimension finie est dit trigonlisble s il existe une bse dns lquelle s mtrice est tringulire supérieure. Une mtrice crrée est dite trigonlisble si elle est semblble à une mtrice tringulire supérieure. Pour qu une mtrice crrée soit trigonlisble, il fut et il suffit que l endomorphisme cnoniquement ssocié le soit. Interpréttion géométrique. L prtique de l trigonlistion n est ps un objectif du progrmme. On se limite u cs n = 2 et à des cs prticuliers simples pour n = 3. 8/30

10 Un endomorphisme est trigonlisble si et seulement si son polynôme crctéristique est scindé. Trduction mtricielle. Expression de l trce et du déterminnt d un endomorphisme trigonlisble, d une mtrice trigonlisble à l ide des vleurs propres. I : recherche de l vleur propre de plus grnd module à l ide du quotient des trces de deux itérées successives. f ) Endomorphismes nilpotents, mtrices nilpotentes Endomorphisme nilpotent d un espce vectoriel E de dimension finie, mtrice nilpotente. Un endomorphisme est nilpotent si et seulement s il est trigonlisble vec pour seule vleur propre 0. L indice de nilpotence est mjoré pr l dimension de E. g) Polynômes d un endomorphisme, d une mtrice crrée Pour u dns L (E), morphisme d lgèbres P P(u) de K[X ] dns L (E). Le noyu de ce morphisme est l idél nnulteur de u. Son imge est l sous-lgèbre commuttive K[u] de L (E). Polynôme miniml d un endomorphisme d un espce de dimension finie, d une mtrice crrée. Si d est le degré du polynôme miniml de u, lors l fmille (u k ) 0 k d 1 est une bse de K[u]. Pour M dns K[X ], morphisme P P(M) de K[X ] dns M n (K), idél nnulteur de M, sous-lgèbre K[M] de M n (K). Le polynôme miniml est unitire. Si P nnule u, toute vleur propre de u est rcine de P. Si u(x) = λ x, lors P(u)(x) = P(λ) x. Théorème de Cyley-Hmilton. Démonstrtion non exigible. h) Lemme de décomposition des noyux Si P 1,...,P r sont des éléments de K[X ] deux à deux premiers entre eux de produit égl à P, lors : Ker(P(u)) = r Ker(P i (u)). i=1 i) Polynômes nnulteurs et digonlisbilité Un endomorphisme u est digonlisble si et seulement s il existe un polynôme scindé à rcines simples nnulnt u, ou encore si et seulement si son polynôme miniml est scindé à rcines simples. Polynôme miniml d un endomorphisme induit. Digonlisbilité d un endomorphisme induit. Trduction mtricielle. j) Endomorphismes à polynôme miniml scindé S il existe un polynôme scindé nnulnt u, décomposition de E en somme directe de sous-espces stbles pr u sur chcun desquels u induit l somme d une homothétie et d un endomorphisme nilpotent. Trduction mtricielle. L décomposition de Dunford et l réduction de Jordn sont hors progrmme. 9/30

11 Fonctions convexes L objectif de ce chpitre est double : introduire brièvement l notion de prtie convexe d un espce vectoriel réel ; étudier les fonctions convexes d une vrible réelle. Le cours ggne à être illustré pr de nombreuses figures. L notion de brycentre est introduite exclusivement en vue de l étude de l convexité. ) Prties convexes d un espce vectoriel réel Brycentre. Prtie convexe. Crctéristion à l ide de brycentres à coefficients positifs. PC et SI : centre de msse (ou centre de grvité). b) Fonctions convexes d une vrible réelle Une fonction f est convexe sur l intervlle I de R si pour tout (x, y) de I 2 et tout λ de [0,1] : f ( (1 λ)x + λy ) (1 λ)f (x) + λf (y). Crctéristions : convexité de l épigrphe, inéglité des pentes. Fonction concve. Pour f convexe, les étudints doivent connître l inéglité ( n ) n f λ i x i λ i f (x i ) i=1 i=1 où x 1,..., x n sont des points de I et λ 1,...,λ n des réels positifs de somme 1. Position reltive du grphe et de ses cordes. c) Fonctions convexes dérivbles, deux fois dérivbles Crctéristion des fonctions convexes dérivbles sur I, des fonctions convexes deux fois dérivbles sur I. Position reltive du grphe d une fonction convexe dérivble et de ses tngentes. Exemples d inéglités de convexité. Topologie des espces vectoriels normés Ce chpitre prolonge les notions de limites de suites et de fonctions étudiées en première nnée, et introduit l topologie des espces vectoriels normés. Son objectif est triple : introduire, dns le cdre des espces vectoriels normés, le vocbulire de l topologie ; introduire l notion de compcité dns un espce vectoriel normé ; donner, à trvers l étude des espces vectoriels normés de dimension finie, un cdre commode pour triter diverses pplictions à l nlyse (fonctions vectorielles, équtions différentielles linéires, suites et séries de fonctions). Il convient de souligner le contenu géométrique des notions bordées, notmment à l ide de nombreuses figures. Les notions d espce métrique et, fortiori, d espce topologique, sont hors progrmme. Les notions de suite de Cuchy et d espce de Bnch sont hors progrmme. Dns tout ce chpitre, K désigne R ou C. ) Normes et espces vectoriels normés Norme sur un espce vectoriel réel ou complexe. Structure d espce vectoriel normé. Distnce ssociée à une norme. Boules fermées, boules ouvertes, sphères. Convexité des boules. Prties, suites, fonctions bornées. Norme ssociée à un produit sclire sur un espce préhilbertien réel. Vecteurs unitires. Inéglité tringulire. 10/30

12 Normes 1, 2, sur K n. Norme de l convergence uniforme sur l espce des fonctions bornées à vleurs dns K. Normes de l convergence en moyenne et de l convergence en moyenne qudrtique sur l espce des fonctions continues sur un segment à vleurs réelles ou complexes. Produit fini d espces vectoriels normés. b) Suites d éléments d un espce vectoriel normé Suite convergente, divergente. Unicité de l limite. Crctère borné d une suite convergente. Opértions lgébriques sur les suites convergentes. Convergence d une suite à vleurs dns un produit fini d espces vectoriels normés. Suites extrites, vleurs d dhérence. Une suite ynt u moins deux vleurs d dhérence diverge. c) Comprison des normes Normes équivlentes. Invrince du crctère borné, de l convergence d une suite. Utilistion des suites pour étblir que deux normes ne sont ps équivlentes. L comprison de normes définies sur des espces fonctionnels fit prtie des cpcités ttendues des étudints. d) Topologie d un espce normé Ouvert d un espce normé. Stbilité pr réunion quelconque, pr intersection d une fmille finie. Voisinge d un point. Fermé d un espce normé. Stbilité pr intersection quelconque, pr réunion finie. Point intérieur, point dhérent. Intérieur, dhérence, frontière d une prtie. Crctéristion séquentielle des points dhérents, des fermés. Prtie dense. Invrince des notions topologiques pr pssge à une norme équivlente. Si A est une prtie d un espce normé, ouvert et fermé reltifs de A. Voisinge reltif. Une boule ouverte est un ouvert. Une boule fermée, une sphère, sont fermées. Crctéristion séquentielle des fermés de A. e) Étude locle d une ppliction, continuité Limite en un point dhérent à une prtie A. Crctéristion séquentielle. Cs d une ppliction à vleurs dns un produit fini d espces vectoriels normés. Opértions lgébriques sur les limites. Limite d une composée. Continuité en un point. Crctéristion séquentielle. Opértions lgébriques sur les pplictions continues. Composition de deux pplictions continues. Imge réciproque d un ouvert, d un fermé pr une ppliction continue. Extensions : limite de f (x) lorsque x tend vers +, limite de f (x) qund x tend vers + ou lorsque A est une prtie de R, limite infinie en dhérent à A pour une fonction réelle. Les étudints doivent svoir que deux pplictions continues qui coïncident sur une prtie dense sont égles. 11/30

13 Applictions uniformément continues, pplictions lipschitziennes. Pour qu une ppliction linéire u de E dns F soit continue, il fut et il suffit qu il existe C > 0 tel que : Exemple : l ppliction x d(x, A) où A est une prtie de E. Nottion L c (E,F ). L notion de norme subordonnée est hors progrmme. x E, u(x) C x. f ) Prties compctes d un espce normé Définition d une prtie compcte pr l propriété de Bolzno-Weierstrss. Une prtie compcte est fermée et bornée. Une prtie fermée d une prtie compcte est compcte. Une suite d éléments d une prtie compcte converge si et seulement si elle dmet une unique vleur d dhérence. Produit d une fmille finie de compcts. L propriété de Borel-Lebesgue est hors progrmme. g) Applictions continues sur une prtie compcte Imge d une prtie compcte pr une ppliction continue. Théorème de Heine. Cs prticulier des pplictions à vleurs réelles : théorème des bornes tteintes. h) Prties connexes pr rcs d un espce vectoriel normé Chemin continu joignnt deux points. Reltion d équivlence ssociée sur une prtie A de E. Les clsses d équivlence sont les composntes connexes pr rcs. Prties connexes pr rcs. Dns des cs simples, une figure convincnte vut preuve de connexité pr rcs. Cs des prties convexes, des prties étoilées. Les prties connexes pr rcs de R sont les intervlles. Imge continue d une prtie connexe pr rcs. i) Espces vectoriels normés de dimension finie Cs prticulier des pplictions à vleurs réelles : théorème des vleurs intermédiires. Équivlence des normes sur un espce de dimension finie. Invrince des différentes notions topologiques pr rpport u choix d une norme en dimension finie. Une prtie d un espce normé de dimension finie est compcte si et seulement si elle est fermée et bornée. Une suite bornée d un espce normé de dimension finie converge si et seulement si elle une unique vleur d dhérence. Un sous-espce de dimension finie d un espce normé est fermé. Si E est de dimension finie, toute ppliction linéire de E dns F est continue. Continuité des pplictions polynomiles, des pplictions multilinéires définies sur un produit d espces vectoriels normés de dimensions finies. Démonstrtion non exigible. Les étudints doivent svoir que l convergence d une suite (ou l existence de l limite d une fonction) à vleurs dns un espce vectoriel normé de dimension finie équivut à celle de chcune de ses coordonnées dns une bse. Exemple : déterminnt. 12/30

14 Espces préhilbertiens réels. Endomorphismes des espces euclidiens L objectif de ce chpitre est triple : consolider les cquis de MPSI concernnt les espces préhilbertiens réels et euclidiens ; introduire l notion de suite orthonormle totle de vecteurs d un espce préhilbertien, notmment fin de donner un exemple importnt de convergence dns un espce normé ; à trvers l étude des endomorphismes symétriques et orthogonux, pprofondir simultnément les connissnces de MPSI reltives ux isométries et celles de MP reltives à l réduction des endomorphismes. Les espces préhilbertiens considérés dns ce chpitre sont réels. Toute notion sur les espces préhilbertiens complexes est hors progrmme. L notion de forme qudrtique est hors progrmme. ) Projection orthogonle sur un sous-espce de dimension finie Projection orthogonle sur un sous-espce de dimension finie. Crctéristion métrique du projeté orthogonl. Expression du projeté orthogonl dns une bse orthonormle. Inéglité de Bessel. PC : polriseur, loi de Mlus. b) Suites orthonormles de vecteurs d un espce préhilbertien réel Suite totle. Si (e k ) k N est une suite orthonormle totle d éléments de l espce préhilbertien E, et si, pour tout n de N, p n désigne le projecteur orthogonl de E sur Vect (e 0,...,e n ), lors, pour tout x de E, ( p n (x) ) n N converge vers x. Exemples de suites de polynômes orthogonux. I : clcul explicite des polynômes d une telle suite ; ppliction à l pproximtion des fonctions. c) Endomorphismes symétriques d un espce euclidien Endomorphisme symétrique d un espce euclidien. Crctéristion des projecteurs orthogonux comme projecteurs symétriques. Stbilité de l orthogonl d un sous-espce stble. Théorème spectrl : si u est un endomorphisme symétrique d un espce euclidien E, lors E est somme directe orthogonle des sous-espces propres de u ; de mnière équivlente, il existe une bse orthonormle digonlisnt u. Lien vec les mtrices symétriques réelles. L notion d djoint d un endomorphisme est hors progrmme. Interpréttion mtricielle de ce résultt. L notion d endomorphisme symétrique positif (ou défini positif) est hors progrmme. SI : mtrice d inductnce, mtrice d inertie. d) Isométries vectorielles d un espce euclidien Isométrie vectorielle d un espce euclidien. Stbilité de l orthogonl d un sous-espce stble. Réduction d une isométrie vectorielle en bse orthonormle. Cs prticulier : réduction d une isométrie vectorielle directe d un espce euclidien de dimension 3. Autre dénomintion : utomorphisme orthogonl. Lien vec les mtrices orthogonles. Interpréttion dns le registre mtriciel. L forme réduite justifie l terminologie «rottion». SI : liisons entre solides. 13/30

15 Séries et fmilles sommbles L objectif de cette prtie est triple : consolider les cquis de MPSI reltifs ux séries numériques ; étendre l notion de série convergente u cdre des espces vectoriels normés de dimension finie, en prticulier ux espces de mtrices ; introduire brièvement, exclusivement en vue du cours de probbilités, l notion de fmille sommble de nombres complexes. Les séries sont vnt tout un outil. L étude des séries semi-convergentes n est ps un objectif du progrmme. A - Séries numériques et vectorielles ) Séries à vleurs dns un espce normé de dimension finie Sommes prtielles. Convergence, divergence. L série de terme générl u n est notée u n. Somme et restes d une série convergente. Linérité de l somme. Le terme générl d une série convergente tend vers 0. Lien suite-série. Série bsolument convergente. Une série bsolument convergente d éléments d un espce vectoriel normé de dimension finie est convergente. b) Compléments sur les séries numériques En cs de convergence, nottion + n=0 u n. Divergence grossière. L suite (u n ) et l série (u n+1 u n ) ont même nture. Cs des séries mtricielles. Le critère de Cuchy est hors progrmme. Règle de d Alembert. Critère des séries lternées. Signe et encdrement des restes. Comprison série-intégrle : Si f est une fonction continue pr morceux et décroissnte de R + dns R +, lors l série de terme générl n n 1 f (t)dt f (n) converge. Sommtion des reltions de comprison : domintion, négligebilité, équivlence. Introduite principlement en vue de l étude des séries entières. L étude des séries semi-convergentes n est ps un objectif du progrmme. L trnsformtion d Abel est hors progrmme. L étude de l sommtion pr trnches dns le cs semi-convergent est hors progrmme. Les étudints doivent svoir utiliser l comprison sérieintégrle pour estimer des sommes prtielles de séries divergentes ou des restes de séries convergentes dns le cs où f est monotone. Interpréttion géométrique. L suite de référence est positive à prtir d un certin rng. Cs des séries convergentes, des séries divergentes. 14/30

16 B - Fmilles sommbles de nombres complexes L notion de fmille sommble est introduite en vue de l étude des probbilités. ) Ensembles dénombrbles Un ensemble est dit dénombrble s il est en bijection vec N. Un ensemble est fini ou dénombrble si et seulement s il est en bijection vec une prtie de N. Un produit crtésien fini d ensembles dénombrbles est dénombrble. Une réunion finie ou dénombrble d ensembles finis ou dénombrbles est finie ou dénombrble. Les ensembles N 2, Z et Q sont dénombrbles. L ensemble R n est ps dénombrble. Les prties infinies de N sont dénombrbles. Démonstrtions non exigibles. Démonstrtion non exigible. b) Fmilles sommbles Fmille sommble de réels positifs indexée pr un ensemble dénombrble. Somme. L fmille (u i ) i I est dite sommble si l ensemble des sommes i F u i où F décrit l ensemble des prties finies de I est mjoré ; dns ce cs, l somme de l fmille (u i ) i I est l borne supérieure de l ensemble précédent. Si l fmille (u i ) i I n est ps sommble, s somme est +. Dns tous les cs, l somme est notée i I u i. Théorème de sommtion pr pquets : si (I n ) n N est une prtition de I et (u i ) i I une fmille de réels positifs, lors l fmille (u i ) i I est sommble si et seulement si : Pour tout entier n l fmille (u i ) i In est sommble. L série ( ) converge. Dns ce cs : i I n u i u i = i I + ( u i n=0 i I n Fmille sommble de nombres complexes indexée pr un ensemble dénombrble Somme d une telle fmille. Lorsque I = N, lien vec l convergence bsolue de l série u n. Invrince de l sommbilité et de l vleur de l somme pr permuttion de l ensemble des indices. Linérité de l somme. Théorème de sommtion pr pquets. ). Démonstrtion hors progrmme. L fmille (u i ) i I est sommble si l fmille ( u i ) i I l est. Pour une fmille de réels, on se rmène à ses prties positive et négtive. Démonstrtion non exigible. Démonstrtion hors progrmme. On vérifie l hypothèse de sommbilité en ppliqunt le théorème de sommtion pr pquets à l fmille ( u i ) i I. c) Applictions des fmilles sommbles L fmille ( m,n ) (m,n) N 2 de réels positifs est sommble si et seulement si pour tout n, l série m,n converge et l série ( + ) m,n converge. Si tel est le cs m=0 + ( + n=0 m=0 m,n ) = + (+ m=0 n=0 m,n ). 15/30

17 Si l fmille ( m,n ) (m,n) N 2 de nombres complexes est sommble, lors : On vérifie l hypothèse de sommbilité en ppliqunt l énoncé précédent à l fmille ( m,n ) (m,n) N m,n = + + n=0 m=0 m=0 n=0 m,n. Produit de Cuchy de deux séries bsolument convergentes. Suites et séries de fonctions, séries entières A - Suites et séries de fonctions L objectif de ce chpitre est triple : définir les différents modes de convergence des suites et séries de fonctions ; étudier l stbilité des propriétés des fonctions pr pssge à l limite ; énoncer deux théorèmes d pproximtion uniforme choisis pour leur intérêt intrinsèque, les pplictions qu ils offrent et l interpréttion qu ils permettent en termes de densité. En vue des pplictions ux équtions différentielles linéires, les fonctions considérées sont à vleurs dns un espce normé de dimension finie. Dns l prtique, on se limite pour l essentiel u cs de fonctions à vleurs dns R ou C. On peut commencer pr triter le progrmme dns ce cdre et expliquer brièvement l extension u cs générl. Dns ce chpitre, les fonctions sont définies sur une prtie A d un espce vectoriel E de dimension finie et à vleurs dns un espce vectoriel normé F de dimension finie. ) Convergence simple, convergence uniforme Convergence simple sur A. Convergence uniforme sur A. L convergence uniforme entrîne l convergence simple. Pour des fonctions bornées, interpréttion de l convergence uniforme sur A en termes de norme. b) Continuité, double limite Si les u n sont continues en et si (u n ) converge uniformément vers u sur un voisinge de, lors u est continue en. Toute limite uniforme de fonctions continues sur A est continue sur A. Théorème de l double limite : soit (u n ) une suite de fonctions de A dns F convergent uniformément vers u sur A, et soit un point dhérent à A ; si, pour tout n, u n dmet une limite l n en, lors (l n ) dmet une limite l et u(x) l. x Adpttion u cs où l convergence est uniforme u voisinge de tout point de A. Démonstrtion non exigible. Adpttion, si A R, ux cs où = + et =. 16/30

18 c) Intégrtion d une limite uniforme sur un segment Soit (u n ) une suite de fonctions continues définies sur l intervlle I de R et à vleurs dns F, un point de I. On suppose que (u n ) converge uniformément sur tout segment de I vers une fonction u. Pour n N et x I soit U n (x) = x u n, U (x) = x u. En prticulier, si (u n ) converge uniformément vers u sur le segment S, lors : u n u. S S Alors (U n ) converge uniformément vers U sur tout segment de I. d) Dérivtion d une suite de fonctions Soit (u n ) une suite de fonctions de clsse C 1 sur un intervlle I de R, à vleurs dns F. Si (u n ) converge simplement sur I vers une fonction u, et si (u n ) converge uniformément sur tout segment de I vers une fonction v, lors (u n ) converge uniformément vers u sur tout segment de I, u est de clsse C 1 sur I et u = v. Extension ux suites de fonctions de clsse C k, sous l hypothèse de convergence simple de (u (j ) n ) pour 0 j k 1 et de convergence uniforme de (u n (k) ) sur tout segment de I. e) Séries de fonctions Convergence simple, convergence uniforme. Une série de fonctions converge uniformément si et seulement si elle converge simplement et l suite de ses restes converge uniformément vers 0. Adpttion u cs des séries de fonctions des résultts des prgrphes b), c) et d) ci-dessus. Convergence normle d une série de fonctions. L convergence normle implique l convergence uniforme et l convergence bsolue en tout point. Ces notions sont définies vi l suite des sommes prtielles. Les étudints doivent svoir étudier l somme d une série de fonctions (régulrité, étude symptotique, utilistion de l comprison série-intégrle). e) Approximtion uniforme Approximtion uniforme d une fonction continue pr morceux sur un segment pr des fonctions en esclier. Théorème de Weierstrss : toute fonction continue sur un segment y est limite uniforme de fonctions polynomiles. Démonstrtion non exigible. 17/30

19 B - Séries entières Les objectifs de ce chpitre sont les suivnts : étudier l convergence d une série entière et les propriétés de s somme ; introduire l notion de développement d une fonction en série entière ; étblir les développements en série entière des fonctions usuelles. Les coefficients des séries entières considérées sont réels ou complexes. ) Générlités Série entière. Lemme d Abel : si l suite ( n z0 n ) est bornée lors, pour tout nombre complexe z tel que z < z 0, l série n z n est bsolument convergente. Ryon de convergence d une série entière. L convergence est normle sur tout disque fermé de centre 0 et de ryon strictement inférieur à R ; l série n z n diverge grossièrement pour tout z tel que z > R. Si n = O(b n ), R R b. Si n b n, R = R b. Les séries entières n z n et n n z n ont même ryon de convergence. Utilistion de l règle de d Alembert. Continuité de l somme d une série entière sur le disque ouvert de convergence. Somme et produit de Cuchy de deux séries entières. Disque ouvert de convergence ; intervlle ouvert de convergence. L étude des propriétés de l somme u bord du disque ouvert de convergence n est ps un objectif du progrmme. b) Série entière d une vrible réelle Primitivtion d une série entière sur l intervlle ouvert de convergence. L somme d une série entière est de clsse C sur l intervlle ouvert de convergence et ses dérivées s obtiennent pr dérivtion terme à terme. Expression des coefficients d une série entière de ryon de convergence strictement positif à l ide des dérivées en 0 de s somme. + Si les fonctions x n=0 + n x n et x n=0 b n x n coïncident sur un voisinge de 0, lors pour tout n, n = b n. c) Fonctions développbles en série entière, développements usuels Développement de exp(z) sur C. 1 Développement de sur {z C, z < 1}. 1 z Fonction développble en série entière sur un intervlle ] r,r [ de R. Série de Tylor d une fonction de clsse C sur un intervlle ] r, r [. Développements de fonctions de vrible réelle. Les étudints doivent connître les développements en série entière des fonctions exponentielle, hyperboliques, circulires, Arctn, x ln(1 + x) et x (1 + x) α. Les étudints doivent svoir développer une fonction en série entière à l ide d une éqution différentielle linéire. 18/30

20 Fonctions vectorielles, rcs prmétrés Ce chpitre poursuit trois objectifs : étendre le progrmme d nlyse réelle de première nnée u cdre des fonctions vectorielles ; préciser les notions de tngente et de vitesse instntnée ; fournir des outils pour l étude des équtions différentielles linéires et du clcul différentiel. Les fonctions sont définies sur un intervlle I de R, à vleurs dns un espce normé de dimension finie E. ) Dérivbilité en un point Dérivbilité en un point. Dérivbilité à droite et à guche d une fonction en un point. Formes équivlentes : tux d ccroissement, développement limité à l ordre 1. Interpréttion cinémtique. PC : vitesse instntnée. Trduction pr les coordonnées dns une bse de E. b) Opértions sur les fonctions dérivbles Combinison linéire de fonctions dérivbles. Dérivbilité et dérivée de L f, où L est linéire. Dérivbilité et dérivée de B(f, g ), où B est bilinéire. Cs du produit sclire. Dérivbilité et dérivée de f ϕ où ϕ est une fonction réelle de vrible réelle et f une fonction vectorielle. Applictions de clsse C k. Opértions sur les pplictions de clsse C k. PC : dérivée de l densité volumique de l énergie électromgnétique. PC et SI : vecteur ccélértion. c) Intégrtion sur un segment Intégrle d une fonction f continue pr morceux sur un segment de R, à vleurs dns E. Linérité de l intégrle. Reltion de Chsles. b b Inéglité f f. Sommes de Riemnn ssociées à une subdivision régulière. Définie pr les intégrles des coordonnées dns une bse. b b Nottions f, f, f (t)dt. [,b] PC et SI : intégrtion d un chmp de vecteurs en mécnique et électromgnétisme. Extension de l énoncé reltif ux fonctions numériques étudié en MPSI. e) Intégrle fonction de s borne supérieure Dérivtion de x x f (t) dt pour f continue. Inéglité des ccroissements finis pour une fonction de clsse C 1. Ce prgrphe fournit l occsion de revoir les résultts correspondnts pour les fonctions numériques et les techniques de clcul de primitives. f ) Formules de Tylor Formule de Tylor vec reste intégrl. Inéglité de Tylor-Lgrnge à l ordre n pour une fonction de clsse C n. Formule de Tylor-Young à l ordre n pour une fonction de clsse C n. Les étudints doivent connître l différence de nture entre l formule de Tylor-Young (locle) et les formules de Tylor globles (reste intégrl et inéglité de Tylor- Lgrnge). 19/30

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