Bases de la Thermo : Gaz Parfaits

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1 uppléent EXERCICE H / H Bases de la ero tatique Feuille /3 Bases de la ero : Ga arfaits Eercice : ression d un pneu Une cabre à air d un pneu d autoobile est onflée à la pression =,bar, l air étant à la tepérature t = 7 C. L air est assiilé à un a parfait et on suppose que le volue intérieur à la cabre à air reste à peu près constant.. L autoobiliste ayant roulé sur autoroute, la tepérature dans la cabre à air atteint la valeur t = 57 C. Eprier puis calculer la pression de l air dans le pneu.. A ce oent, le conducteur vérifie la pression des pneus et, la trouvant ecessive, la raène à =,bar, sans que l air ait eu le teps de refroidir. Quelle sera la pression des pneus quand la tepérature sera revenue à t = 7 C? 3. i la pression aiale adissible dans le pneu est a = 6,bar, à quelle tepérature ta risque-t-il d eploser? Eercice : Dissociation du Broe à aute Le broe Br est à tepérature abiante un a, supposé parfait. Données : M(Br = 8.ol -, R = 8,34 J.K -.ol -.. Calculer en litre le volue téoriqueent occupé par une asse = de broe à la tepérature t = 6 C et sous la pression atospérique = at. La esure epérientale de ce volue est =,95L. La différence entre la esure epérientale et la valeur téorique est due à la dissociation d une partie des olécules de broe, suivant l équation bilan Br Br.. Epliquer pourquoi cette dissociation peret d epliquer qualitativeent la différence entre la esure epérientale et la valeur téorique. 3. Déteriner l epression puis la valeur du coefficient de dissociation α, défini coe le rapport entre la quantité de broe dissocié et la quantité initiale de broe. Eercice 3 : idane d un réservoir d air coprié Un réservoir de volue = L contient de l air coprié sous la pression = bar et à la tepérature abiante t = C. Ce réservoir est feré par un robinet R. ur l ebout de ce robinet, on fie un récipient de volue v = L contenant de l air abiant, à la tepérature t et à la pression p = bar. Ce récipient est uni d un soupape initialeent ferée.. On ouvre le robinet. Que se passe-t-il? Eprier puis calculer la pression obtenue dans le réservoir.. Le robinet est ensuite referé, puis la soupape ouverte et enfin on refere la soupape. On ouvre à nouveau le robinet. Eprier puis calculer la pression obtenue dans le réservoir. 3. La suite des anipulations précédentes est à nouveau effectuée. Eprier la relation entre les pressions n+ et n. En déduire la pression liite atteinte dans le réservoir. Eercice 4 : Ouverture d une bouteille d air coprié L air est assiilé à un a parfait. Une bouteille d acier, unie d un détendeur, contient un volue = 6L d air coprié sous = 5bar et = 98K. On donne R = 3,84 J.K -.ol -, et Mair = 9.ol -.. Calculer la quantité d air contenue dans cette bouteille, olaire et assique.. Quelle est la asse voluique de l air coprié dans ces conditions? a densité? 3. acant que l air peut être assiilé au élane (en ol % O (M(O = 6.ol -, 78% N (M(N = 4.ol -, et % de a nobles (Ar, calculer la asse de dioyène contenue dans cette bouteille. 4. On ouvre le détendeur à l air atospérique ( = bar, = 98K. Quel volue d air coprié s écappe de la bouteille à tepérature constante? Eercice 5 : ope à vide our faire le vide dans une enceinte, contenant de l air et de volue, on utilise une pope à vide. Elle est coposée d un cylindre à l intérieur duquel se déplace, sans frotteent, un piston. Le volue aiu d air adissible dans le corps de pope est, lorsque le piston est tiré coplèteent vers la droite. Lorsqu il est poussé coplèteent à auce, le piston peut atteindre le fond du cylindre. Deu soupapes, et perettent l adission de l air venant de l enceinte et son refouleent vers l atospère etérieure dont la pression est. Un oteur électrique déplace le piston qui fait un aller et un retour quand le oteur a fait un tour. On assiilera l air à un a parfait dont la tepérature reste constante lors du fonctionneent de la pope. Au départ, la pression dans l enceinte est = bar. On nélie le volue du tuyau reliant la pope à l enceinte.,. On étudie le preier aller-retour du piston. Au départ, la pression dans l enceinte est, le piston est poussé vers la auce. uis, étant ouverte et ferée, il est tiré coplèteent vers la droite. Lors du retour du piston, est ouverte et ferée, l air contenu dans le cylindre est refoulé vers l etérieur. Déteriner la pression à la fin de cette opération.. En reprenant le raisonneent précédent, déteriner la pression, dans l enceinte, après le deuièe aller-retour. 3. En déduire la pression N à l intérieur de l enceinte au bout de N aller-retours. 4. La fréquence de rotation du oteur est de 3 tours.in -. Déteriner le teps t pour obtenir une pression de, bar. On donne =,L et = 5,c 3.

2 Eercice 6 : eroètre différentiel Deu réservoirs, notés respectiveent ( et ( sont séparés par un tube oriontal de faible section coportant un inde de ercure de diension nélieable, supposé incopressible, et susceptible de se déplacer. Les deu copartients contiennent n oles d un a parfait. A l instant initial, t =, les enceintes sont de êe volue, les a à la tepérature et l inde au centre O du tube. Le a ( est porté et aintenu à la tepérature ( > alors que le a ( est aintenu constant à la tepérature. L inde de ercure est ainsi déplacé d une lonueur.. Montrer qu un tel dispositif peut faire office de teroètre différentiel en établissant la relation : - = a., et eprier a en fonction de, et.. A quel différentiel de tepérature correspond un déplaceent de 5c. Données : = 93K, =, = 586L. Eercice 7 : Oscillations d un piston Un tube cylindrique oriontal de section et de lonueur L, est séparé en deu copartients par un piston de asse, obile sans frotteent dans le tube. L épaisseur de ce piston est nélieable par rapport à la lonueur du tube. Caque copartient ainsi déliité contient la êe quantité d un a parfait, à la tepérature et sous pression initiale. La position du piston dans le tube est repérée par son abscisse (t esurée par rapport au ilieu du tube. Lorsque le systèe est à l équilibre, le piston est donc en =. ( L A la date t =, on écarte le piston d une distante ( = d et on le lâce sans vitesse initiale. Le piston est assiilé à un point atériel. Le tube est fie dans un référentiel d étude supposé aliléen. De plus, on fait l ypotèse que le a est aintenu à une tepérature constante dans le teps.. Faire le bilan des forces eercées sur le piston.. Etablir l équation différentielle vérifiée par (t. O Indice (t 3. On considère le cas de petits déplaceents du piston : (t << L. Quelle est alors la nature du ouveent du piston? Déteriner l epression de la pulsation ω des oscillations du piston. y (t ( Fluides Réels et Coefficients eroélastiques Eercice 8 : Ga de an Der Waals Lorsque la densité oléculaire auente et que la distance interoléculaire diinue, il est ipossible de nélier les interactions entre les olécules : le odèle du a parfait est inadapté. our epliquer les propriétés des fluides réels, il est donc essentiel de tenir copte des forces interoléculaires : le pysicien ollandais J. an Der Waals, pri Nobel de ysique en 9, a établi en 873 leur oriine électroanétique. Ces forces dérivent d une énerie potentielle bien représentée, en particulier dans le cas des a rares, par le potentiel de Lennard- 6 Jones : r r E ( r = 4E E ( r E r r our l aron : E =,e,6. r =,34n e = r r σ. Interpréter l allure de la fonction E r en distinuant les teres de cette énerie potentielle. Déaer la sinification pysique des teres correctifs de l équation d état d un a réel de an Der Waals par rapport au odèle du a parfait : a + ( b = R. La portée de l interaction ne dépasse pas le nanoètre. Jusqu à quelle pression est-il léitie de considérer le coporteent de l aron coe celui d un a parfait à 3 93K? (On donne k =, 38. J. K B Eercice 9 : Ga parfait et a réel de Dieterici Une ole d éliu occupe un volue =,L à = K.. Dans un preier teps, on suppose le a parfait. Quelle est la pression de l éliu? (on rappelle que R = 3,84 ui. On suppose aintenant que l éliu vérifie l équation d état du odèle de Dieterici : a ( b = R ep. R (Avec a = 3, 4. J.. ol et b =, 3.. our des basses pressions, on peut utiliser la siplification : A = b R.a Retrouver l équation d état du a parfait si +.b Déteriner A par un développeent liité DL au preier ordre en /. (DL : pour <<, e +.c Déteriner le sens pysique de a et de b 3. Calculer dans ce nouveau odèle la pression de l éliu 4. Eprier l écart relatif ( ( ( et le calculer ici. G G 9 ( J

3 uppléent EXERCICE H / H Bases de la ero tatique Feuille /3 Eercice : Coefs teroélastiques d un a réel our de faibles pressions, une ole d un a obéit à l équation d état siplifiée : = R + b, où R est la constante des a parfaits et b une constante positive (le covolue.. que représente ce coefficient b?. Eprier les coefficients de dilatation isobare α et de copressibilité isotere χ de ce a. Eercice : Dilatation du ercure Le ercure est, dans les conditions standards de tepérature et de pression, un liquide de coefficient de dilatation isobare α =,8. -3 K -. On cauffe un volue = L de ercure, de la tepérature = C à la tepérature = 8 C, de anière isobare. Le coefficient α est supposé constant dans ce doaine.. En supposant que le volue reste quasient identique, estier la variation de volue δ subie par le ercure. Quel est son volue final?. En utilisant la définition du coefficient α, établir la relation énérale donnant le volue en fonction de la tepérature, de et de ( constante. En déduire le volue final dans ce cas. 3. En déduire pourquoi, dans un teroètre, on a besoin d un petit réservoir de ercure pour alienter la colonne (qui est très fine. Eercice : Copression du ercure Le ercure est, dans les conditions standards de tepérature et de pression, un liquide de coefficient de copressibilité isotere χ = a -. On coprie un volue = L de ercure, de la pression = bar à la pression = bar, de anière isotere. Le coefficient χ est supposé constant dans ce doaine.. En supposant que le volue reste quasient identique, estier la variation de volue δ subie par le ercure. Quel est son volue final?. En utilisant la définition du coefficient χ, établir la relation énérale donnant le volue en fonction de la pression, de et de. En déduire le volue final dans ce cas. Eercice 3 : Copression d un volue d eau A des pressions inférieures à bar et des tepératures entre 73K et 83K, le volue assique de l eau liquide est donné par l équation d état : v = v + a( ( k b (, où 3 v = c., = 77K, et = bar.. Quelles sont les unités dans le I de a, b et k? Dans ce systèe : a = 8,5. -6, b = 7,. -3, k = 6, Montrer qu à constante, v passe par un iniu pour une valeur de la tepérature. Calculer pour =. 3. Définir et calculer les coefficients teroélastiques de l eau à = bar et = 83K 4. On prend désorais pour l eau au voisinae de 77K et bar un odèle incopressible et indilatable. Quelle est la nouvelle équation d état? Eercice 4 : eroètre à alcool Un teroètre à alcool est porté à une tepérature aiale telle que son réservoir et sa colonne verticale sont coplèteent replis de liquide d équation d état = f(,. On donne les coefficients teroélastiques supposés constants : 3 5 α =,. K et χ = 3, 4. bar.. Montrer qu une siple auentation de tepérature de,5 C suffit à créer une surpression considérable. Que se passe-t-il?. Etablir l équation d état de ce liquide. On pose = pour = et =. 3. Calculer l écart relatif de volue pour une variation de K à pression fiée, ou pour une variation de bar à tepérature fiée. 4. Conclure sur le odèle usuel coisi pour les états condensés. Eercice 5 : eroètre à a On utilise du diydroène sous pression fiée (faible de anière à pouvoir l assiiler à un a parfait. On étudie la variation de son volue avec la tepérature t (en C dans un teroètre entre C et 3 C. On trouve une loi epérientale du type : ( α = + t avec α 7 3, 5 C =.. eut-on assiiler le α au coefficient de dilatation isobare d un a parfait?. Retrouver pour H la proportionnalité du volue avec la tepérature (K. Quel est le coefficient de dilatation isobare de ce a? 3. De cobien de pourcent varie le volue du a entre C et 3 C. Que dire de la précision du teroètre?

4 tatique des Fluides Fluide Incopressible Eercice 6 : Influence de la fore our une êe auteur d eau et à surface de fond identique, coparer les forces de pression eercées sur les fonds des récipients A et B. Eercice 7 : Reontée d un cube Un cube de asse voluique ρ est posé au fond de l eau cube de asse voluique ρ eau sous l action de la poussée d Arciède : Il faut que Il faut que ρ ρ cube cube ρ <. ρ air >.. our qu il puisse reonter à la surface air Il ne peut pas reonter à la surface. Eercice 8 : Equilibre de la feuille? Un verre de diaètre supérieur d = c et de volue =,5L est repli d eau à ras bord. Une feuille de papier débordant lareent est posée sur le verre. ous applique votre ain sur l enseble et retourne le tout. Lorsque vous enleve votre ain, que se passe-t-il? Eercice 9 : Densiètre Un densiètre, servant à esurer la densité d un liquide par rapport à l eau, est constitué d un ballon spérique de rayon R =, lesté et suronté d un tube cylindrique de rayon r = portant des raduations réulièreent espacées d une distance l. La asse totale du densiètre est notée M. loné dans l eau pure de asse voluique ρ, le densiètre affleure à l équilibre la raduation n = située à la base du tube. loné dans du dissolvant de asse voluique ρ, il affleure la raduation n = 8. On note le volue du ballon spérique et v le volue du tube déliité par deu raduations consécutives. Données : ρ =.c -3, ρ =,7.c -3. En traduisant l équilibre du densiètre, déteriner la relation entre ρ, ρ,, v et n.. En déduire la valeur nuérique de v. En déduire la distance l. d 3. Le densiètre est aintenant ploné dans du benène. Il affleure à la raduation n = 8. En déduire d du benène par rapport à de l eau.? Eercice : Débordera? Débordera pas? Un verre contenant un laçon, de volue et de asse voluique μ est repli à ras bord d eau liquide de asse voluique μ.. Eprier en fonction des données le volue vi du laçon ieré dans l eau ainsi que le volue v du laçon lorsqu il aura fondu.. Faire l application nuérique du pourcentae ieré pour μ =.c -3 et μ =,9.c Faut-il prévoir une épone pour essuyer la table? Que se passe-t-il si à la place de l eau il y a du wisky? (densité de l alcool inférieur à celle de l eau Eercice : Equilibre d un bécer Le cap de pesanteur est unifore et d intensité. Le ilieu etérieur est l atospère, de pression et de tepérature constantes et. Un bécer cylindrique a les caractéristiques suivantes : urface de base de rayon R = 3,5c, Hauteur H = 9c Masse à vide = 98. Cristallisoir Il contient un volue A=L d acide sulfurique concentré HO4 de densité d=,84. Il est placé dans un cristallisoir dans lequel on verse proressiveent de l eau. En faisant l ypotèse qu il eiste toujours entre le fond du cristallisoir et la base du bécer une fine pellicule d eau, à partir de quelle auteur critique C d eau versée le bécer risque-t-il de se ettre à flotter et de se renverser? Eercice : Replissae d une citerne HO4 Une citerne, destinée au transport d un liquide de asse voluique ρ =. 3 k. -3, est divisée en copartients identiques couniquant entre eu par la partie inférieure (ceci afin de iiter le ouveent du liquide lors du transport. Le replissae et la vidane s effectuent par le bas. Les clapets situés à la partie supérieure de caque copartient sont ouverts pendant le replissae et la vidane, et ferés pendant le transport.. Le replissae est effectué sous la pression atospérique =, bar et à une tepérature t = C. Au cours du transport, la tepérature s élève à t = 7 C. Eprier et calculer la pression atteinte par l air qui suronte le liquide contenu dans la citerne.. Au cours du replissae, l un des clapets a été feré préaturéent et il eiste une dénivellation d = entre le niveau du liquide dans le copartient correspondant et le niveau énéral de la cuve. Eprier puis calculer la pression dans le copartient où s est produit l incident.

5 uppléent EXERCICE H / H Bases de la ero tatique Feuille 3/3 Eercice 3 : Oscillations d un boucon lesté Un boucon ooène, de asse voluique μ, de fore cylindrique de auteur H et de section, est lesté par une pastille de asse fiée sur sa base inférieure. A l équilibre dans l eau de asse voluique μ, la auteur du boucon enfoncé dans l eau est.. Déteriner la relation liant et les données de l énoncé.. On enfonce le boucon dans l eau et on le lâce. Il se et à osciller. Déteriner l équation différentielle vérifiée par la côte (t esurant le déplaceent vers le bas du boucon par rapport à l équilibre. 3. Identifier la période des oscillations en fonction des données. Eercice 4 : Cloce renversée On renverse une cloce cylindrique de section s, de auteur et de asse, et on la laisse descendre verticaleent dans une cuve d eau. La cloce s enfonce dans l eau en eprisonnant l air qu elle contenait et occupant initialeent son volue intérieur. A l équilibre, la cloce flotte, la pression atospérique vaut et la asse voluique de l eau est ρ. L épaisseur des parois de la cloce est supposée nélieable.. Faire un bilan des forces s eerçant sur la cloce, et éliiner celles qui s annulent deu à deu. En déduire une condition d équilibre pour la cloce.. Déteriner les auteurs et y repérant les surfaces libres de l eau par rapport au bords de la cloce. 3. A quelle condition sur le volue = de la cloce celle-ci peut-elle flotter? 4. Qu y a-t-il de cané si on tient copte de l épaisseur des parois? Eercice 5 : Fluide en rotation unifore Une cuve cylindrique de rayon R contient une auteur d eau, fluide incopressible et ooène, de asse voluique ρ. Elle est ise en rotation à une vitesse anulaire ω constante autour de son ae de syétrie O et, au bout de quelques instants, un état d équilibre relatif est atteint dans le référentiel tournant (R de la cuve. Le F appliqué en coordonnées cylindriques (r,θ, lié au référentiel R donne l équation pour la force voluique : e + e + e = f r r r θ θ, θ r, r, θ. Epliquer pourquoi le fluide tourne avec la cuve et est iobile dans R à l équilibre?. Quelles sont les forces voluiques eercées sur la particule. 3. Résoudre les équations différentielles et trouver l équation de la surface libre. y Air, Air tatique des Fluides Fluide Copressible Eercice 6 : Modèle idéal de l atospère isotere. En supposant l atospère isotere (sur quelques centaines de ètres, redéontrer l évolution de la pression en fonction de.. Calculer la valeur de pour = 5, = 5 et =, et tracer son évolution entre la surface et d altitude. On donne = bar, = 93K (valeurs de et au sol, = 9,8.s -, Mair = 9.ol -, et R = 8,34 ui. Eercice 7 : Modèle plus réaliste pour la tropospère elon le odèle de l Atospère tandard Internationale (IA, on adet que dans la tropospère (entre et k d altitude, la tepérature varie avec l altitude selon une loi de la fore : = + A, où est la tepérature au sol et A une constante. L air est assiilé à un G (M = 9.ol -. Données : = 5 C, = 35 a, = 9,8. s, d = 6,5 K. k et R = 8,34 u I d. Etablir la loi de variation de (. AN : Calculer et à k d altitude Eercice 8 : Double vitrae Un double vitrae est constitué de deu vitres séparées par de l air eprisonné à la pression atospérique du lieu de fabrication, qui se trouve au niveau de la er : =,3bar. Il ne peut pas résister à un écart relatif entre la pression intérieure et la pression etérieure supérieur à %. En supposant que l air atospérique suit la loi de l équilibre de l atospère isotere, jusqu à quelle altitude aiale a peut-il être transporté sans risque? Eercice 9 : Atospère de d tepérature variable L atospère terrestre est assiilée à un a parfait placé dans le cap de pesanteur unifore et constant ( = 9,8.s -. oit d la variation de pression lorsque l on se déplace verticaleent de d à partir du point M(. L ae O est ascendant et l oriine est au niveau de la er. Déontrer la d = ρ d relation. La tepérature de l air varie en fonction de l altitude selon la loi A ( =, où A et sont des constantes + positives. réciser leurs unités, et donner la sinification pysique de A. 3. La tepérature baisse de 7,5K lorsque l on s élève de k à partir du niveau de la er où = = 73K, et = = 5 a. Calculer A et. 4. Déteriner la pression à l altitude. 5. Application nuérique sur l Everest : = 8847, R = 8,34 ui, Mair = 9.ol -.

6 Eercice 3 : Altitude plafond d un ballon sonde On considère le odèle de l atospère isotere à la tepérature t = C, pour lequel la pression à l altitude est donnée par la relation ( = ep(-/h, où =,bar est la pression au niveau du sol et H = 8,6k. Un ballon sonde est constitué d une enveloppe en aluiniu, de volue fie = 3L, de asse =,, onflée avec de l éliu à la pression He = bar. Données : Mair = 9.ol - et MHe = 4.ol -. Calculer la asse d éliu He contenu dans le ballon.. Déteriner l epression puis calculer la pression de l air à l altitude à laquelle le ballon-sonde va se stabiliser. 3. En déduire l altitude plafond atteinte par le ballon-sonde. Eercice 33 : ression sur une dei boule a Calcul direct oit une dei boule étallique de rayon R =, posée sur un sol plat et bainant dans l air. Calculer la force pressante résultante de l air atospérique sur cette dei-boule, après avoir précisé sa direction et son sens. b ar le téorèe d Arciède La êe dei boule est aintenant ierée au fond d une piscine, toujours sur un sol plat. Métal Métal R R Air ( tatique des Fluides Calcul Forces de ression Eercice 3 : Etude d un corps flottant oit un verre ABCD de fore cylindrique, de asse à vide, de auteur intérieure H et de sections intérieure s et etérieure. On replit coplèteent ce verre avec de l eau, puis on fere avec la ain la surface libre AD pour le retourner sur une cuve à eau en l enfonçant d une auteur. Quelle est la force appliquée par l opérateur pour le aintenir à l équilibre? Faire le calcul par un bilan des forces pressantes Faire le calcul avec le téorèe d Arciède Air, Eercice 3 : ression sur la paroi d une piscine La paroi d une piscine (en kit, ors sol, est scéatisée cicontre. L anle α vaut 3. La auteur d eau est de =. La pression atospérique locale est = bar. On donne ρ eau = k. L et = 9,8. s. Calculer la résultante des forces de pression s eerçant sur cette paroi, de lonueur L = 5. C D C D s B A Air α B e A H Air. eut-on utiliser un calcul direct pour obtenir la résultante des forces de pressions? Et est-ce coode?. ourquoi, pour appliquer le téorèe d Arciède, faut-il supposer qu il eiste un filet d eau entre la dei-boule et le fond? 3. Quelle est la poussée d Arciède eercée sur la deiboule? En déduire la force pressante résultante sur la paroi dei-spérique. Eercice 34 : Force sur un barrae Un barrae droit peret de réaliser une retenue d eau sur une profondeur H et une lareur L. La pression de l air est, et la asse voluique de l eau est constante et vaut ρ.. Eprier la loi donnant la pression qui rène dans l eau selon la auteur.. Déteriner la résultante F eau des efforts de H pression qu eerce l eau sur le barrae en fonction de ρ,, L et H O et. 3. Déteriner le centre de poussée C 4. Le profil du barrae est odifié. Il correspond à une courbe C d équation = f(. La auteur d eau deeure H et la lareur L. On notera l abscisse du point le plus aut de la courbe C atteint par l eau. Donner la nouvelle epression des coposantes de par un calcul direct. F eau 5. Application à un profil parabolique =. 6. Coenter les valeurs obtenues pour la coposante suivant de dans les deu cas. F eau 7. Ne voye-vous pas une étode rapide pour calculer la valeur de la coposante suivant de la force de pression avec un profil quelconque inconnu? (pense à isoler une partie de fluide adaptée H O A Courbe C

7 OLUION des EXERCICE H / H Bases de la ero tatique Feuille / Bases de la ero : Ga arfaits Eercice : ression d un pneu bar. Cauffae à t = 57 C = =,. bar. Il raène à =,bar, = =,8 3. a = 6bar a = = 9K / t a Eercice : Dissociation du Broe à aute R. olue = =,96 M L = C a 67. Dissociation plus de olécule de a. On sait que le coporteent d un a parfait est le êe pour tous les a (à faible pression, le Br entièreent dissocié prendrait fois plus de place (car les atoes Br seraient seuls. 3. Dissociation partielle : i olécules de Br se dissocient, alors il se fore olécules de Br et il reste n- olécules de Br. Ainsi : na = ( n + = n + =. R Coef de dissociation : na n α = = = =,4 n n Eercice 3 : idane d un réservoir d air coprié. Equilibrae des pressions : + pv = = 9,bar + v. Nouvelle pression : + pv = = 8,5bar + v 3. Récurrence : + pv n n + = ression liite = p. + v Eercice 4 : Ouverture d une bouteille d air coprié. Quantité d air : n = = 36,3ol = nm =,5k R. Masse voluique : M 3 ρ = = = 7,6 k. R Attention, la densité pour un a est la coparaison de sa asse voluique par rapport à celle de l air dans les êes conditions. Ici, on a donc d =!!! (Question pièe En rèle énérale, on aura ρ M M d = = = ρ M 9. ol 3. Bouteille, n =,n =,n M =,4k 4. olue : air air nr = = = 9L Eercice 5 : ope à vide. Mêe étode que dans le D conservation de la quantité : = +. De êe : = = N aller-retours : N = + ln N 4. On a N, = = 385 ln N + t = = 77s = 4,6 in 3 Eercice 6 : eroètre différentiel + = nr, les a étant à f = nr l équilibre écanique (pression éale au ilieu pour avoir l équilibre de l indice de ercure, ais pas à l équilibre terique, qui est plus lent. +. Deu lois des G : f Ainsi : = = + = + = + D où : Et ( N = = On a bien = a, avec a = =, C. c. our = 5c, on a bien 3 =, 7. et = C. Ce type de teroètre est donc très précis, pour ettre en évidence de petites différences de tepératures. Eercice 7 : Oscillations d un piston. Forces oids copensé par la réaction du support (vertical, ression à droite et à auce du piston. Ainsi : nr nr = = et nr nr = = L + L. FD : nr nr = ɺɺ = L + L Ainsi : ɺɺ = L + L 3. etits déplaceents, on utilise un développeent liité : + α α et α + α, d où ɺɺ = = = L L L L + L L L Et ainsi, oscillateur aronique ɺɺ + =, ω = L L

8 Fluides Réels et Coefficients eroélastiques Eercice 8 : Ga de an Der Waals. ere en /r répulsif à faible distance ere en /r 6 attractif à oyenne distance Dérivée nulle pour r = σ = 3,8. - (dériver l Ep er ere correctif : covolue b = volue inial d une olécule, du à la force répulsive à faible distance. nd ere correctif : pression oléculaire n a =, qui atténue la pression cinétique (du G à oyenne distance en raison de la force d attraction entre les olélcules.. Liite de validité pour l aron : On a = Nk, pour olécule de volue spérique B de rayon r = n, cela donne k B = = 9 bar a 4 3 π rin 3 (En réalité, on peut aller lareent plus aut Eercice 9 : Ga parfait et a réel de Dieterici. G : nr = = 4, 6 bar.. iplification : ( b = R ( A.a i +, on retrouve = nr..b DL : a a ( b = R ep R R R Donc a A = nr.c b : covolue, -a/ : ression oléculaire (voir cours 3. Avec ce odèle = 4bar (epression siplifiée ou non 4. Ecart relatif ( a n b G = R =,3% Eercice : Coefs teroélastiques d un a réel G. b : olue inial d une olécule (voir cours.. Dilatation isobare R R α = = = R + b Copressibilité isotere R b χ = = = R + b Eercice : Dilatation du ercure. olue quasi constant, δ α =,9 L. =, L. Avec d α = = α d On intère : = e ln = α ( =, L Cela donne eacteent le êe résultat (bonne appro α( 3. Besoin d un réservoir car êe si le ercure a une forte dilatation (par rapport au autre liquides, elle reste faible (% et il faut un rand de ercure pour la percevoir. Eercice : Copression du ercure. olue quasi constant, δ χ = 3, 8 L. = 996, L. Avec d χ = = χ d χ ( On intère : = e ln = χ ( = 996, L Ealeent une bonne approiation Eercice 3 : Copression d un volue d eau. a = 8,5. -6 K -, k = 6,94. - a - et b = 7,. -3 a -.K -.. On dérive : = a ( + b ( = Cela donne : b = (, il s ait bien d un a iniu, car la dérivée seconde est positive = a. our =, on a = = 77K = 4 C. v 3. Coefficients teroélastiques : α = = v v χ = = v a ( + b( a ( D où : α = = α = = + a( ( k b ( + a( ( k b k b χ = = χ ( = = + a( ( k b ( + a( AN : α = 9,9. -5 K -, et χ = 4,96. - a aleurs faibles des coefs v = v = constante Eercice 4 : eroètre à alcool. Equation d état à partir des coefficients teroélastiques, étant une fonction de variables : (voir cours de ats d = d d αd χd + = Réservoir plein : α d = = = 65 bar χ C est énore, le réservoir va eploser, il faut laisser de l air.. Equation d état : On sépare les variables pour intérer d = αd χ d ln = α ( χ ( 3. Ecart relatif : e = = ep α ( χ ( ariation de K à pression fiée : e =,8% ariation de bar à tepérature fiée : e =,8%. 4. Le odèle incopressible est validé, ais l indilatable est plus douteu Eercice 5 : eroètre à a. our un G : α = = α Notion différente. Mais α = + t = α roportionnalité. α α Dilatation isobare α = = On retrouve le G. α 3. De C à 3 C, variation de % Forte variation / précis

9 OLUION des EXERCICE H / H Bases de la ero tatique Feuille / tatique des Fluides Fluide Incopressible Eercice 6 : Influence de la fore La pression ne dépend QUE de la auteur d eau dans le récipient, donc la pression de l eau sur le fond est la êe dans les deu cas. Et puisque la surface est la êe, la force de pression (F = est la êe. Eercice 7 : Reontée d un cube Le cube NE EU A reonter à la surface, puisque il n est pas ieré dans le fluide, donc ne subit pas de poussée d Arciède. Le fluide ne fait qu eercer son poids sur le cube, il est coe «aspiré» par le fond. Cependant, dans la réalité, c est quasient ipossible. Il suffit d un filet d eau passant sous le cube pour qu il reonte dans le cas où il est plus léer que l eau. il est plus lourd, dans tous les cas il restera au fond. Eercice 8 : Equilibre de la feuille? renons le cas où le verre est retourné à la verticale pour siplifier les eplications. La feuille est souise à son poids (nélieable, à la force eercée par l eau sur elle, éale au poids de l eau eau = =,5N, et finaleent à la pression de l air etérieur (Fair = = π (d/^ = 785N. On rearque que la pression de l air est supérieure à la force de l eau sur la feuille, donc le fluide reste en aut!!! Une fois de plus, cette situation ne se retrouve presque jaais dans la réalité. Eercice 9 : Densiètre. ρ = ρ ( + n v. ρ 3. v = = 35,, d où l =,8. ρ n 3. Benène : d = =,88 + n v Eercice : Débordera? Débordera pas?./. µ vi = = 9%. Fondu, le laçon occupera le µ volue (équivalent au volue du fluide déplacé qui copense parfaiteent le poids du laçon. 3. as la peine d avoir une épone cela ne va pas déborder. Dans le wisky, qui est oins dense que l eau, le fluide déplacé aura un volue plus rand pour copenser le poids dulaçon. Quand le laçon redevient liquide, le niveau va donc baisser. Eercice : Equilibre d un bécer La poussée d Arciède Π = ρ eau (le fluide est bien ieré râce au filet d eau sous le bécer doit être supérieure au poids de l enseble = + d ρ Ainsi : A eau + d ρ A eau > = = 7,33 c C ρ π R eau Eercice : Replissae d une citerne. = =, bar. La pression dans le fluide ne dépend que de la auteur, donc = + µ d =,4 bar (Le a absorbe bien les variations de pression Eercice 3 : Oscillations d un boucon lesté. F µ = + H µ. FD ɺɺ + = 3. = π Eercice 4 : Cloce renversée. Forces : outes les forces oriontales s annulent à (pression de l air etérieur, de l air intérieur, de l eau. Il reste 3 forces verticales : oids : = e ression de l air etérieur : F = e et ression de l air intérieur : F = + e int + F + F = = + e Equilibre : F Il faut donc et = + int. Le a à l intérieur est celui qui occupe tout le volue de la y = nr =, cloce à l air abiant ( : cela donne y = + = + ρ y, donc et on a dans le fluide :. + ρ = y + = + ρ 3. Il faut <, ce qui donne > C avec C = + ρ 4. i on tient copte de l épaisseur des parois, on a une force verticale vers le aut sur les parois, et les surfaces sur lesquelles s eercent l air en aut sont différentes. Eercice 5 : Fluide en rotation unifore. Le fluide tourne éaleent car il adère par l interédiaire de la viscosité au parois. Il y aura un réie transitoire au oent de la ise en rotation, avant qu il s iobilise dans le référentiel tournant. Forces voluiques : poids f = ρ e et inertie v d entraineent (centrifue f = + ρω r e vc r. F : er + eθ + e = fv + fvc = ρω r er ρ e r r θ 3. θ, r, r, θ r = ρω r θ = ne dépend pas de θ = ρ

10 our une fonction de plusieurs variables : (voir cours de at d = dr + d = ρω r dr ρ d r Cette epression s écrit : ρω ρ d = d r et s intère : ( r, = ρω r ρ + Cstte Ainsi, sur la surface libre : ( r, = = ρω r ρ + Cstte Et la constante : Cstte = in ρω r + ρ = + ρ Ainsi : ω r θ, ( r = + araboloïde de révolution in tatique des Fluides Fluide Copressible Eercice 6 : Modèle idéal de l atospère isotere d. oir D : d M = ρ = et R =, 97 bar = 5. AN : ( 5 =, 94 bar = ( 5 =,89 bar = = e M R Eercice 7 : Modèle plus réaliste pour la tropospère d. On a M = d R R d d = M + A AR A On intère : = +. AN : A =k, =,6 bar et = 6K = 57 C Eercice 8 : Double vitrae Atospère isotere M R M = e a = 843. Eercice 9 : Atospère de tepérature variable. Déonstration de d ρ = d oir Cours. A en K, est la tepérature au sol ( =, et en. 3. On donne A = = 73K et d/d = -A/ = 36,4k. 4. ression M ( = ep + R 5. AN sur l Everest : =,9bar. Eercice 3 : Altitude plafond d un ballon sonde. Masse d éliu : He =,5.. tabilisation : R + He = =,7 bar M air 3. lafond : = 3k 5 5,88bar bar tatique des Fluides Calcul Forces de ression Eercice 3 : Etude d un corps flottant Bilan des forces : les F oriontales s annulent, et à la verticale : Fop M + ( s( + ρ + s( ρ ( H e = F = + ρ ( ( op M s H e e Avec Arciède : Π = + ρ e, ais attention au solide qui déplace l eau (on doit isoler le verre plus l eau qu il contient, donc le poids du systèe est = ( M + ρs( H e e F F = + ρ ( ( op M s H e e Rearque : La pression de l air a été supposée constante, ce qui équivaut à dire que la poussée d Arciède due à l air est nulle. Eercice 3 : ression sur la paroi d une piscine On découpe la paroi en surface éléentaire d oriontale : d d = L dl = L et on intère pour variant de à. cosα Caque surface est souise à la pression de l air et à celle de l eau + ρ en sens opposé. Ainsi : df = ( + ρ d (d orienté de l eau vers l etérieur Ainsi : = l ρ 5 ρ = l ρ d,. cosα = L cosα F d L n n = N 33 : ression sur une dei boule er Eercice 33 ression sur une dei boule a Calcul direct d ression de l air : verticale vers le bas, on intère seuleent sur cette direction : Métal θ F = ( d er e = d sinθ d Et en projection : F = d ' = Σ F = π R e Où Σ est la surface de la boule au sol, car on rearque que 5 d.sinθ est la projection d de d sur le sol. AN : F = 3,. N b ar le téorèe d Arciède. Calcul direct tout à fait possible, ais plus coplee.. our le téorèe d Arciède, le solide doit être ieré. 3. La poussée d Arciède 3 Π = + ρ π R e traduit le 3 bilan de toutes les forces pressantes : F sur la partie spérique, et F (facile à obtenir sur le plat : Π = F + F. Ainsi, 3 F ( 5 = Π F = ρ πr + ρ πr = 3,6. 3 e N Eercice 34 : Force sur un barrae. H F = ( ρ L d e = L H + ρ e ea u = H 3. On identifie les oents, qui doit s appliquer en C : M = O = = ( ρ =... dmo OM df M Ld e F F y H + ρ H H 3 H MO = OC F = C LH + ρ = < F ey C H + ρ 4. rofil du barrae odifié êe coposante suivant. 7. ossibilité d isoler partie de fluide avec un bord droit à auce, et la paroi du barrae à droite Calcul siplifié.

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