COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR. MAM 3, Polytech Lyon. Ionel Sorin CIUPERCA

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1 COURS METHODES MATHEMATIQUES POUR L INGENIEUR MAM 3, Polytech Lyon Ionel Sorin CIUPERCA Le cours s adresse en principal à des élèves des écoles d ingénieurs, filière modélisation mathématique. Une partie des démonstrations sont proposées comme des exercice détaillés et seront faites en classe. Il y a peu d exemples dans ce polycopié ; la plupart des exemples seront donnés en classe. 1

2 Table des matières 1 Une introduction intuitive à la théorie de la mesure et de l intégrale par rapport à une mesure Introduction et motivation Quelques rappels et notations La notion de mesure ; cas particulier de la mesure de Lebesque L intégrale par rapport à une mesure et le cas particulier de l intégrale de Lebesque Les espaces de Lebesque La théorie des distributions Introduction L espace D(Ω) des fonctions test La notion de distribution Convergence dans D (Ω) Dérivation des distributions Produit entre une fonction C et une distribution Une brève introduction aux espaces de Sobolev Transformée de Laplace et de Fourier Fonctions complexes de variables complexes Quelques rappels Fonctions holomorphes Transformée de Laplace (TL) Définition de la transformée de Laplace Transformée de Laplace et dérivation Transformée de Laplace et convolution Formule d inversion, unicité et applications La transformée de Fourier comme cas particulier de la transformée de Laplace

3 Chapitre 1 Une introduction intuitive à la théorie de la mesure et de l intégrale par rapport à une mesure 1.1 Introduction et motivation Rappel sur l intégrale de Rieman En 182 Cauchy démontre que si une fonction f : [a, b] R est continue, avec a, b R et a < b, alors la limite suivante existe : N 1 I(f) = lim h f(x j ) N + où N N, x k = a + kh pour k =, 1, N 1, h = b a. N Ce nombre réel I(f) n est autre que b f(x)dx. a En 1854 Rieman introduit le concept général de intégrale de Rieman : On dit que f : [a, b] R est intégrable Rieman s il existe I(f) R (qui sera en fait b a f(x)dx) tel que : ɛ > δ > tel que pour toute sous-division x, x 1, x N de [a, b] avec a = x < x 1 < x 2 < < x N 1 < x N = b et max j=,1, N 1 (x j+1 x j ) δ et pour tous ξ, ξ 1, ξ N 1 avec ξ j [x j, x j+1 ] on a I(f) N 1 j= j= f(ξ j )(x j+1 x j ) ɛ. Rieman démontre que toute fonction continue est intégrable (au sense de Rieman), mais qu il existe aussi des fonctions non continues qui sont intégrable dans ce sense (par exemple des fonctions continues par morceaux). Remarque : le concept peut se généraliser à des fonctions définies sur des ensembles dans R n avec n 2. 3

4 Les inconvenients de l intégrale de Rieman : 1. On démontre que toute fonction intégrable Rieman est bornée. Pourtant on utilise souvent des intégrales comme 1 1 x dx. On ne peut pas définir une telle intégrale en utilisant la définition vue ci-dessus car la fonction x 1 x n est pas bornée (donc elle n est pas intégrable) sur ], 1]. On doit faire alors une extension artificielle de la définition. Pour ce cas on définira 1 1 x dx par l égalité ce qui donne dx = lim dx x ɛ + ɛ x 1 x dx = lim ɛ + [2 x] 1 ɛ = lim ɛ + (2 2 ɛ) = 2. On procède de manière analogue pour définir l intégrale sur un domaine non borné. 2. Considérons la fonction suivante (appellée fonction de Dirichlet) : f : [, 1] R donnée par { 1 si x [, 1] Q f(x) = si x [, 1] Q où Q est l ensemble des nombres rationnels. On voit facilement que cette fonction n est pas intégrable au sense de Rieman (car pour toute sous division = x < x 1 < x 2 < x N 1 < x N = 1 on peut choisir d abord ξ, ξ 1, ξ N [, 1] Q ce qui donne N 1 j= f(ξ j)(x j+1 x j ) = 1 et ensuite ξ, ξ 1, ξ N [, 1] Q ce qui donne N 1 j= f(ξ j)(x j+1 x j ) =, donc contradiction). D autre part, Q [, 1] est négligeable car dénombrable, alors c est comme si f 1. On voudrait alors dire : 1 f(x)dx = 1 1dx = Il est difficile de passer à la limite sous l intégrale. Il faut des hypothèses fortes de convergence uniforme. Une présentation intuitive de l intégrale de Lebesque. En 192 H. Lebesque utilise une idée différente pour définir b f(x)dx pour une fonction a f : [a, b] R. Nous présentons l idée pour le cas f et nous renvoyons à la Section 1.4 pour le cas général. Considérons N N un nombre grand et une division = y < y 1 < y 2 < < y N 1 < y N de l intervalle [, + [ avec y j y j 1 petite pour tous j = 1, 2, N et y N grande (par exemple on peut prendre N = p 2 avec p N et p, y j = j pour j =, 1, p 2 ). p On définit alors (quand elle existe) [ b N 1 ] f(x)dx = y j mesure(f 1 ([y j, y j+1 [)) + y N mesure(f 1 ([y N, + [)) a lim N + j= 4

5 où on définit pour un ensemble A R : f 1 (A) = {x [a, b], f(x) A}. On n a pas besoin que l ensemble de définition de f soit une intervalle borné et on n a pas besoin non plus que f soit bornée. En plus cette idée de définition peut s étendre à des fonctions de plusieurs variables. Il reste encore à définir de manière rigoureuse la mesure d un ensemble : c est l objet de la Section Quelques rappels et notations Dans tout ce cours n désigne un nombre naturel non nul (n N ) et nous notons par R n l espace euclidien défini par R n = R R R (n fois). 1. En général un vecteur x R n sera noté x = (x 1, x 2, x n ) T (vecteur colonne). 2. Pour tous x, y R n on note par < x, y > R le produit scalaire de x et y, qui est donné par n < x, y > = x i y i. 3. Pour tout x R n on note par x la norme euclidienne de x, donnée par x = < x, x > = n x 2 i. 4. Pour tous x R n et r > on notera par B(x, r) la boule ouverte du centre x et rayon r, donnée par B(x, r) = {y R n, y x < r}. { 5. Si } x (k) est une suite dans R n et x est un élément de R n on dit que x (k) k N converge vers x (notée x (k) x) si x (k) x. Rappellons que nous avons : x (k) x si et seulement si x (k) i x i en R où x (k) i (respectivement x i ) est la i-ème composante de x (k) (respectivement x). 6. Soit A R n un ensemble non vide. On appelle intérieur de A noté Å l ensemble des x A pour lesquels il existe r > tel que B(x, r) A. Remarques : - On a toujours Å A - L intérieur d un ensemble peut être vide. 7. On dit qu un ensemble Ω R n est ouvert si pour tout x Ω il existe r > tel que B(x, r) Ω. (Définition équivalente : Ω est ouvert si Ω = Ω). Exemples : i=1 i=1 5

6 Dans toute la suite de ce cours Ω va désigner un sous-ensemble ouvert non-vide de R n. 8. On dit qu un ensemble F R n est fermé si son complémentaire est ouvert (donc si R n F est ouvert). Rappellons la caractérisation suivante : un ensemble F R n est fermé si pour tout suite {x (k) } F tel que x (k) x R n on a x F. On prend souvent cette caractérisation comme définition d un ensemble fermé. Exemples : 9. On dit qu un ensemble F R n est compact si de toute suite de F on peut extraire une sous-suite convergente vers une limite de F. On a la caractérisation suivante : F R n est compact si et seulement si F est fermé et borné. Remarque : La notion de compacité s étend à d autres espaces que R n. Dans un espace infinit dimensionnel on n a pas l équivalence compact fermé et borné. 1. Pour un ensemble A R n on appelle adhérence de A (notée A) le plus petit sous-ensemble fermé de R n qui contient A. Rappellons qu on a A = {x R n, {x (k) } k N suite A telle que x (k) x pour k + } Exemples : Rappellons aussi les propriétés suivantes : A A Si A est fermé alors A = A Si A B alors A B. 11. Rappel continuité : Soit A R n un ensemble non-vide et f : A K une fonction. On dit que f est continue en x A si pour toute suite {x (k) } k N A qui converge vers x on a que f(x (k) ) converge vers f(x). On dit que f est continue sur A si f est continue en tout point x de A. 12. Rappel dérivées partielles à l ordre 1. Soit Ω R n un ouvert non-vide et f : Ω K une fonction. Pour tout x Ω et tout j {1, 2,, n} on note (quand ) f 1 (x) = lim x j t t [f(x + te j) f(x)] K 6

7 où e j est le j - ème élément de la base canonique de R n, c est à dire, tous les éléments du vecteur e j valent sauf le j - ème qui vaut 1. C est la dérivée partielle de f en x par rapport à la variable x j. En particulier, si n = 1 on note f (x) = f 1 x 1 (x) = lim t [f(x + t) f(x)] = t 1 lim y x [f(y) f(x)] y x Rappel dérivées partielles à l ordre quelconque. Pour tout x Ω et j, k {1, 2, n} on note (quand ) 2 f x j x k (x) = x j ( f x k ) (x) K dérivée partielle à l ordre 2. Notation : pour j = k on écrira 2 f 2 x j (x) à la place de 2 f x j x j (x). Evidemment, si n = 1 on n a qu une seule dérivée partielle à l ordre 2, qui est notée f (x) = (f ) (x). Plus généralement, on définit par reccurence la dérivée à un ordre quelconque ; pour un élément α = (α 1, α 2, α n ) N n on note D α f la dérivée partielle à l ordre α de f définie (quand elle existe) par D α f = D α f = f si α = (, ) [α] f x α 1 1 x α 2 2 x αn n si α (, ) (1.1) où on utilise la notation : [α] = α 1 + α n. Dans le cas n = 1 le vecteur α se réduit à un seul élément N qu on peut toujours noter par α et la dérivée à l ordre α correspondante sera notée par f (α). 13. On note C(Ω, K) l ensemble des fonctions continues définies sur Ω à valeurs dans K. Pour tout m N on note C m (Ω, K) l ensemble des fonctions définies sur Ω à valeurs dans K, telles que pour tout α N n tel que [α] m, la dérivée D α ϕ existe et est continue sur Ω. Remarquons que C (Ω, K) = C(Ω, K). On note C (Ω, K) l ensemble des fonctions ϕ : Ω K qui sont indéfiniment dérivables (c est à dire, telles que pour tout α N n la dérivée D α ϕ existe ; elle sera alors forcément continue sur Ω). Nous notons C(Ω) = C(Ω, R), C m (Ω) = C m (Ω, R) et C (Ω) = C (Ω, R). 14. Pour tout ensemble A avec Ω A Ω et tout m N {+ } nous notons par C m (A) l ensemble des fonctions u C m (Ω) tels que pour tout α N n avec [α] m la dérivée D α u se prolonge par continuité sur A. Il est clair qu on a C m (A) C m (Ω), avec inclusion stricte si l inclusion de Ω en A est stricte. Remarque 1.1. (a) Très souvent nous avons A = Ω, donc on utilisera souvent la notation C m (Ω). 7

8 (b) Une fonction peut être dans C m (A) même si elle définie seulement sur Ω. Par ailleurs on peut dire aussi pour une fonction définie sur A qu elle est dans C m (A), mais on sous-entend que c est la restriction de cette fonction sur Ω qui est dans C m (A). Exemple : Soit f : R R donnée par { si x < f(x) = 1 si x et notons par I l intervalle ouvert ], [. La restriction de f sur I (notée f I ) est la fonction constante sur I. Il est clair alors qu elle se prolonge par continuité sur l adérence de I qui est l intervalle fermé ], ]. On dira alors que la restriction de f sur I est dans C (I). Attention : on ne peut pas dire que la restriction de f sur I est dans C (I), car elle est discontinue en ; c est la restriction de f sur I qui est dans C (I), car cette restriction se prolonge par continuité sur I. Nous finissons ce chapitre par la définition suivante : Définition 1.1. Soit I un intervalle non vide de R, notons a = inf(i) [, + [ et b = sup(i) ], + ] et supposons que a < b. Soit f : I K une fonction et m N {+ }. On dit que f est de classe C m par morceaux sur I si : - soit f J C m (I), où nous notons J = I - soit il existe k N et des points a 1, a 2, a k avec a < a 1 < a 2 < a k < b tels que si on note I = I ], a 1 ] et I k = I [a k, + [ alors f ]a,a1 [ C m (I ), f ]ak,b[ C m (I k ) et f ]aj,a j+1 [ C m ([a j, a j+1 ]) pour j = 1, k 1 (cette dernière partie est inexistante si k = 1). Remarque : pour m = on peut dire aussi continue par morceaux au lieu de de classe C par morceaux. Exemples : 1.3 La notion de mesure ; cas particulier de la mesure de Lebesque Dans la suite nous introduisons la mesure de Lebesque qui est un nombre réel positif ( ) qu on associe à tout ensemble de R n. En fait on n associera pas à tout ensemble de R n une mesure mais seulement à certains ensembles qu on peut grouper dans une collection des ensembles appellée tribu de Lebesque. Mais on evitera des considérations mathématiques trop théoriques et on fera comme si on 8

9 associe une mesure à tout ensemble de R n. D ailleurs les ensembles auxquelles on n associe pas de mesure sont des ensembles qui sont très rarement utilisés dans les applications (ce sont des ensembles qui ne sont pas intuitives!). On commence d abord par introduire la notion générale de mesure ; la mesure de Lebesque sera vue comme le principal cas particulier. Dans la suite pour tout ensemble X on notera P(X) l ensemble des parties de X (y compris l ensemble vide ). Exemple : Définition 1.2. Soit X un ensemble non vide et soit µ : P(X) [, + ] R + {+ }. On dit que µ est une mesure sur X si a) µ( ) = b) Pour toute suite des ensembles {A n } n N avec A n X, n N et avec A n disjointes deux à deux (A n A m =, n m) on a : µ ( n N A n ) = n N µ(a n ). On dira alors que le couple (X, µ) est un espace mesuré. Remarque La définition précédente n est qu une version simplifiée de la vraie notion de mesure. En général on envisage que certaines sous-ensembles de X ne puissent pas se mesurer. On met alors les ensembles qu on peut mesurer dans une collection de sous-ensembles de X appellée tribu sur X (qui peut être strictement incluse dans P(X)) ayant certaines propriétés. La mesure se définit alors comme une application sur cette tribu. 2. Si la mesure µ satisfait en plus la condition µ(x) = 1 alors on dit que µ est une probabilité sur X. Proposition 1.1. Si X est un ensemble et µ est une mesure sur X alors on a 1. Si A 1, A 2, A m sont des sous-ensembles disjointes de X (donc A i A j =, i j) alors m µ ( m i=1a i ) = µ(a i ). En particulier, si A 1, A 2 X avec A 1 A 2 = on a 2. Si on a A, B X avec A B alors i=1 µ(a 1 A 2 ) = µ(a 1 ) + µ(a 2 ). µ(a) µ(b) 9

10 Démonstration. 1). On introduit la suite des ensembles {B k } k N et B k = si k m + 1 ; On a m i=1a i = i=1b i. où B k = A k si k m On montre ensuite qu on peut utiliser pour la suite {B k } la partie b) de la Définition ). B = A (B A) avec A (B A) = donc µ(b) = µ(a) + µ(b A). Mais comme µ(b A), on a le résultat. Exemples de mesure Exemple 1. Soit X un ensemble et y X. On introduit l application suivante : définie pour tout B X par δ y (B) = δ y : P(X) [, + ], { 1 si y B si y B On peut montrer que δ y est bien une mesure sur X (voir TD). Cette mesure s appelle mesure de Dirac en y. Exemple 2. On supposera dans cet exemple que X est un ensemble finit, donc X = {x 1, x 2,...x k } avec k N. On se donne une fonction b : X [, + [. On introduit ensuite la fonction suivante : µ : P(X) [, + [ définie pour tout A P(X) par µ(a) = x A b(x). (par définition on pose implicitement µ( ) = ). Alors µ est une mesure sur X. Démonstration. D abord par définition on a bien µ( ) =. Soient maintenant une suite des ensembles A 1, A 2, avec A i P(X), i N et tels que A i A j = pour tous i, j, N, i j et posons A = i N A i. On a µ(a) = x A b(x) = x A 1 b(x) + x A 2 b(x) + car les ensembles A 1, A 2, sont disjointes deux `deux. Ceci nous donne l égalité démandée : µ(a) = i N µ(a i ). 1

11 Remarque Il est évident que µ({x}) = b(x) pour tout x X. 2. Si l application b est telle que b(x 1 ) + b(x 2 ) + b(x k ) = 1 alors µ est une probabilité sur X. Dans la suite on va introduire une mesure particulière définie sur l espace euclidien R n ; c est la mesure de Lebesque (ça sera l Exemple 3). Proposition 1.2. (Résultat admis) Soit n N. Alors il existe une mesure λ n sur R n telle que pour tout ensemble P du type pavé ouvert de la forme P = ]a 1, b 1 [ ]a 2, b 2 [ ]a n, b n [ R n avec < a i < b i < +, i = 1, n, on a λ n (P ) = (b 1 a 1 )(b 2 a 2 ) (b n a n ). Cette mesure λ n s appelle mesure de Lebesque sur R n. Remarque En fait la mesure de Lebesque est définie seulement sur un sousensemble de P(R n ) appellé tribu de Lebesque. Mais on oubliera pour la suite du cours qu il existe des ensembles A R n pour lesquels λ n (A) n est pas défini (on ne rencontrera jamais dans la pratique de tels ensembles). 2. La mesure de Lebesque n est pas la seule mesure qu on peut définir sur R n. Par exemple, la mesure de Dirac sur R n en est une autre mesure sur R n. Remarque 1.5. La Proposition 1.2 nous donne : Si n = 1 et P = ]a, b[, alors λ 1 (P ) = b a. Dans ce cas la mesure de P est la longueur du segment ]a, b[. Si n = 2 et P =]a 1, b 1 [ ]a 2, b 2 [, alors λ 2 (P ) = (b 1 a 1 )(b 2 a 2 ) ; la mesure de P est alors l aire du rectangle ]a 1, b 1 [ ]a 2, b 2 [. Si n = 3 et P =]a 1, b 1 [ ]a 2, b 2 [ ]a 3, b 3 [, alors λ 3 (P ) = (b 1 a 1 )(b 2 a 2 )(b 3 a 3 ) et la mesure de P n est autre que le volume du parallelipipède ]a 1, b 1 [ ]a 2, b 2 [ ]a 3, b 3 [. Alors la mesure de Lebesque généralise respectivement la longueur, l aire et le volume des sous-ensembles de R, R 2, R 3. Remarque 1.6. Pour calculer la mesure de Lebesque d un ensemble quelconque en R n on pourrait décomposer cet ensemble en une union (éventuellement infinie) des pavés et faire la somme des mesures de chaque pavé. Pour un ensemble arbitraire ceci peut être assez compliqué (par exemple pour un disque dans le plan). On verra plus loin une méthode plus simple pour calculer la mesure de Lebesque d un ensemble. Définition 1.3. Soit (X, µ) un espace mesuré. On dit qu un ensemble A X est négligeable par rapport à µ (on peut dire aussi µ - négligeable ou simplement négligeable s il n y a pas de confusion possible) si sa mesure est nulle (c est à dire µ(a) = ). 11

12 Le résultat suivant dit que la mesure de Lebesque de tout singleton est égale à zero (donc tout singleton est négligeable par rapport à la mesure de Lebesque) : Proposition 1.3. Pour tout x R n on a λ n ({x}) =. Démonstration. Pour tout k N on introduit le pavé ] P k = x 1 1 k, x [ ] x 2 1 k k, x [ k où x = (x 1, x 2, x n ). On montre facilement : ce qui donne {x} P k λ n ({x}) k N En passant à la limite k on obtient le résultat. ( ) n 2 k N. k ] x n 1 k, x n + 1 [. k Remarque 1.7. En général un singleton n est pas négligeable par rapport à toute mesure (même sur R n ). Par exemple si X = R et µ = δ alors le singleton {} n est pas négligeable par rapport à la mesure δ, car δ ({}) = 1. En revanche toute ensemble qui ne contient pas est δ - négligeable (par exemple ]1, 3[ est δ - négligeable, mais il n est pas λ 1 - négligeable, car λ 1 (]1, 3[) = 3 1 = 2). On déduit de la Proposition 1.3 que pour tous a, b R avec a < b on a λ 1 (]a, b]) = λ 1 ([a, b[) = λ 1 ([a, b]) = λ 1 (]a, b[) = b a (car par exemple ]a, b] = ]a, b[ {b} donc λ 1 (]a, b]) = λ 1 (]a, b[)+λ 1 ({b}) = b a+ = b a. On a aussi : Proposition 1.4. Si A R n est un ensemble au plus dénombrable (c est à dire fini ou dénombrable) alors λ n (A) =. Démonstration. On a et on peut écrire λ n (A) = x A A = x A {x} λ n ({x}) = x A =. Exemples : 12

13 1. L ensemble {1, 2} est un ensemble de mesure de Lebesque en R. 2. L ensemble Q des nombres rationels est un ensemble de mesure de Lebesque en R. De même Q n est de mesure de Lebesque en R n. Question : Y-a-t il des ensembles de mesure nulle qui ne soient pas au plus dénombrables? La réponse est OUI, au moins en R n avec n 2, comme le montre l exemple suivant : Exemple : Soit D une droite en R 2 parallèle à l une des axes (par exemple supposons que D est parallèle à l axe horisontale, D = R {a} R 2, a R). Alors la mesure de Lebesque de D en R 2 est nulle (c est à dire λ 2 (D) = ). Idée preuve : Remarquons que D peut s écrire sous la forme D = k Z D k avec D k = [k, k + 1[ {a}, les ensembles D k étant disjointes deux à deux. On montre que λ 2 (D k ) = k Z, ce qui donne facilement le résultat. Ce résultat peut se généraliser au cas d une courbe arbitraire en R 2, ayant une certaine régularité (par exemple de classe C 1 ) ; On peut encore généraliser au cas des variétés de classe C 1. Donons d abord la définition suivante : Définition 1.4. Soient m, n N avec m < n et soit A R n. On dit que A est une variété de classe C 1 et de dimension m s il existe U R m un ensemble ouvert et ϕ : U R n une fonction injective et de classe C 1 tels que A = ϕ(u). Exemple : en classe Remarque 1.8. Par convention un point x R n sera considéré comme une variété de classe C 1 et de dimension en R n. On a le résultat suivant, admis sans preuve : Proposition 1.5. Toute variété de classe C 1 et de dimension m {, 1, n 1} dans R n est de mesure de Lebesque en R n. Remarque importante : Soit Ω R n un ensemble ouvert ; très souvent la frontière de Ω (que nous notons par Ω) est une union finie de plusieurs variétés de dimensions inférieures ou égales à n 1. Exemple : en classe Alors on a λ n ( Ω) =. Ceci implique immédiatement : λ n ( Ω) = λ n (Ω), où Ω est l adhérence de Ω en R n (car Ω = Ω Ω avec Ω et Ω disjointes, donc λ n ( Ω) = λ n (Ω) + λ n ( Ω) = λ n (Ω).) Définition 1.5. Soit (X, µ) un espace mesuré et A X. On dira qu une propriété sur A a lieu µ - presque partout sur A (on dit aussi µ - pour presque tous x A et on peut noter : µ - p.p. x A) si l ensemble des x A pour lesquels la propriété n a pas lieu est un ensemble µ - négligeable. Convention : Si X = R n, A R n et si la mesure µ n est pas précisée alors par convention il s agit de la mesure de Lebesque λ n. 13

14 Exemple : Soit f : R R avec 1 si x = 1 f(x) = 2 si x = 3 si x 1 et x 3 Alors f(x) =, p.p. x R ; on dit aussi f = presque partout sur R (car l ensemble des x tels que f(x) est {1, 3} qui est un ensemble de mesure de Lebesque nulle). 1.4 L intégrale par rapport à une mesure et le cas particulier de l intégrale de Lebesque Pour une fonction f : A R avec A R n nous allons donner une manière différente de définir une intégrale de f sur A, que pour l intégrale de Rieman. On définira plus généralement l intégrale par rapport à une mesure quelconque. Dans toute cette section (X, µ) désigne un espace mesuré quelconque. Notations et conventions : 1. Nous notons R = R {, + } et nous utilisons la convention (+ ) =. (en fait il s agit d une extension de la définition de la multiplication sur R au cas où on multiplie + avec ; cela n est pas en contradiction avec le fait que si on a deux suites réelles u n + et v n alors la limite de u n v n est indéterminée) 2. Nous notons par C l ensemble des nombres complexes avec i tel que i 2 = 1. C = {x + iy, x, y R} 3. - Pour tout y R nous notons y + = max{y, } (partie positive de y) et y = min{y, } (partie négative de y). Nous avons : y +, y, y = y + y et y = y + + y (Exercice facile!). - Pour tout ensemble X et toute fonction f : X R nous introduisons les fonctions f +, f : X R définies par f ± (x) = (f(x)) ±, x X. 4. Pour tout sous-ensemble A de X la fonction indicatrice de A sur X désigne la fonction notée 1 A avec 1 A : X R définie par 1 A (x) = { 1 si x A s x X A. (1.2) Définition 1.6. Soit f : X R une fonction. On dit que f est étagée si elle prend un nombre fini de valeurs, c est à dire, s il existe k N et α 1, α 2, α k R tels que f(x) = {α 1, α 2, α k }. 14

15 On notera alors A i = f 1 (α i ) X, i = 1, 2, k et on remarque que les ensembles A 1, A k sont nonvides, disjointes deux à deux, avec en plus = A 1 A 2 A k (on dira que ces ensembles forment une partition de X). On peut alors écrire f sous la forme k f = α i 1 Ai. (1.3) i=1 Dans la suite on va considérer une fonction f : X R et on définira (quand elle existe) l intégrale de f sur X par rapport à la mesure µ (on peut dire aussi : pour la mesure µ), notée f dµ. La construction de cette intégrale se fait en plusieurs étapes. X 1. Etape 1) On suppose que f(x) [, + ] et que f est une fonction étagée, donc f se met sous la forme (1.3). Alors par définition on pose k f dµ = α i µ(a i ). qui est un nombre appartenant à l intervalle [, + ]. Exemple : en classe. X 2. Etape 2) On suppose que f est une fonction arbitraire telle que f(x) [, + ]. Dans ce cas pour définir l intégrale de f l idée est d approcher f par une suite croissante des fonctions étagées. Pour tout p N on introduit la fonction f p : X [, + [ définie par f p (y) = k [ k si f(y) 2 p 2, k + 1 [ ceci pour tout k {, 1, p2 p 1} p 2 p et i=1 f p (y) = p si f(y) p. - Il est évident que f p est une fonction étagée et que f p (X) [, + [. - On peut montrer (résultat admis!) que f p est une suite croissante des fonctions, c est à dire : f p (y) f p+1 (y) y X, p N. - On peut aussi montrer (résultat admis!) la convergence simple de la suite f p vers f, c est à dire pour tout y X on a f p (y) f(y) pour p +. Il est clair qu on peut définir f X p dµ [, + ] (que nous notons I p ) en applicant la définition de l Etape 1, ce qui donne I p = X f p dµ = p2 p 1 k= k 2 p µ ( f 1 [ k 2 p, k p [) + pµ ( f 1 ([p, + ] ) On peut aussi montrer (résultat admis!) que la suite réelle et positive I p est une suite croissante. Il admet alors une limite dans l intervalle [, + ] et on définit X f dµ comme étant cette limite. Donc X f dµ = 15 lim f p dµ. p + X

16 3. Etape 3) On suppose ici que f est une fonction arbitraire. On considère alors les fonctions f +, f : X [, + ] avec f = f + f et f = f + + f. En utilisant l Etape 2 on peut définir f + dµ, f dµ [, + ]. X X Alors par définition on va dire que f est intégrable sur X par rapport à la mesure µ si f + dµ < + et f dµ < + X X (on peut montrer que ceci est équivalent avec : f dµ < + ) X et on définit l integrale de f sur X par rapport à µ par la formule f dµ = f + dµ f dµ. X Exemple : Si X est un ensemble finit avec X = {x 1, x 2, x k }, µ est une mesure sur X et f : X [, + [ est une fonction alors on a X f dµ = X X k f(x j )µ({x j }) j=1 Ceci résulte immédiatement de l Etape 1, car une fonction définie sur un ensemble finit et toujours étagée. Exemple : X = {5, 6}, µ({5}) = 1, µ({6}) = 2, f : X [, + [ avec f(5) = 3, f(6) = 4 ; alors f dµ = = 11. X Remarque 1.9. Si (X, µ) est tel que µ est une probabilité et f : X R est une fonction, alors on dit que f est une variable aléatoire sur X. Alors fdµ (si elle existe) n est X autre que l espérance de f. Extensions de la définition de l intégrale : 1. Si f : X C alors nécessairement on a f = f 1 + if 2, où f 1, f 2 : X R. Alors par définition on dit que f est intégrable sur X si f 1 et f 2 sont intégrables sur X (voir Etape 3 ci-dessus). On définit alors l intégrale de f sur X comme le nombre complexe donné par f dµ = f 1 dµ + i f 2 dµ. X X Remarque : Il est évident qu on peut voir l intégrale d une fonction à valeur dans R comme un cas particulier de l intégrale d une fonction à valeurs dans C. 2. Si A est un sous-ensemble de X et f : A R ou f : A C alors on définit une extension f de f sur X par la formule f(y) = { f(y) si y A si y X A. X 16

17 On dira alors que f est intégrable sur A par rapport à la mesure µ si f est intégrable sur X par rapport à la mesure µ et on définit l intégrale de f sur A par la formule f dµ = f dµ. A Remarque 1.1. Dans ce cours on utilisera très souvent l intégrale par rapport à la mesure de Lebesque pour une fonction définie sur un sous-ensemble A de R n. On dira simplement intégrale de Lebesque ou intégrable Lebesque ou lieu de intégrale (ou intégrable) par rapport à la mesure de Lebesque. Dans la suite nous donnons des propriétés fondamentales de ce type d intégrales. Nous supposons toujours que (X, µ) est un espace mesurable ; A, A 1 et A 2 désignent des sous-ensembles de X. (L1) Pour toute constante c R on a c dµ = cµ(a). A Conséquences : 1. La fonction constante = est intégrable sur tout ensemble A et son intégrale sur A est égale à. 2. Toute fonction constante non nulle est intégrable sur A si et seulement si µ(a) < On a la formule pratique suivante pour calculer la mesure d un ensemble A : µ(a) = 1 dµ. (L2) (linéarité) : Si f 1, f 2 : A C sont deux fonctions intégrables sur A et α 1, α 2 C alors α 1 f 1 + α 2 f 2 est intégrable sur A et on a [α 1 f 1 + α 2 f 2 ] dµ = α 1 f 1 dµ + α 2 f 2 dµ. A (L3) (relation de Chasles) Supposons que A 1 A 2 = et soit f : A 1 A 2 C. Si f est intégrable sur A 1 et sur A 2 alors f est intégrable sur A 1 A 2 avec en plus f dµ = A 1 A 2 f dµ + A 1 f dµ. A 2 (L4) Soient f, g : A R telles que f(y) = g(y) µ - p. p. y A. Si f est intégrable sur A alors g est intégrable sur A avec en plus f dµ = g dµ. (Exemple en classe) Conséquences : A A A A A A 17

18 1. Si f : A R est tel que f(y) = µ - p.p. y A alors f est intégrable sur A et f dµ =. 2. Si µ(a) = et f : A R alors f est intégrable sur A avec en plus f dµ =. A A (L5) (intégration des inégalités) Si f, g : A R sont intégrables sur A avec en plus f(y) g(y) µ p.p. y A alors f dµ g dµ. A A (L6) Soient f : A [, + ] et g : A R avec f intégrable sur A. Si g(x) f(x) µ p.p. x A alors g est intégrable sur A (avec bien sur g dµ fdµ). A A (L7) (inégalité triangulaire) Soit f : A C ; alors f est intégrable sur A si et seulement si f est intégrable sur A et on a f dµ f dµ. A (L8) Si f : A R est telle que f(y) µ - p.p. y A et f dµ = alors A f(x) = µ p.p. x A. (L9) (uniquement pour les intégrales de Lebesque) Si X = R n, Ω est un ensemble ouvert et borné de R n et f : Ω R est une fonction continue (ce qui implique par un résultat bien connu que f est intégrable Rieman sur Ω) alors f est intégrable Lebesque sur Ω, avec en plus fdλ n = f(x)dx Ω où f(x)dx R désigne l intégrale de Rieman de f sur Ω. Ω Ω Remarque On peut remplacer l hypothèse : "f : Ω R et f est une fonction continue" par : "f : Ω R et f C(Ω)". On a la conséquence importante suivante de (L9) : Proposition 1.6. Soit I = [a, b] avec < a < b < + et f : I R une fonction continue par morceaux (on sait alors que f est intégrable Rieman sur I). Alors f est intégrable Lebesque sur I et on a l égalité entre l intégrale de Lebesque et celle de Rieman sur I. 18 A

19 Démonstration. On a deux cas : 1. Si f est continue sur I alors le résultat est une conséquence immédiate de (L9). 2. Supposons qu il existe k N et a 1, a 2, a k comme dans la Définition 1.1. Notons I = ]a, a 1 [, I k = ]a k, b[ et I j = ]a j, a j+1 [ pour j = 1, 2, k 1 (cette dernière partie est inexistante si k = 1). Par hypothèse on a : f Ij C(I j ) pour j =, 1, k. On déduit alors de (L9) que f est intégrable Lebesque sur chacune des intervalles I j pour j =, 1, k et on a f dλ 1 = I j f(x) dx, I j j =, 1, k. D autre part, I se décompose en l union suivante des ensembles disjointes deux à deux : I = k j=i j B avec B = {a, a 1, a k, b} ensemble négligeable. Comme f est intégrable Lebesque sur chacune de ces ensembles alors f est intégrable Lebesque sur I et on a I f dλ 1 = ce qui donne le résultat. k j= I j f dλ 1 + = k f(x) dx = I j j= I f(x) dx Remarque (a) On déduit que dans la plupart des cas rencontrés dans les applications, l intégrale de Lebesque et celle de Rieman coincident. (b) Dans la suite on utilisera souvent pour l intégrale de Lebesque la même notation que pour l intégrale de Rieman, c est à dire, pour une fonction f : A C on notera A f(x)dx à la place de A fdλ n. De plus, si A R est un intervalle (éventuellement non borné) d extrémités α < β alors on notera l intégrale de Lebesque de f sur A comme pour l intégrale de Rieman : β α f(x)dx au lieu de A f(x)dx ou de A f dλ 1. Dans la suite nous donons (sans preuve) deux théorèmes qui permettent de passer à la limite dans l intégrale de Lebesque. Théorème 1.1. (Théorème de convergence monotone de Beppo-Levi). Soit A X et f k : A [, + [ une suite croissante (à partir d un certain rang) de fonctions, c est à dire, il existe k N tel que f k (y) f k+1 (y) y A k N, k k. Soit f : A [, + ] la fonction (qui peut prendre + comme valeur) donnée par f(y) = lim f k(y) y A. k + 19

20 On a alors fdµ = lim f k dµ. A k + A (les deux quantités dans l égalité précédente peuvent être égales à + ). Remarque : Il est évident que la suite réelle positive A f k dµ est une suite croissante, donc la limite lim k + A f kdµ existe dans [, + ]. On a la conséquence importante suivante : Proposition 1.7. Soit I un intervalle, I R. On considère une suite des intervalles {I m } m N ayant les propriétés suivantes : I m I, I m est fermé et borné pour tout m N I m I m+1 m N (propriété de monotonie) m=i m = I Soit f : I C une fonction continue par morceaux. Nous avons alors : a) La fonction f est intégrable Lebesque sur I m pour tout m N b) f est intégrable Lebesque sur I si et seulement si on a lim m + c) Si f est intégrable Lebesque sur I alors fdλ 1 = I I m f dλ 1 < + lim m + I m fdλ 1. Démonstration. a) Comme f est continue par morceaux sur l ensemble fermé et borné I m alors f est intégrable Lebesque sur I m. b) Pour tout m N on introduit la fonction f m : I C définie par f m = f1 Im (donc f m (x) = f(x) si x I m et f m (x) = si x I I m ). Il est facile de voir que f m est une suite positive et croissante des fonctions et que f(x) = lim m f m(x), x I. Alors on peut appliquer le Théorème de Beppo-Levi (Théorème 1.1), pour la suite f m des fonctions, la fonction limite f, A = I et µ = λ 1. On a alors f(x) dλ 1 = lim f m (x) dλ 1 = lim f(x) dλ 1 I m I m I m ce qui donne le résultat. c) Supposons que f est intégrable Lebesque sur I. Nous pouvons appliquer encore le Théorème de Beppo-Levi pour la suite f m + et la fonction limite f +. Nous avons alors comme en b) : f + (x) dλ 1 = lim I m f + (x) dλ 1. I m 2

21 De la même manière on obtient f (x) dλ 1 = lim f (x) dλ 1. I m I m En faisant la différence entre ces deux égalités, on obtient le résultat attendu. Exemple : Théorème 1.2. (Théorème de convergence dominée de Lebesque) Soit A X, f k : A C une suite des fonctions intégrables sur A et f : A C une fonction. On suppose que i) : f k (y) f(y) pour k +, µ - p.p. x A (convergence simple de f k vers f). ii) : Il existe g : A R fonction integrable avec g(y), µ p.p. y A telle que f k (y) g(y), µ p.p. y A, k k avec k N. Alors f est integrable sur A et en plus f k dµ f dµ, pour k +. A A Remarque Dans la suite nous allons utiliser uniquement l intégrale par rapport à la mesure de Lebesque (ou l intégrale de Lebesque). Alors par commodité on dira intégrable ou intégrale à la place de intégrable Lebesque ou intégrale de Lebesque. Nous donnons maintenant un résultat qui nous ramène le calcul d une intégrale de Lebesque à plusieurs variable en une succéssion des intégrales de Lebesque à une variable. Théorème 1.3. (Théorème de Fubini) Soient m, n N, A R n R m et f : A C une fonction. Pour tout x R n on introduit l ensemble appellé x - section de A : A x = {y R m, (x, y) A} et nous notons B = {x R n, A x }. Pour tout x B nous introduisons la fonction f x : A x C définie par Nous avons f x (y) = f(x, y) y A x. 21

22 1. Si f est intégrable sur A alors pour presque tout x B la fonction f x est intégrable sur A x. En plus, la fonction x B f x (y) dy C (1.4) A x est intégrable sur B et on a f(x, y) dxdy = A B ( ) f x (y) dy dx. (1.5) A x 2. Réciproquement, si pour presque tout x B la fonction f x est intégrable sur A x et si la fonction définie en (1.4) est intégrable sur B alors f est intégrable sur A et on a l égalité (1.5). Conséquence : si P =]a 1, b 1 [ ]a 2, b 2 [ ]a n, b n [ (P pavé, éventuellement non borné) alors b1 ( b2 bn ) f(x 1, x 2, x n ) dλ n = f(x 1, x 2, x n )dx n dx 2 dx 1. P a 2 a n a 1 si toutes les intégrales intervenant dans cette égalité existent. Remarque : dans le membre de droite de l égalité précédente on intègre d abord en x n, ensuite en x n 1,... et finalement en x 1 ; précisons que ces intégrations successives peuvent se faire dans toute autre ordre, le résultat restant le même. Nous finissons cette section en donnant une formule très utile de changement des variables dans l intégrale de Lebesque. Rappellons d abord la notion suivante : Définition 1.7. Soit Ω un ouvert de R n et h : Ω R m une fonction de clase C 1, où m N. On note h = (h 1, h 2, h m ) avec h 1, h m : Ω R. Alors pour tout x Ω on définit la matrice Jacobienne de h en x comme étant la matrice notée J h (x) à m lignes et n colonnes donnée par Nous avons : (J h (x)) ij = h i x j (x) i = 1, m, j = 1, n. Théorème 1.4. (Formule de changement des variables, résultat admis!) Soient U et V deux ouverts de R n et ϕ : U V une fonction de classe C 1 satisfaisant les propriétés suivantes : 1. ϕ est bijective. 2. J ϕ (x) est une matrice inversible pour tout x U (c est à dire det (J ϕ (x)) x U). 22

23 Considérons la fonctions f : V C et la fonction g : U C obtenue de f par la formule g = (f ϕ) det (J ϕ ) Alors f est intégrable sur V si et seulement si g est intégrable sur U et on a f(x)dx = g(y)dy. 1.5 Les espaces de Lebesque Dans la suite l ensemble K désigne soit R soit C. Rappellons les définitions suivantes : V Définition 1.8. Supposons que E est un espace vectoriel sur K (le plus souvent on va considérer K = R). On dit qu une application : E [, + [ est une norme sur E si 1. λu = λ u U λ K, u E u + v u + v u, v E (l inégalitée triangulaire) u = si et seulement si u =. On dit qu un espace vectoriel E muni d une norme est un espace vectoriel normé. Rappellons enfin qu un espace de Banach est un espace vectoriel normé et complet (c est à dire, il a la propriété que toute suite de Cauchy est convergent). Dans toute cette section A désigne un sous-ensemble non-vide de R n et p est tel que 1 p +. Cas 1) 1 p < +. On définit l ensemble L p (A, K) = {u : A K, u(x) p dx < + }. avec la convention qu on ne distingue pas comme éléments de L p (A, K) deux fonctions qui sont égale presque partout. Par exemple, la fonction u définie sur A qui est égale partout à zero sauf dans un point où elle vaut 1, est considérée comme l élément zero de L p (A, K) (on confond cette fonction avec la fonction ). La raison de cette convention supplémentaire est le fait que nous voulons que L p (A, K) soit un espace de Banach muni de la norme u L p (A,K) = [ A u(x) p dx ] 1/p. Alors il doit satisfaire une propriété essentielles : u L p (A,K) = = u = ; si u est tel que u L p (A,K) = A 23

24 alors en utilisant L8) on déduit u = mais pas nécessairement partout sur A mais seulement p.p. x A ; c est pourquoi on doit confondre toute fonction égale presque partout à zero avec la fonction zero. La définition complète et rigoureuse de L p (A, K) fait appel à la notion de classes d équivalence et ne sera pas donnée dans ce cours. On a le résultat suivant (sans preuve) : Proposition 1.8. L ensemble L p (A, K) est un espace vectoriel sur K, avec les opérations habituelles sur les fonctions : + et (produit entre scalaire et fonction) ; en fait il faut voir L p (A, K) comme un sous-espace vectoriel de l espace vectoriel des fonctions de A à valeurs dans K. En plus L p (A, K) muni de la norme est une espace de Banach. ( ) 1/p u L p (A, K) u L p (A,K) = u(x) p [, + [ A Notation : on note dans ce cours L p (A) = L p (A, R), mais dans la litterature on peut trouver aussi la notation L p (A) pour L p (A, C). Cas 2) p = +. On définit L (A, K) = {u : A K, a [, + [ tel que u(x) a, p.p. x A}. avec la même convention : on confond les fonctions égale presque partout. Il est facile de voir que toute fonction bornée est un élément de L (A). Un exemple de fonction non bornée qui est dans L (A) est la fonction définie sur R et qui vaut partout, sauf dans les points n N où elle vaut n. La propriété de la définition est vraie pour tout a ; en fait on confond cette fonction avec la fonction nulle. On a encore le résultat suivant (sans preuve) : Proposition 1.9. L ensemble L (A, K) est un espace vectoriel sur K, avec les opérations habituelle sur les fonctions : + et (produit entre scalaire et fonction) ; en fait il faut voir L (A, K) comme un sous-espace vectoriel de l espace vectoriel des fonctions de A à valeurs dans K. En plus L (A, K) muni de la norme u L (A, K) u L (A,K) = inf{a, u(x) a, p.p. x A} est une espace de Banach. La norme u L (A,K) s appelle aussi le suppremum essentiel de u et le plus souvent elle n est autre que sup x A u(x). On utilisera la notation : L (A) = L (A, R). 24

25 Remarque Soit une fonction u définie presque partout sur A et à valeurs dans K, c est à dire : il existe A 1 A tel que A A 1 est négligeable et u : A 1 K. Notons par ũ un prolongement de u sur l ensemble A par une valeur donnée, par exemple. Si la fonction ũ est un élément de L q (A, K) avec q [1, + ], alors on va dire par abus de language que u est un élément de L q (A, K). Donc u peut être vu comme un élément de L q (A, K) même s il est définit seulement presque partout sur A. Remarquer que la valeur par laquelle on prolonge u sur A n a aucune importance. Exemple Soit f : A K une fonction, avec A R n. Si f est bornée et A est borné alors f L q (A, K) pour tout q [1, + ]. Remarquer que f L (A, K) même si A n est pas un ensemble borné. Nous finissons ce chapitre par une inégalité très utile (sans preuve) : Lemme 1.1. (Inégalité de Holder) Soient p, q [1, + ] tels que = 1 et deux fonctions f p q Lp (A, K) et g L q (A, K). Alors le produit fg est un élément de L 1 (A, K) et on a fg L 1 (A,K) f L p (A,K) g L q (A,K). Remarque En prennant dans le lemme précédent p = q = 2 nous obtenons l inégalité de Cauchy-Schwarz : fg f 2 g 2 f, g L 2 (A, K). A A A Remarque Il est possible de définir plus généralement, de manière analogue, des espaces de Lebesque par rapport à une mesure µ quelconque ; nous avons choisi ici de nous restreindre au cas particulier de la mesure de Lebesque. 25

26 Chapitre 2 La théorie des distributions. 2.1 Introduction Une distribution est une sorte de fonction généralisée et elle est introduite pour modéliser des phénomènes où les fonctions habituelles ne sont pas très pratiques à utiliser. Commençons par l exemple suivant : supposons qu on a un signal physique d une très grande intensité sur une region très petite dans l espace (par exemple une charge électrique très concentrée dans un petit voisinage d un point, et nulle ailleurs ; c est ce que les physiciens appellent une charge ponctuelle). Supposons que la quantité totale de charge est connue, égale par exemple à 1. Nous pouvons considérer une densité de charge (pour simplifier on suppose que la charge est en dimension 1 et qu elle est concentrée autour du point ) qui sera une fonction ρ : R R telle que { grande si x petit intervalle autour de ρ(x) = ailleurs mais de tel sorte que ρ(x) dx = 1. R On peut donner comme exemple d une telle densité la fonction { [ n si x 1 ρ n (x) =, ] 1 2n 2n sinon (2.1) avec n un nombre très grand, qui peut être en général assez mal connu (difficile de savoir dans un cas donné si on a n = 1 ou n = 2, etc..). On aimerait avoir une limite, pour n + d une telle fonction. Le physicien P. Dirac a introduit et utilisé une fonction δ : R R qui est vue comme un sorte de limite pour n + de la fonction définie en (2.1). La fonction δ (appellée aussi la fonction de Dirac) est telle que 1. δ() = + 2. δ(x) =, x 26

27 3. δ(x) dx = 1. R L existence d une telle fonction contredit la théorie de la l intégration au sense de Lebesque, car de 2. on déduit δ = p.p. x R ce qui implique δ(x) dx = ce qui est en R contradiction avec 3. On introduira une limite de la fonction ρ n définie en (2.1) qui sortira du cadre des fonctions ; ça sera une distribution. Un exemple dans l électrostatique. Supposons qu on a une charge électrique qui occupe un volume Ω R 3 et qui est donnée par une densité de charge ρ : Ω R. Dans la réalité une telle fonction est assez mal connue (on ne peut disposer que des approximations) car aucun appareil de mesure ne peut nous donner la valeur de ρ dans un point x de Ω ; un appareil ne peut mesurer que l effet produit sur lui par les charges situés dans un voisinage de ce point. En plus il y a une infinité des points x Ω. En fait l experimentateur accède indirectement à la densité de charge ρ(x) par ses propriétés, c est à dire, en mesurant non pas ρ(x) mais des quantités physiques importantes, faisant intervenir ρ, comme par exemple : 1. La charge totale Q = Ω ρ(x) dx 2. La charge dans un sous-domaine ω de Ω Q ω = ρ(x) dx (donc on peut noter Q = Q Ω ) ω 3. Le potentiel dans un point a R 3 : V a = 1 4πɛ Ω ρ(x) x a dx avec ɛ une constante physique, où désigne la norme euclidienne d un vecteur. Ce sont en fait des quantités du type avec ϕ : Ω R données par exemple par ϕ 1 pour Q ϕ = 1 ω pour Q ω ϕ = 1 1 4πɛ pour V x a a. Ω ρ(x)ϕ(x) dx (2.2) 27

28 On pourrait considérer de manière théorique toutes les intégrales du type (2.2) pour "toute" fonction ϕ. Il est alors naturel d introduire une application T ρ : "un ensemble des fonctions test" R T ρ (ϕ) = ρ(x)ϕ(x) dx, ϕ Ω Théoriquement, si on connait toutes les intégrales du type (2.2) pour tous ϕ alors on aurait suffisament d information pour caractériser ρ, donc T ρ est une autre manière de se donner ρ ; ceci à condition d avoir : ρ 1 ρ 2 = T ρ1 T ρ2 (on va détailler ceci ultérieurement). Dans la suite on introduira de manière rigoureuse des applications plus générales que T ρ. 2.2 L espace D(Ω) des fonctions test Dans tout ce chapitre Ω désigne un ouvert non-vide de R n et K désigne R ou C. Définition 2.1. On note par C (Ω, K) ou encore par D(Ω, K) l ensemble des fonctions ϕ : Ω K appartenant à C (Ω, K) qui ont la propriété suivante : il existe un compact K inclus dans Ω, tel que ϕ s annule sur Ω K (donc ϕ(x) =, x Ω K). Remarque Dans la littérature sur le sujet il y a une autre définition de D(Ω, K), utilisant utilise la notion de support d une fonction : le support c est l adhérence de l ensemble où la fonction ne s annule pas ; alors une fonction est dans D(Ω, K) si elle est dans C (Ω, K) et son support et compact et inclus dans Ω. 2. La propriété de l existence d un compact K inclus dans Ω en dehors duquel ϕ s annule est non vérifiée dans le cas où il existe une suite {x (k) } k N Ω qui tends vers un élément de Ω ou dont le norme tends vers +, tel que ϕ(x (k) ). 3. Si Ω 1 R n est un autre ouvert avec Ω 1 Ω et ϕ D(Ω, K) alors on dira par abus de language que ϕ appartient (respectivement n appartient pas) à D(Ω 1, K) si la restriction de ϕ à Ω 1 appartient ( respectivement n appartient pas) à D(Ω 1, K) à Ω 1. Dans ce cours nous allons considérer K = R. C est pourquoi on utilisera les notations : C (Ω) = C (Ω, R) et D(Ω) = D(Ω, R). Quelques exemples : Exemple 1. La fonction constante est toujours un élément de D(Ω), car elle s annule en dehors d un compact dans Ω, qui pourrait être par exemple un singleton quelconque {x} avec x Ω. Exemple 2. Une fonction constante quelconque non nulle est dans C (Ω) mais elle n est pas dans D(Ω) 28

29 car elle ne s annule jamais. Exemple 3. Soit Ω = R et ϕ : R R la fonction qui vaut sur ], 1] [1, + [ et qui vaut 1 x 2 si x [ 1, 1]. Si on prends K = [ 1, 1] alors K est un compact et ϕ s annule bien en dehors de K. Mais la fonction n est pas dans C (Ω), donc elle n est pas dans D(Ω). Exemple 4 (fondamental) On considère n = 1 et Ω = R. On introduit la fonction θ 1 : R R définie par { ( exp 1 ) si x < 1 θ 1 (x) = x 2 1 (2.3) si x 1 Proposition 2.1. La fonction θ 1 est un élément de D(R). Démonstration. Il est évident que θ 1 s annule en dehors d un compact inclu dans R, qui est l intervalle [ 1, 1]. Il reste à montrer que θ 1 C (R). La preuve comporte les étapes suivantes : 1. Montrer que θ 1 est une fonction continue. 2. Calculer θ 1(x) pour x { 1, 1}. 3. Montrer que θ 1(x) se prolonge par continuité en ±1 et en déduire que θ 1 est une fonction de classe C En raisonnant par reccurence montrer que pour tout k N et pour tout x ] 1, 1[, la dérivée à l ordre k de θ 1 s écrit sous la forme θ (k) 1 (x) = P ( ) k(x) 1 exp. (1 x 2 ) 2k x 2 1 où P k est un polynome. 5. En raisonnant encore par reccurence montrer que θ 1 C (R). Remarque 2.2. Soit I R un intervalle ouvert et non-vide. Si inf(i) < 1 et sup(i) > 1 alors θ 1 D(I). Il en est de même si sup(i) < 1 ou si inf(i) > 1, car dans ces cas la restriction de θ 1 à I est égale à. Dans tous les autres cas on a θ 1 D(I). L exempe suivant montre comment construire un élément de D(I) pour un intervalle I général. Exemple 5. Soit I un intervalle ouvert en R et a I. Comme I est ouvert il existe ɛ > tel que [a ɛ, a + ɛ] I. Considérons la fonction ψ 1 : I R définie par ψ 1 (x) = θ 1 ( x a ɛ 29 ) x I.

30 Il est clair que l intervalle [a ɛ, a + ɛ] est un compact inclus dans I en dehors duquel ψ 1 s annule. D autre part, ψ 1 C (I) car ψ 1 est la composée entre deux fonctions qui sont dans C : la fonction θ 1 et la fonction qui à x I associe x a. Donc ψ ɛ 1 D(I). Exemple 6. Cet exemple est une généralisation de l exemple précédent. Soit Ω ouvert en R n et a = (a 1, a 2, a n ) Ω. Comme Ω est ouvert, il existe ɛ > tel que n [a k ɛ, a k + ɛ] Ω. k=1 On considère la fonction ψ n : Ω R définie par ψ n (x 1, x 2, x n ) = θ 1 ( x1 a 1 ɛ ) θ 1 ( x2 a 2 ɛ ) ( ) xn a n θ 1 ɛ x Ω. En raisonnant comme dans l exemple précédent, on montre facilement que ψ n D(Ω) (quel serait un compact inclus dans Ω en dehors duquel ψ n s annule?) Conséquence : L ensemble D(Ω) ne se réduit pas à l élément. Proposition 2.2. Soit Ω R n un ouvert. Si f D(Ω) et g C (Ω) alors fg D(Ω). Démonstration. Il est évident que fg C (Ω) comme produit de deux fonctions dans C (Ω). D autre part, par hypothèse, il existe un compact K tel que f = sur Ω K. Alors on a aussi fg = sur Ω K ce qui montre le résultat. Cete proposition donne une manière de construire "beaucoup" des éléments de D(Ω) si on en connaît un seul ; par exemple : xθ 1 (x), sin(x)θ 1 (x) etc.. sont des fonctions dans D(R). Proposition 2.3. Toute combinaison linéaire des éléments de D(Ω) est encore un élément de D(Ω) (c est à dire : α 1, α 2 R, ϕ 1, ϕ 2 D(Ω) on a α 1 ϕ 1 + α 2 ϕ 2 D(Ω) ). Démonstration. Soient ϕ 1, ϕ 2 D(Ω) et α 1, α 2 R. 1. Il est très facile de voir que α 1 ϕ 1 + α 2 ϕ 2 C (Ω). 2. Par hypothèse, il existe deux compacts K 1 Ω et K 2 Ω tels que ϕ j = sur Ω K j, j = 1, 2. Considérons K = K 1 K 2. On voit facilement que l ensemble K est aussi un compact inclus dans Ω et que α 1 ϕ 1 + α 2 ϕ 2 s annule sur Ω K. Ceci finit la preuve. Cette proposition nous dit en fait que D(Ω) est un espace vectoriel réel, qu il faut voir comme un sous-espace vectoriel de l espace vectoriel réel des fonctions définies sur Ω à valeurs dans R, avec les opérations addition + et multiplication par des scalaires habituelles : (ϕ 1 + ϕ 2 )(x) = ϕ 1 (x) + ϕ 2 (x), ϕ 1, ϕ 2 D(Ω), x Ω (λ ϕ)(x) = λ ϕ(x), λ C, ϕ D(Ω), x Ω. 3

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