PETIT MANUEL DE SURVIE EN MATHÉMATIQUES À L USAGE DES TERMINALES STI2D (OU CE QU ON DOIT APPRENDRE ET CE QU ON PEUT RETROUVER SI ON EST MALIN) par M.

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1 PETIT MANUEL DE SURVIE EN MATHÉMATIQUES À L USAGE DES TERMINALES STI2D (OU CE QU ON DOIT APPRENDRE ET CE QU ON PEUT RETROUVER SI ON EST MALIN) par M. Vienney

2 2 M. VIENNEY Vous trouverez dans ce document tout ce qu il est important de savoir le jour du bac de maths. N oubliez pas qu il n y a plus de formulaire au bac, et que toutes les formules vues dans l année sont à savoir... ou à savoir retrouver. Table des matières Partie I. Avant de rentrer dans le vif su sujet Comment travailler de manière efficace durant l année? Avant la terminale L usage de la calculatrice Partie II. Les fonctions et leur étude Lecture graphique Le calcul de dérivées Réalisation d un tableau de variation Les tangentes Des rappels sur les polynômes du second degré Les limites et les asymptotes Les primitives Les fonctions logarithmes Partie III. Les suites Les algorithmes Les suites géométriques PARTIE I AVANT DE RENTRER DANS LE VIF SU SUJET Si vous n êtes pas à l aise avec tout ce qui suit, venez me demander me poser des questions, je pourrai également vous proposer des exrcices pour que vous vous assuriez de bien savoir faire le nécessaire.. Comment travailler de manière efficace durant l année? L apprentissage des maths demande un certain effort, et il est rare de tout comprendre du premier coup. Il est donc important de travailler régulièrement pour ne pas se retrouver avec une année entière à reprendre la semaine précédant le bac. Voici quelques conseils afin de travailler le plus intelligemment possible : () Au moment de travailler, assurez-vous que vous disposez de conditions vraiment propices au travail : on éteint la télé, on se déconnecte de Facebook, on éteint le téléphone portable. Vous gagnerez ainsi beaucoup en efficacité et profiterez mieux de tous ces loisirs une fois votre travail terminé.

3 LES MATHS EN TERMINALE STI2D 3 (2) Essayez de vous consacrer entièrement à votre travail pendant 20 minutes d affilée. Une fois ces 20 minutes écoulées, prenez une petite pause de cinq minutes, et si besoin est, refaites une session de 20 minutes de maths (ou d autre chose). (3) N attendez pas le dernier moment (la veille du DS) pour apprendre le chapitre en cours. Au contraire, avant chaque cours de maths, relisez une fois le cours précédent afin de vérifier que vous avez compris, et si des points restent obscurs, posez des questions dès le début du cours suivant. (4) La relecture du cours passe aussi par la relecture des exercices, c est vraiment là que vous verrez si oui ou non vous avez compris comment utiliser le cours. (5) Si vous avez choisi de rentrer des formules dans votre calculatrice, faites le au fur et à mesure de l année, vous ne serez ainsi pas pris au dépourvu à la fin de l année. Et en les rentrant, vous les apprendrez déjà à moitié. 2. Avant la terminale... Un certain nombre de choses sont considérées comme acquises en terminale, mais peuvent encore être source de confusion. Voici un petit rappel des choses indispensables : () Pour ajouter deux fractions, il faut impérativement les mettre au même dénominateur, puis ajouter les numérateurs (mais pas les dénominateurs!). (2) Diviser par une quantité, c est multiplier par son inverse, par exemple 2 3 = (3) Pour résoudre une équation ou une inéquation, les seules opérations autorisées sont : ajouter (ou retrancher) la même quantité à chacun des deux membres, et multiplier (ou diviser) chacun des deux membres par la même quantité. Méfiez vous des raccourcis du style je passe le x de l autre côté, et en cas de doute, ramenez-vous toujours aux deux opérations décrites précédemment. Lorsqu on multiplie ou divise une inéquation par un nombre négatif, on change le sens des inégalités!. (4) Assurez-vous de savoir factoriser correctement. Par exemple, si on factorise x + 2x 2 par x, cela donne x( + 2x). Pour vérifier une factorisation à propos de laquelle vous avez un doute, développez-la. (5) Lorsqu on donne les coordonnées d un point, on donne toujours l abscisse en premier et l ordonnée en second. Par exemple le point (2; 3) a pour abscisse 2 et pour ordonnée 3. (6) L axe des abscisses est horizontal, celui des ordonnées est vertical. 3. L usage de la calculatrice La calculatrice est un outil formidable, à condition de savoir s en servir correctement. Vous devez savoir rentrer une fonction dans votre calculatrice. N oubliez pas de bien placer les parenthèses nécessaires lorsque vous manipulez des fonctions compliquées (des quotients, des logarithmes de fonctions compliquées, etc). Vous devez également être capable de tracer ue fonction. Pensez bien pour cela à régler correctement la fenêtre d affichage, c est-à-dire x min, x max, y min et y max.

4 4 M. VIENNEY La calculatrice vous permet en particulier de vérifier vos résultats. Tracer une fonction devrait vous permettre de lire graphiquement les variations, les limites ainsi que les asymptotes éventuelles. Si vous rentrez des aides-mémoire dans votre calculatrice, ne mettez pas tout dans un seul fichier, et sachez à l avance où se trouve l information dont vous avez besoin. PARTIE II LES FONCTIONS ET LEUR ÉTUDE 4. Lecture graphique Pour lire graphiquement la valeur prise par une fonction f en x = a, on commence par chercher le point de la courbe dont l abscisse est égale à a (il ne peut y en avoir qu un seul). L ordonnée de ce point est alors f(a). Il est également possible de lire graphiquement le signe d une fonction suivant que la courbe se trouve au dessus ou en dessous de l axe des abscisses. Sur cet exemple, f(x) 0 si x [ 3; 2] [; 2] et f(x) 0 si x [ ; ]. Pour lire graphiquement la valeur prise par la dérivée de f en x = a, on commence par chercher le point de la courbe dont l abscisse est égale à a, puis on regarde le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point. Rappel : lorsqu on donne une équation de droite sous la forme y = ax+b, le coefficient directeur est a. Il correspond au nombre de carreaux dont monte (ou descend) un point sur la droite lorsqu on augmente son abscisse de (autrement dit, si décale le point de un carreau vers la droite, il monte de a carreaux vers le haut). Si vous disposez de deux points A et B de la droite dont les coordonnées sont faciles à lire

5 LES MATHS EN TERMINALE STI2D 5 (parce que situées sur des carreaux), alors le coefficient directeur est donné par y A y B x A x B. Ici le coefficient directeur de la droite (AB) est 3, car pour passer de A à B, on s est décalé de 4 3 carreaux vers le haut et de 4 carreaux vers la droite. 5. Le calcul de dérivées Le calcul d une dérivée est totalement automatique, à condition de connaitre les formules et de savoir s en servir, mais il n y a pas besoin d être astucieux, juste d appliquer le schéma usuel de dérivation. Rappelons-en les étapes : () Suis-je en face d une fonction dont je connais la dérivée par coeur (p. ex. : ln(x), x 2, cos(ax + b),... )? (2) Si ce n est pas le cas, ai-je affaire à une somme de différentes fonctions? Si oui, dériver chacun des termes en recommençant le processus depuis le début. (3) Suis-je face à un produit de fonctions? Si oui, isoler chacun des termes, les dériver et appliquer la formule (uv) = u v + uv. (4) Suis-je face à un quotient? Si oui, isoler le numérateur et le dénominateur, les dériver et appliquer la formule ( ) u v = u v uv. v 2 (5) Est-ce une fonction de la forme ln(u)? Dans ce cas, dériver u et appliquer la formule (ln(u)) = u. u (6) Est-ce une fonction de la forme e u? Dans ce cas, dériver u et appliquer la formule (e u ) = u e u. Les dérivées à connaitre par cœur sont les suivantes : Fonction Dérivée Fonction Dérivée Fonction constante 0 x n, n Z nx n cos(x) sin(x) sin(x) cos(x) cos(ax + b) a sin(ax + b) sin(ax + b) a cos(ax + b) x x 2 ln(x) x e x e x Les formules de dérivation sont les suivantes : (u + v) = u + v (uv) = u v + uv ( ) u v = u v uv. v 2 (ln(u)) = u u (e u ) = u e u.

6 6 M. VIENNEY Lorsque vous voulez rappeler ces formules dans votre copie, n écrivez pas uv = u v + uv, ou encore ln(u) = u, ces formules sont fausses! En effet, il manque un u symbole prime pour indiquer qu on prend la dérivée du premier membre. Si vous souhaitez dériver par exemple 3 ln(x + ), vous pouvez dériver directement ln(x + ), et multiplier la dérivée obtenue par 3, pas besoin d utiliser la formule u v + uv avec u = 3, vous perdez du temps inutilement. 6. Réalisation d un tableau de variation En général il vous faudra faire figurer plusieurs éléments dans un tableau de variations. Sur la première ligne doivent se trouver les valeurs importantes de x. Prenez garde à l ensemble de définition de la fonction. Par exemple si la fonction est définie sur [0; + [, alors n a aucune raison de figurer dans le tableau. N oubliez pas les doubles barres là où la fonction n est pas définie. Par exemple si f est définie sur ] ; 0[ ]0; + [, alors on place directement une grande double barre dans toutes les lignes sous le 0. Aux extrémités des flèches indiquant les variations doivent se trouver les valeurs de la fonction. Aux bornes du domaine de définition, lorsque c est possible, on fait figurer les limites. L outil essentiel pour tracer un tableau de variation est l étude du signe de la dérivée. Rappelons que si f est positive sur un intervalle I, alors f est croissante sur cet intervalle, et que si f est négative sur I, alors f est décroissante sur I. Pour étudier le signe de f, on choisit par exemple de résoudre l inéquation f (x) 0. L ensemble des solutions correspondra alors aux cases où on devra mettre un + dans le tableau. On mettra alors un - dans les autres cases, et on écrira explicitement le zéro à la valeur où f change de signe. Pour étudier un signe, on ne dispose de règles que pour les produits ou les quotients, pas la peine de se lancer dans une inéquation compliquée si vous avez affaire à une somme, c est surement le signe qu il faut factoriser. Pour un produit, on étudie séparément le signe de chacun des facteurs, puis on applique la règle des signes. Pour un quotient, on étudie séparément le signe du numérateur et du dénominateur, et on applique la règle des signes. Remarques : un tableau de variations peut se vérifier à la calculatrice en tracant la fonction et en vérifiant que ses variations correspondent bien à ce que l on a obtenu. Les points où le sens de variation change correspondent aux points où on trouvera une tangente horizontale.

7 LES MATHS EN TERMINALE STI2D 7 7. Les tangentes Il est très courant dans les problèmes de bac d avoir une question où il est demandé de donner une équation d une tangente à la courbe d une fonction f Deux méthode s offrent à vous : la méthode bête et méchante : j applique une formule. La formule en question, qui donne une équation de la tangente en x = a est y = f (a)(x a) + f(a). la méthode un peu plus longue mais qui ne nécessite pas d apprendre quoi que ce soit. Cherchons une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse x 0. L équation est de la forme y = ax + b. Le coefficient directeur a est donné par a = f (x 0 ). Il reste donc à déterminer b. Mais la tangente passe par le point de la courbe d abscisse x 0, c es-à-dire le point de coordonnées (x 0 ; f(x 0 )). Donc on a f(x 0 ) = a x 0 +b. Puisqu en pratique on connait f(x 0 ), a et x 0, ceci est une équation d inconnue b, ce qui permet de trouver b. Une équation de droite est une équation, et doit donc contenir un signe =. Ainsi, 2x + 3 n est pas une équation de droite, alors que y = 2x + 3 est bien une équation de droite. 8. Des rappels sur les polynômes du second degré Il peut arriver qu au cours d une étude de fonction vous soyez amenés à étudier un polynôme du second degré, c est-à-dire une expression de la forme P (x) = ax 2 +bx+c. Il faut alors commencer par bien isoler a, b et c, en tenant compte des signes éventuels (par exemple dans x 2 2, on a a =, b = 2 et c = ). Toute l étude est aisée si on connait deux choses essentielles : le calcul des racines éventuelles à l aide de la courbe de P est une parabole tournée vers le haut si a > 0 et tournée vers le bas si a < 0. Pour le calcul des racines, on commence toujours pas le calcul du discriminant, donné par = b 2 4ac. Si > 0, alors P possède deux racines x = b+ 2a Si = 0 alors P possède une seule racine x = b. 2a Si < 0, alors P ne possède pas de racines. et x 2 = b 2a. On peut aussi retenir que le sommet de la parabole se trouve au point d abscisse b mais si besoin, ceci se retrouve grâce à un calcul de dérivée (c est-là que la dérivée 2a s annule). Une fois qu on a les racines, on peut tracer approximativement le graphique, en gardant à l esprit que les racines correspondent aux abscisses des points où la croube coupe l axe des abscisses. Ce graphique nous permettra tout à la fois de retrouver le signe, les variations et les limites de P.

8 8 M. VIENNEY Si le polynôme n a pas de racines, cela signifie que sa courbe ne coupe pas l axe des abscisses : elle est soit toujours au-dessus, soit toujours en-dessous. Exemple : cherchons à étudier le polynôme f(x) = x 2 x + 2. Alors on a = ( ) 2 = 9 > 0. On a donc deux racines, qui sont et 2. Le graphique de f va alors ressembler à Figure. La courbe représentative de f On peut alors lire que f est positive entre 2 et et négative ailleurs. De plus, les limites semblent être à la fois lorsque x et lorsque x +. Il existe aussi une méthode directe pour trouver le signe lorsqu on connait les racines : P est du signe de a en dehors des racines, et du signe de a entre les racines. 9. Les limites et les asymptotes Assurez-vous d avoir bien compris ce qu était une limite (la définition est complexe et n est pas à savoir par cœur), et d être capable de les lire graphiquement. SI vous avez bien compris, il vous faudra moins d une minute pour lire les limites des exercices 9, 0 et de la page 60 du livre. En pratique, pour calculer une limite, on procède de la même manière que pour les dérivées : on retient par cœur certaines limites et des règles de calcul, à l aide desquelles on déduit toutes les limites. Il faut alors commencer par identifier la règle qu on va vouloir appliquer (produit, quotient, etc), et calculer les limites intermédiaires (par exemple dans le cas d un quotient, on regarde la limite du numérateur et celle du dénominateur). 9.. Les limites auxquelles on ne peut pas couper. Les limites indispensables (mais que vous pouvez toutes retrouver en traçant les fonctions correspondantes sur votre calculatrice) sont les suivantes : lim x + xn = +, lim x xn = { + si n est pair si n est impair

9 LES MATHS EN TERMINALE STI2D 9 lim x 0 x>0 lim x + x x = = + et lim lim x 0 ln(x) = et x>0 lim x x = 0 x x<0 x = lim ln(x) = + x + lim x e x =0 et lim x + e x=+ ln(x) lim x + x n = 0 et lim x + e x x n = + A partir de ces limites et des règles, usuelles, vous devez savoir normalement calculer toutes les limites Les règles de calcul : lesquelles apprendre par cœur? Vous trouverez dans votre cours et dans votre livre les tableaux donnant les limites d une somme et d un produit. Il n y a pas grand chose de surprenant, à l exception des formes indéterminées. Plutôt que d apprendre les tableaux en entiers, retenez que le bon sens s applique et que les deux seules formes indéterminées sont : + + ( ) et 0. Une forme indéterminée ne signifie pas que la limite n existe pas, mais que les méthodes que nous cherchons à appliquer ne suffisent pas à déterminer la limite, et donc qu il va falloir user d une autre méthode. En général, lorsqu on se trouve face à une forme indéterminée, il faut factoriser par le terme qu on suppose être le plus fort. De manière simpliste, on peut se rappeler que du moins fort aux plus fort, les fonctions sont ordonnées comme suit : ln(x), x, x 2, x 3,..., x 0,..., e x. En pratique, isoler le terme le plus fort permet d intuiter la limite. Malheureusement, ce n est jamais une preuve, et dans le cas où on vous demande une limite qui aboutit sur une forme indéterminée, il vous faudra toujours écrire explicitement la factorisation. Dans le cas d un polynôme, il suffit de factoriser par la plus grande puissance de x. Par exemple, si on cherche à calculer lim x x 3 2x 2 +, alors on factorisera de la manière suivante : ce qui permet de calculer la limite. x 3 2x 2 + = x 3 ( 2 x + x 3 ) Dans le cas d un quotient de polynômes, il s agit de factoriser le numérateur par SON terme de plus haut degré, et le dénominateur par SON terme de plus haut degré. Ces deux termes ne sont pas nécessairement les mêmes. On simplifie ensuite

10 0 M. VIENNEY les puisances de x. Par exemple, 2x2 = x2 (2 ) x 3 x 2 +3 x 3 (+ 3 2 x x 3. ) = x 3 x Ces méthodes ne s appliquent que lorsqu on s intéresse aux limites en + ou en, et sont inutiles ailleurs. Dans le cas d un quotient, rappelons les règles vues en cours : Proposition 9.. Soit f une fonction non nulle. Alors : si lim f = +, alors lim f = 0 si lim f =, alors lim f = 0 si lim f = 0 et f(x) > 0, alors lim f = + si lim f = + et f(x) < 0, alors lim f = Ces limites ne sont pas nécessairement à apprendre par cœur : il est possible de les retrouver en utilisant celles de la fonction. En effet, puisque lim x 0 = +, x x>0 x cela signifie que lorsqu une quantité positive se rapproche de zéro, son inverse tend vers +. Donc ce principe reste valable lorsque la quantité en question n est plus x mais f(x) : si f(x) se rapproche de 0 mais que f(x) reste positif, alors tend f(x) vers +. Le même principe permet de retrouver les limites de ln(f) ou de e f limites de ln(x) et de e x. à partir des Le cas le plus difficile est donc vraiment celui où lim f = 0, et il vous faudra faire une étude du signe de f pour déterminer la limite de. A cet effet, on utilisera un f tableau de signes. Exemple : cherchons à déterminer lim x 2 x<2 2x 4. On a lim x 2 2x 4 = 0, donc il va falloir étudier le signe de 2x 4. Ici, c est facile, x<2 on a 2x 4 > 0 si x > 2 et 2x 4 < 0 si x < 2. Donc dans le cas qui nous intéresse (x < 2), 2x 4 < 0, de sorte que lim x 2 x<2 =. 2x 4 Enfin, dans le cas où on est amené à déterminer la limite de u, si on veut éviter v d apprendre encore plus de tableaux (de tels tableaux pour la limite d un quotient se trouvent dans votre livre), on utilise l écriture suivante : u = u, et on sait v v alors déterminer les limites de u et de. v 9.3. Les asymptotes. Une asymptote est une droite qui ressemble à la courbe, au moins à certains endroits. Dans votre programme, seulent les asymptotes horizontales et verticales sont traitées.

11 LES MATHS EN TERMINALE STI2D On a une asymptote horizontale d équation y = a si lim x f(x) = a et une asymptote verticale d équation x = a si lim x a f(x) = ±. (Essayez de vous représenter graphiquement ce que cela signifie) Le tableau de variations. Si vous connaissez les limites d une fonction et qu on vous fait tracer le tableau de variations de cette fonction, n oubliez pas de faire apparaitre les limites aux extrémités des flèches où elles doivent se trouver. 0. Les primitives Rappelons que chercher une primitive est le processus inverse de la dérivation : trouver une primitive de f, c est trouver une fonction dont la dérivée est f. Ceci fournit donc un moyen simple (enfin presque...) de vérifier qu une fonction F est bien une primitive de f : on calcule F. Si c est égal à f, alors on a gagné. Sinon, on reprend notre calcul de primitive. Si vous êtes vraiment à l aise avec les formules de dérivation, alors les formules de primitives ne posent pas trop de problème, mais dans le doute, mieux vaut apprendre un certain nombre de primitives : Fonction Primitive Fonction Primitive 0 F(x) = c x n, n n+ xn+ cos(x) sin(x) sin(x) cos(x) cos(ax + b) sin(ax + b) sin(ax + b) cos(ax + b) a a ln(x) e x e x x Une fonction n a pas une seule primitive, mais une infinité. Une fois qu on a une primitive, on les obtient toutes en ajoutant une constante c R. Soyez donc attetifs aux question : on ne répondra pas de la même manière à la question Donner une primitive de f qu à la question Donner l ensemble des primitives de f. Dans le second cas, il suffit de trouver UNE primitive F, et toutes les solutions sont alors les F + c, c R. Enfin, dans le cas où la question est trouver LA primitive de f qui vérifie..., il s agit de trouver la bonne valeur de c pour que la condition soit vérifiée. Autant la notation f pour désigner la dérivée de f est standard, autant la notation F pour une primitive de f ne l est pas. Donc si vous utilisez cette notation, précisez systématiquement que F est une primitive de f. A partir des primitives standard, il faut appliquer les formules pour trouver toutes les primitives. En pratique, on ne vous demandera jamais des primitives très compliquées (c est un problème en général très dur que de trouver une primitive d une fonction), et seules trois formules sont à votre programme : une primitive de u u n est n+ un+ une primitive de u est ln(u) une primitive de u e u est e u

12 2 M. VIENNEY Toutes ces formules se déduisent des formules de dérivation, mais il semble plus prudent de les apprendre par cœur. Il n y a pas de formule pour la primitive d une somme ou d un quotient. Dans tous les cas, la méthode est la même : s il ne s agit pas d une somme dont vous savez intégrer tous les termes aisément, il faudra utiliser l une de ces formules. () Quelle formule? Facile : êtes-vous en présence d un quotient, d une exponentielle, ou au contraire d une puissance (éventuellement négative)? (2) Notez alors u l expression qui se trouve au dénominateur (resp. celle dont on prend l exponentielle ou la puissance). (3) Dérivez u. (4) Vérifiez que vous aviez bien u u (resp. u e u ou u u n ). (5) Appliquez alors la formule consacrée. Exemple : cherchons une primitive de f(x) = 2x+. A priori, nous aimerions x 2 +x+ utiliser u (puisqu on ne voit ni exponentielle, ni puissance). Posons donc u = u x2 + x +. Alors u = 2x +, et donc f(x) = u. On en déduit qu une primitive de f est u F (x) = ln(u) = ln(x 2 + x + ).. Les fonctions logarithmes Il y a quelques formules importante concernant le logarithme, et une bonne partie se retrouve en ayant en tête le graphique. Figure 2. La fonction ln Tout d abord, le logarithme n est défini que pour des nombres strictement positifs. Ensuite deux valeurs clés : ln() = 0 et ln(e) =, où e = 2, Le graphique permet également de se rappeler que ln est strictement croissante sur

13 LES MATHS EN TERMINALE STI2D 3 son domaine de définition, et qu elle tend vers en 0 (la limite en + est moins claire sur le graphique). Sur le graphique on voit en particulier que ln(x) > 0 x >. Ensuite, les formules à apprendre sont ln(a b) = ln(a) + ln(b) ln(a n ) = n ln(a) ln ( a) = ln(a) ln ( ) a b = ln(a) ln(b). Si on cherche à résoudre une équation de la forme ln(a) = ln(b) alors on peut enlever les logarithmes, ce qui revient à prendre l exponentielle des deux membres de l équation. De même, si on a une inéquation de la forme ln(a) ln(b), cela revient à a b car la fonction ln est croissante et donc préserve les inégalités (si on a choisi de prendre l exponentielle des deux termes, alors on utilise la croissance de l exponentielle). PARTIE III LES SUITES Les suites ne sont pas très différentes des fonctions, ce sont juste des fonctions qui ne sont définies que pour des valeurs entières de x. Une suite peut-être définie à partir de 0, mais parfois seulement à partir de, 2 ou 3... Prenez donc garde à l énoncé ( la suite définie pour n indique que la suite n est pas définie en 0 et donc que le premier terme est u. Une relation de récurrence est une relation qui explique comment calculer u n+ en fonction de u n, ou de manière plus simple, comment calculer un terme quand on connait le précédent. Par exemple, la suite définie par { u 0 = 3 u n+ = 2u n + a pour premier terme 3, et le suivant est u, donné par u = 2u 0 + = = 7 (cette relation est obtenue en remplaçant n par 0 dans l expression définissant la suite). Les limites des suites peuvent en général être calculées en utilisant vos connaissances sur les limites de fonctions : en remplaçant les n par des x, on oublie qu on a affaire à une suite, et les règles de calcul usuelles s appliquent. 2. Les algorithmes On peut vous demander d écrire des algorithmes pour trouver un entier n à partir duquel u n est supérieur à une valeur donnée (par exemple 0 7 ). Réfléchissez alors à

14 4 M. VIENNEY ce que vous feriez si on vous demandait de le trouver : vous calculeriez u 0, regarderiez s il est plus grand que 0 7 ou non. Si c est le cas, vous avez fini (au moins dans le cas où vous avez prouvé la croissance de la suite), sinon vous calculez u, vérifiez s il est plus grand que 0 7, et éventuellement continuez. Votre algorithme doit faire la même chose. Des exemples d algorithmes se trouvent dans le cours, ayez les dans votre calculatrice, et sachez les modifier si besoin. De manière générale un tel algorithme utilisera deux variables : une qu on appelera N et qui contiendra les valeurs successives 0,, 2,... et une qu on appelera U et qui contiendra successivement u 0, u,.... Soyez attentifs aux valeurs que vous donnez à ces variables lors de l initialisation. Si vous n arrivez pas à écrire l agorithme, mais que vous souhaitez quand même trouver une valeur de n telle que u n 0 7, alors vous pouvez chercher à tâtons avec la calculatrice, en calculant par exemple u 0, u 00, Les suites géométriques Une suite géométrique est une suite vérifiant u n+ = qu n, pour tout entier n. Cela signifie que pour passer d un terme au suivant, on multiplie toujours par la même quantité q qu on appelle la raison de la suite. Le terme général est alors donné par u n = u 0 q n. Souvent dans les problèmes, une suite géométrique apparait via des pourcentages. Ne vous trompez alors pas dans la raison : une augmentation de 2% chaque année correspond à une suite géométrique de raison, 02. En cas de doute, souvenezvous que l augmentation correspond à 2 u 00 n, et donc on a u n+ = u n + 2 u 00 n =, 02u n. Les limites des suites géométriques { sont données comme suit : + si u 0 > 0 Si q >, alors lim u n =. si u 0 < 0 Si 0 < q <, alors lim u n = 0. Si q < 0, alors c est plus compliqué, mais ces limites ne sont pas au programme de STI2D. Il existe une méthode pour calculer la somme des premiers termes d une suite géométrique. Soit on apprend directement la formule : u u n = u 0 qn+ q. Soit on se souvient de la méthode : on écrit S = u u n. Alors q S = u + + u n+. En faisant alors la différence qs S = u n+ u n (la plupart des termes s annulent en faisant la différence), on obtient (q )S = u 0 q n+ u 0 = u 0 (q n+ ).

15 M. Vienney LES MATHS EN TERMINALE STI2D 5

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