MATHEMATIQUES. Exercice 2. Exercices chapitre 6 TES/L. Lycée Louise Michel 2016/2017
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- Virginie Tassé
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1 Lcée Louise Michel 6/7 TES/L MATHEMATIQUES Exercices chapitre 6 Exercice Soit f la fonction définie pour tout réel x strictement positif par f(x) = x ln(x). Calculer f (x), où f est la dérivée de la fonction f.. Étudier les variations de la fonction f.. Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d abscisse.. Étudier la convexité de la fonction f. Exercice Soit f la fonction définie pour tout réel x strictement positif par f(x) = x (x ln x + ). Calculer f (x), où f est la dérivée de la fonction f. Partie A. Calculer f (x), où f est la dérivée seconde de la fonction f.. a. Étudier les variations de la fonction f. b. Préciser la convexité de la fonction f suivant les valeurs du réel x.. En utilsant les résultats de la question. a), montrer que la fonction f est strictement croissante. Partie B La courbe représentative de la fonction f, notée, est tracée ci-dessous, ainsi que la droite d tangente à la courbe au point A d abscisse. 8 6 A d 5 x. La droite d passe-t-elle par l origine du repère?. a. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point B d abscisse. Tracer sur le graphique précédent, la tangente T. b. Que représente le point B pour la courbe?
2 Exercice Partie A : Étude d une fonction On considère la fonction f définie pour tout réel x de l intervalle [; 7, 5] par f(x) = x + x 9 ln(x). On note la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé x - -. a. Démontrer que pour tout réel x de l intervalle [; 7, 5], on a f (x) = x + x 9. x b. Étudier le signe de f (x) sur l intervalle [; 7, 5]. c. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur cet intervalle.. La dérivée seconde de la fonction f est la fonction f définie pour tout réel x de l intervalle [; 7, 5] par : f (x) = 9 x Montrer que la courbe admet un unique point d inflexion dont on précisera l abscisse. Partie B : Application à l économie Une entreprise fabrique des pièces. Sa production quotidienne varie entre pièces et 75 pièces. Le bénéfice de l entreprise en milliers d euro, pour x centaines de pièces fabriquées et vendues ( x 7, 5), est modélisé par f(x), où f est la fonction définie dans la partie A.. a. Justifier que l équation f(x) = admet une solution dans l intervalle [7; 7, 5], et donner une valeur approchée au centième de cette solution. b. En déduire jusqu à quel nombre de pièces fabriquées l entreprise réalise un bénéfice.. Déterminer le nombre de pièces que doit fabriquer l entreprise afin d obtenir le bénéfice maximal. Calculer ce bénéfice maximal, arrondi à la centaine d euro.
3 Exercice La courbe représentative d une fonction f définie et dérivable sur ]; + [ est tracée ci-dessous. On note f la fonction dérivée de la fonction f et f la dérivée seconde de la fonction f x - -. Déterminer graphiquement les valeurs de f() et de f ().. La fonction f est définie pour tout réel x de l intervalle ]; + [ par : f(x) = 8 ln(x) x. a. Montrer que pour tout nombre réel x strictement positif, on a : f (x) = x x. b. Étudier les variations de la fonction f.. Montrer que l équation f(x) = admet une unique solution α dans l intervalle [6; 7]. Donner la valeur arrondie à près de α.. a. Étudier la convexité de la fonction f. b. La courbe représentative de la fonction f a-t-elle un point d inflexion? Si oui, donner ses coordonnées. Exercice 5 On considère la fonction f définie par : f(x) = x ln(x) sur [, ; ] et on note ( ) sa courbe représentative dans un repère du plan. Le but de cet exercice est de prouver que la courbe ( ) admet sur [, ; ] une seule tangente passant par l origine du repère. On note f la fonction dérivée de la fonction f.. Montrer que pour x [, ; ], f (x) = x( ln(x) + ).. Soit a un réel de [, ; ], montrer que la tangente à la courbe ( ) au point d abscisse a a pour équation = a( ln(a) + )x a (ln(a) + ).. Répondre alors au problème posé. Exercice 6 On a utilisé un logiciel de calcul formel et on a obtenu les résultats suivants : ( ) ln(x) dériver x ln(x) ( ) x dériver x ( ) ln(x) dériver x x ln(x) x
4 On pourra utiliser les résultats obtenus par ce logiciel pour répondre à certaines questions de l exercice. On considère la fonction f définie sur [ ; ] par f(x) = ln(x) x et on note C sa courbe représentative dans un repère. La fonction f est deux fois dérivable sur [ ; ], on note f sa fonction dérivée et f sa fonction dérivée seconde.. a. Déterminer f (x) sur [ ; ]. b. Construire le tableau de variation de la fonction f sur [ ; ].. a. Justifier que f (x) = ln(x) x sur [ ; ]. b. Étudier le signe de f sur [ ; ]. c. En déduire que la courbe C possède un point d inflexion dont on précisera l abscisse.. On considère l algorithme suivant : INITIALISATION TRAITEMENT SORTIE X PREND LA VALEUR Y PREND LA VALEUR ln() ln(, ) Z PREND LA VALEUR, TANT QUE (Y < Z) FAIRE X PREND LA VALEUR X +, Y PREND LA VALEUR ln(x) X ln(x +, ) Z PREND LA VALEUR X +, FIN TANT QUE AFFICHER X a. Compléter le tableau suivant où les résultats sont arrondis au dix millième : X Y Z Test : Y < Z,6 6,5 vrai,,5,58 vrai,... b. Quelle est la valeur affichée en sortie? Que représente-t-elle pour la fonction f?
5 Exercice 7 On considère la fonction f définie pour tout réel x strictement positif par f(x) = x x ln(x) + et on note sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthonormé. La fonction f est deux fois dérivable sur l intervalle ]; + [, on note f sa fonction dérivée et f sa fonction dérivée seconde. T A B x. La tangente T à la courbe au point A (; ) coupe l axe des ordonnées au point B (; ). Déterminer f ().. a. Montrer que pour tout réel x strictement positif, f (x) = ln(x). b. Résoudre dans l intervalle ]; + [, l inéquation ln(x). c. Étudier les variations de la fonction f sur l intervalle ]; + [.. Étudier la convexité de la fonction f. Exercice 8 Partie A La courbe, tracée ci-dessous dans un repère orthogonal est la courbe représentative d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle I =]; + [. T A B - 5 x - - La tangente T à la courbe au point A -. On note f la dérivée de la fonction f, déterminer f ().. Que représente le point A pour la courbe? ( ; ) ( coupe l axe des ordonnées au point B ; ).. Une seule des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la dérivée seconde f : laquelle?
6 Courbe C Courbe C Courbe C x x - x Partie B ( ) La fonction f de la partie A est définie sur I =]; + [ par f(x) = x ln(x).. Résoudre l équation f(x) =.. a. Montrer que pour tout réel x strictement positif, f (x) = x ( ln(x)). b. Étudier les variations de la fonction f sur l intervalle ]; + [.. On note f la dérivée seconde de f sur ]; + [. Calculer f (x) puis, étudier la convexité de la fonction f.
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