2- Pour une mole d un gaz parfait, on a la relation de Mayer :

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Théophile Richard
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1 Ex.1 Une mole de gaz reçoit, au cours d une transformation élémentaire réversible, une quantité de chaleur Q qui peut s exprimer de trois façons différentes suivant le choix des variables (P, V, T) : δq = c P dt + hdp { δq = c V dt + ldv δq = λdp + μdv (1) (2) (3) 1- δq = c P dt + hdp A volume constant : dv = 0 { δq = c V dt δq = λdp (1) (2) (3) (1) = (2) h = (c V c P ) ( T P ) V (3) = (2) λ = c V ( T P ) V δq = c P dt A pression constante : dp = 0 { δq = c V dt + ldv δq = μdv (1) (2) (3) (2) = (1) l = (c P c V ) ( T V ) P (3) = (1) = c P ( T V ) P 2- Pour une mole d un gaz parfait, on a la relation de Mayer : { c P c V = R c P = γc V On a les capacités calorifiques molaires en fonction de : Page 1

2 c V = { c P = R γr L équation d état pour une mole d un gaz parfait : PV=RT T = PV ( T R P ) = V V R ( T { V ) = P P R Les coefficients calorimétriques donnés par les relations (1), (2), (3) et (4) sont donc : { h = (c V c P ) ( T P ) V l = (c P c V ) ( T V ) P = V λ = c V ( T P ) V μ = c P ( T V ) P = V = P = γp 3- La relation entre P et V, au cours d une transformation adiabatique réversible du gaz, avec indépendante de la température : La transformation étant adiabatique, on a donc : δq = λdp + μdv = 0 λ = V γp, μ = γ 1 γ 1 { δq = VdP + γpdv = 0 γ 1 γ 1 Page 2

3 VdP + γpdv γ 1 γ 1 = 0, on divise par PV dp P + γdv V = 0 est une constante, on peut écrire, en intégrant : dp P + γ dv V = C C=constante LogP + γlogv=c LogPV γ = C PV γ = C EX.2 P a- Variables (P, V) : δw = PdV P 2 δq = λdp + μdv δq = VdP + γpdv P1 V 1 V 1 2, isobare : dp=0, P=P 1 δw = P 1 dv W 1,2 = P 1 ( V 1 ) δq = γp 1dV Q 1,2 = γ P 1( V 1 ) 2 3, isochore : dv=0, V= W 2,3 = 0 δq = dp Q 2,3 = 1 (P 2 P 1 ) 3 4, isobare :dp=0, P=P 2 Page 3

4 δw = P 2 dv W 3,4 = P 2 (V 1 ) δq = γp 2dV Q 3,4 = γ P 2(V 1 ) 4 1, isochore :dv=0, V=V 1 W 4,1 = 0 δq = V 1dP Q 4,1 = 1 V 1(P 1 P 2 ) Le travail total échangé avec le milieu extérieur est donc : W Cycle = W 1,2 +W 2,3 +W 3,4 +W 4,1 W Cycle = (P 2 P 1 ) ( V 1 ) La quantité de chaleur total échangée avec le milieu extérieur est donc : Q cycle = Q 1,2 +Q 2,3 +Q 3,4 +Q 4,1 Q cycle = (P 2 P 1 ) ( V 1 ) W Cycle + Q cycle =0 b- Variables (T, V) : T δw = PdV T 2 PV = RT P = RT V δw = RT dv V δq = c V dt + ldv V1 V2 V Page 4

5 δq = R dt + PdV = R dt + RT dv V 1 2, isochore : dv=0, V=V 1 W 1 2 =0 δq = R dt Q γ 1 1,2 = R (T γ 1 2 T 1 ) 2 3, isotherme :dt=0, T=T 2 δw = RT 2 dv V W 2,3= RT 2 ln V1 dt=0 du=0 δq= δw Q 2,3 = RT 2 ln 3 4, isochore :dv=0, V= W 3 4 =0 δq = R dt Q γ 1 3,4 = R (T γ 1 1 T 2 ) 4 1, isotherme :dt=0, T=T 1 V1 δw = RT 1 dv V W 4,1= RT 1 ln V 1 dt=0 du=0 δq= δw Q 4,1 = RT 2 ln Le travail total échangé avec le milieu extérieur est donc : W Cycle = R(T 1 T 2 )ln V1 La quantité de chaleur totale échangée avec le milieu extérieur : Q cycle = R(T 1 T 2 )ln V1 V1 Page 5

6 W Cycle + Q cycle =0 c- Variables (T, P) : δw = PdV PV = RT V = RT P dv = R P dt RT dp P 2 δw = RdT + RT dp P T T 2 T 1 P 1 P 2 P δq = c P dt + hdp = c P = γr γr dt VdP = dt RT dp γ 1 γ 1 P 1 2, isobare : dp=0, P=P 1 δw = RdT W 1,2 = R (T 2 T 1 ) δq = γr dt Q 1,2 = 2 3, isotherme : dt=0, T=T 2 γr (T 2 T 1 ) δw = RT 2 dp P W 2,3 = RT 2 ln P 2 P 1 dt=0 du=0 δq= δw Q 2,3 = RT 2 ln P 2 P 1 3 4, isobare :dp=0, P=P 2 δw = RdT W 3,4 = R (T 1 T 2 ) δq = γr dt Q 3,4 = γr (T 1 T 2 ) Page 6

7 4 1, isotherme :dt=0, T=T 1 δw = RT 1 dp P W 4,1 = RT 1 ln P 1 P 2 dt=0 du=0 δq= δw Q 4,1 = RT 1 ln P 1 P 2 Le travail total échangé avec le milieu extérieur est donc : W Cycle = R(T 2 T 1 )ln P 2 P1 La quantité de chaleur total échangée avec le milieu extérieur : Q cycle = R(T 2 T 1 )ln P 2 P 1 W Cycle + Q cycle =0 EX.3 C1 C2 C1 C2 P 0 = 1 atm V 0 = 2l T 0 = 273 K { γ = 5 3 Page 7

8 1- - Dans C 2 : L équilibre mécanique se traduit par P 1 = P 2 = 3 atm. Le gaz contenu dans C 2 a subit une compression adiabatique réversible, en passant de l état (P 0, V 0, T 0 ) a l état (P 2,, T 2 ), donc : P 0 V 0 γ = P 2 γ = V 0 ( P 0 1 γ ) P 2, A.N: = 2. (3) 3 5 = 1, 03 l La température du gaz dans C 2, compression adiabatique réversible, en passant de l état (P 0, V 0, T 0 ) a l état (P 2,, T 2 ), donc : T 0 V 0 γ 1 = T 2 γ 1 - Dans C 1 : T 2 = T 0 ( V 0 ) γ 1, A.N: T2 = 423, 83 K On en déduit le volume du gaz dans C 1 : V 1 = 2V 0 = 2, 97 l Gaz parfait donc : PV = RT P 0 V 0 = RT 0 P 1 V 1 = RT 1 { 2- T 1 = T 0 ( P 1V 1 P 0 V 0 ) = 1214, 17 K Variation d énergie interne de n moles du gaz dans C 1 : du = W + Q W = PdV Page 8

9 δq = nc V dt + ldv = nc V dt + PdV du = nc V dt c V = nr du 1 = nc V dt = nr γ 1 dt U 1= nr γ 1 (T 1 T 0 ) = P 1V 1 P 0 V 0 γ 1 A.N : U 1 = 1047,7 J Variation d énergie interne de n moles du gaz dans C 2 : U 2 = P 2 P 0 V 0 γ 1 A.N : U 2 = 167,9 J L énergie fournie par la résistance chauffante est : E = U 1 + U 2 E=1215,6 J EX.3 Le gaz parfait décrit un cycle, constitué des quatre transformations quasi statiques, dans l ordre : -Une compression adiabatique de l état 1 à l état 2. -Un échauffement isochore de l état 2 à l état 3. -Une détente adiabatique de l état 3 à l état 4. -Un refroidissement isochore de l état 4 à l état 1. Page 9

10 P V 1 V 1- L état 1à l état 2 : transformation adiabatique réversible, nous avons : δw = PdV PV γ = cst = C P = CV γ δw = PdV = CV γ dv W 1,2 = CV γ dv V 1 = C [ V γ+1 γ + 1 ] V 1 P 1 V 1 γ = P 2 γ = C W 1,2 = C V γ+1 γ+1 2 V 1 W 1,2 = P 2 P 1 V 1 Q 1,2 = 0 adiabatique L état 2 à l état 3 : transformation réversible isochore, nous avons : W 2,3 =0 δq = λdp + μdv δq = VdP + γpdv Page 10

11 dv= 0, V= δq = dp Q 2,3 = 1 (P 3 P 2 ) L état 3 à l état 4 : transformation réversible adiabatique, nous avons : Q 3,4 = 0 W 3,4 = P 4V 1 P 3 L état 4 à l état 1 : transformation réversible isochore, nous avons : W 4,1 =0 dv=0, V=V 1 δq = V 1dP Q 4,1 = 1 V 1(P 1 P 4 ) Q i,j = Q = Q 2,3 + Q 4,1 = 1 (P 3 P 2 ) + 1 V 1(P 1 P 4 ) W i,j = W = W 1,2 + W 3,4 = P 2 P 1 V 1 W = V 1(P 4 P 1 ) + (P 2 P 3 ) + P 4V 1 P 3 2- ρ = W Q 2,3, τ = V 1 = V 4 V 3 ρ = 1 V 1 (P 4 P 1 ) (P 2 P 3 ) Page 11

12 Q 1,2 = 0 et Q 3,4 = 0 adiabatique P 1 V γ γ 1 = P 2 P 4 V γ γ 1 = P 3 (1) (2) (2) (1) V 1 γ (P 4 P 1 ) = γ (P 2 P 3 ) ρ = V 1 ( V 1 ) 1 γ + 1 = ( V 1 ) 1 γ + 1 = 1 τ 1 γ Page 12

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