CHAPITRE 06 : LES SOLLICITATIONS LES GRAPHES DE VARIATION

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1 Terminale Génie Civil Mécanique Tracé des sollicitations Page /2 CHPITRE 6 : LES SOLLICITTIONS LES GRPHES DE VRITION I - NOTION DE COUPURE. II - DEFINITION DES SOLLICITTIONS. III - TRCE DES GRPHES DE VRITION DES SOLLICITTIONS. 3) Tracé des graphes de variation des sollicitations avec leurs équations 32) Tracé des graphes de variation des sollicitations sans leurs équations

2 Terminale Génie Civil Mécanique Tracé des sollicitations Page 2/2 I - NOTION DE COUPURE : Nous allons dans ce chapitre déterminer la nature et la répartition des efforts à l intérieur de la matière. p Pour cela, considérons une poutre droite reposant sur un appui simple en et une articulation en. Cette poutre est soumise à un chargement réparti p. L Schéma mécanique de la poutre : après application du P.F.S., la poutre est donc soumise non seulement au chargement réparti p mais également au actions de liaison en et. p.l 2 p L p.l 2 Effectuons par la pensée une coupure fictive à l abscisse quelconque que nous noterons C(). Isolons le tronçon situé à gauche de la section fictive C(). p.l 2 p C() G()? Mais ce tronçon est en équilibre que si l on prend en compte : Les actions etérieures : ici celle de la charge répartie p, Les actions de liaison en : ici, Les actions que le tronçon de droite eerce sur le tronçon de gauche (ces forces se développent à l intérieur de la matière).

3 Terminale Génie Civil Mécanique Tracé des sollicitations Page 3/2 II - DEFINITION DES SOLLICITTIONS : En terminale Génie Civil nous ne travaillons que sur des problèmes plans. p V() Mf() insi nous représenterons ces «forces intérieures» par leurs projections sur les aes, : Par définition, les projections de ces «forces intérieures» sont appelées sollicitations. p.l 2 C() G() N() ce stade du calcul, les sollicitations N(), V() et Mf() sont des inconnues. C est pourquoi nous les représenterons par convention par un vecteur orienté dans le sens positif des aes. Le sens positif du moment fléchissant porté par l ae z sera celui du sens trigonométrique. Nous pouvons eprimer ces sollicitations sous la forme d un torseur, écrit au centre de gravité G() de la section C() : par définition ce torseur s appelle torseur des sollicitations ou torseur de cohésion : avec : τdes sollicitations N() : effort normal à l abscisse V() : effort tranchant à l abscisse Mf() : moment fléchissant suivant l ae z = N( ) V( ) N() V() Mz( ) Mf() G() Les coupures : Les coupures sont réalisées chaque fois que la structure rencontre des variations : C3 F2 C4 P 2 p C C6 C7 F3 C8 - de chargement C2 C9 et/ou F - de géométrie C

4 Terminale Génie Civil Mécanique Tracé des sollicitations Page 4/2 Eercices d application : Pour les structures suivantes : Déterminez le nombre de coupures fictives à effectuer, Déterminez les abscisses de ces coupures fictives. 8 kn SYSTEME COUPURE SCHEM RECPITULTIF 4 kn 2 6 kn Eemple : nombre de coupures : 4 abscisse des coupures : C : C2 : 2 C3 : 2 4 C4 : 4 8 kn 4 kn 6 kn C kn C2 C3 C4 8 kn 2 4 kn nombre de coupures : abscisse des coupures : kn 4 2 kn/m kn 4 nombre de coupures : abscisse des coupures : 2 kn/m kn 4 3 kn nombre de coupures : abscisse des coupures : kn

5 Terminale Génie Civil Mécanique Tracé des sollicitations Page /2 III - TRCE DES GRPHES DE VRITION DES SOLLICITTIONS : 3) Tracé des graphes des sollicitations avec leurs équations. Le but de la théorie des poutres est de connaître le comportement de la matière dans toutes les sections d une poutre, autrement dit de connaître la variation des sollicitations le long de la poutre. Déterminons la nature et la répartition des efforts à l intérieur de la matière à travers cet eemple simple : Une poutre droite reposant sur un appui simple en et une articulation en, soumise à un chargement réparti descendant p = kn/m. p = kn/m L =, m Schéma récapitulatif : la poutre est donc soumise non seulement au chargement réparti p mais également au actions de liaison en et. 2 kn kn/m, 2 kn seule coupure est nécessaire : effectuons la coupure fictive à l abscisse quelconque que nous noterons C (). Isolons le tronçon situé à gauche de C (). Par équilibre N(), V() et Mf() apparaissent, s appliquant sur G(). 2 kn kn/m V() G() C() N() Mf() Ecriture du torseur de cohésion, par rapport à G(), de tous les efforts s appliquant sur ce tronçon isolé, en fonction de : τ / G = N( ) + () V( ) + 2 (2) (3) Mf( ) + = 2 2 { }

6 Terminale Génie Civil Mécanique Tracé des sollicitations Page 6/2 Pour connaître les sollicitations dans toutes les sections, il suffit alors de faire varier le long de la poutre. On obtient alors les graphes de variation des sollicitations N, V et Mf en fonction de. Chaque epression des sollicitations s étudie comme une fonction : () (2) N() = V() = - 2 (3) Mf() = - ² + 2 Tracé de la variation de l effort normal N() à partir de son équation () N() = constante ( = constante) Fonction : Domaine d étude N() N() = Sens de variation nul Tracé de la variation de l effort tranchant V() à partir de son équation (2) V() = 2 fonction affine ( = a + b) Remarque : le coefficient directeur de la droite «a» est égal à la valeur opposée de la charge répartie : p = - kn/m et a =. Remarque 2 : l ordonnée à l origine «b» est égale à la valeur opposée de l action qui s applique : = + 2 kn et V() = - 2 kn = b Fonction : Domaine d étude V() + 2 V() = - 2 2, + 2 Sens de variation 2 2 Remarque 3 : lorsque le sstème est smétrique, le tracé de V() est smétrique par rapport au point central de smétrie.

7 Terminale Génie Civil Mécanique Tracé des sollicitations Page 7/2 Tracé de la variation du moment fléchissant Mf() à partir de son équation et aussi de l équation de l effort tranchant (3) Mf() = - ² + 2 fonction parabolique ( = a ² + b + c) Fonction : Domaine d étude Mf() = - ² + 2 2, Dérivée de Mf() : [ Mf() ] = Mf() + 3,2 Sens de variation + 3,2 Remarque 4 : lorsque le sstème est smétrique, le tracé de Mf() est smétrique par rapport à l ae central de smétrie. Remarque : l équation de V() est, au signe près, égale à la dérivée de l équation de Mf(). [ Mf() ] = [ V() ] Pour cet eemple, calculez l équation de la dérivée de l équation du moment fléchissant : [ Mf() ] = [ - ² + 2 ] = = - ( - 2) = - [ V() ] insi : - lorsque V() est négatif, Mf() est croissant ; - lorsque V() est positif, Mf() est décroissant ; - lorsque V() est nul en un point, Mf() admet une tangente horizontale en ce point ; - en =, Mf() admet une tangente de coefficient directeur - V() soit +2 ; - en =, Mf() admet une tangente de coefficient directeur +V() soit 2.

8 Terminale Génie Civil Mécanique Tracé des sollicitations Page 8/2 En isolant le tronçon à droite de la coupure C() : Dans certains cas, il peut être plus facile d appliquer le P. F. S. au tronçon isolé à droite de la coupure fictive C(). Mf() C() kn/m Dans ce cas, d après les conventions que nous avons adoptées, les sollicitations seront comptées négatives. La coupure fictive se situe toujours à l abscisse. Le tronçon isolé a une longueur égale à ( ). N() V() G 2 kn Eercices d application : Pour les structures suivantes : Déterminez les équations des sollicitations N(), V() et Mf() le long de la structure, Tracez les graphes de variation des sollicitations le long de la structure. kn 4 = ; = - 2, kn ; = 2, kn 2 coupures sont nécessaires : C : 4, C2 : 4,, 2 kn/m 3 kn 4 = 7,7 kn ; =,6 kn ; = 7,46 kn 3 coupures sont nécessaires : C : 3, C2 : 3, 4, C3 : 4,, kn = ; = kn ; M = kn.m coupure est nécessaire : C : :,,

9 Terminale Génie Civil Mécanique Tracé des sollicitations Page 9/2 32) Tracé des graphes des sollicitations sans leurs équations. vec une certaine pratique, les graphes des sollicitations se tracent facilement sans utiliser leurs équations. Ce gain de temps considérable implique de suivre 3 étapes. Eemple : p = kn/m L =, m ETPE : kn/m Calculer les inconnues des liaisons etérieures et représentez le schéma récapitulatif du sstème. 2 kn, 2 kn ETPE 2 : Tracer N() : N() ligner le tracé de N() avec le schéma récapitulatif. Ici, N() est nul le long de la structure. Tracer V() : ligner le tracé de V() avec le schéma récapitulatif. Commencer le tracé par la gauche : V() = - Σ (forces verticales à gauche) Ici, V() = - (2) kn llure du tracé en fonction du chargement : Chargement réparti : allure de V() en droite oblique dont le coefficient directeur est égal à la valeur opposée de la charge répartie : Ici p = - kn/m donc a = V() = + b droite oblique croissante Or V() = - 2 = b Donc V() = 2 insi V() = + 2 V() Terminer le tracé par la droite et se vérifier : V() = + Σ (forces verticales à droite) Ici, V() = + (2) kn

10 Terminale Génie Civil Mécanique Tracé des sollicitations Page /2 ETPE 3 : Tracer Mf() : ligner le tracé de Mf() avec celui de V(). Mf() se trace à partir du tracé de V() en utilisant la méthode des aires. Commencer le tracé par la gauche : Mf() = - Σ (moments à gauche) Ici, Mf() = Relation entre V() et Mf() : [ Mf() ] = - [ V() ] V() - 2 Mf() + 3, llure du tracé en fonction du chargement : Chargement réparti : allure parabolique de Mf(). Ici, le chargement est réparti entre et m donc, Mf() est une parabole entre et m. De à 2, m : V() est négatif alors Mf() croît. Ici, Mf() croît de la valeur de l aire de l effort tranchant négatif : Mf(2,) = + (aire de l effort tranchant négatif) Mf(2,) = + (aire du triangle) - Mf(2,) = + (2 2,) / 2 = + 3,2 kn.m 2 2, 2, m : V() =, alors Mf() admet une tangente horizontale en ce point. Ici, le tracé de Mf admet une tangente horizontale en = 2, m. De 2, m à, m : V() est positif alors Mf() décroît. Ici, Mf() décroît de la valeur de l aire de l effort tranchant positif : Mf() = 3,2 - (aire de l effort tranchant positif) Mf() = 3,2 - (aire du triangle) Mf() = 3,2 - (2 2,) / 2 = kn.m + 2 en =, Mf() admet une tangente de coefficient directeur - V() soit +2. en =, Mf() admet une tangente de coefficient directeur +V() soit 2. Terminer le tracé par la droite et se vérifier : Mf() = - Σ (moments à droite) Ici, Mf() = Sstème smétrique Le tracé de Mf() est smétrique par rapport à l ae de smétrie ; Le tracé de V() est smétrique par rapport au point central de smétrie. 2,

11 Terminale Génie Civil Mécanique Tracé des sollicitations Page /2 Eemple 2 : F = 2 kn 6 ETPE : 4, 2, F = 7,32 kn Calculer les inconnues des liaisons etérieures et représentez le schéma récapitulatif du sstème. ETPE 2 : Tracer N() : ligner le tracé de N() avec le schéma récapitulatif. Commencer le tracé par la gauche : N() = - Σ (forces horizontales à gauche) Ici, N() = - () kn kn F = kn,77 kn, kn 4, 2, N() llure du tracé en fonction du chargement : Chargement ponctuel : entraîne un tracé sous forme de paliers horizontau. Entre et 4 m : Compression constante égale à kn. Entre 4 m et m : Pas de sollicitation, constante égale à. - Terminer le tracé par la droite et se vérifier : N(6) = + Σ (forces horizontales à droite) Ici, N(6) = + () kn Tracer V() : ligner le tracé de V() avec le schéma récapitulatif. Commencer le tracé par la gauche : V() +, V() = - Σ (forces verticales à gauche) Ici, V() = - (,77) kn 7,32 llure du tracé en fonction du chargement : Le chargement ponctuel : entraîne un tracé sous forme de paliers horizontau. -,77 Terminer le tracé par la droite et se vérifier : V(6) = + Σ (forces verticales à droite) Ici, V(6) = + (,) kn

12 Terminale Génie Civil Mécanique Tracé des sollicitations Page 2/2 ETPE 3 : V() +, Tracer Mf() : ligner le tracé de Mf() avec celui de V(). Mf() se trace à partir du tracé de V() en utilisant la méthode des aires. -,77-7,32 + Commencer le tracé par la gauche : Mf() = - Σ (moments à gauche) Ici, Mf() = Mf() Relation entre V() et Mf() : [ Mf() ] = - [ V() ] + 23,8 llure en fonction du chargement : Chargement ponctuel : allure de Mf() en droites obliques. De à 4 m : V() est négatif alors Mf() croît. Ici, Mf() croît de la valeur de l aire de l effort tranchant négatif : Mf(4) = + (aire de l effort tranchant négatif) Mf(4) = + (aire du rectangle) - Mf(4) = + (,77 4) = + 23,8 kn.m,77 4, De 4 m à 6 m : V() est positif alors Mf() décroît. Ici, Mf() décroît de la valeur de l aire de l effort tranchant positif : Mf(6) = 23,8 - (aire de l effort tranchant positif) Mf(6) = 23,8 - (aire du triangle) + Mf(6) = 23,8 - (, 2) = kn.m, 2, en =, Mf() admet une tangente de coefficient directeur - V() soit +,77. en = 6, Mf() admet une tangente de coefficient directeur - V(6) soit,. Terminer le tracé par la droite et se vérifier : Mf(6) = - Σ (moments à droite) Ici, Mf(6) = Eercices d application : Reprendre les eercices proposés en page 8/2 et tracer les graphes de variations des sollicitations N(), V() et Mf() sans utiliser leurs équations.