Informatique & Mathématiques Appliquées Équations différentielles ordinaires. J. Gergaud

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1 Informatique & Mathématiques Appliquées Équations différentielles ordinaires J. Gergaud 28 février 28

2 Table des matières I Théorie mathématique Introduction 3 I Objectifs II Terminologie III Qu est-ce qu une solution? III. Solution classique III.2 solution faible IV Plan du cours Équations différentielles linéaires I Introduction II Équations différentielles linéaires homogènes autonomes II. Approche élémentaire II.2 Exponentielle de matrice II.3 Calcul de l exponentielle de matrice II.4 Forme des solutions III Équations linéaires III. Introduction III.2 Existence et unicité de solution III.3 Résolvante III.4 Équations différentielles linéaires avec second membre Théorie des équations différentielles 23 I Existence II Dépendances par rapports aux données II. Introduction II.2 Continuité II.3 Dérivée II Intégration numérique 33 4 Introduction 35 I Introduction II Exemples II. Exemple II.2 Modèle de Lorenz II.3 Exemple de Roberston Les méthodes de Runge-Kutta 39 I Introduction II Définitions et exemples III Méthodes de Runge-Kutta explicite III. Définition III.2 Ordre III.3 Convergence IV Erreurs d arrondi V Contrôle du pas V. Introduction i

3 ii TABLE DES MATIÈRES V.2 Extrapolation de Richardson V.3 Méthode de Runge-Kutta emboîtées VI Les méthodes de Runge-Kutta implicites VII Exercices Sortie dense, discontinuités, dérivées 55 I Sortie dense I. Objectif I.2 Calcul de la sortie dense I.3 Détection d évènements I.4 Intégration d équations différentielles à second membre discontinues II Calcul de la dérivée II. Exemple II.2 Différences finies externes II.3 Équation variationnelle II.4 Différentiation interne de Bock (IND) II.5 Exemple A 6 I Espace de Banach II Théorèmes de points fixes III Topologie IV Développement de Taylor

4 Première partie Théorie mathématique

5

6 Chapitre Introduction I Objectifs L objectif de ce cours est l étude mathématique, algorithmique et numérique des systèmes différentielles à condition initiale aussi appelé problème de Cauchy (IV P ) { ẋ(t) = f(t, x(t)) x(t ) = x, où ẋ(t) = dx dt (t) et f est la fonction f : Ω R R n R n (s, y) f(s, y), Ω ouvert et (t, x ) Ω. Le fait que Ω soit un ouvert est un point essentiel. Remarque I. Ici x est une fonction d un intervalle ouvert I de R contenant t à valeur dans R n : et ẋ(t) = dx dt (t). x : I R n t x(t), Définition I.2 L équation ẋ(t) = f(t, x(t)) s appelle une équation différentielle. Exemple I.3 (Circuit RLC) On considère le circuit de la figure. et on note i(t) = q(t). Le bilan des tensions conduit à l équation différentielle linéaire du deuxième ordre : L q(t) + R q(t) + q(t) =. (.) C L R u C (t) C Figure. Circuit RLC. On pose x (t) = q(t) et x 2 (t) = q(t) alors l équation. est équivalente au système d équation { ẋ (t) = x 2 (t). Initial Value Problem. ẋ 2 (t) = R L x 2(t) LC x (t). 3

7 4 CHAPITRE. INTRODUCTION ici f s écrit On peut aussi écrire f(s, y) = Ay avec f : R R 2 R 2 ( ) y (s, y) f(s, y) = 2 R L y 2 LC y. ( LC et le système est dit linéaire, à coefficients constants et sans second membre. Exemple I.4 (Pendule simple) On considère le pendule de la figure.2. Les principes physiques de la mécanique classique donnent comme équation qui régit l évolution du mouvement ml 2 α(t) + mlg sin(α(t)) =, où α(t) désigne la dérivée seconde de l angle α par rapport au temps t. R L ), α l mg Figure.2 Pendule simple. On prend ici comme variable d état qui décrit le système x(t) = (x (t), x 2 (t)) = (α(t), α(t)). Le système différentiel du premier ordre que l on obtient s écrit alors ẋ (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = g l sin(x (t)) x () = x, = α x 2 () = x,2 = α Cette équation s écrit avec { ẋ(t) = f(t, x(t)) x() = x, f : R R 2 R 2 ( ) y (s, y) f(s, y) = 2 g l sin(y. ) Ici le système est non linéaire car la fonction sin n est pas linéaire. Si on fait l approximation des petits angles sin y y, le système devient linéaire à coefficient constant et sans second membre avec ( ) g, l

8 I. OBJECTIFS 5 Remarque I.5 Dans les deux exemples précédents, la fonction f ne dépend pas du premier argument s. On feut donc aussi écrire l équation différentielle sous la forme ẋ(t) = g(x(t)) avec Exercice I.6 On considère l équation différentielle (IV P ) g : R 2 R 2 (y) g(y) = f(s, y). ẋ (t) = x (t) + x 2 (t) + sin t ẋ 2 (t) = x (t) + 3x 2 (t) x () = 9/25, x 2 () = 4/25. 2 Écrite la fonction f permettant d écrire le système différentiel ẋ(t) = f(t, x(t)). Écrire f(s, y) = Ay + b(s). On donnera A, matrice (2, 2) et la fonction b. Exercice I.7 (Modèle de Lorenz (effet papillon)) On considère l équation différentielle ẋ (t) = σx (t) + σx 2 (t) ẋ (IV P ) 2 (t) = x (t)x 3 (t) + rx ( t) x 2 (t) ẋ 3 (t) = x (t)x 2 (t) bx 3 (t) x () = 8, x 2 () = 8, x 3 () = r, avec σ =, r = 28, b = 8/3. Écrite la fonction f permettant d écrire le système différentiel ẋ(t) = f(t, x(t)). 2 Peut-on écrire ici f(s, y) = Ay, A matrice constante? Exercice I.8 (exemple de Roberston) On considère la réaction chimique A.4 B (lente), B + B 3.7 C + B (très rapide), B + C 4 B (rapide). Le système différentiel associé à cette réaction chimique est donnée par ẋ (t) =.4x (t) + 4 x 2 (t)x 3 (t) ẋ (IV P ) 2 (t) =.4x (t) 4 x 2 (t)x 3 (t) 3. 7 x 2 2(t) ẋ 3 (t) = 3. 7 x 2 2(t) x () =, x 2 () =, x 3 () =, Écrite la fonction f permettant d écrire le système différentiel ẋ(t) = f(t, x(t)). 2 Peut-on écrire ici f(s, y) = Ay, A matrice constante? Remarque I.9 On peut très bien écrire f de la façon suivante (par exemple pour le second exemple) ou encore f : R R 2 R 2 ( ) b (a, b) f(a, b) = 2 g l sin(b, ) f : R R 2 R 2 ( ) x (t, x) f(t, x) = 2 g l sin(x. )

9 6 CHAPITRE. INTRODUCTION Dans la suite on prendra toujours comme argument de f t et x, ceci afin de ne pas multiplier les notations. C est le contexte qui fera la différence entre les significations de x : dans la définition de la fonction f c est une variable de R n et dans l équation différentielle ẋ(t) = f(t, x(t)), c est une fonction d un intervalle ouvert de R à valeurs dans R n. Remarque I. Nous ne traiterons ni les équations à retard[7] ni les équations différentielles algébriques[8] (DAE) 3 (DDE) 2 { ẋ(t) = f(t, x(t), x(t τ)) x(t) = f(t) t [t τ, t ], ẋ(t) = f(x(t), z(t)) ψ(x(t), z(t)) = x(t ) = x, z(t ) = z. II Terminologie On appellera équation différentielle ou système dynamique toute équation ẋ(t) = f(t, x(t)) (c est-à-dire sans la condition initiale). Si la fonction f ne dépend pas explicitement du temps, c est-à-dire que l équation différentielle s écrit ẋ(t) = f(x(t)), on dit que l équation différentielle est autonome. L équation différentielle est dite linéaire 4 si elle s écrit ẋ(t) = A(t)x(t) + b(t). x : I R n ; A : I L(R n, R n ) M n (R) ; b : I R n. Elle est dite linéaire et homogène ou sans terme constant si elle s écrit ẋ(t) = A(t)x(t) ; Elle est dite linéaire à coefficients constants si elle s écrit ẋ(t) = Ax(t) + b. On appelle dimension de l équation différentielle ẋ = f(t, x(t)) la dimension n de x(t). On appelle équation différentielle d ordre m une équation qui s écrit III Qu est-ce qu une solution? III. x (m) (t) = g(t, x(t),..., x (m ) (t)). La première question qui se pose est de savoir ce que l on entend par une solution de (IV P ). Solution classique Définition III. (Définition classique) On suppose f définie et continue sur un ouvert Ω de R n+ à valeurs dans R n. On appelle solution classique de (IV P ) tout couple (I, x), I intervalle ouvert de R, contenant t et x : I R n dérivable en tout point et vérifiant (i) (t, x(t)) Ω, t I (ii) ẋ(t) = f(t, x(t)), t I (iii) x(t ) = x. Une solution est aussi appelée courbe intégrale de l équation différentielle. Remarque III.2 Si f est continue (respectivement C k ) et (I, x) est une solution alors x est C (respectivement C k+ ). Exercice III.3 Vérifiez que la fonction ϕ : R R 2 ( ) t 25 (3 sin t + 9 cos t) (3 sin t + 4 sin t) 25 est solution du système différentiel à condition initiale I.6 2. Delay Differential Equation. 3. Differential Algebraic Equation. 4. En français, on devrait dire équation affine.

10 III. QU EST-CE QU UNE SOLUTION? 7 Exercice III.4 On considère le problème de Cauchy définie sur Ω = R R { ẋ(t) = x (IV P ) 2 (t) x(t ) = x, où (t, x ) est fixé. Vérifiez que l on a les solutions : Si x =, Si x >, ϕ : I =], + [ R t ϕ(t) = Si x <, ϕ : I =]t /x, + [ R t ϕ(t) = x (t t )x + ; Ces résultats sont visualisés sur les Fig..3 et.4. ϕ : I =], t /x [ R t ϕ(t) = x (t t )x x t Figure.3 Visualisation de l ensemble ]ω (, x ), ω + (, x )[ x pour l exemple ẋ(t) = x 2 (t), x() = x. Exercice III.5 On considère le problème de Cauchy définie sur Ω = R R { ẋ(t) = x(t) (IV P 2) x() =. Vérifier que φ (t) = et ϕ 2 (t) = t t 4 pour tout t dans R sont solutions de (IV P )2. 2 Soit a >, vérifier que pour tout t dans R est solution de (IV P )2. ϕ a (t) { si t a ϕ 2 (t a) si t > a On rappelle qu une fonction x : I R n est localement absolument continue si elle est absolument continue sur tout intervalle compact de I.

11 8 CHAPITRE. INTRODUCTION x(t) t Figure.4 Solutions pour le problème ẋ(t) = x 2 (t), x(t ) = x, les courbes intégrales ne peuvent se couper, elles forment une partition de l ouvert Ω = R 2. III.2 solution faible Dans beaucoup de problèmes, la définition d une solution classique ne suffit pas. Dans une équation différentielle contrôlée par exemple, le contrôle qui est une fonction du temps est discontinu. Par suite la fonction f ne sera pas continue en f. Afin de traiter ce cas, il faut définir une nouvelle définition de solution et se placer dans les bons espaces fonctionnels. La notion fondamental est ici l intégrale de Lebesgue. Définition III.6 (Solution faible) On appelle solution faible de (IV P ) tout couple (I, x), I intervalle ouvert de R contenant t et x : I R n localement absolument continue vérifiant (i) (t, x(t)) Ω, t I (ii) ẋ(t) = f(t, x(t)), pour presque tout t I (iii) x(t ) = x. Remarque III.7 Si f est continue et x est une solution faible alors l application t f(t, x(t)) est continue. Par suite la dérivée de x(t) qui existe presque partout est égale à une fonction continue. Donc ẋ(t) existe partout sur I et x est une solution classique. Théorème III.8 (I, x) est une solution faible de (IV P ) si et seulement si (t, x(t)) Ω pour tout t dans I, la fonction t f(t, x(t)) est localement intégrable et t x(t) = x + f(s, x(s))ds. t Démonstration Si (I, x) est une solution faible, x(.) est absolument continue, alors (corollaire de [3]) t t x(t) = x + ẋ(s)ds = x + t f(s, x(s))ds. t Réciproque. Si l application t f(t, x(t)) est dans L et que l on a t x(t) = x + f(s, x(s))ds, t alors (théorème de [3]) ẋ(t) = f(t, x(t)) presque partout. Donc (I, x) est une solution faible. Dans toute la suite de ce document on supposera, sauf lorsque cela sera mentionné, que la fonction f est continue.

12 IV. PLAN DU COURS 9 IV Plan du cours Maintenant que l on a définit le problème traité, nous allons dans ce cours étudier tout d abord les aspects mathématiques qui comprendront les équations différentielles ordinaires linéaires, le théorème d existence de solution de Cauchy-Lipschitz et la dépendance de la solution par rapport aux données. Dans une deuxième partie, nous verrons l intégration numérique via les méthodes de Runge-Kutta. Ce cours n est bien sûr qu une introduction au domaine. Concernant la deuxième partie par exemple une bonne référence est donnée par les 3 livres du professeur E. Hairer et al.[7, 8, 6] qui font plus de 3 pages chacun!

13 CHAPITRE. INTRODUCTION

14 Chapitre 2 Équations différentielles linéaires I Introduction Dans tout ce chapitre I sera un intervalle de R et K sera le corps des réels ou des complexes. L objectif de ce chapitre est l étude mathématique des équations différentielles linéaires ẋ(t) = A(t)x(t) + b(t), où x : I K n ; A : I L(K n, K n ) M n (K) ; b : I K n. Ce chapitre est fortement inspiré del ouvrage de Frédéric Jean [9]. Nous commencerons par le cas des équations linéaires homogènes et autonomes ẋ(t) = Ax(t), puis nous étudierons le cas non autonome ẋ(t) = A(t)x(t) et le cas générale des équations linéaires ẋ(t) = A(t)x(t) + b(t). II Équations différentielles linéaires homogènes autonomes II. Approche élémentaire Dans cette sous section le corps K sera le corps des réels R. Exemple II. On considère l équation différentielle ordinaire linéaire scalaire { ẋ(t) = λx(t) (IV P ) x(t ) = x, où λ est un réel et x est une fonction de R dans R. On sait que la solution de cette équation, qui est unique (cf. le théorème III. ci-après), est donnée par x(t) = e λ(t t) x. On en déduit que cette solution est définie sur I = R et que l on a comme comportement asymptotique Si λ < alors lim t + x(t) = ; Si λ = alors x(t) = x ; Si λ > Si x < alors lim t + x(t) = ; Si x = alors x(t) = ; Si x > alors lim t + x(t) = +. Exemple II.2 Considérons maintenant un système de deux équations différentielles ẋ (t) = λ x (t) ẋ (IV P 2) 2 (t) = λ 2 x 2 (t) x (t ) = x, x 2 (t ) = x,2.

15 2 CHAPITRE 2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES La solution est alors donnée par { x (t) = e λ(t t) x, x 2 (t) = e λ2(t t) x,2. et le comportement asymptotique est si λ < et λ 2 < alors lim t + x(t) = ; si λ < et λ 2 > et x,2 alors x (t) et x 2 (t) +, et donc x(t) +, quand t + ;... II.2 Exponentielle de matrice L espace vectoriel normé (M n (K),. ), est un espace de Banach. On considère ici une norme qui vérifie AB A B. La série + k= Ak k! est alors normalement convergente (A) car + k= A k k! + k= A k k! = e A. Définition II.3 (Exponentielle de matrice) On appelle exponentiel de matrice l application exp : M n (K) M n (K) Théorème II.4 L exponentielle de matrice a les propriétés suivantes : (i) e = I ; (ii) si A = diag(λ,..., λ n ) alors A exp(a) = e A = + k= A k k!. e λ exp(a) =..... ; (2.) e λn (iii) si P est inversible on a exp(p AP ) = P exp(a)p ; (2.2) (iv) si A et B sont deux matrices qui commutent alors (v) pour tout α et β, e (α+β)a = e αa e βa ; (vi) pour toute matrice A, e A est inversible et (vii) pour toute matrice A, l application t e ta est C et Démonstration exp(a + B) = exp(a) exp(b); (2.3) (exp(a)) = exp( A); (2.4) d dt eta = Ae ta = e ta A. (2.5) (i) Évident. (ii) Il suffit d écrire la définition. (iii) On a exp(p AP ) = P IP + P AP + P Ak P + k! ) = P (I + A + + Ak k! + P.

16 II. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES HOMOGÈNES AUTONOMES 3 (iv) Soit A, B deux matrices carrés qui commutent. Par définition on a e A+B = I + (A + B) + + (A + B)m m! Mais A et B commutent, la formule du binôme permet alors d écrire (A + B) m = m CmA k k B m k. k= + Mais les séries définissant e A et e B étant normalement convergentes, nous avons ) ) e A e B = (I + A + + (I Ak k! + + B + + Bk + k! ( m ) A k B m k = I + (A + B) + + k! (m k)! k= ( m ) m! = I + (A + B) + m! k!(m k)! Ak B m k + k= d où le résultat. (v) C est immédiat car αa et βa commutent. (vi) Il suffit d écrire e A A = e A e A = I. (vii) Posons f : R M n (K) t e ta. La série définissant l application f(t) est normalement convergente, par suite elle est uniformément convergente sur tout intervalle compacte I de R. La série des termes dérivées s écrit A (I + A + + tk A k ) + = Ae ta. (k)! Cette série est normalement convergente. On en déduit qu elle est égale à f (t). Exemple II.5 Si maintenant nous considérons le cas du système différentiel { ẋ(t) = Λx(t) (IV P 3) x(t ) = x, avec La solution est alors x(t) = λ Λ = diag(λ,..., λ n ) = λ n e (t t)λ x,.. e (t t)λn x,n = e (t t)λ..... e (t t)λn x = e (t t)λ x. Le comportement asymptotique est alors si tous les λ i sont strictement négatifs alors lim t + x(t) = ; si tous les λ i sont négatifs ou nuls alors la solution est bornée quand t + ; si au moins un λ i est strictement positif et que x,i alors x(t) +, quand t +.

17 4 CHAPITRE 2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES Exemple II.6 Soit maintenant A une matrice diagonalisable, A = P ΛP et le système différentiel à valeur initiale { ẋ(t) = Ax(t) (IV P 4) x(t ) = x, Posons z(t) = P x(t), alors z(t) est solution su système différentielle à valeur initiale { ż(t) = P ẋ(t) = P (IV P 5) P ΛP x(t) = Λz(t) z(t ) = P x. On a donc z(t) = e (t t)λ P x et x(t) = P z(t) = (P e (t t)λ P )x. Par suite le comportement asymptotique est caractérisé par les valeurs propres de la matrice A. Théorème II.7 L unique solution du système différentielle linéaire, autonome et homogène à valeur initial { ẋ(t) = Ax(t) (IV P 6) x(t ) = x, est x(t) = e (t t)a x. (2.6) Démonstration Soit x vérifiant (2.6), la propriété (2.5) implique alors que ẋ(t) = d dt (e(t t)a x ) = Ae (t t)a x = Ax(t). Comme on a x(t ) = x, c est bien une solution. Supposons maintenant que x soit une solution de (IV P 6). Posons z(t) = e (t t)a x(t), alors ż(t) = Ae (t t)a x(t) + e (t t)a Ax(t) =, car A et e (t t)a commutent. Par suite z(t) = z(t ) = x pour tout t et x(t) = e (t t)a z(t) = e (t t)a x. II.3 Calcul de l exponentielle de matrice Exercice II.8 À partir de la définition calculer e ta pour A = A = A = ( ), 2 ( ), ( ), A =. Remarque II.9 Si A est une matrice réelle diagonalisable dans C, e A = P e Λ P est aussi une matrice réelle. Exercice II. Calculer ( ) exp 2

18 II. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES HOMOGÈNES AUTONOMES 5 Exercice II. Soit a R, à partir de la diagonalisation dans C, calculer ( ) a exp a Dans le cas général, pour calculer l exponentiel d une matrice, on va utiliser sa décomposition de Jordan []. On note respectivement P (λ) et m(λ) les polynômes caractéristique et minimale de A M n (C) r P (λ) = (λ λ i ) pi m(λ) = i= r (λ λ i ) mi, i= et on rappelle que l on a les propriétés suivantes (i) Γ i = ker C (A λ i I) pi = ker C (A λ i I) mi ; (ii) dim Γ i = p i ; (iii) Les Γ i sont invariants par A ; (iv) La restriction de A à Γ i s écrit A Γi = λ i I Γi + N i, où N i est un endomorphisme de Γ i nilpotent d ordre inférieur où égal à p i (N pi i = ). Par suite, si P est la matrice de passage à une base formée d une base de Γ,..., d une base de Γ r, on a P AP = Λ + N avec λ... λ Λ =..., N = N..., λ r N r... où λ i est présent p i fois dans Λ et où N est nilpotent. Pour aller plus loin nous allons utilisé la décomposition sous la forme de Jordan. Théorème II.2 (Décomposition de Jordan) Soit A une matrice carré complexe, alors il existe une matrice P inversible telle que où J i est de dimension (p i, p i ) et s écrit J i = J i,... J i,ei, J i,k = P AP = avec (i) e i = dim(ker(a λ i I)) ; (ii) m i est la dimension du plus grand bloc de J i. λ r J... J r, λ i , J i,k matrice de dimension (n i,k, n i,k ) λi Démonstration cf. []. En conclusion, nous avons exp(ta) = P e tj P = e tj,... e tjr,er, e tj i,k = e tλi t t... n i,k (n i,k )! t

19 6 CHAPITRE 2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES II.4 Forme des solutions Théorème II.3 Soit A une matrice carrée complexe. Toute solution de ẋ(t) = Ax(t) s écrit où v i,k Γ i. x(t) = r i= m i e tλi k= t k v i,k (2.7) Remarque II.4 Le terme en λ i est polynomiale en t lorsque m i >, et constant lorsque m i = (ce dernier cas se produit si et seulement si les ordres de multiplicités algébrique et géométrique de λ i coïncident. Fixons x() = x = v + + v r, avec v i Γ i. Cette décomposition de x existe et est unique car C n = Γ Γ r. Alors en écrivant les dérivées successives en dans la formule (2.7) et en utilisant le fait que dk x dt k () = A k x, on obtient v i,k = k! N k v i où N est la matrice nilpotente de la décomposition Λ + N de P AP. Considérons maintenant le cas d une matrice à coefficients dans R et d une solution dans R n. On peut bien évidemment considérer A comme une matrice complexe, prendre comme condition initiale x + i, appliquer le théorème II.3, puis prendre la partie réelle. Mais on peut profiter du fait que si une valeur propre est complexe, sa valeur conjuguée est aussi une valeur propre et on peut décomposer R n comme la somme directe R n = E E q, où E i = Γ λi R n si λ est une valeur propre réelle et E i = (Γ λi Γ λi ) R n si λ i est une valeur propre complexe. On obtient ainsi le Théorème II.5 Si A est une matrice réelle, l ensemble des solutions réelles s écrit x(t) = q i= e tαi où λ i = α i + iβ i et les a i,k, b i,k sont dans E i. k m i t k (cos(β i t)a i,k + sin(β i t)b i,k ), Corollaire II.6 Si A est une matrice réelle diagonalisable dans C, alors toute solution de ẋ(t) = Ax(t) s écrit x(t) = q e tαi (cos(β i t)a i + sin(β i t)b i ) i= avec λ,..., λ s, valeurs propres réelles de A, λ s+, λ s+,..., λ q, λ q, valeurs propres complexes conjuguées de A, λ j = α j + iβ j et a j + ib j vecteur propre de A associée à λ j III III. Équations linéaires Introduction On s intéresse dans cette section aux équations différentielles linéaires à condition initiale { ẋ(t) = A(t)x(t) + b(t) (IV P 7) x(t ) = x, Les fonctions A : I R M n (K) et b : I K n seront toujours supposées de classe C k, k.

20 III. ÉQUATIONS LINÉAIRES 7 III.2 Existence et unicité de solution Théorème III. On suppose que A et b sont C k, k, t I, intervalle ouvert de R et que x K n, alors le problème de Cauchy (IV P 7) admet une solution et une seule. Démonstration Ceci est aussi démontré au corollaire (3.I.3). Démontrons tout d abord l existence. On considère un intervalle compact J I qui contient t. Nous allons démontrer que l application T : E = (C (J, K n ),. ) E x(.) T (x(.)) = x +. t (A(s)x(s) + b(s))ds, admet un point fixe. Le théorème (.III.8) permettra alors de conclure que le problème de Cauchy admet une solution sur tout intervalle compact J I et donc sur tout I. Pour démontrer que l application T admet un point fixe, nous allons utiliser le théorème du point fixe qui dit que si T, application d un espace de Banach dans lui même, admet un itéré T p qui est contractant pour p, alors T admet un point fixe (cf. A.II.2). Remarquons tout d abord que T est bien une application de E dans E et que E est un espace de Banach. Considérons maintenant deux éléments de E, x (.) et x 2 (.). Nous avons t (T (x (.)) T (x 2 (.)))(t) = (A(s)(x (s) x 2 (s)))ds t = t t A(s)(x (s) x 2 (s)) ds t A(.) x (s) x 2 (s) ds t A(.) x (.) x 2 (.) (t t ), où x(.) = max t J x(t). Comme J = [a, b], car c est un intervalle compact de R, on a T (x (.)) T (x 2 (.)) A(.) x (.) x 2 (.) (b a). Ceci montre en particulier que T est continue. Montrons maintenant par récurrence que l on a (T p (x (.)) T p (x 2 (.)))(t) A(.) p (t t ) p x (.) x 2 (.) p! (2.8) et T p (x (.)) T p (x 2 (.)) A(.) p (b a) p x (.) x 2 (.) p! (2.9) L assertion est vraie pour p =. Supposons la vraie pour p et montrons là pour p +. (T p+ (x (.)) T p+ (x 2 (.)))(t) = (T (T p x (.)) T (T p x 2 (.)))(t) = t En prenant le maximum sur t J on obtient (2.9). Il nous suffit donc de choisir l entier p de façon à avoir t (A(s)(T p x (s) T p x 2 (s)))ds t A(.) T p x (s) T p x 2 (s) ds t t A(.) A(.) p (s t ) p x (.) x 2 (.) ds t p! A(.) p+ (t t ) p+ x (.) x 2 (.) (p + )! A(.) p (b a) p p! < pour conclure.

21 8 CHAPITRE 2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES III.3 Résolvante On considère ici l équation linéaire homogène ẋ(t) = A(t)x(t). (2.) Théorème III.2 L ensemble des solutions de l équation différentielle linéaire et homogène (2.) E est un espace vectoriel de dimension n. Démonstration Le fait que E soit un espace vectoriel est immédiat. Considérons maintenant l application L t : K n E x x(., t, x ) où x(., t, x ) est l unique solution de l équation différentielle (2.) vérifiant x(t ) = x. Il est évident que cette application est linéaire. Le théorème III. d existence et d unicité de solution implique que cette application est une bijection, d où le résultat en ce qui concerne la dimension. Définition III.3 On appelle résolvante de l équation différentielle linéaire et homogène ẋ(t) = A(t)x(t) l application Théorème III.4 (i) On a R(t, t ).x = x(t, t, x ). R(t, t ) : K n K n (ii) Si le système est autonome on a R(t, t ) = e (t t)a. x x(t, t, x ). (iii) Pour tout t fixé, R(., t ) est la solution du problème de Cauchy { Ẋ(t) = A(t)X(t) (IV P 8) X(t ) = I n. (iv) Pour tout t, t et t 2 dans I on a R(t 2, t ) = R(t 2, t ) R(t, t ) (v) Pour tout t, t dans I on a R(t, t ) = (R(t, t )). (vi) Si A(.) est C k, alors R(., t ) est C k+. Démonstration (i) Le théorème d existence et d unicité de solution et la nature de l équation différentielle ẋ(t) = A(t)x(t), implique que R(t, t ) est une application linéaire et bijective, L application R(t, t ) est donc un isomorphisme de K n sur K n et on a x(t, t, x ) = R(t, t )x. (ii) Évident. (iii) Dans le problème (IV P 8), X(t) est une matrice (n, n) et I n est la matrice identité d ordre n. La propriété provient immédiatement du fait que et du fait que R(t, t ) = I n par définition. t (R(t, t )x ) = A(t)(R(t, t )x ), (iv) Il s agit tout simplement de la composée de deux applications linéaires. (v) Il suffit de remarquer que R(t, t ) R(t, t ) = R(t, t ) = I n. (vi) Cela provient des propriétés des solutions d une équation différentielle. Théorème III.5 L application R : I I M n (K) qui à (t, s) associe R(t, s) est continue et de classe C k+ si A(.) est de classe C k.

22 III. ÉQUATIONS LINÉAIRES 9 Démonstration On peut écrire R(t, s) = R(t, t ) (R(s, t )). Or l application R(., t ) : I M n (K) est continue car c est la solution de (IV P 8). On sait de plus que l application est bilinéaire et continue et que l application Φ : M n (K) M n (K) M n (K) (A, B) AB inv : GL(K n ) M n (K) A A est continue. On en déduit par composition des fonctions que R est continue. Si A(.) est C k, alors R(., t ) est C k+. Comme Φ et inv sont C, on a, toujours par composition R qui est C k+. Exercice III.6 Soit R(t, t ) la résolvante de l équation différentielle linéaire On note (t) = det R(t, t ). ẋ(t) = A(t)x(t). On considère l application det : GL n (R) R A det(a). Montrer que det (A).H = det(a)trace(a H) 2 Montrer que (t) est solution du problème de Cauchy { (t) = trace(a(t)) (t) (IV P ) (t ) =. 3 En déduire que ( t ) det(r(t, t )) = exp trace(a(s))ds. t Corollaire III.7 (Liouville) Si pour tout t, trace(a(t)) =, alors det(r(t, t )) = pour tout t. On se place ici dans le cas où le corps K est le corps des réels. Une conséquence du corollaire précédent est que si la trace de l opérateur A(t) est constamment nulle, alors l équation différentielle conserve le volume d un domaine de R n. En effet, si on note Γ un domaine de R n et Γ t son transport de t à t par l équation différentielle, c est-à-dire Γ t = {R(t, t )x R n, x Γ } = R(t, t )Γ, alors en utilisant la formule du changement de variable dans une intégrale multiple on a V ol(γ t ) = dx = Γ t = Donc, si trace(a(t)) = pour tout t, V ol(γ t ) = V ol(γ ). Γ ( ) x det (t, t, x ) dx x Γ det (R(t, t )) dx = det(r(t, t ) V ol(γ ).

23 2 CHAPITRE 2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES III.4 Équations différentielles linéaires avec second membre Théorème III.8 La solution du problème de Cauchy linéaire s écrit { ẋ(t) = A(t)x(t) + b(t) (IV P 9) x(t ) = x, t x(t) = R(t, t )x + R(t, s)b(s)ds. t (2.) Démonstration Nous allons appliquer la méthode de la variation de la constante. Posons z(t) = R(t, t )v(t), nous avons alors ( ) d ż(t)(t) = dt R(t, t ) v(t) + R(t, t ) v(t) = A(t)R(t, t )v(t) + R(t, t ) v(t) = A(t)z(t) + R(t, t ) v(t). Il suffit alors de poser R(t, t ) v(t) = b(t), soit v(t) = R(t, t)b(t), pour que z vérifie l équation linéaire. Si on pose maintenant v(t) = t t R(t, s)b(s)ds, on obtient pour z une solution qui vérifie z(t ) =. En conclusion, si on prend nous aurons bien x(t ) = x et Il suffit maintenant d écrire pour conclure. x(t) = R(t, t )x + z(t), ẋ(t) = A(t)R(t, t )x + ż(t) = A(t)R(t, t )x + d dt (R(t, t )v(t)) = A(t)R(t, t )x + A(t)R(t, t )v(t) + R(t, t ) v(t) = A(t)(R(t, t )x + R(t, t )v(t)) + b(t) = A(t)x(t) + b(t) t x(t) = R(t, t )x + R(t, t ) t R(t, s)b(s)ds t = R(t, t )x + R(t, t )R(t, s)b(s)ds t = R(t, t )x + t t R(t, s)b(s)ds, Exercice III.9 On considère le système contrôlé suivant (pendule inversé linéarisé où on contrôle le couple moteur et avec g = l) avec θ() = et θ() = 2. θ(t) θ(t) = u(t), Écrire le système sous la forme { ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) (IV P ) x() = x. 2 Calculer e ta à l aide de la définition. 3 On considère le contrôle en boucle ouverte u(t) = 3e 2t. Résoudre (IV P ).. Sontag.4, page 9

24 III. ÉQUATIONS LINÉAIRES 2 4 Résoudre le système { ẋ(t) = Ax(t) x() = x. avec comme condition initiale θ() = et θ() = ε. En déduire la solution de (IV P ) avec θ() =, θ() = 2 + ε et toujours pour le contrôle u(t) = 3e 2t. 5 Commentaire. 6 On prend maintenant u(t) = αθ(t) β θ(t). Quelle relation doivent vérifiez les constantes α et β afin que x e = soit un point d équilibre asymptotiquement stable?

25 22 CHAPITRE 2. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES

26 Chapitre 3 Théorie des équations différentielles I Existence On s intéresse au problème de Cauchy suivant (IV P ) { ẋ(t) = f(t, x(t)) x(t ) = x, où f : Ω R R n R n (t, x) f(t, x) Ω ouvert et (t, x ) Ω. Définition I. (Fonction localement lipschitzienne) L application f : Ω R R n R n, Ω ouvert, est localement lipschitzienne par rapport à la variable x si et seulement si pour tout (t, x ) Ω il existe un voisinage V V(t, x ) et une constante k tels que (t, x ) V, (t, x 2 ) V, f(t, x ) f(t, x 2 ) k x x 2. Théorème I.2 Si f est différentiable par rapport à x et si l application est continue alors f est localement lipschitzienne. f x : Ω L(Rn, R n ) (t, x) f (t, x) x Démonstration C est un corollaire du théorème des accroissements finis (cf. le corollaire.3.6 page 7 de [3]). Théorème I.3 (Théorème de Cauchy-Lipschitz) Soit f : Ω R n, Ω ouvert de R R n, f continue et localement lipschitzienne par rapport à x alors pour tout (t, x ) Ω, il existe une unique solution locale au problème de Cauchy { ẋ(t) = f(t, x(t)) (IV P ) x(t ) = x. Remarque I.4 Par unique solution locale on entend : si (I, x ) et (I 2, x 2 ) sont deux solutions de (IV P ) alors elles coïncident sur I I 2. Démonstration Nous allons appliquer le théorème du point fixe (A.II.2) à l application T : E E x T (x), 23

27 24 CHAPITRE 3. R n THÉORIE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Ω pente M x(t) r x t η t η t t + η t + η t Figure 3. Cylindre de sécurité ; x(t) est dans le cylindre de sécurité [t η, t + η ] B f (x, r ), mais n est pas dans le cylindre initial [t η, t + η] B f (x, r ). Ceci implique que ϕ(t, T (x)(t)) M pour tout t [t η, t + η ]. définie par t T (x)(t) = x + f(s, x(s))ds. t Il nous faut pour cela construire tout d abord l espace métrique complet E, puis montrer que T est bien définie et qu il existe un entier p pour lequel T p est une contraction. Exercice I.5 Afin de bien comprendre la définition de l application T donner les premiers itérés x (k+) = T (x (k) ) dans le cas du problème de Cauchy ẋ(t) = Ax(t), x(t ) = x avec x () (t) = x pour tout t. Définissons donc tout d abord E. Comme f est localement lipschitzienne, il existe V f = [t η, t +η] B f (x, r ) voisinage de (t, x ) sur lequel f est k lipschitzienne. f est continue, donc sup Vf f(t, x) = M. Si M = alors le théorème est évident. Si M, on pose η = min(η, r /M) et C = [t η, t + η ] B f (x, r ) ; C s appelle le cylindre de sécurité (cf. la Fig. 3.). Posons maintenant E = C ([t η, t + η ], B f (x, r )) et d la distance sur E définie par d(x, x 2 ) = sup [t η,t +η ] x (t) x 2 (t). (E, d) est alors un espace métrique complet. Montrons maintenant que l application T est bien définie. x est continue, f est continue donc x + t t f(s, x(s))ds R n existe. Il nous reste à vérifier que cette quantité est bien dans B f (x, r ) ; c est ici que nous allons utiliser le cylindre de sécurité. Mais ceci est immédiat car T (x)(t) x = t t t f(s, x(s))ds t t f(s, x(s)) ds t Mds = M(t t ) M(r /M) = r. Pour démontrer la contraction de T p, constatons tout d abord que Par récurrence on a alors T (x )(t) T (x 2 )(t) t t f(s, x (s)) f(s, x 2 (s)) ds t k x (s) x 2 (s) ds t k(t t ) x x 2. T p (x )(t) T p (x 2 )(t) kp (t t ) p x x 2 p! d(t p (x ), T p (x 2 )) kp η p d(x, x 2 ). p!

28 I. EXISTENCE 25 Il suffit donc de prendre p tel que kp η p p! <. Nous avons donc montrer l existence et l unicité de la solution dans E. Il reste donc à montrer pour l unicité que toute solution définie sur [t η, t + η ] est à valeur dans la boule B f (x, r ). Raisonnons par l absurde et supposons qu il existe une solution v telle que A = {t [t, t + η ], v(t) x > r } Posons t = Inf{t A}, on a t < t < t + η, v(t ) x = r et v(t) B f (x, r ), t [t, t ]. Par suite r = v(t ) x t t f(s, v(s)) ds M(t t ) r Donc r = M(t t ) et t = t + r /M t + η d où la contradiction. Nous allons maintenant montrer l unicité d une solution dite maximale. Pour cela rappelons la Définition I.6 (ensemble ordonné inductif) Un ensemble ordonné est dit inductif si toute partie totalement ordonnée est majorée. Rappelons aussi le Lemme I.7 (lemme de Zorn) Tout ensemble ordonné inductif admet un élément maximal. Démonstration cf. page 24 de [5]. Théorème I.8 L ensemble des solutions du problème de Cauchy est ordonnée par la relation d ordre (I, x ) (I 2, x 2 ) { I I 2 x 2 I = x et si cet ensemble est non vide alors il est inductif. Démonstration La relation d ordre est évidente. Montrons que toute partie totalement ordonnée (I α, x α ) α A admet un élément maximal. Posons I = α A I α et x : I R n la fonction définie par x Iα = x α. x est bien définie, en effet soit t dans I, alors il existe I α qui contient t et x(t) = x α (t) ne dépend pas le α, si t I α I β alors on a (I α, x α ) (I β, x β ) ou (I β, x β ) (I α, x α ), et donc x α (t) = x β (t) On a bien évidemment (I α, x α ) (I, x) il reste donc à montrer que (I, x) est bien une solution. I est un intervalle. Soit donc (s, t) I 2. Alors il existe I α et I β qui contiennent respectivement s et t. Mais on a soit I α I β, soit I β I α, donc soit [s, t] I α I, soit [s, t] I β I. t I et x(t ) = x. Pour tout t I, il existe α tel que t I α et x(t) = x α (t), par suite (t, x(t)) Ω. Pour tout t I, il existe α tel que I α contient t et (I α, x α ) est une solution. Donc x(t) = x α (t) = x + t t f(s, x(s))ds. Corollaire I.9 Sous les hypothèses du théorème de Cauchy-Lipschitz, toute solution se prolonge en une solution maximale (I, x), cette solution maximale est unique et I est un intervalle ouvert. Démonstration L existence d une solution maximale vient de l application du lemme de Zorn et l unicité du théorème d existence et d unicité de Cauchy-Lipschitz. Pour montrer que I est un intervalle ouvert il suffit de voir que si I =]t η, t + η ] on peut la prolonger en t + η grâce au théorème de Cauchy-Lipschitz. Remarque I. Le résultat d exitence et d unicité d une solution maximal implique que les courbes solutions x(t, t, x ) ne peuvent se couper, elles sont confondues ou sans point commun, elles forment une partition de l ouvert Ω (cf. Fig. 3.3).

29 26 CHAPITRE 3. THÉORIE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Exemple I. On considère le problème de Cauchy définie sur Ω = R R { ẋ(t) = x (IV P ) 2 (t) x(t ) = x. Pour (t, x ) fixé on a une unique solution maximale définie sur I =]ω (t, x ), ω + (t, x )[ qui dépend de (t, x ) : Si x = alors I =], + [; ω (t, ) =, ω + (t, ) = + et x(t) = ; Si x > alors I =]t /x, + [ et x x(t) = (t t )x + ; Si x < alors I =], t /x [ et x x(t) = (t t )x +. Ces résultats sont visualisés sur les Fig. 3.2 et x t Figure 3.2 Visualisation de l ensemble ]ω (, x ), ω + (, x )[ x pour l exemple ẋ(t) = x 2 (t), x() = x x(t) t Figure 3.3 Solutions pour le problème ẋ(t) = x 2 (t), x(t ) = x, les courbes intégrales ne peuvent se couper, elles forment une partition de l ouvert Ω = R 2. Corollaire I.2 Soit f : I R n R n, I intervalle ouvert, continue. On suppose qu il existe une fonction continue k : I R + telle que tour tout t fixé l application f soit localement lipschitzienne par rapport à x de rapport k(t). Alors la solution maximale est globale, c est-à-dire définie sur I.

30 I. EXISTENCE 27 Démonstration Soit [t η, t + η 2 ] I. Dans la démonstration du théorème de Cauchy-Lipschitz, prenons r = +, E = C ([t η, t + η 2 ], R n ), d) et K = max [t η,t +η 2] k(t). f(t, x) est alors lipschitzienne de rapport K sur cet intervalle et si p est tel que (K p /p!) max(η, η 2 ) p <, alors T p est une contraction. Corollaire I.3 On considère le système de Cauchy linéaire { ẋ = A(t)x(t) + b(t) (IV P 2) x(t ) = x. Si A(t) et b(t) sont définis sur R et continus alors on a existence et unicité de la solution sur I = R. Le résultat est en particulier vérifié si le système est autonome. Démonstration Il suffit de prendre k(t) = A(t). En effet on a f(t, x ) f(t, x 2 ) A(t)(x x 2 ) A(t). x x 2. Remarque I.4 Le résultat est encore vrai si A(t) est localement intégrable. Théorème I.5 (Théorème d explosion) On suppose f : Ω R R n R n, Ω ouvert, continue dérivable par rapport à x et telle que l application f x : Ω L(Rn, R n ) (t, x) f (t, x) x soit continue. Soit K un compact contenu dans Ω et (t, x ) K, alors il existe η et η 2 > tels que pour tout t ]t η, t + η 2 [, (t, x(t, t, x )) soit extérieur à K. Démonstration Nous allons montrer l existence de η 2. Si ω + (t, x ) = + alors le résultat est évident car K étant compact, on a K [t, t 2 ] B f (x, R) et donc pour tout t > t 2, on aura (t, x(t, t, x )) K. Supposons donc maintenant que ω + = ω + (t, x ) R. Posons F = R n+ω et ρ = d(k, F ) > et définissons le compact K ρ/2 = {(t, x) R R n, d((t, x), K) ρ/2}. On a K K ρ/2 Ω. Considérons maintenant un point (t, x ) K, alors l ensemble Ω(t, x ) = {(t, x) Ω, t t < η et x x < a} avec η 2 + a 2 ρ 2 /4 est un ouvert inclu dans K ρ/2. Or K ρ/2 est un compact, par suite pour tout (t, x) Ω(t, x ), f(t, x) M et f x (t, x) k. On peut alors dans la démonstration du théorème de Cauchy-Lipschitz prendre r = + et η = η, ces quantités étant indépendantes de (t, x ). Montrons alors que t 2 = ω + η = t + η 2 répond à la question. Raisonnons par l absurde et supposons qu il existe t ]t 2, ω + ] tel que x( t, t, x ) soit dans K. Prenons t = t et x = x( t, t, x ), la solution du système de Cauchy { ẋ(t) = f(t, x(t)) (IV P 3) x(t ) = x existe alors sur ]t η, t + η[. Par conséquent la fonction définie par { x(t, t, x ) si t ]ω, t [, x(t) = x(t, t, x ) si t [t, t + η[ est une solution du problème de Cauchy de départ et t + η > t 2 + η > ω +, ce qui est impossible. Corollaire I.6 Si dans le théorème précédent Ω = R R n et ω + (t, x ) R alors on a x(t, t, x ) + quand t ω + (t, x ) (cf Fig. 3.3).

31 28 CHAPITRE 3. THÉORIE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Si on suppose seulement que f est continue, alors on peut montrer qu il existe une solution locale. Théorème I.7 (Théorème de Peano) On suppose que f : Ω R n est continue, que f(t, x) est borné par A sur l ensemble D = {(t, x), t t t f et x x b}. Si t f t b/a, alors il existe une sous suite des polygones d Euler qui converge vers une solution du problème de Cauchy. Démonstration cf. [7] page 42. On peut cependant perdre l unicité. Par exemple le problème { ẋ(t) = x(t) (IV P 4) x() =, admet les solutions x (t) = et x 2 (t) = t t 4 ainsi que x a (t) = { si t a x 2 (t a) si t > a (cf. la Fig. 3.4) x(t) t Figure 3.4 Solutions pour le problème ẋ(t) = x(t), x() =. II Dépendances par rapports aux données II. Introduction On s intéresse ici au problème de Cauchy { ẋ(t) = f(t, x(t), λ) (IV P 5) x() = x, avec f : Ω R R n R p R n continue ; Ω ouvert ; continue. Sous ces hypothèses le problème de Cauchy f x : Ω L(Rn, R n ) (t, x, λ) f (t, x, λ) x (IV P 6) λ { ẋ(t) = f(t, x(t), λ) x(t ) = x,

32 II. DÉPENDANCES PAR RAPPORTS AUX DONNÉES 29 admet une solution locale maximale pour tout (t, x, λ ) Ω x :]ω (t, x, λ ), ω + (t, x, λ )[ R n t x(t, t, x, λ ). Posons O = {(t, t, x, λ ) R Ω, ω (t, x, λ ) < t < ω + (t, x, λ )}, l objectif de cette section est d étudier les propriétés de continuité et de dérivabilité de la fonction II.2 Continuité x : O R n (t, t, x, λ ) x(t, t, x, λ ). Nous allons dans un premier temps considérer la dépendance par rapport au paramètre λ. Posons ici O = {(t, λ) R R p, ω (λ) < t < ω + (λ)}. On a alors le Théorème II. Sous les hypothèses de la sous-section précédente (i) O est un ouvert ; (ii) x : O R n est continue. Pour démontrer ce théorème, nous avons besoin du Lemme II.2 Soit u(t) une fonction de R à valeurs dans R continue et α et β deux réels strictement positifs. On suppose que alors on a u(t) t t (αu(s) + β)ds, u(t) β α (eα(t t) ). Démonstration Posons v(t) = t t (αv(s) + β)ds, v(t) est la solution du système de Cauchy { ẋ(t) = αx(t) + β (IV P 7) x(t ) =. Donc v(t) = (β/α)(e α(t t) ). Considérons maintenant la suite v (t) = u(t),..., v i (t) = t t (αv i (t) + β)ds. Cette suite converge uniformement sur tout compact vers v(t) la solution du problème à valeur initiale linéaire (IVP7). Montrons par récurrence que l on a toujours v i (t) t t (αv i (t) + β)ds et v i+ (t) v i (t). Nous aurons donc montrer ainsi que β α (eα(t t) ) = v (t) v (t) = u(t) Ceci est évident pour i =. Supposons donc l inégalité vraie pour i, alors par hypothèse de récurrence v i+ (t) = t Par suite on a, puisque α et β sont strictement positifs Et donc t t (αv i (t) + β)ds v i (t). αv i+ (t) + β αv i (t) + β. (αv i+ (t) + β)ds v i+ (t). t Démonstration du théorème. Le fait que O soit un ouvert est non trivial. Considérons (t, λ ) O et supposons pour fixer les idées que t t (le cas t t se traite de la même manière). Comme x(t, λ ) existe, on a t < ω + (λ ). On peut donc choisir t < t < ω + (λ ) et x(t, λ ) est définie pour tout t [t, t ]. Définissons alors l ensemble C =

33 3 CHAPITRE 3. THÉORIE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES {(t, x(t, λ ), λ ), t t t } Ω qui est un compact car c est l image du compact [t, t ] par l application continue t (t, x(t, λ ), λ )). C est un compact de R n+, donc il existe un coefficient de Lebesgue ε > du recouvrement Ω (cf. (A.III.)), c est-à-dire tel que pour tout (t, x, λ ) C, B((t, x, λ ), ε) Ω. Par suite il existe a et b strictement positifs tels que l ensemble K = {(t, x, λ) R R n R p, t t t, x x(t, λ ) a et λ λ b} Ω. De plus K est un fermé borné, donc un compact, et f(t, x, λ) est uniformément continue sur K : ε, η, (t, x, λ ) K, (t 2, x 2, λ 2 ) K, (t, x, λ ) (t 2, x 2, λ 2 ) < η, f(t, x, λ ) f(t 2, x 2, λ 2 ) < ε. Considérons maintenant x(t, t, x, λ) pour λ λ < b. Le théorème d explosion (I.5) implique que x(., t, x, λ) quitte le compact K quand t ω + (λ). Posons alors t 2 = Inf{t, x(t, t, x, λ) K}. On a bien évidemment t < t 2 t par définition de K. Nous allons montrer que t 2 = t. Or x(t, t, x, λ) x(t, t, x, λ ) t t f(s, x(s, t, x, λ), λ) f(s, x(s, t, x, λ ), λ ) ds Par suite f(s, x(s, t, x, λ), λ) f(s, x(s, t, x, λ ), λ ) f(s, x(s, t, x, λ), λ) f(s, x(s, t, x, λ ), λ) + f(s, x(s, t, x, λ ), λ) f(s, x(s, t, x, λ ), λ ) k x(t, t, x, λ) x(t, t, x, λ ) car f(t, x, λ) est Lipschitz par rapport à x + ε uniforme continuité. x(t, t, x, λ) x(t, t, x, λ ) t t (k x(t, t, x, λ) x(t, t, x, λ ) + ε)ds. Donc en posant u(t) = x(t, t, x, λ) x(t, t, x, λ ) dans le lemme (II.2) on obtient u(t) = x(t, t, x, λ) x(t, t, x, λ ) ε k (ek(t t) ) = ε 2. (3.) Prenons maintenant ρ 2 b, ε 2 < a et λ λ < ρ 2, alors (t 2, x(t 2, t, x, λ ), λ ) K par définition de t 2, mais λ λ < ρ 2 < b ; x(t, t, x, λ) x(t, t, x, λ ) ε 2 < a. Il faut donc que t 2 = t. En conclusion pour t t, il existe t 2 > t et ρ 2 > tels que pour tout t, t t t 2 et tout λ, λ λ ρ 2, x(t, t, x, λ) existe et donc (t, λ) O. Par une démonstration identique on peut construire t < t et donc un ouvert ]t, t 2 [ B(λ, ρ) O. On en déduit que O est bien un ouvert. Quant-à la continuité, elle provient immédiatement de (3.). Théorème II.3 Sous les hypothèses de la sous-section précédente (i) les fonctions ω : (t, x, λ ) ω (t, x, x ) et ω + : (t, x, λ ) ω + (t, x, x ) sont respectivement semi-continue inférieurement et semi-continue supérieurement ; (ii) O est un ouvert ; (iii) x : O R n est continue ; (iv) si f est indépendante de λ, (t, x ) Ω R R n et si ω (t, x ) < a < b < ω + (t, x ), alors pour tout r >, il existe s > et M tels que pour tout (t, x ) vérifiant t [a, b] et x x(t, t, x ) s, on ait ω (t, x ) < a < b < ω + (t, x ) et pour tout t [a, b] x(t, t, x ) x(t, t, x ) r M t t + M x x Démonstration cf. [4] page 344 ou [] Remarque II.4 On suppose f indépendante de λ, f : Ω R R n R n, et on considère t < t. On pose O = {x R n, (t, x ) Ω, t < ω + (t, x )} O = {x R n, (t, x ) Ω, ω (t, x ) < t }.

34 II. DÉPENDANCES PAR RAPPORTS AUX DONNÉES 3 Dire que x O, c est dire que l intervalle de définition de x(t, t, x ) contient t, le point x(t, t, x ) appartient alors à O. Ces ensembles O et O sont des ouverts et l application est un homéomorphisme (cf. la figure 3.5). R(t, t ) : O O x x(t, t, x ) ] [ O ] [ x(t) O t_ t t_f Figure 3.5 Homéomorphisme entre O et O. II.3 Dérivée On suppose dans cette sous-section que Λ = R p. Théorème II.5 Soit f : Ω R R n R p R n, Ω ouvert, f continue. On suppose que f admet des dérivées partielles continues par rapport à x et λ f x : Ω M n(r) f λ : Ω M (n,p)(r). Alors, la fonction x : O E est de classe C. Elle est de classe C k+, k, si f est de classe C k. De plus (i) La fonction x x (., t, x, λ ) :]ω (t, x, λ ), ω + (t, x, λ )[ M n (R) est la solution au problème de Cauchy linéaire (V AR8) { Ẋ(t) = A(t)X(t) X(t ) = I n, où A(t) = f x (t, x(t, t, x, λ ), λ ) M n (R) et I n est la matrice identité d ordre n. (ii) La fonction x t (., t, x, λ ) :]ω (t, x, λ ), ω + (t, x, λ )[ R n est la solution au problème de Cauchy linéaire { ẋ(t) = A(t)x(t) (V AR9) x(t ) = f(t, x, λ ). (iii) La fonction x λ (., t, x, λ ) :]ω (t, x, λ ), ω + (t, x, λ )[ M n,p (R) est la solution au problème de Cauchy linéaire { Ẋ(t) = A(t)X(t) + B(t) (V AR) X(t ) =, avec B(t) = f λ (t, x(t; t, x, λ ), λ ) M n,p (R).. Équations variationnelles.

35 32 CHAPITRE 3. THÉORIE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Démonstration Supposons que l on ait la dérivabilité alors, puisque nous avons par définition t x(t, t, x, λ ) = x + f(s, x(s, t, x, λ ), λ )ds, t nous pouvons écrire grâce aux théorèmes classiques du calcul intégral x t f (t, t, x, λ ) = I + x t x (s, x(s, t, x, λ ), λ ) x (s, t, x, λ )ds. x D où le résultat. Les autres formules s obtiennent de façon similaire. Pour une démonstration complète du théorème nous renvoyons à [4] page 35 ou []

36 Deuxième partie Intégration numérique 33

37

38 Chapitre 4 Introduction I Introduction L objectif de cette partie est d étudier les algorithmes numériques utilisés dans les programmes actuels, en particulier les programmes Ode45 de Matlab [2] et Dopri5 du professeur Hairer [7]. II Exemples II. Exemple ẋ (t) = x (t) + x 2 (t) + sin t ẋ (IV P ) 2 (t) = x (t) + 3x 2 (t) x () = 9/25 x 2 () = 4/25. La solution est x (t) = ( /25)(3 sin t + 9 cos t) x 2 (t) = ( /25)(3 sin t + 4 cos t). Sur cet exemple on constate que si on utilise les valeurs des paramètres par défauts dans les codes d intégrations numériques on peut très rapidement obtenir des résultats faux. Par exemple sur la Fig. 4., la solution calculée pour les valeurs par défauts des paramètres RelTol et AbsTol de Ode45 n est pas du tout périodique. RelTol= 3, AbsTol= 6 RelTol= 6, AbsTol= 9.5 x(t) 2 3 x(t) t t RelTol=, AbsTol= 5 Solution.5.5 x(t) x(t) t t Figure 4. Solutions calculées avec Ode45, RelTol= 3 et AbsTol= 6, RelTol= 6 et AbsTol= 9, RelTol= et AbsTol= 5 et solution exacte 35

39 36 CHAPITRE 4. INTRODUCTION II.2 Modèle de Lorenz (IV P ) ẋ (t) = σx (t) + σx 2 (t) ẋ 2 (t) = x (t)x 3 (t) + rx ( t) x 2 (t) ẋ 3 (t) = x (t)x 2 (t) bx 3 (t) x () = 8 x 2 () = 8 x 3 () = r, avec σ =, r = 28, b = 8/3. La solution est visualisée sur la figure x(t) t x2(t) x3(t) x(t) 2 2 x(t) Figure 4.2 Solutions pour le problème de Lorentz. II.3 Exemple de Roberston On considère la réaction chimique A.4 B (lente), B + B 3.7 C + B (très rapide), B + C 4 B (rapide). Le système différentiel associé à cette réaction chimique, qui est un exemple de problème raide, est donnée par ẋ (t) =.4x (t) + 4 x 2 (t)x 3 (t) ẋ 2 (t) =.4x (t) 4 x 2 (t)x 3 (t) 3. 7 x 2 2(t) ẋ (IV P ) 3 (t) = 3. 7 x 2 2(t) x () = x 2 () = x 3 () =, et la solution calculée par les deux programmes Ode45 et Ode5s sont visualisées sur la figure stiff problem en anglais.

40 II. EXEMPLES 37 4 x x2(t) t Figure 4.3 Solutions numérique pour le problème raide obtenues par une méthode classique ( Ode45) et par une méthode pour les équations différentielles raides ( Ode5s)

41 38 CHAPITRE 4. INTRODUCTION

42 Chapitre 5 Les méthodes de Runge-Kutta I Introduction Exemple I. (Orbite d Arenstorf) On considère deux corps de masses ( µ) et µ en rotation circulaire dans le plan, et un troisième corps de masse négligeable dont on souhaite étudier le mouvement x(t) = (x (t), x 2 (t)) T en fonction de l attraction des 2 autres corps dans le même plan. Les équations du mouvement sont (IV P ) ẍ (t) = x (t) + 2ẋ 2 (t) µ x (t)+µ r 3 (t) µ x(t) µ r 3 2 (t) ẍ 2 (t) = x 2 (t) 2ẋ (t) µ x 2(t) x2(t) µ r 3 (t) r2 3(t) r (t) = (x (t) + µ) 2 + x 2 2 (t) r 2 (t) = (x (t) µ ) 2 + x 2 2 (t) x () =.994 ẋ () = x 2 () = ẋ 2 () = , avec µ = et µ = µ. La solution est alors périodique de période t f = T = Elle est visualisée sur la figure Euler RK4 ode45.5 x2(t).5 Terre Lune point initial x(t) Figure 5. Orbite d Arenstorf calculée avec Euler (24 pas équidistants), Rk4 (6 pas équidistants) et Ode45 (64 pas variables), cf. [7] page 3. Le professeur Ernst Hairer est né en 949 et est le père de Martin Hairer, médaille Fields

43 4 CHAPITRE 5. LES MÉTHODES DE RUNGE-KUTTA II Définitions et exemples On désire calculer la solution sur l intervalle I = [t, t f ] du problème de Cauchy { ẋ(t) = f(t, x(t)) (IV P ) x(t ) = x. On considère pour cela une subdivision t < t <... < t N = t f de I. On note h i = t i+ t i, i =, N, les pas, et h max = max i (h i ). Nous allons calculer successivement les valeurs approchées x,..., x N de x(t ),..., x(t N ). Définition II. (Méthodes à un pas explicite) On appelle méthode à un pas explicite toute méthode pour laquelle la valeur de x i+ est calculée de façon explicite en fonction de t i, x i et h i : Remarque II.2 Pour simplifier les notations, nous n écrirons dans la suite que le premier pas x i+ = x i + h i Φ(t i, x i, h i ). (5.) x = x + hφ(t, x, h). Définition II.3 (Schéma d Euler (768)) On appelle méthode d Euler explicite le schéma x = x + hf(t, x ). (5.2) Remarque II.4 Le shéma d Euler explicite est tout simplement une approximation de l intégrale t t f(s, x(s))ds par hf(t, x ). Exemple II.5 { ẋ(t) = t (IV P ) 2 + x 2 (t) x(.5) = h=/2 h=/4 h=/8 solution 2.5 x(t) t Figure 5.2 Schéma d Euler, h = /2, /4, /8. L idée évidente pour améliorer la précision numérique est d approcher cette intégrale par une formule de quadrature ayant un ordre plus élevé. Si on exploite, pour améliorer l approximation de l intégrale, le point milieu, nous obtenons x(t ) x + hf(t + h 2, x(t + h 2 )). Mais on ne connaît pas la valeur de x(t + h 2 ), d où l idée d approximer cette quantité par un pas d Euler : x(t + h/2) x + h 2 f(t, x ). Nous obtenons ainsi le schéma de Runge. Définition II.6 (Schéma de Runge (895) ) x = x + hf(t + h 2, x + h 2 f(t, x )). (5.3)

44 III. III MÉTHODES DE RUNGE-KUTTA EXPLICITE 4 Méthodes de Runge-Kutta explicite III. Définition Définition III. (Méthode de Runge-Kutta explicite) On appelle méthode de Runge-Kutta explicite à s étages, la méthode définie par le schéma k = f(t, x ) k 2 = f(t + c 2 h, x + ha 2 k ). k s = f(t + c s h, x + h s i= a sik i ) x = x + h s i= b ik i (5.4) où les coefficients c i, a ij et b i sont des constantes qui définissent précisément le schéma. On supposera toujours dans la suite que c = et c i = i j= a ij pour i = 2,..., s. On représente en pratique ce schéma par le tableau de Butcher[3], cf. la table 5.. c c 2 a 2 c 3 a 3 a c s a s a s2... a ss b b 2... b s b s Table 5. Tableau de Butcher (né en 933). Exemple III.2 On considére par exemple les schémas /3 /3 /2 /2 2/3 2/3 /4 3/4 Euler (ordre ) Runge (ordre 2) Heun (ordre3) /2 /2 /3 /3 /2 /2 2/3 /3 /6 2/6 2/6 /6 /8 3/8 3/8 /8 La méthode Rk4 (ordre 4) Rk4, règle 3/8 (ordre 4) Table 5.2 Schémas de Runge-Kutta classiques. Exercice III.3 On considère le schéma de Heun, cf. la table 5.2. Écrire le schéma de Runge-Kutta correspondant. 2 Donner explicitement Φ(t, x, h).