Compétences: Système d'équations Système d'inéquations Fonction polynôme Racines de polynôme. Devoir de mathématiques n 4.

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Marguerite Élisabeth Lepage
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1 Compétences: Système d'équations Système d'inéquations Fonction polynôme Racines de polynôme Le / / 00 classe : ES Devoir de mathématiques n 4 (sujet A) Eercice : (0 pts) Soient P() = ² - + et Q() = ² + + / Déterminer la forme canonique des polynômes P et Q, puis donner les variations de P et Q / Déterminer les racines éventuelles de P et de Q Interpréter graphiquement ces résultats / Tracer les paraboles d'équation y = P() et y = Q() dans un repère orthonormé (prendre cm pour unités) 4 / Résoudre graphiquement, puis algébriquement l'équation ² + + > ² + Eercice : (0 pts) / a) Résoudre graphiquement le système (S) y =0 y=9 dans un repère orthonormé O ; i, j b) Résoudre le système (S) algébriquement y 0 y 9 / On considère le système (S') y a) Résoudre graphiquement le système (S') b) Déterminer graphiquement les solutions du système (S') pour lesquelles + y = 0 c) Quelle est la solution du système (S') dont la valeur + y est la plus petite possible Compétences: Système d'équations Système d'inéquations Fonction polynôme Racines de polynôme Le / / 00 classe : ES Devoir de mathématiques n 4 (sujet B) Eercice : (0 pts) Soient P() = ² + - et Q() = -² + - / Déterminer la forme canonique des polynômes P et Q, puis donner les variations de P et Q / Déterminer les racines éventuelles de P et de Q Interpréter graphiquement ces résultats / Tracer les paraboles d'équation y = P() et y = Q() dans un repère orthonormé (prendre cm pour unités) 4 / Résoudre graphiquement, puis algébriquement l'équation ² + < -² + Eercice : (0 pts) / a) Résoudre graphiquement le système (S) y 4=0 y= dans un repère orthonormé O ; i, j b) Résoudre le système (S) algébriquement y 4 0 y / On considère le système (S') y a) Résoudre graphiquement le système (S') b) Déterminer graphiquement les solutions du système (S') pour lesquelles +y = 9 c) Quelle est la solution du système (S') dont la valeur + y est la plus petite possible

2 Devoir de mathématiques n 4 (sujet A) Eercice : / Considérons le polynôme P() = ² - + On en déduit : 0 = b a = = et y 0 =P 0 = = Donc la forme canonique de P est : P = Considérons le polynôme Q() = ² + + On en déduit : 0 = b a = 4 et y 0 =Q 0 = = 4 8 Donc la forme canonique de Q est : Q = 4 8 D'après la forme canonique des polynômes P et Q, on en déduit leur tableau de variations : /4 + /8 P() Q() / P() = ² - + Calcul du discriminant : = b² 4ac = 4 8 = -4 Comme < 0, ce polynôme n'a pas de racines Interprétation graphique : La parabole d'équation y = ² - + ne coupe jamais l'ae des abscisses Q() = ² + + Calcul du discriminant : = b² 4ac = + 4 = Comme > 0, ce polynôme admet racines : = b = = Et a 4 = b = = a 4 Interprétation graphique : La parabole d'équation y = ² + + coupe l'ae des abscisses en points d'abscisses - et / / 4 / Graphiquement, les solutions de ² + + > ² + correspondent au abscisses des points de C Q situés «au dessus» de C P C'est à dire approimativement ]-0, ;,[

3 Algébriquement, ² + + > ² + 0 > ² Calcul du discriminant : = b² 4ac = 9 + = Comme > 0, cette équation admet solutions = b = = a Et = b = = a Donc les solutions de cette équation sont et Comme >0, ² est du signe contraire à entre ces racines, autrement dit ² est négatif sur ] ; [ On en déduit que l'ensemble des solutions de ² + + > ² + est ] ; [ Eercice : / a) Notons (d) la droite d'équation y + = 0 y= La droite (d) passe par les points A( - ; ) et B(4 ; ) Notons (e) la droite d'équation + y 9 = 0 y= La droite (e) passe par les points C(0 ; ) et D( ; ) Graphiquement, le couple solution du système correspond au coordonnées du point d'intersection de (d) et (e), autrement dit le couple solution du système semble être (/ ; ) b) Algébriquement : y =0 L L y 9=0 8y =0 y=9 y = =9 y = = Donc le couple solution est (/ ; ) / L'origine est-elle solution de y + 0? = >0 Non l'origine ne fait pas partie des solutions L'ensemble solution de y + 0 est représenté par le demi plan fermé de frontière (d) ne contenant pas l'origine L'origine est-elle solution de + y 9? < 9 Non l'origine ne fait pas partie des solutions L'ensemble solution de + y 9 est représenté par le demi plan fermé de frontière (e) ne contenant pas l'origine La zone solution du système (S') est représentée graphiquement par la partie du plan non hachurée y +y= b) La droite ( ) d'équation + y = 0 passe par les points E(0 ; ) et F(4 ; ) Graphiquement, les solutions du système (S') pour lesquelles + y = 0 correspondent au coordonnées des points de la droite ( ) situés dans la zone solution de (S') c)pour déterminer la solution du système (S') dont la valeur + y est la plus petite possible, on trace la parallèle à la droite ( ) qui intercepte la zone solution de (S') le plus «bas» possible Cela correspond au point d'intersection de (d) et (e) Donc la valeur recherchée est (/ ; )

4 Devoir de mathématiques n 4 (sujet B) Eercice : / Considérons le polynôme P() = ² + On en déduit : 0 = b a = = 4 Donc la forme canonique de P est : P = et y 0 =P 0 = 4 = 49 8 Considérons le polynôme Q() = -² + On en déduit : 0 = b a = = et y 0 =Q 0 = = Donc la forme canonique de Q est : Q = D'après la forme canonique des polynômes P et Q, on en déduit leur tableau de variations : - -/ P() -49/8 Q() / P() = ² + Calcul du discriminant : = b² 4ac = + 48 = 49 Comme > 0, ce polynôme admet racines : = b = = Et a 4 = b = = a 4 Interprétation graphique : La parabole d'équation y = ² + coupe l'ae des abscisses en points d'abscisses et / Q() = -² + Calcul du discriminant : = b² 4ac = 4 = -8 Comme < 0, ce polynôme n'a pas de racines Interprétation graphique : La parabole d'équation y = -² + ne coupe jamais l'ae des abscisses / 4 / Graphiquement, les solutions de ² + < -² + correspondent au abscisses des points de C P situés «au dessus» de C Q C'est à dire approimativement ]-0,8 ;,[

5 Algébriquement, ² + < -² + ² < 0 Calcul du discriminant : = b² 4ac = + = Comme > 0, cette équation admet solutions Et = b = = b = a a Donc les solutions de cette équation sont et Comme >0, ² est du signe contraire à entre ces racines, autrement dit ² est négatif sur ] ; [ On en déduit que l'ensemble des solutions de ² + < -² + est ] ; [ Eercice : / a) Notons (d) la droite d'équation y + 4 = 0 y= 4 La droite (d) passe par les points A( ; ) et B( ; ) Notons (e) la droite d'équation + y = y= La droite (e) passe par les points C(0 ; ) et D( ; ) Graphiquement, le couple solution du système correspond au coordonnées du point d'intersection de (d) et (e), autrement dit le couple solution du système semble être (, ;,4) b) Algébriquement : y 4=0 L L y =0 =0 y= = y= = = Le couple solution est ; / L'origine est-elle solution de y + 4 0? = 4 >0 Oui l'origine fait partie des solutions L'ensemble solution de y + 0 est représenté par le demi plan fermé de frontière (d) contenant l'origine L'origine est-elle solution de + y? < Oui l'origine fait partie des solutions L'ensemble solution de + y est représenté par le demi plan fermé de frontière (e) contenant l'origine La zone solution du système (S') est représentée graphiquement par la partie du plan non hachurée y 4 +y= b) La droite ( ) d'équation + y = 9 passe par les points E(0 ; ) et F( ; ) Graphiquement, les solutions du système (S') pour lesquelles + y = 9 correspondent au coordonnées des points de la droite ( ) situés dans la zone solution de (S') c)pour déterminer la solution du système (S') dont la valeur + y est la plus petite possible, on trace la parallèle à la droite ( ) qui intercepte la zone solution de (S') le plus «bas» possible Cela correspond au point d'intersection de (d) et la droite d'équation y = Donc la valeur recherchée est (-/ ; )

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