Application de la séparation de variables pour décrire les écoulements turbulents

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1 Application de la séparation de variables pour décrire les écoulements turbulents A.DUMO a, C. ALLERY a, A. AMMAR b a. LEPTIAB, Avenue Michel Crépeau, 74 LA ROCHELLE, France b. Laboratoire de Rhéologie, IPG, UJF, CRS(UMR 55), 3 rue de la Piscine, BP 53 Domaine Universitaire, F-384 Grenoble Cedex 9, France Résumé : Actuellement, la résolution numérique d écoulements turbulents nécéssite des maillages très fins et des temps de calculs très longs. Afin de réduire ces temps, on se propose d utiliser la méthode de séparation de variables permettant de passer de la résolution d un problème de très grande taille à la résolution de plusieurs systèmes de petites tailles. Cette méthode consiste à chercher la solution sous la forme d une somme de produits de fonctions de chaque variable d espace pour les composantes de vitesse ou de pression. Cette méthode sera testée sur les équations modèles de Poisson en D et 3D ainsi que sur les équations de avier-stokes D. Abstract : owadays, the turbulent flows numerically resolution requires a fine grid definition and a very long computing time. In order to reduce the CPU time, we propose the splitting variable method which allows us to pass from a big problem resolution to a sum of smalls. This method consists in finding the solution in the form of a sum of products of functions for each space variable. This method will be verified against the Poisson s D and 3D equations, as well as against avier-stokes D equations. Mots clefs : Séparation de variables, Equations de transferts, avier-stokes Introduction L objectif à long terme de ce travail est l étude de la qualité de l air à l intérieur des ambiances habitables et plus particulièrement, l étude de la dispersion de particules par approche Lagrangienne. Cette approche nécéssite de connaître le champ de vitesse du fluide en chaque point où se situent les particules. Ce champ de vitesse est habituellement obtenu par DS ou LES, ce qui est très coûteux car nous sommes en présence de grands domaines, nécéssitant des maillages très fins, et de longues durées de simulation. Dans cette communication, afin de diminuer le temps de calcul, on se propose de résoudre les équations de avier-stokes par la méthode de séparation de variables. Cette approche consiste à chercher la solution sous la forme d une somme de produits de fonctions de chaque variable d espace. Ainsi dans un cas à dimensions, au lieu de résoudre un problème de taille (n i) (où n i est le nombre de noeuds dans la direction i) on se ramène à la résolution de problèmes de taille (n i). Donc pour des maillages avec beaucoup de noeuds, cette méthode peut être plus rapide que les méthodes traditionnelles. La méthode de séparation de variables à déjà été utilisée avec succès dans d autres domaines.elle a été introduite le première fois pour la résolution des équations de Fokker-Planck[][] afin de modéliser le comportement d une chaîne de polymère dans un espace configurationnel multidimensionnel. La méthode à également été utilisée pour traiter des problèmes d homogénéisation [3]. ouy[4] quant à lui utilise une variante de la méthode présentée ici, pour résoudre des équations stochastiques non-linéaires pour traiter la séparation espace-temps. Dans cette communication, après avoir décrit rapidement la méthode, nous l appliquerons aux équations de Poissons D et 3D. Les résultats obtenus, seront comparés, en terme de précision et de temps de calcul, aux résultats obtenus par la méthode du gradient conjugué et du bigradient conjugué. Enfin les premiers résultats concernant les équations de avier-stokes pour une cavité entrainée D seront présentés. Présentation de la méthode Afin de simplifier la présentation, la méthode sera présentée uniquement pour le cas D. On considère donc le problème suivant :

2 L(T) = G Trouver T(x,y) tel que +Conditions limites dans Ω = [ L,L] [ L,L] où L est l opérateur de notre équation de transfert, et G son second membre La méthode de séparation de variables, qui est une méthode itérative, consiste à chercher l inconnue sous la forme : T(x,y) = α i F i (x)g i (y) () où à chaque itérartion on ajoute à notre inconnue un terme supplémentaire α + F + (x)g + (y). Ce terme est obtenu par résolution d un problème non linéaire de taille restreinte ( x + y inconnues), où x est le nombre de noeuds dans la direction x et y le nombre de noeuds dans la direction y. Après discrétisation par différences finies, éléments finis ou volumes finis, et après avoir injecté () dans (), le problème peut se mettre sous la forme suivante : k= α i ( [A k ] {F i } [B k ] {G i } ) = G h (3) L opérateur L est donc discrétisé comme un produit tensoriel d opérateur [A k ] et [B k ] dans la direction x et y. Ces opérateurs sont appliqués chacun respectivement à F i (vecteur de taille x ) et a G i (vecteur de taille y ) qui sont la décomposition de notre solution dans la direction x et dans la direction y. L opérateur discrétisé [A k ] dans la direction x est donc de taille ( x, x ) et l opérateur discrétisé [B k ] dans la direction y est de taille ( y, y ). L indice nbo représente le nombre de couples d opérateurs nécéssaires pour la reconstruction de l opérateur général L de l équation (). Le second membre G quant à lui est de taille ( x, y ) il représente exactement la valeur du second membre en chaque point du maillage (Il peut être également exprimé sous la forme d un produit tensoriel de vecteurs de taille ( x,) ( y,)). L algorithme de résolution se décompose en trois étapes.. Si l on suppose que l on est à l itération +, la première étape consiste à calculer les nouvelles fonctions F + et G +, c est l étape d enrichissement.. Une fois ces fonctions calculées, nous calculons les + coefficients α i pondérant ces fonctions. 3. Enfin il nous reste à estimer l erreur afin de savoir si l on a convergé. Si ce n est pas le cas, il faut repasser par les étapes un et deux, et ce, jusqu à convergence. Ces trois étapes vont être détaillées dans les paragraphes qui suivent.. Enrichissement Supposons que nous soyons à l étape +. Les premières fonctions F i et G i sont connues et on cherche R et S tels que : T(x,y) = α i F i (x)g i (y) + R(x)S(y) (4) En injectant cette nouvelle forme de la solution dans le problème (3), on obtient le système d équation suivant : [ ([A k ] {R} [B k ] {S}) = G h α i ( [A k ] {F i } [B k ] {G i } )] (5) k= k= Ce système non linéaire est résolu à l aide d une méthode de point fixe. Ainsi pour calculer R on se fixe un S et on projette (5) sur un champ test de la forme R S. Cela nous donne un système linéaire de taille ( x, x ) à résoudre. Il en est de même lors de la recherche de S, le champ test devient R S et le systeme sera de taille ( y, y ). Ces deux calculs alternés s arrêtent lorsque les normes des différences entre le nouveau R et l ancien et le nouveau S et l ancien sont inférieures à un un paramètre donné par l utilisateur. Les dernieres fonctions R et S obtenues seront normées et mises égales à F + et G +. ()

3 . Calcul des coefficients alphas Connaissant les fonctions F i et G i il faut ensuite calculer les α i ( i + ). Pour calculer ces coefficients, on considere l équation (5) avec un champ test Ψ = α FG. Cela nous donne un système de taille (+,+)..3 Critère de convergence Pour estimer la convergence de l algorithme, on calcule le résidu du modèle (3) défini par : [ + res = α i ( [A k ] {F i } [B k ] {G i } ) ] G h (6) k= Lorsque la norme euclidienne de ce résidu est inférieure à un ǫ donné par l utilisateur, l algorithme a convergé, et la solution du problème est : T(x,y) = + α i F i (x)g i (y) (7) Si ce n est pas le cas, il faut enrichir notre solution en rajoutant un produit de fonction de x et de y. 3 Résultats Dans cette partie les résultats obtenus avec la méthode de séparation de variable pour la résolution de l équation de poisson D et 3D seront comparés aux résultats obtenus avec la méthode du gradient conjugué et la méthode du bigradient conjugué. Dans un second temps les premiers résultats concernant l écoulement dans une cavité entrainé D seront présentés. 3. Equation de Poisson D ous nous intéressons au problème suivant : { T(x,y) = x Chercher T(x,y) tel que y T Ω = T cl dans Ω =],[ ],[ (8) Les résulats seront comparés avec la solution analytique triviale : T(x,y) = (x4 y 4 ) Sur la figure () sont représentés les temps de calcul et l ereur en norme L par rapport à la solution analytique pour chaque solveur en fonction du nombre de noeuds dans une direction. Pour chacun des solveurs le critère de convergence est basé sur la norme du résidu (Equ.6) avec ǫ = temps(s) 5 erreur a) Temps de calcul b) Erreur L FIG. Comparaison du temps de calcul et de l erreur L en fonction du nombre de noeud, pour la résolution de l équation de Poisson D, entre les différents solveurs. On constate que la méthode la plus efficace en terme de temps de calcul est le gradient conjugué. En effet pour un maillage de taille (*) le gradient conjugué est fois plus rapide que les autres méthodes Les conditions limites sont calculées directement à partir de cette solution. Le nombre de noeuds dans chacune des directions est le même, le maillage est donc de taille. 3

4 (grad-conj=5s ; grad-biconj=66s ; sep-var=s). La méthode de séparation de variable quant à elle, est un peu plus rapide que le gradient bi-conjugué. En ce qui concere la précision du calcul on constate que le gradient conjugué est moins précis que les deux autres méthodes. La méthode de séparation de variable a un orde de précision proche du bi-gradient conjugué. Donc pour la résolution d une équation de Poisson D la méthode de séparation de variable ne parait pas s imposer, voyons maintenant ce qu il en est dans le cas 3D. 3. Equation de Poisson 3D ous nous intéressons au problème suivant : Chercher T(x,y) tel que { T(x,y) = x y z dans Ω =],[ ],[ ],[ T Ω = T cl (9) Par la suite nous comparerons les résulats avec la solution analytique triviale : T(x,y) = (x4 y 4 z 4 ). (Le critère de convergence a été pris égal à 5. 4 ) De la même manière que pour le cas D, la figure () représente le temps de calcul et la différence en norme L par rapport à la solution analytique en fonction du nombre de noeuds pour les trois méthodes. 4 4 temps(s) erreur a) Temps de calcul b) Erreur L FIG. Comparaison du temps de calcul et de l erreur L en fonction du nombre de noeud, pour la résolution de l équation de Poisson 3D, entre les différents solveurs. Cette figure nous permet de constater que la méthode de séparation de variable est beaucoup moins coûteuse en temps de calcul que les deux autres méthodes. En effet pour un maillage de taille 3 le gradient conjugué (qui était le solveur le plus rapide en D) met fois plus de temps de calcul que la méthode de séparation de variables(grad-conj=35s ; grad-biconj=5s ; sep-var=3s). De plus, en ce qui concerne la précision, les conclusions du D restent valables, à savoir que le gradient bi-conjugué et la séparation de variables ont une précison équivalente. En conclusion, pour l équation de Poisson 3D, à partir d un certain nombre de noeuds, la méthode de séparation de variable est plus rapide que les méthodes traditionnelles, pour une précision du même ordre de grandeur, quelque soit la méthode d inversion utilisée. 3.3 avier-stokes D Dans la suite, nous considérons l écoulement dans une cavité entrainée D ( le domaine est carré). Les conditions aux limites sont donc, vitesses nulles sur toutes les parois sauf sur la paroi supérieure où la vitesse est égale à une vitesse tangentielle U. Les équations de avier-stokes ont été résolues dans un maillage 5*5. Un algorithme de projection de Van-Kahn à été utilisé afin de découpler la vitesse et la pression Algorithme de Van-Kahn Il faut commencer par calculer la vitesse intermédiaire ũ à l aide de l équation suivante : { ũn u n t ν ( ũn u n ) + p n + 3 (un. )u n (un. )u n = ũ n = g sur Ω où la fonction g représente les conditions limites du problème Ensuite, pour calculer la correction de pression, il faut résoudre le prolème suivant : () 4

5 { p = t divũn p n = sur Ω () enfin les variables de pression et de vitesse sont actualisées de la maniere suivante : { u n+ = ũ n t p p n+ = p + p n () dans ce schéma nous allons vhercher u,v et p chacune comme F(x)G(y) à chaque étape de l algorithme de Van-Kahn Résultats Dans la suite, la figure (3) représente les profils de vitesse dans les axes médians de la cavité pour les deux nombres de Reynolds suivants : Re =, Re =. Les équations () et () ont été résolues, d une part à l aide du gradient bi-conjugué avec une formulation complète sur tout le domaine, d autre part à avec de la séparation de variables. Les résultats ainsi obtenus seront comparés avec les résultats de Ghia souvent cités comme référence Complet RE=..3.. Separation variable RE= Ghia RE= Complet RE= Separation variable RE= Ghia RE= Complet RE= Separation variable RE= Ghia RE= Complet RE= Separation variable RE= Ghia RE= a) Vitesse U à y=.5 b) Vitesse V à x=.5 FIG. 3 Comparaison des vitesses horizontales et verticales calculées à l aide du gradient bi-conjugué et de la méthode de séparation de variable avec les résulats de Ghia. La figure (3) nous permet de constater que les résultats obtenus par la méthode du bi-gradient conjugué et la méthode de séparation de variables sont en accord avec les résultats de Ghia. Cependant il est à noter une très légère différence entre les résultats obtenus par la méthode de séparation de variables et ceux de Ghia proche des parois pour un nombre de Reynolds de (qu on peut améliorer en modifiant le critère de convergence). a) U sep b) Erreur entre U sep et U complet FIG. 4 Isovaleurs du champ de vitesse horizontale calculé avec la méthode de séparation de variables et erreur de ce champ par rapport au modèle complet. 5

6 a) F b) G FIG. 5 5 premières fonctions F et G obtenues pour la vitesse U. La figure (4) quant à elle représente les isovaleurs du champ de vitesse horizontal pour Re = obtenu par la méthode de séparation de variable à droite et l erreur entre le champ de vitesse horizontal calculé en séparation de variable et avec le bi-gradient conjugué à gauche(err i,j = (U sepi,j U completi,j ) ). On constate que l erreur est de l ordre de 4, donc que les résultats sont similaires. Les mêmes conclusions peuvent être faites pour les isovaleurs de vitesse verticale ainsi que pour les isovaleur de pression. Ces résultats restent valables pour Re =. Comme nous sommes en D, et que l on a choisit un maillage de taille 5*5, la méthode de séparation de variable est plus lente que le bi-gradient conjugué. Cependant, on peut espérer, au vu des résultats sur l équation de Poisson 3D, qu en passant en trois dimensions, les résultats seront plus rapides. 4 Conclusion Dans cette communication, nous avons appliqué la méthode de séparation de variables aux équations de Poisson D et 3D ainsi qu aux équations de avier-stokes dans le cas d une cavité entrainée D. ous avons constaté que pour l équation de Poisson 3D, à partir d une certaine taille de maillage, la résolution était beaucoup plus rapide en séparation de variable qu avec les méthodes traditionnelles. ous n avons pas tenu compte ici du fait que le préconditionnement des méthodes du gradient conjugué et du bi-gradient conjugué améliore le taux de convergence de ces méthodes. Du fait de la faible taille du maillage le cas de la cavité entrainée en D ne nous permet de gagner du temps. Cependant les résultats sont cohérents avec ceux de la littérature. Au vu des résultats obtenus en 3D avec l équation de Poisson 3D, il est logique de penser qu en 3D avec des maillages fins, la méthode de séparation de variables nous permettra de gagner du temps pour la résolution des équations de avier-stokes. Références [] Ammar A., Mokdad B., Chinesta F., and Keunings R. A new family of solvers for some classes of multidimensionnal partial differential equations encountered in kinetic theory modeling of complex fluids. J. of on ewtonian Fluid Mechanics, 39, 53 76, 6. [] Ammar A., Mokdad B., Chinesta F., and Keunings R. A new family of solvers for some classes of multidimensionnal partial differential equations encountered in kinetic theory modeling of complex fluids. part ii : Transient simulation using space-time separated representations. J. of on ewtonian Fluid Mechanics, 44, 98, 7. [3] Chinesta F., Ammar A., Lemarchand F., Beauchene P., and Boust F. Alleviating mesh constraints : Model reduction, parallel time integration and high resolution homogenization. Computer methods in applied mechanics and engineering, 97, 4 43, 8. [4] ouy A. and Le Maitre O. Generalized spectral decomposition for stochastic nonlinear problems. Journal of Computational Physics, 8, 35, 9. 6