Bref, c'est difficile, mais tout le monde doit y arriver.

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1 Bonjour à tous, les colles de mardi m'ont permis de vérifier que les notions de base du chapitre espaces vectoriels sont loin d'être acquises. Comme je vous le disais, il est essentiel d'apprendre régulièrement et correctement son cours. Correctement veut dire :. Savoir de quoi on parle. Connaître les définitions, théorèmes, propriétés. Par cœur si vous voulez, à condition de comprendre ce qu'on raconte. Il est contre productif de s'acharner à apprendre «stable par combinaison linéaire» si on ne sait pas ce que «stable» veut-dire. L'idéal étant d'être capable de formuler quelque chose de plusieurs façons (une formule mathématique, une phrase de français soutenu avec des vrais termes mathématiques dedans, voire une phrase de mauvais français, peu importe TANT QUE CA A DU SENS).. Une fois qu'une notion est comprise, se poser toutes les questions qui tournent autour :. A quoi ça sert? (mathématiquement...). Pourquoi on a besoin de telle ou telle condition?. Suis-je capable de trouver des exemples/contre-exemples?. Peut-on illustrer ça avec la géométrie vectorielle du lycée?. etc. Encore une fois, je sais que c'est compliqué, nouveau, et très abstrait. La puissance de cette théorie, c'est qu'elle est formelle : on manipule de la même façon matrices, fonctions, nombres, etc.. ce sont tous des vecteurs. C'est ce qui en fait sa difficulté également. Il ne faut pas perdre de vue ce que l'on est en train de faire. Par exemple «0 appartient à F». Qu'est ce que c'est que ce zéro? C'est le vecteur nul, soit. Mais encore? Ce peut être la matrice nulle, la fonction nulle, etc.. Bref, c'est difficile, mais tout le monde doit y arriver. Pour mardi prochain, voici une série d'exercices simples (corrigés plus bas) que vous devez TOUS être capables de faire et refaire. Ne vous laissez pas abuser par la solution qui est souvent courte et d'apparence simple (il y très peu de calculs). Il faut maitriser les raisonnements. Si vous ne comprenez pas, si vous avez une question, envoyez moi un mail Je n'accepterai plus les «ah bah j'ai rien compris». Il faut s'y mettre et maintenant. Bon travail et à mardi. D.P.

2 Savoir répondre à : 1/ Qu'est-ce qu'un espace vectoriel? 2/ Qu'est ce qu'un sous-espace vectoriel? 3/ Qu'est-ce qu'une combinaison linéaire de vecteurs? 4/ Que veut dire «stable par combinaison linéaire» 5/ Qu'est-ce qu'une famille libre? Une famille liée? Une famille génératrice? Une base? 6/ Qu'est-ce que c'est que : Vect(u,v)? etc. Tous les espaces vectoriels considérés sont des espaces vectoriels sur R. Exercice 1 On se place dans l'espace vectoriel R 3. On donne les vecteurs e 1 (1,0, 1), e 2 (1,0,0) et e 3 (0,1, 1). Montrer que la famille (e 1,e 2,e 3 ) est une famille génératrice de R 3. Déterminer Vect (e 1,e 2,e 3 ) Exercice 2 On se place dans l'espace vectoriel R 3. On donne les vecteurs e 1 (1,0, 1), e 2 (1,1,0) et e 3 (3,2, 2). La famille (e 1,e 2,e 3 ) est-elle une famille génératrice de R 3? Déterminer Vect (e 1,e 2,e 3 ) Exercice 3 On se place dans l'espace vectoriel R 3. On donne les ensembles F = (x,y,z) ; 2x = y } G = (x,y,z) ; x 2 =y 2 } H = (x,y,z) ; 2x = -z et x+y+z=0 } Ces ensembles sont-ils des sous-espaces vectoriels de R 3? Si oui, en donner une base. Exercice 4 Soit E un espace vectoriel et u et v deux vecteurs non nuls de E, et non colinéaires. 1/ La famille (u,0) est-elle libre? 2/ La famille (u, 3u) est-elle libre? 3/ La famille (u,v) est-elle libre? 4/ La famille (u,v,u-v) est-elle libre? 5/ La famille (u-v,u+2v) est-elle libre? 5/ Déterminer Vect(u,2u,3u), Vect(u,v,u+v) Exercice 5 1) On considère dans R 3 les vecteurs u = (1, 2, 3) et v = (3, 2, 1). La famille (u, v) est-elle une base de? 2) Quelle est la dimension du sev F = Vect(u, v)? c) Le vecteur x = (1, 4, 7) appartient-il à F?

3 Corrigé Correction très détaillée. Avec l'habitude, on pourra (et devra) aller beaucoup plus vite Exercice 1 On se place dans l'espace vectoriel R 3. On donne les vecteurs e 1 (1,0, 1), e 2 (1,0,0) et e 3 (0,1, 1). Montrer que la famille (e 1,e 2,e 3 ) est une famille génératrice de R 3. Déterminer Vect (e 1,e 2,e 3 ) Dire qu'une famille est génératrice d'un espace vectoriel (ATTENTION : «famille génératrice» en tant que tel ne veut rien dire, il faut dire «génératrice d'un espace vectoriel donné), c'est dire que tout vecteur de l'espace vectoriel en question peut s'exprimer comme une combinaison linéaire des vecteurs de la famille. En maths : (e 1,e 2,e 3 ) est une famille génératrice de R 3 si et seulement si : u R 3, (a, b,c) R 3 ; u=a e 1 +e 2 +c e 3 Soit donc u(x,y,z) un vecteur quelconque de R 3. Alors u=a e 1 +e 2 +ce 3 <=>(x, y, z)=a(1,0, 1)+b(1,0,0)+c(0,1, 1) En égalant les coordonnées, on obtient un système 3x3 dont les inconnues sont a, b et c. On s'aperçoit que ce système a une solution (résolvez-le, a, b et c dépendent évidemment de x, y et z), et même une solution unique. Ce qui veut dire au passage que non seulement la famille (e 1,e 2,e 3 ) est génératrice (puisque tout vecteur peut s'exprimer comme combinaison linéaire des vecteurs de la famille), mais en plus une base puisque cette combinaison linéaire (CL) est unique. (puisque le système 3x3 a en effet une solution unique). On aurait pu aussi dire : toute famille génératrice de 3 éléments dans un ev de dimension 3 - R 3 - est une base de cet ev. Vect (e 1,e 2,e 3 ) est, par définition, le sous-espace vectoriel (sev) de R 3 engendré par e 1,e 2 et e 3. En d'autres termes c'est l'ensemble de TOUTES les CL possibles des vecteurs e 1,e 2 et e 3. Or (e 1,e 2,e 3 ) est une famille génératrice de R 3. Donc Vect (e 1,e 2,e 3 ) = R 3 Exercice 2 On se place dans l'espace vectoriel R 3. On donne les vecteurs e 1 (1,0, 1), e 2 (1,1,0) et e 3 (3,2, 1). La famille (e 1,e 2,e 3 ) est-elle une famille génératrice de R 3? Déterminer Vect (e 1,e 2,e 3 ) De la même façon que précédemment, soit u(x,y,z) un vecteur quelconque de R 3. Alors u=a e 1 +e 2 +ce 3 <=>(x, y, z)=a(1,0, 1)+b(1,1,0)+c (3,2, 1) D'où le système : <=> a+b+3c=x b+2c= y a c=z a+b+3c=x b+2c=y b+2c=z+x On s'aperçoit que si y z+x, le système n'a pas de solutions en (a,b,c). Autrement dit, tout vecteur dont les coordonnées (x,y,z) vérifient y=z+x ne peut pas s 'écrire comme combinaison linéaire de (e 1,e 2,e 3 ). Donc (e 1,e 2,e 3 ) n'est pas une famille génératrice de R 3. Donc Vect (e 1,e 2,e 3 ) R 3 Mais Vect (e 1,e 2,e 3 ) R 3. Donc sa dimension est 0, 1 ou 2. Déterminer Vect (e 1,e 2,e 3 ), c'est en donner une base (un ev est parfaitement défini par la donnée d'une de ses bases). Or manifestement la famille (e 1,e 2 ) est libre (les coordonnées des vecteurs ne sont pas proportionnelles).

4 Et (e 1,e 2, e 3 ) est liée (on peut trouver une CL liant ces 3 vecteurs, on peut aussi remarquer que si elle était libre (dans un ev de dimension 3), elle serait une base de R 3 et donc génératrice de R 3, ce qui n'est pas le cas. Bref (e 1,e 2, e 3 ) est liée. e 3 est donc CL de(e 1,e 2 ) Donc e 3 Vect (e 1,e 2 ) Toute CL de (e 1,e 2, e 3 ) est donc aussi une CL de (e 1,e 2 ) Donc Vect (e 1,e 2,e 3 )=Vect(e 1,e 2 ) Ce n'est pas la seule réponse possible. Il y a autant de réponses possibles que de bases de Vect (e 1,e 2,e 3 ), c'est à dire une infinité. Par exemple : (e 1,e 3 ), (e 2, e 3 ), etc. Exercice 3 On se place dans l'espace vectoriel R 3. On donne les ensembles F = (x,y,z) ; 2x = y } G = (x,y,z) ; x 2 =y 2 } H = (x,y,z) ; 2x = -z et x+y+z=0 } Ces ensembles sont-ils des sous-espaces vectoriels de R 3? Si oui, en donner une base. 1/ a) (0,0,0) F b) Il faut montrer que F est stable par CL, c'est à dire : ( u,v) F 2, (a,b) R 2, au+bv F Soient donc u(x,y,z) et v(x',y',z') deux vecteurs quelconques de F. Soient a et b deux réels quelconques. Alors au+bv = a(x,y,z)+b(x',y',z') = (ax+bx',ay+by',az+bz') Et 2(ax+bx') = a(2x) + b(2x') Mais u F Donc 2x = y. Et v F. Donc 2x' = y' Donc 2(ax+bx') = ay+by' Conclusion au+bv F. F est donc stable par CL. F est donc un sev de R 3 Dans ce genre d'exos, trouver une base de F, c'est commencer par trouver une famille génératrice de F. Soit donc u = (x,y,z) un vecteur quelconque de F. Donc (x,y,z) = (x,2x,z) = x(1,2,0)+z(0,0,1) Posons e 1 =(1,2,0) et e 2 =(0,0,1) Par construction e 1 et e 2 sont deux vecteurs de F. Et on vient de montrer que c'est une famille génératrice de F. De plus ces vecteurs de sont pas colinéaires. Donc ils forment une famille libre. Conclusion : (e 1, e 2 ) est une base de F. 2/ Les carrés laissent supposer que G n'est pas un sev. Stratégie pour montrer qu'un ensemble n'est pas un SEV. a) Regarder si le vecteur nul y appartient. b) Prendre un vecteur de l'ensemble, regarder si son opposé y appartient c) Prendre un vecteur de l'ensemble et regarder si en le multipliant par un réel quelconque, on reste dans l'ensemble (ou on en sort). d) Prendre deux vecteurs bien choisis tels que leur somme «sorte» de l'ensemble. e) Ce devrait suffire. Ici a), b) et c) sont inefficaces. Essayons d). Soient u(1,1,1) et v(1,-1,1). Ce sont deux vecteurs de G. Mais pas u+v(2,0,1). Donc G n'est pas stable par CL. Ce n'est pas un sev de R 3

5 3/ a) (0,0,0) appartient à H. b) Je vous laisse vérifier que H est stable par CL. Soit maintenant u = (x,y,z) un vecteur quelconque de F. De 2x = -z et x+y+z=0, on tire : z = -2x et y = x Donc (x,y,z) = (x,x,-2x) = x(1,1,-2). Le vecteur (1,1,-2) appartient à G. Il forme une famille génératrice de G, et libre puisque ce vecteur est non nul. Donc ( (1,1,-2) ) est une base de G. Exercice 4 Soit E un espace vectoriel et u et v deux vecteurs non nuls de E, et non colinéaires. 1/ La famille (u,0) est-elle libre? Non car 0 appartient à la famille. 2/ La famille (u, 3u) est-elle libre? Non car (-3)u + 1(3u) = 0 (CL nulle non triviale des vecteurs de la famille). 3/ La famille (u,v) est-elle libre? Oui puisque u et v sont non colinéaires. 4/ La famille (u,v,u-v) est-elle libre? Non puisque (-1)u+ 1v + 1(u-v) = 0. (CL nulle non triviale des vecteurs de la famille). 5/ La famille (u-v,u+2v) est-elle libre? Soient deux scalaires a et b tels que : a(u-v)+b(u+2v) = 0 Alors (a+b) u + (2b-a) v = 0 Mais (u,v) est libre. Donc nécessairement : a+b = 0 et 2b-a = 0, et finalement a=b=0. (u-v,u+2v) est donc libre. 5/ Déterminer Vect(u,2u,3u), Vect(u,v,u+v) Toute CL de (u,2u,3u) est une CL de u. Donc Vect(u,2u,3u) = Vect(u). Ou encore ( u ) est une base de Vect(u,2u,3u) u+v est une CL évidente de (u,v). Donc Vect(u,v,u+v) = Vect(u,v). Mais (u,v) est libre. Donc on ne peut pas «faire mieux». Une base de Vect(u,v,u+v) est (u,v). Exercice 5 1) On considère dans R 3 les vecteurs u = (1, 2, 3) et v = (3, 2, 1). La famille (u, v) est-elle une base de? Une base de R 3 R 3 (de dimension 3) est forcément constituée de 3 vecteurs. Donc (u,v) n'est pas une base de 2) Quelle est la dimension du sev F = Vect(u, v)? c) Le vecteur x = (1, 4, 7) appartient-il à F? Il est clair que (u,v) est libre. (leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles). (u,v) est par définition une famille génératrice de Vect(u,v). Donc (u,v) est une base de Vect(u,v) et dim Vect(u,v) = 2 x=(1,4,7) appartient à F si et seulement si : (a, b) R 2 ; x=au+bv Il vient : a+3b=1 2a+2b=4 3a +b=7 <=> a+3b=1 4b=2 8b=4 a= 5 2 <=> b= 1 2 Donc x= 5 2 u 1 v Donc x F 2

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