Troisième partie: Cinématique du corps solide indéformable et dynamique des systèmes matériels

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1 Toisième patie: Cinématique du cops solide indéfomable et dnamique des sstèmes matéiels Notions abodées: Sstèmes de points matéiels: énoncé généal 3ème loi de Newton, cente de masse, lois de consevation pou un sstème isolé Cinématique du solide, distibution des vitesses, angles d Eule Dnamique du solide, effets goscopiques Tenseu d inetie, ae de otation fie, ae de otation en mouvement, équations d Eule Buts: appende à décie le mouvement d un cops solide savoi écie les équations du mouvement (théoèmes du cente de masse et du moment cinétique) d un sstème ou d un solide S, 10 janvie Sstème de points matéiels n suppose que chaque point F matéiel du sstème subit: 1 une foce éieue F dont l oigine est éieue au sstème des foces intéieues F eecées pa les autes points du sstème (uniquement foces «à deu cops») Toisième loi de Newton, appliquée à et : action et éaction sont égales, opposées et de même suppot F + F M + M F + Toisième loi (énoncé généal) S, 10 janvie m 1 F 21 F 31 F z 3 F 13 m 2 m 3 F 32 F 23 F ( )F F 0 M 0 La somme des foces intenes est nulle F 2 F 3 La somme des moments des foces intenes est nulle

2 Sstème de points matéiels (suite) Quantité de mouvement totale: p p F + F F + F F Moment cinétique total (pa appot à ): L L, dl dl, M + M, M + M, Lois généales de la dnamique pou un sstème de points matéiels (pouaient ête pises comme postulat fondamental duquel découleait le pincipe de l action et de la éaction) d L F M M Seules les foces eecées pa l éieu su le sstème déteminent l évolution de la quantité de mouvement totale et du moment cinétique total S, 10 janvie Sstème à l équilibe (statique) Un sstème est à l équilibe si: (t) constante pou tout point du sstème v (t) 0 p m v pou tout, pou tout point L m v F dl M Conditions d équilibe d un sstème mécanique pou tout point du éféentiel démo: balance S, 10 janvie

3 Cente de masse (ou d inetie, ou «de gavité») Le cente de masse est un point défini pa: 1 M m où M masse totale m Vitesse du cente de masse: v d 1 M m p v M p M v Si le sstème est femé (c est-à-die Mconstante): F M a F m z 3 Théoème du cente de masse Le cente de masse d un sstème se compote comme un point matéiel de masse M m subissant toutes les foces éieues appliquées su les difféentes paties du sstème, comme si ces foces étaient eecées su ce point matéiel m 2 m 3 S, 10 janvie Lois de consevation pou un sstème isolé Si le sstème ne subit aucune foce de l éieu (sstème isolé), alos: d L p constante L constante v constante pa appot à n impote quel point du éféentiel démos: véhicule (initialement à l aêt) populsé pa des boulets p boulets + p véhicule oscillateu su ail à ai pendule su ail à ai tabouet tounant le cente de masse a un mouvement ectiligne unifome L m 2 constante si diminue, augmente S, 10 janvie

4 opiétés du cente de masse (CM) Soit ( ) le cente de masse défini à pati de l oigine ( ): '' 1 M m ' 1 M m ' + ( ) '+ ' le cente de masse est indépendant de l oigine (et l oigine n a même pas besoin d ête un point du éféentiel) Les positions et les quantités de mouvement p m v des points matéiels du sstème pa appot au CM (i.e. dans le éféentiel du CM) satisfont à: 0 où m m m v 0 où v d S, 10 janvie v v La somme des quantités de mouvement pa appot au cente de masse est nulle z u tableau Moment cinétique pa appot à un point quelconque Le moment cinétique L est défini pa appot à un point du éféentiel lié au laboatoie. Si on choisit un aute point de éféence quelconque (au epos ou en mouvement pa appot au éféentiel du laboatoie): L dl M m v ( + )m m v + 1 m v d L L, M Si et seulement si v // v, en paticulie si ou v 0 ( est un point du éféentiel): M v M v L L +M d L + d M v ( ) +F v M +F F +F ( + )F F Théoème du tansfet S, 10 janvie v v Théoème du moment cinétique pa appot à un point quelconque dl M M, v M

5 u tableau Moment cinétique pa appot à un point quelconque (suite) Soit un point quelconque (qui peut ête en mouvement): L m v ( + )m v + ( )m v + m v +m v + m v + m v L 43 L M v + L moment cinétique du cente de masse pa appot à Théoème de König 1 Cas paticulie où : L L Le moment cinétique total d un sstème pa appot à est égal au moment cinétique du CM (comme point matéiel) pa appot à plus le moment cinétique du sstème pa appot au CM. Ce denie peut ête évalué indifféemment dans le éféentiel du laboatoie ou celui du CM. ( v ) S, 10 janvie Cops solide indéfomable Définition: solide indéfomable sstème de points matéiels qui sont fies les uns pa appot au autes Remaques: Tous les cops solides éels se défoment sous l effet des foces appliquées; le solide indéfomable est un modèle mathématique (bonne appoimation si les défomations sont petites pa appot au dimensions du solide). Le nombe N de points matéiels peut ête tès gand (N); on emplace alos les sommes su ces N points pa des intégales. a eemple, pou le cente de masse: 1 M 1 M osition du solide: 6 coodonnées indépendantes; m dm( ) 1 M solide pa eemple, on epèe 3 points non colinéaies du solide: 3 cood. pou le point 1 2 cood. pou le point 2 (à une distance fie du pemie) 1 cood. pou le point 3 (à des distances fies des deu pemies) 0 cood. pou tous les autes points (fies pa appot au tois pemies) S, 10 janvie volume du solide ( ) d 3 z

6 Vitesse et accéléation d un point du solide Repèe lié au éféentiel e 1 e 2 e 3 Repèe lié au solide ( point quelconque du solide) Tous les points du solide sont immobiles dans ce epèe ou tout vecteu immobile dans ce epèe on a: d d dˆ ( i ˆ ) i i i { i ˆ i fomule de oisson ˆ ou tout point du solide: v d d ( +) v + d v + a d v d ( v + ) a + + i solide vitesse instantanée de otation du epèe e 1 e 2 e 3, donc du solide ( ) avec indépendant de, de et du choi du epèe e 1 e 2 e 3 S, 10 janvie ˆ 3 ˆ 1 ˆ 2 ˆ e 1 ˆ e 3 ˆ e 2 éféentiel Mouvement instantané d un solide Soit un point quelconque du solide: v v + solide où vitesse instantanée de otation du solide Le mouvement instantané du solide est l un des quate suivants: 0 et v 0 v 0 solide au epos 0 et v 0 v v 0 solide en tanslation 0 et v 0 v 0 solide en otation (ae // ) 0 et v 0 v 0 solide en mvt hélicoïdal (otation d'ae // + tanslation // ) Si 0, un point C su l ae instantané de otation est donné pa: v C 2 En effet : v C v + C v + ˆ ( ˆ v ) v + ( ˆ v )ˆ ( ˆ ˆ ) v ( ˆ v )ˆ 0 si solide en otation v C v C solide // si solide en mvt hélicoïdal v C +v C ˆ solide S, 10 janvie