Exercice I : ancien théorème, nouvelle démonstration

Transcription

1 Seconde 1 Devoir maison n 6 A remettre le : jeudi 10/0/011 Exercice I : ancien théorème, nouvelle démonstration Soient A(-;0), B(4;6) et C(7;-) points du plan. a) b) Calculons les coordonnées du point M telles que : AM= 1 AB. Pour déterminer les coordonnées du point M tel que : 1-On calcule les coordonnées de 1 AB AM= 1 AB, on procède en étapes. -On exprime les coordonnées de AM en fonction de celles du point M -On utilise la propriété suivante : deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales. 1-On calcule les coordonnées de 1 AB Propriété : Soient deux points du plan A x A ; y A et Bx B ; y B, alors on a : AB x B x A ; y B On en déduit les coordonnées du vecteur AB : AB4 ;6 0= AB4 ;6= AB6 ;6 Et par définition, le vecteur k ux ; y a pour coordonnées kx ; ky. On en déduit que les coordonnées de 1 AB sont : 1 AB 1 6 ; 1 6= 1 AB ; -On exprime les coordonnées de AM en fonction de celles du point M x M ; y M AM x M x A ; y M = AM x M ; y M 0= AM x M ; y M -On égale les coordonnées des vecteurs. 1/6

2 Seconde 1 Devoir maison n 6 A remettre le : jeudi 10/0/011 Propriété : deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales. Les coordonnées de M vérifient : x M = et y M = Et on obtient : x M =0et y M =. Le point M tel que : AM= 1 AB a pour coordonnées (0;) Définition : Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires s'il existe un réel k tel que : u=k v On a AM= 1 AB donc les vecteurs AM et AB sont colinéaires. Propriété : Les points A,B et M sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et colinéaires. AM sont AM et AB sont colinéaires, donc on en déduit que : Les point A,B et M sont alignés. c) On adopte exactement la même démarche qu'au b) AC x C x A ; y C On en déduit les coordonnées du vecteur AC : AC7 ; 0= AC 7 ; = AC9; Et: 1 AC 1 9; 1 =1 AC; 1 AN x N x A ; y N = AN x N ; y N 0= ANx N ; y N On cherche N tel que : AN= 1 AC. Propriété : deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales. x N = y N = 1 Et on obtient : x N =1 et y N = 1 Le point N tel que : AN= 1 AC est N(1;-1) /6

3 Seconde 1 Devoir maison n 6 A remettre le : jeudi 10/0/011 Propriété : Les points A,C et N sont alignés si et seulement si les vecteurs AC et colinéaires. AN sont AN et AC sont colinéaires, donc : On en déduit que les point A,C et N sont alignés. d) Pour démontrer que deux vecteurs sont égaux, on peut calculer leurs coordonnées et montrer qu'elles sont égales. Calculons les coordonnées du vecteur MN : MN x N x M ; y N y M = MN1 0; 1 = MN 1 ; BC7 4 ; 6= BC; 9 1 et : BC 1 ; 1 9 et 1 BC a pour coordonnées (1;-) MN= 1 BC MN et 1 BC ont les même coordonnées. Ils sont égaux. On a démontré que: Propriété : Soient A,B,C et D, 4 points distincts du plan. les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires. MN et BC sont colinéaires. On en déduit que : Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. e) On a : AM AB = AN AC = MN BC = 1. Et on a démontré que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. C'est le théorème de Thalès qu'on a démontré dans un cas particulier. Remarque : il faut faire très attention au vocabulaire employé. Le terme «colinéaires» s'emploie pour des vecteurs, «parallèles» pour des droites, et «alignés» pour des points. f) Soient A,B et C trois points du plan et k un réel non nul. Soient M et N les points tels que : AM=k AB et AN=k AC. Démontrons que MN=k BC : MN= MA AN d'après la relation de Chasles. AM=k AB MA=k BA. Et AN=k AC d'où: MN=k BAk AC=k BAAC=k BC. Donc MN=k BC Et on en déduit que les droites (MN) et (BC) sont parallèles. On a démontré le théorème de Thalès dans le cas général. /6

4 Seconde 1 Devoir maison n 6 A remettre le : jeudi 10/0/011 Exercice II a)on a : A(-1;4),B(-;-) et C(7;-). Les coordonnées du milieu d'un segment sont données par les formules : x I = x A x B et y I = y A y B D'où: x I = 1 = 4 = et y I = 4 = =1 On en déduit que le point I a pour coordonnées (-;1) x J = x x B C x J = 7 et y J = y y C A D'où: = 4 = et y J = = 4 = On en déduit que le point J a pour coordonnées (;-) x K = x C x A et y K = y C y A D'où: x K = 7 1 = 6 = et y K = 4 = =1 On en déduit que le point K a pour coordonnées (;1) b) Calculons les coordonnées du point G pour que : GA GB GC=0 Soit G(x;y), on a : 4/6

5 Seconde 1 Devoir maison n 6 A remettre le : jeudi 10/0/011 vecgax x A ;y y A ) ; GBx x B ; y y B et GCx x C ;y y C. GA GB GC a pour coordonnées x x A x x B x x C ; y y A y y B y y C. Et: GA GB GC a pour coordonnées x x A x B x C ;y y A y B y C. De la relation GA GB GC=0 on en déduit que : x x A x B x C =0 x= x Ax B x C Et x= 1 7 G a pour coordonnées (1;0) = =1 et y= 4 =0 et de même : y= y A y B y C c)en utilisant la relation de Chasles GB GC= GI IB GI IC= GI IB IC. Et I milieu de [BC] implique : IB IC=0. On en déduit que : GB GC= GJ d) GA GB GC=0 GA GJ=0 GA GA AJ=0 GA GA AJ=0 GA AJ=0 AG JA=0 AG= AJ AG= AJ Donc : AG= AJ On montrerait de même que GA GB= GI et en utilisant GA GB GC=0 on trouverait CG= CI. et on montrerait que GA GC= GK puis on obtiendrait que BG= BK e) Des relations AG= AJ, BG= BK et CG= CI on en déduit que les points A,G et J sont alignés de même que les points B,G et K et les points C,G et I. f) Le point G appartient donc aux segment [AJ], [BK] et [CI] qui sont les médianes du triangle ABC. On a démontré que : Dans un triangle les médianes sont concourantes. Leur point d'intersection est le centre de gravité du triangle appelé aussi l'isobarycentre. Pour aller plus loin : en première on définira le barycentre G de trois points pondérés (A;a); (B,b) et (C,c) où a,b et c sont réels tels que abc 0 comme étant l'unique point G tel que: a GAb GBc GC=0 De même on trouvera: x G = a x Ab x B c x C abc et y G = a y Ab y B c y C abc Le centre de gravité est un cas particulier où a=b=c=1. Les points sont affectés du même coefficient, d'où le nom d'isobarycentre. 5/6

6 Seconde 1 Devoir maison n 6 A remettre le : jeudi 10/0/011 Exercice 98 page 16 Pour montrer que les droites (AP) et (BC) sont parallèles, on démontre que les vecteurs AP et BC sont colinéaires. AM AN= APPM AP PN= AP MP NP Et MP NP=0 car P est le milieu de [MN] et AM AN= AP AP= 1 AM AN Or AM= BJ car AMJB est un parallélogramme et un parallélogramme. D'où : AP= 1 BJ IC= 1 BIIJ IC= 1 BI ICIJ AP= 1 BCIJ et IJ= 1 BC Donc : AP= 1 BC 1 BC= 1 BC AN= IC car ANCI est Et AP= 4 BC Donc les vecteurs AP et BC sont colinéaires et : Les droites (AP) et (BC) sont parallèles. Exercice III : numération en base 16 Dans l'énoncé, on précise qu'un nombre de plusieurs caractères ne peut commencer par zéro. Le premier caractère peut donc être 1,,...F, soit 15 choix possibles. Pour le deuxième caractère on a 16 choix possibles soit un total de 15 16=40 choix possibles. Il y a 40 nombres de caractères en base 16. a-probabilité de E 1 «Le nombre ne contient aucune lettre». Pour le premier caractère, on peut avoir 1,...9, soit 9 choix et pour le deuxième : 0,1;...9 soit 10 choix; soit un total de 9 10=90. On en en situation d'équiprobabilité : nombre de casfavorables PE 1 = nombre decas possible = = 9 4 = 8 =0,75 PE 1 =0,75 Le nombre commence par 1, pour le deuxième caractère on a 16 choix possibles. Donc : PE = = ,07 b- L'évènement E 1 E est «Le nombre commence par 1 et n'a que des chiffres». Soit PE 1 E = = 1 4 0,04 c- PE 1 E =PE 1 PE P E 1 E = = = = 5 PE 1 E = 5 d- L'évènement «Le nombre contient au moins une lettre est l'évènement contraire de» «Le nombre ne contient aucune lettre» P=1 PE 1 =1 8 = 8 8 = 5 8 P=5 8 e-l'évènement «Le nombre est formé de deux caractères différents» est le contraire de «Le nombre des formé des même caractères» On a les possibilités suivantes 11;;...FF soit 15 choix. P= = 5 40 =15 16 P= /6