LOI BINOMIALE : EXERCICES. Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules blanches. On tire une boule au hasard et on regarde si elle est rouge.

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1 LOI BINOMIALE : EXERIES 1 2 Une urne contient boules rouges et 3 boules blanches. On tire une boule au hasard et on regarde si elle est rouge. 1) Expliquer pourquoi cette expérience est une expérience de Bernoulli. Préciser quel en est le succès et sa probabilité. 2) alculer l espérance de la loi de Bernoulli associée. On lance 3 fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de «piles» obtenus. 1) Montrer que la loi de X est une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2) Donner les valeurs de P(X = k) dans un tableau. 3) Quelle est la probabilité d obtenir 3 fois «pile»? 4) La probabilité de n obtenir aucun «pile»? ) La probabilité d obtenir 2 «faces»? 3 On lance fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de «piles» obtenus. 1) Montrer que la loi de X est une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2) Donner les valeurs de P(X = k) dans un tableau. 3) Quelle est la probabilité d obtenir 4 fois «pile»? 4) Quelle est la probabilité de n obtenir aucun «pile»? ) Quelle est la probabilité d obtenir 2 «faces»? 4 Une chaine de supermarché vend des sacs à ses clients pour le transport de leurs achats. On suppose que la probabilité qu un sac soit défectueux est 0,03. Les sacs sont livrés par lots de 10 et leurs défectuosités sont supposées indépendantes. X est la variable aléatoire qui compte le nombre de sacs défectueux dans un lot de 10. 1) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2) alculer la probabilité pour que dans un lot de 10 sacs 2 au maximum soient défectueux. Donner le résultat à 10-2 près. 3) alculer l espérance de la variable aléatoire X. A la sortie d une chaine de fabrication, on a constaté que 2% des pièces fabriquées sont défectueuses. On considère un lot de 20 pièces prises au hasard de manière indépendantes. Soit X la variable aléatoire qui à un lot de 20 pièces associe le nombre de pièces défectueuses. On arrondira les résultats au millième. 1) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2) Quelle est la probabilité pour que dans un lot, 3 pièces exactement soient défectueuses? 3) Quelle est la probabilité pour que 3 au moins soient défectueuses dans ce lot? 4) Quelle est la probabilité pour qu une pièce au plus soit défectueuse? 6 Dix composants électroniques identiques sont mis en service simultanément. La probabilité pour que l'un quelconque de ces composants soit encore en service au bout d'un an est 0,8. 1) Quelle est la probabilité pour qu'il y ait encore 7 composants en fonctionnement au bout d'un an? 2) au moins 7? 7 8 Dans une entreprise, un quart du personnel a suivi un stage de formation. On choisit au hasard 10 personnes de cette entreprise et on suppose que l effectif est suffisamment important pour que ce choix soit assimilable à un tirage avec remise. alculer la probabilité, à 10-4 près, que 4 personnes choisies aient suivi un stage de formation. Un QM (questionnaire à choix multiples) comporte cinq questions indépendantes et, pour chaque question, quatre réponses sont proposées dont une seule est exacte. Un élève répond au hasard à ce QM. On nomme X la variable aléatoire comptant le nombre de réponses exactes obtenues par cet élève. 1) Donner la loi de probabilité de X ainsi que son espérance mathématique. 2) alculer la probabilité que cet élève obtienne exactement deux réponses exactes. 3) alculer la probabilité que cet élève obtienne au moins quatre réponses exactes. FRLT Page 1 27/0/2017

2 LOI BINOMIALE : EXERIES 9 Un atelier met en peinture une série d objets identiques. On estime que la probabilité p pour qu un objet présente un défaut de peinture à sa sortie de l atelier est égale à 2. On prélève 3 objets sur cette production. On considère que le nombre d objets est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On compte le nombre d objets, parmi ceux qui sont prélevés, présentant un défaut. 1) Expliquer pourquoi la loi de probabilité du nombre d objets présentant un défaut de peinture est une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2) alculer l espérance de cette loi. 3) alculer la probabilité, arrondie au millième, d obtenir exactement 2 objets présentant un défaut de peinture. 4) alculer la probabilité, arrondie au millième, d obtenir au moins un objet présentant un défaut de peinture. ) alculer la probabilité, arrondie au millième, d obtenir exactement au maximum un objet présentant un défaut de peinture On lance une pièce de monnaie équilibrée 10 fois de suite. alculer la probabilité d obtenir exactement 6 fois piles. On choisit une carte au hasard dans un jeu de 2 cartes. 1) Quelle est la probabilité de tirer un cœur? 2) On répète n fois cette expérience avec remise dans le jeu après chaque tirage. Préciser la loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre des cœurs obtenus au cours des n tirages. 3) Déterminer n pour que la probabilité de tirer au moins un cœur au cours de ces n tirages soit au moins égale à 0,. On lance deux dés équilibrés. 1) Quelle est la probabilité d obtenir un double six? 2) On lance ces deux dés 1 fois de suite. Quelle est la probabilité d obtenir au moins trois fois un double six? 3) Quelle est la probabilité d obtenir au moins trois fois un double quelconque? Une roue de loterie comporte 10 numéros de 0 à 9. Tous les numéros ont la même probabilité de «sortir». On joue le n 7 dix fois de suite : X désigne le nombre de fois où le 7 sort. 1) Quelles valeurs peuvent prendre X? Quelle est la loi de X? 2) Quelle est la valeur la plus probable? 3) alculer E(X) et V(X). 14 Une machine produit des pièces dont % sont défectueuses. Soit X la variable aléatoire associant à chaque échantillon de 30 pièces le nombre de pièces défectueuses de cet échantillon. 1) Quelle est la loi de probabilité de X? 2) alculer la probabilité que l échantillon ne comporte aucune pièce défectueuse. 3) alculer la probabilité que toutes les pièces soient défectueuses. 4) alculer la probabilité que l échantillon comporte au plus deux pièces défectueuses. 1 Un joueur participe à un jeu défini de la façon suivante : on lance 3 pièces de monnaies simultanément. - on gagne 10 s il apparaît 3 faces - on gagne 7 s il apparaît 2 faces - on gagne 3 s il apparaît 1 face - on perd 30 s il n apparaît que des cotés piles On suppose que les pièces de monnaies sont bien équilibrées. On désigne par X la variable aléatoire représentant le résultat obtenu. 1) Etablir la loi de probabilité de X. 2) Déterminer la probabilité d obtenir un résultat strictement inférieur à 7 3) Déterminer la probabilité d obtenir un résultat strictement supérieur à 4. 4) alculer l espérance de X. ) e jeu est-il équitable, favorable ou défavorable pour le joueur? 6) ombien le joueur devrait-il perdre lorsqu il n obtient que des piles pour que le jeu lui soit équitable? 16 Une compagnie bancaire propose des placements sous forme de produits financiers. La banque constate que le produit de type A a intéressé 10% de sa clientèle par le passé. Un sondage est effectué auprès d un échantillon de 10 clients. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de clients dans l échantillon ayant choisi le produit A. 1) Préciser la loi de probabilité de X. Justifier. Donner les valeurs de ses paramètres. 2) alculer la probabilité, arrondie au centième, qu au moins deux clients de l échantillon aient choisi le produit A. 3) alculer la probabilité, arrondie au centième, que moins de clients de l échantillon aient choisi le produit A. FRLT Page 2 27/0/2017

3 LOI BINOMIALE : EXERIES 17 Un service après-vente dispose d'équipes de dépannage qui interviennent auprès de la clientèle sur appel téléphonique. Les appels se produisent de façon indépendante, et la probabilité qu'un retard se produise dans le dépannage à la suite d'un appel est p = 0,2. 1) Un même client a appelé le service à 8 dates différentes. Soit X le nombre de retards que ce client a subi. Définir la loi de probabilité de X. alculer E(X) et V(X). 2) alculer (à 0,01 près au plus proche) les probabilités de l évènement : «le client a subi au moins un retard» 3) alculer la probabilité de l évènement : «le client a subi moins de 4 retards» 4) On considère un ensemble de 8 clients différents. 2 d'entre eux sont mécontents parce qu'ils ont subi un retard. On contacte 4 clients parmi les 8. Soit M le nombre de clients mécontents parmi les 4 contactés. Définir la loi de M. La donner explicitement. alculer E(M). 18 Un jeu de 32 cartes est truqué : on a remplacé une carte autre que l'as de pique par un deuxième as de pique. On tire au hasard une main de n cartes, n < 32. 1) Quelle est la probabilité de déceler la supercherie? 2) On suppose n = 4 et on renouvelle l'expérience consistant à tirer 4 cartes du jeu (en remettant les 4 cartes tirées à chaque fois). Quel est le nombre minimum d'expériences à réaliser pour que la supercherie soit découverte avec une probabilité au moins égale à 0,9? 19 Un fournisseur livre deux catégories de câbles 1 et 2. Dans chaque livraison, figurent 20 % de câbles 1 et 80 % de câbles 2. On prélève au hasard 4 câbles dans une livraison de 1000 câbles. 1) Préciser la probabilité de l évènement E : «les 4 câbles sont de type 1» 2) Préciser la probabilité de l évènement F : «1 câble est de type 1 et 3 câbles sont de type 2.» 3) Préciser la probabilité de l évènement G : «au moins un câble est de type 1» 20 Un atelier met en peinture une série d objets identiques. On estime que la probabilité p pour qu un objet présente un défaut de peinture à sa sortie de l atelier est égale à On prélève 4 objets sur cette production. On considère que le nombre d objets est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On compte le nombre d objets, parmi ceux qui sont prélevés, présentant un défaut. 1) Expliquer pourquoi la loi de probabilité du nombre d objets présentant un défaut de peinture est une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2) alculer l espérance de cette loi. 3) alculer la probabilité, arrondie au millième, d obtenir exactement 3 objets présentant un défaut de peinture. 4) alculer la probabilité, arrondie au millième, d obtenir au moins un objet présentant un défaut de peinture. ) alculer la probabilité, arrondie au millième, d obtenir exactement au maximum un objet présentant un défaut de peinture Une maladie est apparue dans le cheptel bovin d un pays. Elle touche 0, % de cheptel. 1) On choisit au hasard un animal dans le cheptel. Quelle est la probabilité qu il soit malade? 2) On choisit successivement et au hasard 10 animaux. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre d animaux malades parmi eux. Montrer que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. alculer son espérance mathématique. 3) On désigne par A l évènement «aucun animal n est malade parmi les 10». On désigne par B l évènement «au moins un animal est malade parmi les 10». alculer les probabilités de A et B. Soit X la variable la variable aléatoire associant à une pièce choisie au hasard dans la production son poids. On suppose que X est une variable aléatoire discrète de loi : Poids Probabilité ) alculer à 10-2 près l espérance et l écart-type de X. 2) On prélève au hasard et avec remise 10 pièces dans la production. Soit Y la variable aléatoire qui à chaque prélèvement associe le nombre de pièces de 320g. a) Déterminer la loi de Y ainsi que son espérance et sa variance. b) alculer la probabilité qu au moins une pièce ait un poids de 320 g. c) Quelle est la valeur minimale du nombre de pièces à prélever dans la production pour que la probabilité d obtenir au moins une pièce de 320 g soit supérieure à 0,90. FRLT Page 3 27/0/2017

4 LOI BINOMIALE : EXERIES 23 Un démarcheur propose des appareils ménagers à domicile. Des études statistiques ont montré que la probabilité qu un client passe commande est 0,07. Il visite 10 clients par jour. 1) Soit X la variable aléatoire égale au nombre d appareils ménagers vendus en une journée : déterminer la loi de X. 2) alculer E(X) 3) Un appareil ménager coûte 800. Le vendeur reçoit une commission de 10 % pour chaque appareil vendu. Ses frais journaliers s élèvent à 2. Soit Y la variables aléatoire égale à son gain journalier. Déterminer la loi de Y et E(Y). 24 Une enquête statistique dans un magasin a montré que : - 10 % des personnes achètent une table - 8 % des personnes achètent une table et un lot de chaises. - 9 % des personnes achètent uniquement un lot de chaises On note T l évènement «la personne achète une table» et l évènement «la personne achète un lot de chaise». Les résultats seront arrondis au centième près. 1) Une personne entre dans le magasin. Déterminer la probabilité que la personne achète un lot de chaises. 2) Une personne entre dans le magasin. Déterminer la probabilité que la personne n achète rien. 3) Quatre personnes entrent successivement dans le magasin. On suppose que leurs achats s effectuent de manière indépendante les uns des autres. On note X la variable aléatoire égale au nombre de lots de chaises achetés. a) Quelles sont les valeurs prises par X? b) Quelle est la loi de X? c) alculer la probabilité qu une personne exactement achète un lot de chaises. d) alculer la probabilité qu au plus deux personnes achètent un lot de chaises. e) alculer la probabilité qu au moins une personne achète un lot de chaises. 4) A la fin de la journée, le directeur du magasin constate qu il a réalisé en moyenne un bénéfice de 6.70 par personne entrant dans le magasin. On sait que le directeur a fait un bénéfice de 0 par table vendue et 10 par lot de chaises. On note B la variable aléatoire égale au bénéfice réalisé par le directeur du magasin. a) alculer P(B = 60). b) ompléter le tableau ci-dessous : b 0 0 i P(B = b i ) c) alculer l espérance de B. Le directeur a-t-il raison? 2 Dans une entreprise spécialisée dans la fabrication de tables et salons de jardins en bois, on effectue une étude afin d améliorer la rentabilité. La fabrication d une table nécessite 12 planches. La probabilité qu une planche présente un nœud dans le bois, ce qui fragilise le bois, est de Une table est mise en vente au tarif normal si elle possède au plus une planche fragile. Elle n est pas mise en vente si elle possède strictement plus de 3 planches fragiles. Elle est vendue en promotion dans les autres cas. 1) On note X la variable aléatoire donnant le nombre de planche fragile par table à la sortie de la fabrication. a) alculer la probabilité qu une table soit vendue au prix normal. b) alculer la probabilité qu elle soit vendue en promotion. c) Donner l espérance de X. 2) On suppose qu une table est vendue au tarif normal. La promotion est une remise de 20 %. Soit Y la variable aléatoire donnant la recette de l entreprise par table vendue. a) Donner la loi de Y. b) alculer l espérance de Y. FRLT Page 4 27/0/2017

5 LOI BINOMIALE : EXERIES ORRIGE : 1 1) Soit X est la variable aléatoire qui au tirage d une boule de l urne associe la couleur de cette boule. X ne peut prendre que deux valeurs : rouge ou blanche. La probabilité d un succès est la probabilité que cette boule soit rouge, soit 8 2) Espérance = 8 2 1) Le lancer d une pièce de monnaie est une expérience a deux issues (pile et face). Il s agit d une expérience de Bernoulli de probabilité de succès égale à 0,. On répète cette expérience 3 fois de manières indépendantes. Si X est la variable aléatoire qui aux 3 lancers associe le nombre de piles obtenus, alors X suit une loi binomiale de paramètres n = 3 et p = 0, 2) Donner les valeurs de P(X = k) dans un tableau. k P(X=k) ) Quelle est la probabilité d obtenir 3 fois «pile»? ) La probabilité de n obtenir aucun «pile»? 0.12 ) La probabilité d obtenir 2 «faces»? ) Le lancer d une pièce de monnaie est une expérience a deux issues (pile et face). Il s agit d une expérience de Bernoulli de probabilité de succès égale à 0,. On répète cette expérience fois de manières indépendantes. Si X est la variable aléatoire qui aux lancers associe le nombre de piles obtenus, alors X suit une loi binomiale de paramètres n = et p = 0, 2) Donner les valeurs de P(X=k) dans un tableau. k P(X=k) ) Quelle est la probabilité d obtenir 4 fois «pile»? Obtenir 4 piles : ) Quelle est la probabilité de n obtenir aucun «pile»? Obtenir aucun pile : ) Quelle est la probabilité d obtenir 2 «faces»? Obtenir 2 faces = obtenir 3 piles : ) X suit une loi binomiale de paramètre n = 10 et p = 0,03 2) P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = x0.03x X0.03²x = ) E(X) = np = 0.3 1) Le tirage d une pièce au hasard et vérifier si elle est défectueuse est un schéma de Bernoulli de paramètre p = On répète cette expérience 20 fois de façon indépendantes et avec remise. Si X est la variable aléatoire qui à un tirage de 20 pièces associe le nombre de pièces défectueuses, alors X suit une loi binomiale de paramètres n = 20 et p = ) P(X = 3) = 0.02 (1 0.02) ) P(X 3) = 1 P(X 2) ) P(X 1) = 1 P(X = 0) ) ) P(X = 4) = ) X suit une loi binomiale de paramètres n =, p = 0.2. E = np = 1. 2) P(X = 2) = ) P(X 4) = P(X = 4) + P(X = ) = = ) X suit une loi binomiale de paramètres n = 3 et p = 0.4 2) E = 1.2 3) P(X = 2) = ) P(X 1) = 1 P(X = 0) = ) P(X 1) = ) 0.2 2) X suit une loi binomiale de paramètres n et p = 0.2 3) P(X 1) 0. 1 P(X = 0) 0. P(X = 0) n = 0.62 et0.7 = ; donc à partir de n = 3. FRLT Page 27/0/2017

6 LOI BINOMIALE : EXERIES 12 1) 1/36 2) Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre de double 6 lors de 1 lancers de deux dés. X suit une loi binomiale de paramètres n = 1 et p = 1/36. P(X = 3) = ) Soit Y la variable aléatoire qui donne le nombre de double quelconque lors de 1 lancers de deux dés. Y suit une loi binomiale de paramètres n = 1 et p = 1/6. P(Y 3) = 1 P(Y 2) = ) X peut prendre toutes les valeurs entières comprises entre 0 et 10. X suit une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = ) Quelle est la valeur la plus probable? k P(X=k) (X = 1) est l évènement le plus probable. 3) E(X) = np = 1 et V(X) = np(1 p) = ) X suit une loi binomiale de paramètres n = 30 et p = ) P(X = 0) = ) P(X = 30) = 0 4) P(X 2) ) X suit une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = ) P(X 2) ) P(X 4) ) E(X) = 0.2 x 8 = 2 ; V(X) = 8 x 0.2 x 0.7 = 1. 2) P(X 1) = 1 P(X = 0) = ) P(X < 4) = ) ) P (E) = ) P (F) = ) P (G) = ) p = ) E = ) P(A) = 0.99 ; P(B) = ) E = ; V = ; σ = ) a) Y suit une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = E(Y) = 0.6 ; V(Y) = b) P(Y 1) = 1 P(Y = 0) c) n P(Y 1) or 0.94 n et Donc à partir de 38 pièces, la probabilité d obtenir au moins une pièce de 320 g est supérieure à ) X suit une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = ) E(X) = 0.7 3) Loi de Y : Nombre d appareils Vendus y i FRLT Page 6 27/0/ P(Y= y i ) E(Y) = 80.E(X) 2 = ) On note X la variable aléatoire donnant le nombre de planche fragile par table à la sortie de la fabrication. a) P(X = 0) + P(X = 1) = 0.92 b) P(X = 2) = 0.07 c) E(X) = ) 38

7 LOI BINOMIALE : EXERIES a) Loi de Y : b) E(Y) = y i P(Y= y i ) FRLT Page 7 27/0/2017