Remarques Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs. Par définition, un vecteur directeur n est jamais nul.

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1 Vecteurs (II) 1 Produit d un vecteur par un nombre réel 1.1 Vecteurs colinéaires Définition : Soit u et v deux vecteurs. On dit que ces vecteurs sont colinéaires si l on se trouve dans l un des cas suivants : u = 0 ou v = 0. u 0 et v 0 et u et v ont la même direction. Le vecteur 0 est colinéaire à tout autre vecteur : c est le seul qui possède cette propriété. Exercice 1. Représenter ci-dessous deux vecteurs a et b non nuls colinéaires de même sens, puis un vecteur non nul c colinéaire à a mais de sens contraire. Exercice. Les implications suivantes sont-elle vraies ou fausses? 1. Si u et v sont égaux, alors u et v sont colinéaires.. Si deux vecteurs ont la même norme, alors ces vecteurs sont colinéaires. 3. Si pour tout vecteur u, v est colinéaire à u, alors v est le vecteur nul. 4. Si deux vecteurs sont opposés, alors ils sont colinéaires. 5. Si deux vecteurs sont colinéaires, alors ils sont égaux. Traduction de quelques situations géométriques à l aide de la colinéarité : 1. Soit A un point du plan et u un vecteur non nul : il existe une unique droite d passant par A et ayant la même direction que u. On dit que c est LA droite passant par A et dirigée par le vecteur u et que u est UN vecteur directeur de d. En particulier, si B est un point distinct de A, la droite (AB) est dirigée par le vecteur Les points A, B et C sont alignés si, et seulement si, les vecteurs et sont Le point M appartient à la droite passant par A et dirigée par u si, et seulement si, les vecteurs et sont La droite d dirigée par un vecteur u est parallèle à la droite d dirigée par un vecteur u si, et seulement si, les vecteurs et..... sont..... En particulier, les droites (AB) et (CD) (avec A B et C D) sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs et sont Une droite possède une infinité de vecteurs directeurs. Par définition, un vecteur directeur n est jamais nul. de 5 Vecteurs et repères Page 1/6

2 Exercice 3. Sur la figure ci-dessous, tracer la droite passant par C et dirigée par le vecteur s. s C 1. Produit d un vecteur par un réel Exercice 4. Sur le schéma ci-dessous, représenter le vecteur v tel que u et v soient colinéaires, de même sens et tels que v = 3 u. Représenter ensuite le vecteur w, colinéaire à u, de sens contraire, et tel que w = u. u Définition : Soit u un vecteur et k R. Le produit du réel k par le vecteur u est LE vecteur noté k u et défini comme suit : Si u = 0 ou k = 0, alors k u =..... Si u 0 et k 0, alors : (a) k u et u sont colinéaires ; (b) k u et u sont de même sens si k > 0 et de sens contraire si k < 0 ; (c) k u = k u. La multiplication d un vecteur par un réel est prioritaire sur l addition et la soustraction de deux vecteurs. Il faudra donc pour modifier cette propriété pensant à l utilisation de parenthèses. Par exemple, 1. Pour représenter le vecteur w égal à u + v, on représente d abord le vecteur u puis on ajoute au résultat le vecteur v.. Pour représenter le vecteur x égal à ( u + v ), on cherche d abord la somme u + v puis on multiplie cette somme par deux. Les vecteurs u et k u sont colinéaires, quels que soient k et u. Plus précisément : Propriétés : Deux vecteurs non nuls u et u sont colinéaires si, et seulement si, l un est le produit de l autre par un réel. de 5 Vecteurs et repères Page /6

3 Exercice 5. Soient e et f deux vecteurs tels que e = 3 f. Montrer que e et f sont colinéaires. On suppose que la norme de f vaut 6. Que vaut celle de e? Exercice 6. Représenter sur le schéma ci-dessous les vecteurs u = 3 i ; v = 3 i + j ; w = i +4 j. j i Propriétés : Soient u et v deux vecteurs ; k et l deux nombres réels. (a) 1 u = (b) ( 1) u = (c) u + u = (d) k( u + v ) = (e) k u + l u = Application au milieu d un segment : Soit A et B deux points du plan. Les proposition suivantes sont équivalentes : 1. I est le milieu du segment [AB]. AI = AB 3. pour tout point M du plan, MI = MA + MB Exercice 7. (Théorème des milieux) Soit EFG un triangle quelconque ; I est le milieu de [EF] et J est le milieu de [EG]. Prouver que IJ = 1 FG. de 5 Vecteurs et repères Page 3/6

4 Repères du plan.1 Généralités On considère dans le plan trois points non alignés O, I et J ; les droites (OI) et (OJ) se coupent donc en O. Prenons sur la droite (OI) la longueur OI comme unité : on obtient un axe gradué, orienté positivement de O vers I. Prenons sur la droite (OJ) la longueur OJ comme unité : on obtient un axe gradué, orienté positivement de O vers J. Bien remarquer qu il n est pas nécessaire que les distances OI et OJ soient les mêmes. Schéma : les droites représentées en pointillé constituent un réseau de droites parallèes à (OI) et à (OJ). P N J O I Q R Exercice 8. Placer sur le schéma ci-dessus le point A de l axe tel que OA = 3 OI. Placer le point B tel que OB = OJ. Placer dans le plan le point C tel que OC = 3 OI OJ. Quelle est la nature du quadrilatère OACB? Définitions : Les points non alignés O, I et J définissent un repère du plan, noté (O; I; J). O est l origine du repère. (OI) est appelé axe des abscisses ; (OJ) est appelé axe des ordonnées. Propriétés : A tout point point M du plan peut être associé un unique couple (x M ; y M ) de nombres réels, précisant sa position dans le plan, relativement au repère (O; I; J) en ce sens que OM = x MOI + ymoj. x M est l abscisse de M ; y M est l ordonnée de M. Lorsqu on écrit M(x M ; y M ), cela signifie que les coordonnées de M sont les réels x M et y M. Bien noter que les coordonnées d un point dépendent du repère dans lequel on se trouve : si on change de repère, un point change de coordonnées. de 5 Vecteurs et repères Page 4/6

5 L axe des abscisses est souvent appelé axe des x ou axe (x x); l axe des ordonnées est souvent appelé axe des y ou axe (y y). Exercice 9. Lire sur le schéma précédent les coordonnées des points P, Q, R et S. Définitions [Repères particuliers] : Soit (O; I; J) un repère du plan. Lorsque les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires, on dit que le repère est orthogonal. Lorsque les longueurs OI et OJ sont égales, on dit que le repère est normé. Lorsque les droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires et que OI = OJ, on dit que le repère est orthonormal ou orthonormé. On travaillera le plus souvent dans un repère orthogonal ou orthonormal.. Coordonnées d un vecteur On considère le repère (O; I; J) ci-dessous. J O I Exercice 10. Placer dans le repère ci-dessus le point A(; 1) et le point B( 1; 3). Pour aller de O vers A, on avance de unités selon l axe des x et on monte de 1 unité selon l axe des y. On dit que les coordonnées du vecteur ( OA sont. (On les note verticalement). 1) Quelles sont les coordonnées du vecteur OB? du vecteur AB? Représenter dans le plan le vecteur ( ) u de coordonnées. 3 Propriétés : Dans un repère (O; I; J), tout vecteur u se décompose de façon unique sous la forme : u = xoi + yoj On dit que le vecteur u a pour coordoonées. y) On trouve aussi les notations u (x; y) ou u x y. Exercice 11. On pose i = OI et j = OJ. Quelles sont les coordonnées des vecteurs i, j, i + j et i j? Autre notation pour un repère : Soit (O; I; J) un repère du plan. Les points O, I et J n étant pas alignés, les vecteurs i = OI et j = OJ ne sont pas.... Le repère (O; I; J) se note alors (O; i, j ). L axe des abscisses est la droite passant par O et dirigée par le vecteur L axe des abscisses est la droite passant par O et dirigée par le vecteur de 5 Vecteurs et repères Page 5/6

6 .3 Applications Propriétés (Vecteurs et coordonnées) : Soit u 1. u = v x = x et y = y.. u + v a pour coordonnées ( ) Quel que soit k R, k u a pour coordonnées et y) v ( ) y ) deux vecteurs. 4. Si de plus le repère (O; i, j ) est orthonormé, alors u = Propriétés (Points et coordonnées) : Soit A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) deux points du plan. 1. Si I est le milieu de [AB], alors ses coordonnées sont x I = ( )..... AB a pour coordonnées Si de plus le repère (O; i, j ) est orthonormé, alors AB = et y I = ( ) + ( ). Exercice 1. Soit dans un repère orthonormé les points A(1; ), B( 1; ) et C(5; 0). 1. Trouver les coordonnées de D tel que ABCD soit un parallélogramme.. Soit I le milieu de [AB] : déterminer les coordonnées de I. 3. Quelle est la nature du triangle ABC. Propriétés [Caractérisation de la colinéarité] : Soit u et y) v y ) deux vecteurs. u et v sont colinéaires xy yx = 0 Le réel xy yx est appelé déterminant du couple de vecteurs ( u ; v ) et se note det( u ; v ) Exercice 13. Soit L(; 1), M( 1; 3) et N(4; y). Trouver y de sorte que N (LM). de 5 Vecteurs et repères Page 6/6