Produit scalaire dans l espace.

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1 Chapitre 15 roduit scalaire dans l espace. ans tout ce chapitre, l espace est rapporté à un repère orthonormal (O; i; j; k), sauf mention du contraire. I Le produit scalaire. 1 éfinition. Si, B et C sont trois points de l espace, alors, le produit scalaire des vecteurs B et C est défini par la relation : B. C = 1 ( B +C BC ) Remarque B et C orthogonaux BC rectangle en insi, le produit scalaire sert à caractériser l orthogonalité. (c est le théorème de ythagore) B et C sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est éfinition u et v sont des vecteurs de l espace., B etc sont des points de l espace tels que : u = B ; v = C Le produit scalaire des vecteurs u et v est égal à B. C. On le note, comme dans le plan, u. v. ropriétés algébriques. Le produit scalaire est symétrique. C est à dire qu on peut inverser les lettresb etc dans la formule 1 ( B +C BC ). insi, B. C = C. B et u. v = v. u quels que soient les vecteurs u et v. u.( v + w) = v. u+ v. w. On peut faire de même avec le premier des deux vecteurs grâce à la symétrie. our tout réel k, (k u). v = k( u. v). Ce qui fait que l on peut omettre l un ou l autre de ces deux couples de parenthèses. 171

2 17 CITRE 15. ROUIT SCLIRE NS L ESCE. 3 Les distances, les normes. éfinition Remarque Notation: On note La norme du vecteur u est le nombre u. u. On note u. u = u, c est le carré scalaire. u le nombre u. u. Remarque Siet B sont des points de l espace, alors B = B. B = B 4 Expression analytique dans une repère orthonormal. ropriété Si u(x : y : z) et v(x : y : z ), alors : u. v = reuve: Comme i, j et k sont deux à deux orthogonaux, i. j = 0, et de même i. k = 0, j. k = 0. Comme les vecteurs i, j et k sont de norme 1, insi : i. i = 1 ; j. j = 1 ; k. k = 1 u. v = (x i+y j +z k).(x i+y j +z k) u. v = xx }{{} i. i +yy j. j +zz k. }{{}}{{} k =1 =1 =1 u. v = xx +yy +zz ropriété Expression analytique de la norme, de la distance dans un repère orthonormé. Si u(x : y : z), alors u = x +y +z. Si(x ;y ;z ) etb(x B ;y B ;z B ) sont des points de l espace, alors : B = B = Exercices sur le livre : faire les exercices n 4 page 353, n 5 page 354 et n 9 page 355. II Équations cartésiennes de plans de l espace. 1 lan passant par un point et orthogonal à un vecteur non nul. ropriété est un plan de l espace dirigé par deux vecteurs non colinéaires u et v. Tout vecteur n orthogonal à u et v est orthogonal à tous les vecteurs du plan. reuve: Si w est un vecteur du plan, il existe des réelsaetbtels que w = a u+b v. lors : n. w = n(a u+b v) = a }{{} n. u +b }{{} n. v =0 =0

3 II. ÉQUTIONS CRTÉSIENNES E LNS E L ESCE. 173 ans les conditions de la propriété précé- éfinition dente : n on dit que le vecteur n est orthogonal au plan ; si de plus n n est pas nul, on dit que n est un vecteur normal à. Remarque n est un vecteur non nul. est un point de l espace. Il existe un unique plan passant par le point et orthogonal au vecteur n. Équation cartésienne d un plan de l espace. Remarque n(a; b; c) est un vecteur non nul. (x ;y ;z ) est un point fixé de l espace. est le plan orthogonal à n et passant par. Soit M(x;y;z) un point de l espace. M n n M M On a ainsi obtenu une équation cartésienne du plan. Remarque On constate que les coordonnées du vecteur n sont les coefficients des variablesx, y et z. Réciproquement : soit une équation du type ax+by +cz +d = 0 où les nombres a, b et c ne sont pas tous nuls en même temps. Il existe au moins un point qui vérifie cette équation. En effet, supposons que a 0. lors le point ( da ) ;0;0 convient. Soit n(a;b;c). Ce vecteur n est pas nul. e plus, si M(x;y;z) est un point qui vérifie l équation, alors : ax + by + cz + d = 0 ax + by + cz + d = 0 (x x )a + (y y )b + (z z )c = 0 insi M n et M est un point du plan qui est orthogonal à n et qui passe par. Remarque L équation d un plan peut aussi être donnée sous la forme ax + by + cz = d. Exercices sur le livre : Faire les exercices n 47 et n 48 la page 357.

4 174 CITRE 15. ROUIT SCLIRE NS L ESCE. faire l exercice n 49 page 357. faire l exercice n 58 page 358, en remplaçant la question. par «montrer que le vecteur n(8;3;5) est un vecteur normal au plan(bc). faire le n 57 puis le n 6 page Comment connaître la position relative des deux plans? Il suffit de regarder les vecteurs normaux à chacun des deux plans. Le point de vue algébrique peut être complété par un point de vue géométrique. Si 1 a pour équationax+by+cz+d= 0, si a pour équationa x+b y+c z+d = 0, il a alors les correspondances suivantes entre position des deux plans et vecteurs normaux n 1 (a;b;c) et n (a ;b ;c ) : 1 et sont parallèles n Les vecteurs n 1 et n sont colinéaires n et sont sécants Les vecteurs n 1 et n ne sont pas colinéaires n n et sont perpendiculaires n Les vecteurs n 1 et n sont orthogonaux n 1 1

5 III. INTERSECTION UNE ROITE ET UN LN E L ESCE. 175 Exercice sur le livre : faire l exercice n 56 page Comment déterminer une représentation paramétrique dans le cas où ces plans sont sécants? On sait que les coordonnées des points d intersections de ces deux plans vérifient le système x + y + z 3 = 0 x + 3y 4z 1 = 0 On va alors déterminerxet y en fonction dez, qui servira de paramètre. x + y = 3 z x + 3y = 1 + 4z x = 8 + z On résout alors ce système, ce qui donne y = 5 z L astuce est alors de poser z = t, on obtient alors la représentation paramétrique de l intersection des deux plans : x = 8 + t y = 5 t z = t Exercice sur le livre : faire l exercice n 68 page 359. Exercice 1. Les plans et Q ont pour équations respectives : : 3x 5y +z = 0 Q : x+y +z 3 = 0 1. Montrer que ces deux plans sont perpendiculaires.. éterminer une représentation paramétrique de leur droite d intersection. exercice sur le livre : faire l exercice n 69 page 359. III Intersection d une droite et d un plan de l espace. Remarque Le plan a pour équation cartésienne 3x y + z + 4 = 0 et la droite a pour représentation paramétrique y = +t. x = 4+3t z = 3+t 3x y +z +4 = 0 x = 4+3t our étudier l intersection de et de, on résout le système : y = +t z = 3+t

6 176 CITRE 15. ROUIT SCLIRE NS L ESCE. our cela, il suffit de calculer, s il existe, un paramètre t en remplaçant dans la première équation x, y et z par leur expression en fonction det: 3(4+3t) (+t)+( 3+t)+4 = 0 9t+9 = 0 t = 1 Il ne reste plus, pour obtenir l intersection, qu a calculer le point de de paramètre -1 : x = 1 ; y = 1 ; z = 5 Le plan et la droite ont un seul point d intersection :(1;1; 5). Remarque : le point de vue algébrique peut être complété par un point de vue géométrique. vec la même méthode que celle décrite dans l exemple précédent, le plan a pour équation cartésienneax+by +cz +d = 0, x = x 0 +ta 1 la droite a pour représentation paramétrique y = y 0 +tb 1, z = z 0 +tc 1 il a alors les correspondances suivantes entre la résolution d un système et la position relative du plan et de la droite. ax+by+cz +d = 0 x = x 0 +ta 1 Le système (S) y = y 0 +tb 1 z = z 0 +tc 1 a une unique solution et sont sécants ax+by+cz +d = 0 x = x 0 +ta 1 Le système (S) y = y 0 +tb 1 z = z 0 +tc 1 a une infinité de solutions est une droite de ax+by+cz +d = 0 x = x 0 +ta 1 Le système (S) y = y 0 +tb 1 z = z 0 +tc 1 n a pas de solution et sont strictement parallèles Exercice sur le livre : faire les exercices n 65 à n 67 page 358.

7 IV. ROUIT SCLIRE ET NGLES. 177 IV roduit scalaire et angles. ropriété our B et C, si le point est la projection du point C sur la droite(b), alors : reuve: B. C = B. B. C = B.( + C) C = B. + B. }{{ C } =0 = B. B Remarque Cette propriété est intéressante car, quand,b et sont alignés, calculer leur produit scalaire est aisé : remière possibilité, est sur la demi droite[). B B. = 1 ( B + B ) B. = 1 ( B + (B ) ) B. = 1 ( B + (B B + ) ) B. = 1 ( B + B +B ) B. = B Seconde possibilité, n est pas sur la demi droite[). B B. = 1 ( B + B ) B. = 1 ( B + (B +) ) B. = 1 ( B + (B +B + ) ) B. = 1 ( B + B B ) B. = B

8 178 CITRE 15. ROUIT SCLIRE NS L ESCE. On peut alors noter que : ropriété B. C = B C cos( BC) reuve: remière possibilité, est sur la demi droite[). C B cos( BC) = C B cos( BC) = B C B. C cos( BC) = B C Seconde possibilité, n est pas sur la demi droite[). La preuve est la même, seul change cos( BC) = C C cos( BC) = C B cos( BC) = B C B. C cos( BC) = B C B Exercices sur le livre : faire les exercices n 6 à n 8 page 355. G E F I Exercice. BCEFG est un cube. donner une valeur approchée en radians à 10 1 près de l angle formé par les deux diagonales(g) et (B). B C