Thème 5 Droites de l espace

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1 Terminale S SP 1 Thème 5 roites de l espace 1. Repérage cartésien dans l espace éfinition 1 : Repère de l espace Un point O et trois vecteurs non coplanaires de l espace ı, j et k définissent un repère de l espace (O; i, j, k). éfinition : oordonnées d un vecteur Pour tout vecteur u de l espace, il existe un unique triplet de réels (x, y, z) tel que u = x ı + y j + z k. e triplet constitue les coordonnées du vecteur u dans le repère (O; i, j, k). éfinition 3 : oordonnées d un point Pour tout point M de l espace, il existe un unique triplet de réels (x, y, z) tel que OM = x ı +y j +z k. e triplet constitue les coordonnées du point M dans le repère (O; i, j, k). Toutes les formules usuelles concernant les coordonnées cartésiennes dans le plan sont aussi valables dans l espace, en ajoutant la composante z. Proposition 1 : Milieu, vecteur, distance Si et sont des points de coordonnées respectives (x (, y, z ) et (x, y, z )), alors les coordonnées du milieu du segment [] sont x +x, y +y, z +z ; les coordonnées du vecteur sont (x x, y y, z z ) ; si le repère (O; i, j, k) est orthonormé, alors = (x x ) + (y y ) + (z z ) éfinition 4 : Vecteurs colinéaires eux vecteurs u et v non nuls de l espace sont colinéaires si ils ont la même direction. Proposition : olinéarité et coordonnées Illustration : Vecteurs colinéaires eux vecteurs u(x, y, z) et v (x, y, z ) sont colinéaires si et seulement il existe un réel k tel que u = k v. utrement dit, leurs coordonnées sont proportionnelles, c est-à-dire, en supposant que toutes ces coordonnées sont non nulles, il existe un réel k tel que k = x x = y y = z z. k O u j ı v

2 . Représentations paramétriques de droites de l espace éfinition 5 : roite de l espace Soient et deux points distincts de l espace. La droite () est l ensemble des points M de l espace tels que les vecteurs M et soient colinéaires. utrement dit, un point M est sur la droite () si et seulement si il existe un réel k, éventuellement nul, tel que M = k. n traduisant cette égalité sur les coordonnées, on obtient le système : x M = x + k a y M = y + k b z M = z + k c (k R) éfinition 6 : Représentation paramétrique d une droite de l espace Le système d équations précédent est appelé représentation paramétrique de la droite. (La variable k est souvent remplacé par la variable t). Remarques : n choisissant un autre point et/ou un autre vecteur directeur, on obtient une autre représentation paramétrique de la même droite. ans le cas où la droite est définie par deux points et, on obtient sa représentation paramétrique en choisissant le vecteur comme vecteur directeur. xercice résolu 1 : onner une représentation paramétrique de la droite passant par (; 1; 0) et de vecteur directeur 5 u 4. 7 Solution : Méthode 1 (asée sur l introduction du paragraphe) : Soit M(x; y; z) un point de l espace. M il existe t tel que M = t u x 5 y + 1 = t 4 z 7 x = + 5t y = 1 + 4t z = 7t Méthode (n appliquant la définition) : La représentation paramétrique de la droite est : x = x + x u t = + 5t y = y + y t u = 1 + 4t (t R) z = z + z u t = 7t

3 3. Positions relatives de droites de l espace éfinition 7 : oplanarité de deux droites eux droites de l espace sont coplanaires si elles sont dans le même plan ; non coplanaires si il n existe aucun plan les contenant toutes les deux. Proposition 3 : Positions relatives de deux droites eux droites de l espace sont confondues si elles sont coplanaires et ont points communs ; sécantes si elles sont coplanaires et ont un unique point commun ; parallèles si elles sont coplanaires et n ont aucun point commun ; non-coplanaires sinon. Remarques : ttention!! eux droites qui n ont pas de point commun ne sont pas forcément parallèles. lles peuvent être simplement non coplanaires, comme les droites () et () sur le cube ci-dessous. Une définition équivalente pour "droites parallèles" est "droites qui ont la même direction. On peut ainsi déterminer en partie la position relative de deux droites en étudiant leur nombre de points communs. eux ou plus : les droites sont confondues. Un seul : les droites sont sécantes. ucun : coplanaires et parallèles ou non coplanaires. Illustration : ans un cube. Les droites () et () sont parallèles et donc coplanaires. Les droites ( ) et () sont sécantes et donc coplanaires. Les droites () et () sont non coplanaires. Proposition 4 : Si deux droites sont parallèles à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. Proposition 5 : roites parallèles et vecteurs directeurs eux droites de l espace sont parallèles, éventuellement confondues, si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

4 4. Orthogonalité de droites de l espace éfinition 8 : roites orthogonales Illustration : eux droites de l espace et sont dites orthogonales si il existe une parallèle à et une parallèle à sécantes perpendiculairement. i-contre, la droite () est orthogonale à () car () est parallèle à () et cette dernière est perpendiculaire à (). Remarque : ans l espace, si deux droites sont orthogonales à une même troisième, cela n implique pas qu elles sont parallèles. Par exemple, sur le cube () et () sont orthogonales à () mais ne sont pas parallèles. éfinition 9 : Produit scalaire de deux vecteurs de l espace Soient u et v deux vecteurs de l espace,,, trois points tels que = u et = v. Le produit scalaire de u et v est le nombre réel u v = u v cos(, ). Théorème 1 : Produit scalaire nul de vecteurs non nuls Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls u et v est nul si, et seulement si, ces deux vecteurs forment un angle droit, c est-à-dire si, et seulement si, ( u, v ) = π + kπ où k Z. Proposition 6 : Produit scalaire et projeté orthogonal Soient u et v deux vecteurs de l espace,, et trois points tels que u = et v =. lors, si est le projeté orthogonal du point sur la droite (), on a u v =. Théorème : Produit scalaire et coordonnées ans un repère orthonormé de l espace, le produit scalaire de deux vecteurs u(x, y, z) et v (x, y, z ) est donné par la formule u v = xx + yy + zz. Proposition 7 : roites orthogonales et vecteurs directeurs eux droites de l espace sont orthogonales, éventuellement perpendiculaires, si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

5 5. Positions relatives et équations paramétriques ajouter cas droite orthogonales et tout regrouper en un seul exo onnaissant une équation paramétrique de chacun des droites, pour déterminer leur intersection il faut chercher une valeur de t et une valeur t vérifiant les trois équations. On conclut suivant le nombre de solutions du système. xercice résolu : On considère les droites 1, et 3 d équations paramétriques respectives : x = 6 + t x = 4 + t x = 1 + t 1 : y = 1 t : y = 6 t 3 : y = 3 + 4t z = 5 t z = 1 t z = 6 + 6t éterminer la position relative des droites et les coordonnées de l éventuel point d intersection. Solution : ( ) 1 Les droites 1 et sont parallèles (les coordonnées des vecteurs directeurs 1 et 1 ( ) sont proportionnelles. Les droites 1 et 3 ne sont pas parallèles (vecteurs directeurs non colinéaires). On cherche s il existe t et t tels que 6 + t = 1 + t 1 t = 3 + 4t 5 t = 6 + 6t On exprime t en fonction de t en utilisant la première ligne et on reporte dans les deuxièmes et troisièmes lignes. t = t 5 1 (t 5) = 3 + 4t 5 (t 5) = 6 + 6t On résout chacun des deux équations t = t 5 t = 1 6 t = 7 8 Les valeurs étant différentes, le système n a pas de solution. Les droites ne sont donc pas sécantes et pas coplanaires. n opérant de même, on trouve que et 3 sont sécantes, pour le paramètre t = 1. Les coordonnées du points d intersection sont obtenus en faisant t = 1 dans l équation de 3. On a (3; 7; 0). On peut vérifier le résultat. n faisant t = 1 dans l équation de, on obtient bien la même solution.

6 Positions relatives et équations paramétriques Proposition 8 : roites orthogonales et vecteurs directeurs eux droites de l espace sont orthogonales, éventuellement perpendiculaires, si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. xercice résolu 3 : On considère les droites 4 et 5 d équations paramétriques respectives : x = + t x = 4 + 5t 1 : y = 5 t : y = 6 + t z = 4 + 3t z = 1 t Prouver que les droites sont orthogonales.faire exemple avec droite perpendicualaires et demander prouver orthogo puis perpend? Solution : ( ( Les vecteurs directeurs respectifs de 1 et sont 1 u 1 3 et 5 u 1. Le produit scalaire 1 des ces deux vecteurs vaut = 0. Le produit scalaire étant nul, les vecteurs directeurs sont orthogonaux donc les droites sont orthogonales. ) )