Electrostatique. avec Q int q i

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1 Electrostatique 1 Formulation des lois en électromagnétisme 1.1 Rappels cours première année Champ électrostatique créé par une distribution de charge Distributions de charge : distribution volumique : dq = (P) d distribution surfacique : dq = (P) ds distribution linéique : dq = (P) dl Une distribution volumique de charge, occupant le volume V, avec la densité volumique (P), crée en un point M le champ électrique (en V.m 1 ): P d u r M avec en F.m 1 Lignes de champ Ce sont les courbes orientées telles que leur tangente en chaque point, ait même direction et même sens que le champ électrique. Forme intégrale du théorème de Gauss Le flux du champ électrostatique sortant d'une surface fermée est égale à la somme algébrique des charges intérieures à divisée par 0. E.dS Q int 0 avec Q int q i (charge électrique totale à l'intérieur de ) Potentiel électrostatique créé par une distribution de charge o potentiel créé par une distribution de charge Le calcul de la circulation du champ électrique conduit à l expression du potentiel électrostatique. 1 q Potentiel créé par une charge ponctuelle : V M 4 r Potentiel créé par une distribution volumique de charges : l'intégration portant sur les coordonnées du point P qui décrit tout le volume V de la distribution. Symétrie des distributions Une distribution de charges possède un plan de symétrie ( ) si deux éléments de volume centrés en des points symétriques par rapport à ( ) contiennent la même charge. En tout point de ( ), le champ électrique est contenu dans ( ). Si M et M' sont symétriques, alors : Sciences Physiques PT Lycée Follereau BM ELECTROSTATIQUE 62 0 et V(M ) = V(M) Une distribution de charges possède un plan d'antisymétrie ( ') si deux éléments de volume centrés en des points symétriques par rapport à ( ') contiennent des charges opposées. En tout point de ( '), le champ électrique est perpendiculaire à ( '). Si M et M' sont symétriques, alors : et V(M ) = V(M) Si la distribution est invariante par translation le long d'un axe, alors et V(M) ne dépendent pas de la coordonnée de M selon cet axe. Si la distribution est invariante par rotation autour d'un axe, alors V(M) et les composantes de dans la base tournante ne dépendent pas de la coordonnée angulaire correspondante 1.2 Equations locale ou intégrale de l électrostatique Opérateur gradient o Formulation locale Relation entre le champ électrostatique et le potentiel, écrite en un point M quelconque de l espace et faisant intervenir un opérateur utilisant des dérivées partielles : l opérateur gradient.

2 Il s agit ici d une formulation locale. De façon générale, le vecteur grad f suivante : cartésiennes f f x, f y, f z f, gradient d une fonction scalaire f se calcule de la façon cylindriques f f r, 1 f r, f z sphériques f 1 f 1 f f,, r r r sin o Formulation intégrale L utilisation du gradient conduit à ou qui par intégration, donne Flux d un champ et divergence o Flux Le théorème de Gauss est une écriture de type intégrale, le flux est une intégrale de surface et la charge intérieure une intégrale de volume. o Opérateur divergence L application du théorème de Gauss à un volume élémentaire dxdydz conduit à : On définit l opérateur divergence, qui appliqué à en coordonnées cartésiennes, donne : Important : l opérateur divergence s applique à un champ vectoriel et le résultat donne un champ scalaire. o Forme locale du théorème de Gauss Les lignes de champ du champ électrostatique convergent ou divergent depuis les charges sources. o Théorème d Ostrogradski On peut généraliser le résultat précédent à n importe quel champ vectoriel. P Il permet de ramener le calcul du flux à travers une surface fermé (S) qui (V) limite un volume (V), à celui d une intégrale volumique. d M M. (S) Circulation d un champ et rotationnel o Circulation d'un champ de vecteurs : Le long d'une courbe () Sur un contour fermé, on note o Rotationnel Une formulation locale fait intervenir un opérateur agissant sur le champ vectoriel champ vectoriel : le rotationnel Il se calcule de la façon suivante : En coordonnées cartésiennes : donnant un o Théorème de Stokes Sciences Physiques PT Lycée Follereau BM ELECTROSTATIQUE 63

3 Il permet de ramener le calcul de la circulation d un champ de vecteur sur un contour orienté fermé () à celui d un flux à travers une surface (S) qui s appuie sur ce contour. o Cas du champ électrostatique La circulation du champ électrostatique sur un contour fermé est nulle, on en déduit : Le champ électrique stationnaire est à circulation conservative, il dérive d un potentiel. De façon générale, le rotationnel d un gradient est toujours nul : o Cas du champ magnétostatique - Théorème d Ampère : à partir de ce théorème et de la définition du vecteur densité de courant, on montre que - Flux conservatif du champ magnétique : Equations de Maxwell de l'électrostatique et de la magnétostatique Dans le cas d un champ électrique et d un champ magnétique stationnaires : équation de Maxwell-Gauss équation de Maxwell-Ampère Equation de Poisson De façon générale, on définit l opérateur laplacien, noté, En coordonnées cartésiennes : En remplaçant le champ par le potentiel dans l équation de Maxwell-Gauss, on obtient l équation de Poisson : 2 Conducteurs en équilibre électrostatique 2.1 Relations de passage De façon générale, la composante normale du champ électrique subit une discontinuité à la traversée d une surface, lorsque celle-ci porte une densité surfacique de charge. Par contre, les composantes tangentielles du champ électrique restent continues. Formulation vectorielle : La fonction potentiel scalaire V(M) reste continue à la traversée d une surface. 2.2 Conducteur en équilibre électrostatique Matériau conducteur Loi d Ohm locale : Sciences Physiques PT Lycée Follereau BM ELECTROSTATIQUE 64

4 Condition d équilibre Il y a équilibre électrostatique si le vecteur densité de courant est nul. On en déduit : - le champ électrostatique est nul dans le conducteur : - le volume du conducteur et sa surface sont équipotentiels : V = cte - les charge sont réparties sur la surface du conducteur : (M) = 0 - la charge totale portée par le conducteur est : Remarque : si le conducteur est creux, il n y a pas de charges dans la cavité, alors toute la charge est portée par la surface externe du conducteur. Théorème de Coulomb A la surface du conducteur, le champ électrostatique est perpendiculaire à cette surface et vaut : Problème de Laplace En présence de conducteurs placés dans le vide, le potentiel V(M) vérifie V = 0 en tout point. La valeur de V est imposée sur les surfaces des conducteurs, il y a continuité du potentiel. Un tel problème admet une solution unique. Topographie du champ électrostatique Le long d'une ligne de champ, le potentiel est monotone décroissant : elle ne rencontre qu'une seule fois la même équipotentielle. Les lignes de champ partent perpendiculairement des surfaces chargées positivement, ou viennent de l'infini ; elles aboutissent sur les surfaces chargées négativement ou vont à l'infini. Pouvoir des pointes Les charges s'accumulent sur les régions de faible rayon de courbure (les pointes) avec une densité superficielle élevée ; le champ électrostatique est donc intense au voisinage des pointes puisque E est proportionnel à d'après le théorème de Coulomb. L'air peut être ionisé par arrachement d'électrons si E dépasse 3000 kv.m 1 et le conducteur se décharge par transfert de charges au voisinage des pointes. 2.3 Condensateurs Equilibre électrostatique de deux conducteurs o Influence électrostatique Lorsque deux conducteurs A et A, chargés ou non, sont assez proches l un de l autre, la répartition des charges sur A dépend de la répartition sur A et réciproquement. On dit que A et A sont en influence. o Théorème des éléments correspondants Les charges de deux éléments correspondants sont opposées o Influence totale Si toutes les lignes de champ issues de A arrivent sur A, les deux conducteurs sont en influence totale, c est le cas si A est dans la cavité de A. L application du théorème des éléments correspondants montre que si A porte la charge Q, la surface interne de A porte la charge Q = Q. Condensation de l'électricité o Mise en évidence En diminuant la distance e, on observe l'apparition d'étincelles lorsque e est de l'ordre du millimètre. Ces étincelles indiquent que la norme E du champ électrique atteint la valeur disruptive E M = 3000 kv.m 1. Le champ électrique augmente donc, entre les disques, lorsque leur distance diminue. Le théorème de Coulomb nous montre que pour une source de tension donnée, (2) (1) figure 1 on obtient des charges superficielles importantes sur les parties en regard de deux conducteurs que l'on rapproche l'un de l'autre. Il y a condensation de l'électricité. o Définition du condensateur On appelle condensateur un système de deux conducteurs 1 et 2 en influence totale, c'est à dire que toute ligne de champ issue de 1 arrive sur 2. Les faces en regard A 1 et A 2 des deux conducteurs sont les Sciences Physiques PT Lycée Follereau BM ELECTROSTATIQUE 65 e z U

5 armatures du condensateur. Le théorème des éléments correspondants montre que les charges des armatures sont opposées : Q = Q 1 = Q 2. La charge Q est la charge du condensateur. o Capacité d'un condensateur Le rapport Q / U est une constante qui ne dépend que de la forme et de la position des deux conducteurs ; c'est la capacité C du condensateur qui s'exprime en farad (F). Condensateur plan Capacité d'un condensateur plan idéal (à retenir) Condensateur réel o Effets de bord La capacité est un peu plus grande que celle donnée par la formule précédente. o Introduction d'un diélectrique C est multipliée par la permittivité relative (ou constante diélectrique) r (> 0) du matériau. Détermination des capacités o Méthode Déterminer le champ électrique entre les armatures puis sa circulation entre les armatures pour avoir U en fonction de Q. On peut aussi déterminer U en utilisant l'équation de Laplace en déduire E, puis par le théorème de Coulomb et enfin la charge Q puis C. o Exemples - Condensateur sphérique (résultat à savoir retrouver): les armatures sont les surfaces en regard de deux sphères concentriques de rayons R 1 et R 2 > R 1. - Condensateur cylindrique (résultat à savoir retrouver): les armatures sont deux cylindres coaxiaux de rayons R 1 et R 2 > R 1 et de hauteur h >> R 2. Energie d'un condensateur o Energie emmagasinée dans un condensateur Dans le cadre de l'approximation des régimes quasi permanents, l'énergie emmagasinée dans un condensateur au cours de sa charge de q = 0 à q = Q s écrit : o Transformation mécanique On écarte les armatures d un condensateur plan à charge constante, en supposant la transformation quasistatique, il y a chaque instant équilibre entre la force électrostatique et la force exercée par l opérateur. Soit, on montre alors que et que. Compte tenu de l expression de la capacité du condensateur, on montre que ce travail est égal à la variation d énergie emmagasinée par le condensateur. o Densité d'énergie électrique L'énergie emmagasinée dans un condensateur plan, de volume V = S e, est localisée dans le champ électrique qui règne entre les armatures avec une densité volumique d'énergie w e (exprimée en J.m 3 ) : On admet que cette expression a une validité générale. Sciences Physiques PT Lycée Follereau BM ELECTROSTATIQUE 66