Mines Ponts, Physique 1 MP

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1 Mines Ponts, Physique 1 MP Satellites de téléommuniation Conours 7 1 Satellites sur orbite irulaire 1. La relation fondamentale de la dynamique en mouvement uniforme sur une orbite irulaire impose G M M S = M π R +h S R + h d où la relation R + h = 4π troisième loi de Kepler. La vitesse du satellite est v = πr +h. E = 1 M Sv et E p = G M M S R +h E + E p =. don v = R + h. en prenant l origine des énergies potentielles à l infini don. La durée τ est proportionnelle à la longueur R + hϕ de l ar APB, soit τ = ϕ π. On a par ailleurs os ϕ = R R +h don τ = R + h / R aros. Dans le as de l énoné, l appliation numérique four- GM R + h nit τ = 46 s. 4. On a vu que τ = π aros R R +h = 1,. Pour que la durée de visibilité totale soit égale à, il faut au moins 14 satellites par train. De plus, depuis haque point de la surfae solaire, un train de satellite ne ouvre qu une fration ϕ π = 1 6,6 de l ar de méridien. Pour ouvrir tout e méridien, il faut don 7 trains de satellites. Finalement, la ommuniation ave des satellites de basse altitude impose l emploi de 7 14 = 98 satellites. 5. Pour un satellite géostationnaire, = est égal à la durée du jour = 86 4 s d où on déduit GM 1/ son altitude h = 4π R = 5 9 km. La durée de visibilité est alors infinie si haque satellite est au-dessus d un point fixe de l équateur. Chaque satellite ouvre alors une part importante de la surfae terrestre et le nombre de satellites néessaires est limité toutefois, en raison de leur orbite équatoriale, les satellites géostationnaires sont inutilisables pour la ommuniation ave les régions polaires ; par ontre, le oût énergétique de leur mise en orbite est plus élevé. 6. Puisque αmv est une fore, mv étant une énergie produit d une fore par une longueur, la grandeur α est inverse d une longueur. On peut alors érire le théorème de l énergie méanique sous la forme de = αm S v ave d autre part E = E + E p = E p = G M M S R +h ar E = E p, e qui impose aussi / G M R = α G M dh +h R+h ou = α R + h. M S v = G M M S R +h. Finalement, d 7. Ave dh = h π et = GM R + h /, on obtient α = h 4πR + h = 1, m 1. Ave la même approximation, une valeur onstante dh = α R + h = 1, m s 1, don, en dix ans 1 65, s ou, s une hute de h = 5 km. La solution exate s obtient par intégration de R + h 1/ dh = α ou R + h h R + h = α t d où 1

2 une hute h = R + h R + h α t ou h = 14 km : la vitesse de desente ralentit progressivement mais l ordre de grandeur de l approximation restait raisonnable. Au fur et à mesure de la desente, l altitude diminue et la vitesse augmente don mais l augmentation d énergie inétique s aompagne d une diminution double de l énergie potentielle ; l énergie méanique diminue don et il n y a pas de paradoxe. 8. Puisque αh/ = αh, on a β = 1. On en déduit γ = hαh soit γ = 1, 1 9. Stabilisation de l altitude d un satellite par gradient de gravité.1 Étude dynamique dans le référentiel mobile 9. F 1 = G M m r1 u 1 et F = G M m r u, en négligeant l interation gravitationnelle entre les deux parties du satellite il s agit de toutes façons de fores intérieures à un système rigide, qui n interviennent dans auune équation dynamique. 1. La fore d inertie d entraînement ma e dépend de l aélération absolue a e du point oïnidant, point fixe du référentiel mobile don en mouvement de rotation irulaire uniforme à la vitesse angulaire Ω ; on a don F e1 = mω r 1 et F e = mω r. La fore d inertie de Coriolis ma dépend de l aélération omplémentaire a = Ωu z v ave pour vitesse relative v i = θu z SM i ; on a don F 1 = mω θsm 1 et F = mω θsm puisque le double produit vetoriel se simplifie ave u z SM 1 = u z SM =. 11. Le moment des fores de Coriolis ne dépend pas du point de alul ar F 1 + F = ; alulé au point S, il fournit M = mω θ SM 1 SM 1 + SM SM soit un moment nul. Les fores de gravitation et d entraînement sur M 1 ont pour résultante F 1 = mu 1 Ω r 1 GM ave pour r1 distane r 1 = r u + lu θ + lr os θ don r 1 = r + l os θ, à l ordre le plus bas du développement. Il vient don F 1 = mu 1 [Ω r r Ω + au repos si θ =, θ = et u 1 = u, e qui définit Ω selon Ω = alul analogue, F = mu [Ω r r ] + l os θ Ω + r à et ordre d approximation et, par un ] l os θ. Dans e référentiel R, le satellite est r est en fait la troisième loi de Kepler retrouvée e qui permet de réérire les résultanets des fores on parle en ii en général de fores de marée F 1 = m u 1 l os θ, F = m u l os θ ou, à l ordre le plus bas du même développement, F 1 = F = m r l os θu. Leur moment en S est don elui d un ouple, M = 6 m r l os θ sin θu z l qui prend bien la forme M = Γ s u z ave Γ s = 6GmM sin θ os θ. Ce moment est un moment de rappel dirigé selon Oz qui provoque une rotation du satellite dans le plan de l orbite le ramenant à sa disposition axiale θ =. 1. Le moment inétique baryentrique du système dans le référentiel mobile s érit σ = µl l θ en projetion sur u z ave µ = m don σ = ml θ ; le théorème du moment inétique dans R s érit dσ = Γ s d où l équation différentielle du mouvement θ = sin θ os θ. Les positions d équilibre assoiées à θ = orrespondent à l annulation du sinus ou du osinus, don à θ = ou π physiquement équivalentes et à θ = ± π également physiquement équivalentes. 1. Le développement au premier ordre de l équation au voisinage de θ = mène à θ θ : est une équation aratéristique d un osillateur harmonique don la position d équilibre est stable. Si on pose θ eq = ± π, l équation différentielle pour θ voisin de θ eq prend la forme θ + r r θ θeq : e

3 sont don des positions d équilibre instables. 14. La période des osillations est elle liée à l équation θ θ = Ω θ ; ette période est don = πr + h / =, 5 1 s ; on remarque aussi que = où est la période orbitale GM du satellite.. Étude énergétique dans le référentiel galiléen 15. L énergie potentielle de gravitation E p = m 1 r r doit être développée à l ordre deux ; on doit don utiliser les expressions r1, = r ± r l os θ + l don 1 r 1, = 1 r ± l os θ + l r os θ 1. On en déduit don E p = m [ + l os r θ 1 ]. 16. En l absene de toute autre fore dans e référentiel galiléen, on érira la onservation de l énergie méanique totale. Ii, l énergie inétique du système peut être évaluée à partir du théorème de König, E = 1 M Sr Ω + 1 µl θ soit E = mr Ω + ml θ. Il vient don E = mr Ω + ml θ + E p. L équation du mouvement devient alors θ os θ = te ou, après dérivation, θ = GM os θ sin θ ; pour la période des petites osillations, on retrouve bien = πr/ GM omme préédemment. Effet dynamo dr 17. Les lignes du hamp dipolaire sont lassiques, d équation polaire os θ = rdθ sin θ ou r = r sin θ ; leur allure est reportée i-dessous. Sur un erle équatorial, le hamp magnétique est parallèle à Oz, dirigé vers le nord les lignes du hamp magnétique sont dirigées du sud vers le nord. On érira B = Bu z, B >. z 18. e M = M M 1 v B dl don e M = vlb ave v = GM R +h ; il vient don e M = R + h lb. Le signe signifie que la fore életro-motrie est en fait dirigée de M vers M 1 si le satellite tourne dans le sens diret du plan Oxy. On trouve e M =, 4 V pour l = 1 m et e M =, 4 1 V pour l = 1 km. 19. La fore de Laplae F L = Il B vaut ii F L = IlBu θ ou, en norme, F L = IlB = 1, 1 4 N. Cette fore résistante a pour puissane P L = F L v soit P L = IlB R + h =, 98 W.

4 . Ave une longueur de 1 km, la fore est mille fois plus élevée mais la vitesse du satellite ne hange pas ; on trouverait don P L = 98 W. 1. La fore de Laplae freine le satellite et provoque sa desente et l augmentation de sa vitesse. On remarquera que αm S v 1, N pour un gros satellite de masse 1 kg ; le ralentissement dû à la fore de Laplae sera alors prépondérant.. On peut provoquer, en ontrôlant le sens du ourant, une variation ontrôlée de l altitude du satellite. Pour monter sur une orbite plus haute, le ourant doit iruler de M 1 vers M. Ave une puissane disponible de 5 W, l augmentation d énergie méanique sera de l ordre de P = E t ave E = M S R +h don E = M S h ; on en déduit t R = M S h +h R + h P = 7, 1 s ou deux heures environ.. À partir d une altitude plus faible, la durée néessaire est légèrement plus grande, dans le rapport R +h R +h ; ii, il faudra 1% de temps en plus soit 8, 1 1 s. 4. Le texte ité reprend le prinipe dérit i-dessus ; on peut espérer atteindre des fores de même ordre de grandeur que les fusées de ontrôle d altitude, et seulement ave des âbles très longs. 4 Communiations spatiales 5. Sur les harges négatives par exemple, F = e E + v e B. L équation de Maxwell-Faraday rot E = B t impose E = ω k u z B don E B ; on pourra don affirmer v e B v e B = v e E E dès lors que v e életrons non relativistes ; le résultat sera alors a fortiori vrai pour les harges positives, de masse plus élevée dont de vitesse plus faible. v On peut alors érire la relation fondamentale m e e t = ee en négligeant les termes d aélération dûs à l extension spatiale du mouvement des életrons, elle-i étant supposée très inférieure à la longueur d onde soit v e = e im e ω E et de même v i = e im i ω E. Finalement, j = nev e + nev i prend la forme j = ne E ou, ompte tenu du rapport des masses, j ne E. iω m e M i iωm e 6. Dans e modèle de plasma partout loalement neutre, les équations de Maxwell prennent la forme dive =, divb =, rot E = B et rot B = 1 E t t + µ j. Dans le adre du modèle de hamp proposé, les deux premières relations sont automatiquement vérifiées et les deux suivantes deviennent équivalentes à ke = ωb et kb = ω E µ ne mω E ; on en déduit don k E = ω ω p E, qui peut aussi s érire sous forme d une équation différentielle, E z = E t + ω pe. Finalement, l équation de dispersion s érit k = ω ω p. 7. La propagation n est possible que si k R don k > soit ω > ω p ; la ionosphère est don un filtre passe-haut de fréquene de oupure f = ω p π. 8. L équation de dispersion peut être érite k = ± ω ω p phase v ϕ = ω k et v g = dω dk prennent alors les expressions v ϕ = 1 ω p ω ou ω = ω p + k. Les vitesses de et v g = 1 ω p. Ces vitesses ω 4

5 dépendent de ω don le milieu est dispersif. On remarque que v ϕ v g = ; les traés orrespondants sont proposés i-dessous. v v ϕ ω p v g ω 9. Pour le uivre, on doit ii onnaître un ordre de grandeur de la masse volumique ρ en fait ρ = 8, 9 1 kg m et de sa masse molaire M en fait M = 6, 5 1 kg mol 1 et onnaître la onstante d Avogadro N A = 6, 1 mol 1 pour évaluer n Cu = N Aρ M = 8, 4 18 m. On a bien sûr n n Cu pour e milieu très peu dense. La ommuniation ave le satellite est possible pour f > f = 1, Hz on a utilisé ǫ = 1. µ. La propagation à travers une hauteur h = km de ionosphère à la vitesse v ϕ > se traduit par une avane à la propagation par rapport à une traversée de la même épaisseur de vide t = h h soit t = h [ 1 ] 1 f ; omme ii f f f, on peut se ontenter d une expression approhée au premier v ϕ ordre, t = h f f = 5, s. De nuit, la nouvelle fréquene de oupure f vérifie f f = obtient une nouvelle avane t =, s. n1 n et on Solutions proposées 5

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