Exercices sur l échantillonnage

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1 TS Exercices sur l échatilloage Pour les itervalles de luctuatio asymtotique au seuil 95 %, o utilisera la ormule : u0,05 ; u0,05 ou, évetuellemet,,96 ;,96. 8 La roortio de aissaces d eats rématurés est de 6 %. Des chercheurs suggèret que les emmes ayat eu u travail éible edat leur grossesse sot lus suscetibles d avoir u eat rématuré. O réalise ue equête aurès d u échatillo aléatoire de 400 aissaces corresodat à des emmes ayat eu edat leur grossesse u travail éible. Les chercheurs décidet a riori que si la roortio d eats és rématurés das cet échatillo est suérieure à la bore suérieure de l itervalle de luctuatio asymtotique au seuil de 0,95 alors leur hyothèse sera accetée. O sait que das l échatillo, il y a 50 eats rématurés. ) Détermier l itervalle de luctuatio asymtotique I associé à cette situatio au seuil de 95 %. ) Quelle est la coclusio? 9 O cosidère ue maladie béige qui guérit aturellemet e mois de ciq jours das 60 % des cas. O veut tester u médicamet cesé abréger la durée de la maladie. Pour cela, o admiistre le médicamet à 000 ersoes. Pour 63 % d etre elles, la guériso a eu lieu e mois de ciq jours. ) Détermier l itervalle de luctuatio asymtotique I au seuil de 95 % our u échatillo de taille 000 associé à cette situatio, arès avoir justiié les coditios de validité. ) Que eut-o eser de l eicacité de ce médicamet? Itervalle de luctuatio Das ue materité, o admet qu il aît e moyee 5 % de garços. O ait le oit sur la réquece de garços toutes les 00 aissaces. Détermier l itervalle de luctuatio asymtotique de cette réquece au seuil de 95 %. 3 O doera des valeurs décimales arochées des bores à 0 rès. % des Fraçais sot d accord our surimer les aeaux idiquat la résece de radars sur les routes. Détermier l itervalle de luctuatio asymtotique au seuil de 95 % de la réquece des ersoes désirat surimer les aeaux avertissat des radars das u échatillo de 000 ersoes. 3 Ue boîte cotiet 0 % de réglisses et 80 % de guimauves. Détermier l itervalle de luctuatio asymtotique au seuil de 99 % de la réquece de réglisses das u échatillo de 00 bobos tirés au hasard et avec remise das la boîte. 4 La roortio d u caractère das ue oulatio est 0,6. Détermier l itervalle de luctuatio asymtotique au seuil de 95 % de la réquece de ce caractère das les échatillos de taille 00 rélevés au hasard et avec remise. 5 L amlitude de l itervalle de luctuatio asymtotique de la réquece d u caractère au seuil de 95 %, das u échatillo de taille, avec 0,5, est égale à 0,049. Quelle est la taille de cet échatillo? Prise de décisio 6 O lace 00 ois ue ièce de moaie et o obtiet 38 «ile» et 6 «ace». Peut-o cosidérer que la ièce est équilibrée au seuil de décisio de 5 %? Itervalle de coiace Pour les itervalles de coiace au iveau 95 %, o utilisera, sau metio cotraire, la ormule : ;. 0 U cadidat à ue électio ait eectuer u sodage. Sur 00 ersoes iterrogées, 63 déclaret vouloir voter our lui. O suose que les électeurs e chaget as d avis le jour du vote. O otera le ourcetage de voix obteues ar le cadidat. O suose que 0,5 0, 7. Détermier l itervalle de coiace de au iveau de coiace de 95 %. Éocer le résultat e lagage courat. Lors d ue éidémie de grie, 3 des élèves d ue classe qui comte 34 élèves ot cotracté la maladie. O suose que cette classe costitue u échatillo rerésetati de l esemble des 850 élèves du lycée. ) Doer la réquece d élèves malades das la classe. ) Doer cet itervalle de coiace au iveau de coiace de 95 % de la roortio d élèves malades de la grie das le lycée. 3 ) Louis, élève de la classe, estime qu il est ossible que lus de la moitié des élèves du lycée aiet eu la grie. Que eut-o e eser? Ue ure cotiet des boules blaches et des boules oires. O eectue 00 tirages avec remise das cette ure et o obtiet 39 boules oires. Peut-o airmer, avec ue robabilité d au mois 0,95, qu il y a lus de boules blaches que de boules oires das l ure? 7 O lace 40 ois u dé cubique o truqué. O obtiet 5 ois le uméro 6. Peut-o cosidérer que le dé est o truqué au seuil de décisio de %?

2 3 Pour décider la costructio d u grad stade, ue muicialité veut soder la oulatio our estimer si lus de 50 % des électeurs y sot avorables. ) La muicialité réalise u sodage aléatoire de taille 00 et obtiet 54 avis avorables. a) Quelle est la réquece d avis avorables sur ce sodage? b) La muicialité eut-elle décider la costructio du stade e rétextat que lus de 50 % de la oulatio y est avorable? ) O suose que la muicialité réalise u sodage de taille et que la réquece des votes avorables reste égale à 0,54. Si est la roortio (icoue) d avis avorables das la oulatio, doer l exressio d u itervalle de coiace de au iveau de 95 %. 3 ) La muicialité e costruira le stade que si la roortio d avis avorables déasse 50 %. a) Démotrer que our avoir 0,5, au iveau de coiace de 95 %, il suit d avoir : (i). 0,54 0,5 b) Détermier le lus etit etier aturel 0 à artir duquel l iégalité (i) est vériiée. c) Si le sodage, avec la même réquece observée, ortait sur 650 ersoes, eut-o eser que le stade aurait été costruit? 4 Ue equête statistique a été meée das diéretes materités our étudier l imact du tabac sur le oids des bébés à la aissace. O s itéresse à trois oulatios : les mères o umeuses, les mères umeuses qui s arrêtet de umer au début de la grossesse et les mères umeuses qui cotiuet à umer edat la grossesse. U échatillo aléatoire de taille 00 est costitué das chacue des trois oulatios ; les roortios de bébés esat mois de,5 kg à la aissace sot resectivemet 5 %, 6 % et %. ) Pour chacue des trois oulatios, détermier u itervalle de coiace au iveau de 95 % de la roortio de bébés esat mois de,5 kg à la aissace. O utilisera l itervalle de coiace «stadard» au iveau de 95 % :,96 ;,96 ; o arrodira les bores au millième. ) E exloitat les itervalles de coiace récédets, eut-o cosidérer qu il existe ue diérece sigiicative de la roortio de bébés de oids iérieur à,5 kg à la aissace, das chacue des trois oulatios? 5 Pour comarer les cotes de oularité de trois ersoalités X, Y et Z, u joural a réalisé u sodage : sur 30 ersoes, 7 % ot voté our X, 38,5 % our Y et 34,5 % our Z. ) Estimer ar u itervalle la cote de oularité de X, Y et Z au iveau de coiace de 95 %, das la oulatio. U classemet eut-il être ublié? ) vec ces mêmes taux, our quelle taille du sodage, u classemet aurait-il été statistiquemet odé au iveau de coiace de 95 %? 7 Ue imortate société de vete au détail de matériel iormatique veut juger de l imact d ue camage ublicitaire meée das les médias our ue tablette umérique articulière. Das u échatillo, cosidéré comme rélevé au hasard et avec remise, de 00 vetes de tablettes eectuées avat la camage ublicitaire, o observe que 44 vetes coceret cette tablette. Das u ouvel échatillo de même taille et rélevé das les mêmes coditios arès la camage ublicitaire, o observe que 66 vetes coceret cette tablette ; ) Détermier u itervalle de coiace, avec u iveau de coiace de 95 %, our la roortio des vetes de cette tablette avat la camage ublicitaire (arrodir les bores au millième). ) Même questio arès la camage ublicitaire. 3 ) La diérece etre les deux réqueces observées est-elle sigiicative? 4 ) Le resosable de la camage ublicitaire airme : «Les deux échatillos motret que les vetes de cette tablette ot augmeté de 50 % ; doc la camage a été très eicace». Que eut-o e eser? 8 Ue etrerise veut comarer les erormaces de deux de ses commerciaux. E u mois, le remier commercial a démarché 60 cliets et il a coclu u cotrat avec 65 de ces cliets. Das le même tems, le secod commercial a démarché 0 cliets et coclu u cotrat avec 00 de ces cliets. Peut-o coclure, au iveau de coiace 95 %, que ces deux commerciaux ot la même eicacité? 9 Deux etrerises et abriquet le même tye d amoules électriques. Sur u échatillo de 00 amoules de l etrerise, o a trouvé 60 amoules d ue durée de vie suérieure à 00 h. Sur u échatillo de 00 amoules de l etrerise, o a trouvé 40 amoules d ue durée de vie suérieure à 00 h. Peut-o coclure au iveau de coiace de 99 % qu il y a ue diérece sigiicative etre les durées de vie des amoules abriquées ar les etrerises et? 0 Das ue exériece à grade échelle, o séare 000 eats e deux groues de 000. U groue reçoit u sérum our la révetio de la maladie, tadis que l autre e le reçoit as. Le ombre d eats de chaque groue qui cotracte la maladie est resectivemet égal à 30 et à 50. Peut-o coclure au iveau de coiace 95 % que la diérece observée etre les deux groues est sigiicative? O cosidère u quart de cercle de rayo iscrit das u carré de côté. O ote la robabilité qu u oit choisi au hasard das ce carré soit das le quart de disque. Comaraiso de roortios 6 U chercheur veut tester u traitemet. Pour cela, il cosidère deux groues de malades ayat la même athologie. Le groue est comosé de 50 malades à qui il doe le traitemet. Pour atiets, l eet de la maladie s estome. Le groue est comosé de 50 malades à qui il admiistre u lacebo. Pour 94 malades, l eet de la maladie s estome. ) Détermier, à 0 rès, et les réqueces des ersoes de chaque groue our lesquelles les eets de la maladie s estomet. ) Détermier, à 0 rès, l itervalle de coiace au iveau de coiace 0,95 our chaque groue. 3 ) O cosidère que le traitemet a u eet si les itervalles de coiace au iveau de coiace 0,95 sot disjoits. Que eut coclure le chercheur sur l eet du traitemet qu il a mis e lace? Sur 500 oits choisis au hasard das ce carré, 977 sot situés das le quart de disque. ) Détermier l itervalle de coiace de au iveau 95 %. Écrire ses bores avec quatre décimales. ) E déduire u ecadremet de au iveau de coiace de 95 %.

3 Corrigé Itervalle de luctuatio O eut cocevoir u rogramme sur calculatrice qui ermet de doer les bores des itervalles de luctuatio (évetuellemet avec u meu : seuil, itervalle simliié ou o ). Détermios l itervalle de luctuatio asymtotique de la réquece de aissaces de garços das la materité au seuil de 95 %. 00 0,5 0, 49 O vériie les coditios d alicatio de la ormule du cours : L itervalle de luctuatio asymtotique de la réquece de aissaces de garços das la materité au seuil de 95 % est : I,96 ;,96. O calcule les bores de l itervalle I.,96 0, 4 (valeur décimale arochée au millième ar déaut),96 0,608 (valeur décimale arochée au millième ar excès) I 0,4 ; 0,608 (le sige est aux à cause des valeurs arochées que l o a ris à la lace des bores) 000 0, 0, 78 O vériie les coditios d alicatio de la ormule du cours : ,0,78,96 0,,96 0, (vériier si les décimales sot justes) 000 0, 0,78, 96 0,,96 0, O eut doer comme itervalle de luctuatio asymtotique au seuil de 95 % l itervalle I 0, 0; 0, = 00 = 0, = 0,8 Détermios l itervalle de luctuatio asymtotique de la réquece de réglisses das u échatillo de 00 bobos tirés au hasard et avec remise das la boîte au seuil de 99 %. O vériie les coditios d alicatio de la ormule du cours : O calcule les bores de l itervalle de luctuatio asymtotique au seuil de 99 %.,58 0, 096,58 0,304 I 0,096 ; 0,304 Détermios l itervalle de luctuatio asymtotique de la réquece des ersoes désirat surimer les aeaux avertissat des radars das u échatillo de 000 ersoes au seuil de 95 %.

4 4 00 0,6 0,4 Détermios l itervalle de luctuatio asymtotique de la réquece de ce caractère das les échatillos de taille 00 rélevés au hasard et avec remise au seuil de 95 %. O vériie les coditios d alicatio de la ormule du cours : I 0,503 ; 0, ,5 Détermios la taille de l échatillo. L amlitude de l itervalle de luctuatio à 95 % est égale à :,96,96,96 O a :,96 0,049 (). (),96 0, , 5 0,5,96,96 0,5,96 O vériie que les trois coditios our détermier l itervalle de luctuatio asymtotique sot vériiées (otammet 30 aisi que les deux autres coditios). Prise de décisio sur échatillo à artir d ue réquece 6 Lacers d ue ièce de moaie 00 O raisoe avec la réquece de ile (o ourrait raisoer égalemet avec la réquece de ace mais il est iutile de aire les deux). La réquece de ile est 0,38. O veut tester l hyothèse «la robabilité d obteir ile e u lacer est 0,5» avec u risque de 5 % (au lus). O vériie les coditios : O eut doc doer l itervalle de luctuatio asymtotique au seuil de 95 %. - avec la ormule géérale : I 0,40 ; 0,598 (bores doées sous la orme de valeurs décimales arochées au millième) - avec la ormule simliiée : I ; I 0,4 ; 0,6 0,38 I doc o rejette l hyothèse «la ièce est équilibrée» au seuil de décisio 0,95 (car 0,38 aartiet as à I). Quelques remarques : O eut aussi travailler avec la réquece de «ace». O obtiet le même résultat. O ourrait aussi redre l itervalle de luctuatio asymtotique lus récis : J,96 ;,96. Cet itervalle est iclus das J. Comme 0,38 aartiet as à J, 0,38 aartiet as o lus à I.

5 7 Lacers d u dé cubique 40 O veut tester l hyothèse «la robabilité d obteir le uméro 6 e u lacer est d erreur de % (au lus). O utilise la otio d itervalle asymtotique de la réquece. O vériie les coditios de validité : » avec u risque 6 O eut doc doer l itervalle de luctuatio asymtotique au seuil de 99 % de la réquece du uméro 6 das u échatillo de taille I,58 ;, Les bores de I sot : 0,04605 et 0, , I doc o e rejette as l hyothèse que le dé est équilibré avec u risque de %. 8 Naissaces rématurées 400 ) O veut tester l hyothèse : «La roortio de aissaces rématurées est 0, 06». Détermios l itervalle de luctuatio asymtotique I associé à cette situatio au seuil de 0, avec la ormule simliiée : I ; I 0,0; 0, - avec la ormule o simliiée : I 0,0367 ; 0,0833 (assez diéret du résultat avec la ormule simliiée) ) Décisio La réquece observée de aissaces rématurées das l échatillo est égale à 50 0, ,5 I et 0,5 est strictemet suérieure à la bore de droite de l itervalle I doc l hyothèse des scietiiques eut être accetée (c. éocé). 9 Eicacité d u médicamet ) O veut tester l hyothèse : «La roortio de ersoes guéries e mois de ciq jours est 0,6». Détermios l itervalle de luctuatio asymtotique I associé à cette situatio au seuil de 0,95. 0,6 0,4 0,6 0,4 I 0, 6,96 ; 0, 6, (o red cette ormule our davatage de récisio) I = [0,569 ; 0,63] (bores doées e valeurs décimales arochées au millième) ) Décisio La réquece observées de ersoes ayat ris le médicamet et guéries e mois de ciq jours est 0, 63. I doc o e rejette as l hyothèse au seuil de 95 % et o eut e coclure que le médicamet est as eicace. O détermie u itervalle de luctuatio asymtotique au seuil de 95 % de la réquece de aissace rématurées das u échatillo de taille 400.

6 0 Électios Itervalle de coiace d ue roortio U cadidat à ue électio ait eectuer u sodage. Sur 00 ersoes iterrogées, 63 déclaret vouloir voter our lui. O suose que les électeurs e chaget as d avis le jour du vote. O otera le ourcetage de voix obteues ar le cadidat. O suose que 0,5 0,7. Détermios l itervalle de coiace de au iveau de coiace 0, ,63 O vériie la coditio de validité avat de commecer le calcul : 30. O utilise la ormule ermettat de détermier u itervalle de coiace de au iveau 95 %. I ; (o adote cette ormule e l absece d idicatio de l éocé ; o évite d utiliser la ormule lus comliquée) I 0,63 ; 0, I 0,53 ; 0,73 (o arle de «ourchette de sodage») O vériie les coditios de validité arès les calculs : mi 5 et 0, 73 ). max Éoços le résultat e lagage courat. et 5 (avec ici : 0,53 mi O eut dire que la roortio de ersoes qui vot voter our le cadidat est comrise etre 53 % et 73 % au iveau de coiace 95 %. Doc le cadidat a de grades chaces d être élu. max ) Doos la réquece d élèves malades das la classe ) Détermios l itervalle de coiace au iveau de 95 % de la roortio d élèves malades de la grie das le lycée. 34 O vériie la coditio de validité avat de commecer les calculs : 30. L itervalle de coiace au iveau de 95 % de la roortio d élèves malades de la grie das le lycée est 3 3 I ; vec la calculatrice, o trouve : 3 0, , E reat des valeurs décimales arochées des bores à 0 rès (ar déaut our la bore our la bore iérieure et ar excès our la bore suérieure), l itervalle de coiace au iveau de 95 % de la roortio d élèves malades de la grie das le lycée est 0, 0 ; 0,554. O vériie les coditios de validité arès les calculs : mi 5 O utilise as la valeur 850 ourie ar l éocé! et 5. 3 ) Louis, élève de la classe, estime qu il est ossible que lus de la moitié des élèves du lycée aiet eu la grie. Que eut-o e eser? La roortio de ersoes ayat eu la grie est comrise etre % et 55,4 % au iveau de coiace 0,95. Doc il est eectivemet ossible que lus de la moitié des élèves du lycée aiet eu la grie mais rie e ermet de l airmer avec certitude. max Ue ure cotiet des boules blaches et des boules oires. O eectue 00 tirages avec remise das cette ure et o obtiet 39 boules oires. Peut-o airmer, avec ue robabilité d au mois 0,95, qu il y a lus de boules blaches que de boules oires das l ure?

7 00 La réquece observée de boules oires das l échatillo est O vériie la coditio de validité avat de commecer le calcul : 30. L itervalle de coiace de la roortio de boules oires au iveau de coiace de 95 % est 0, 9 ; 0,49 (valeurs arochées des bores à 0 rès). O vériie les coditios de validité arès les calculs : mi 5 et 5. Doc o eut airmer qu il y a lus de boules blaches que de boules oires das l ure avec u iveau de coiace de 95 %. 3 ) a) 54 0,54 00 b) O e coaît l avis que d u échatillo et o de la oulatio totale. La muicialité e eut doc as décider de costruire le stade. Das la questio ), o va estimer la roortio d avis avorables das la oulatio. ) IC à 95 % I ; I 0,44 ; 0,64 Par suite, o e eut as dire si la muicialité décidera de costruire le stade ou o. Notre échatillo est tro etit our aorter ue coclusio (amlitude de l itervalle de coiace tro large). 3 ) Pour avoir 0,5, il suit que toutes les valeurs de l itervalle de coiace soiet strictemet suérieures à 0,5 c est-à-dire que 0,5 soit 0,54 0,5 (i). O cherche * tel que (i) soit vériiée. (i) 0,54 0,5 0, max Comaraiso de deux roortios à artir d échatillos 4 ) Mères o umeuses : I 0,007 ; 0,093 Mères umeuses qui arrêtet de umer à la aissace : I ' 0,03 ; 0,07 Mères umeuses : I'' 0,049 ; 0,7 ) Les itervalles e sot as disjoits doc o eut cosidérer qu il existe as de diérece sigiicative etre les 3 oulatios au seuil de 95 %. 5 ) X I 0,46 ; 0, 94 I 0,358 ; 0,4 Y I 0,39 ; 0,37 Z L itervalle de coiace de X ous ermet de dire que ce cadidat e sera as élu. E revache, les itervalles de coiace de Y et Z e sot as disjoits. Par coséquet, aucu classemet est ossible etre ces deux cadidats au seuil de 95 %. ) Classemet ossible si : 0, 7 0,73 0,345 0, 655 0, 7,96 0,345,96 0,97 0, 5975,96 0, 075,96, ,97 0, ,075 0,97 0, ,075 L etier 0 cherché est 66. c) doc, d arès la questio récédete, o eut eser que le stade aurait été costruit.

8 et si 0,345 0, 655 0,385 0, 05 0,345, 96 0, 385, 96 0, , 36775,96 0,04,96,96,8 0, , ,04 0, , ,04 Il aut doc (ou il suit d ) avoir u échatillo suérieur à ersoes. 6 ) (= 0, soit eviro 0,8) 50 ) I,96 ;, I 0,65 ; 0,395 3 ) Les deux itervalles I et I e sot as disjoits. u seuil de 5 %, la diérece etre les deux réqueces observées et avat et arès la camage ublicitaire est doc as sigiicative. 0,33 0, 4 ) 0,5 50 % 0, 94 (eviro 0,63) 50 O alique la ormule d u ourcetage d évolutio : valeur iale valeur iitiale. valeur iitiale ) I,96 ;,96 I 0,7 ; 0,88 I 0,55 ; 0,7 3 ) I I Doc o eut juger que le traitemet a u eet au seuil de 5 %. 7 ) I,96 ;,96 Le resosable de la camage a raiso d airmer que our les deux échatillos les vetes de cette tablette ot augmeté de 50 %. Ceedat, comme la diérece etre et est as sigiicative, o juge que les deux roortios et sot égales (avec u etit risque d erreur). Le resosable de la camage e eut doc as airmer, sur la seule base de ces deux échatillos, que la camage ublicitaire a été très eicace. 8 Commercial : I 0,37 ; 0,406 Commercial : I 0,387 ; 0, 455 Les deux itervalles état as disjoits, o e eut doc as coclure qu il y a ue diérece sigiicative au seuil de 5 %. O e eut rie coclure sur l eicacité des deux commerciaux. 44 et I 0,63 ; 0,77

9 9,9, 9 O alique la ormule de l itervalle IC ; au iveau de coiace de 99 %. Etrerise : I 0,47; 0,6 Etrerise : I 0,57; 0,7 Les deux itervalles état as disjoits, o e eut doc as coclure qu il y a ue diérece sigiicative etre les durées de vie des amoules des etrerises et , , I 0,00; 0, 06 (o e s étoera as que la bore iérieure est égative ; la ormule doat u itervalle lus récis ermet d avoir ue bore de gauche ositive ou ulle) I 0,08 ; 0,08 O otera bie qu il est tout à ait ossible d avoir ue bore égative das u itervalle de coiace. I I La diérece est as doc as sigiicative.

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