II. Nombres complexes

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1 Ensemble C des nombres complexes Théorème. Il existe un ensemble C des nombres complexes qui possède les propriétés suivantes : C contient R. C est muni d une addition et d une multiplication qui suivent les mêmes règles de calcul que dans R. C contient un nombre noté i tel que i =. tout nombre complexe z admet une unique écriture sous la forme z = x + i avec x, R, cette écriture est appelée forme algébrique du nombre z, le réel x est la partie réelle du nombre z notée Re(z) et le réel est la partie imaginaire du nombre z notée Im(z). Si = 0 le nombre z est dit réel et si x = 0 le nombre z est dit imaginaire pur. Démonstration. Non exigible. Exercice. Calculer la forme algébrique du nombre complexe z = 3 (+i)( 3i). Définition. Dans le plan muni d un repère orthonormal direct (,, ) on représente le nombre complexe z = x+i par : Le point M(x;). Le vecteur ( ) x M Le plan est alors appelé plan complexe, l axe des abscisses est appelé axe des réels et l axe des ordonnées axe des imaginaires purs, le nombre complexe z est appelé affixe du point M et du vecteur M. M x Exercice. Représenter dans le plan complexe les points A, B, C et D d affixes respectives z A = +i, z B = 4i, z C = 3i et z D = 7. Déterminer l affixe du vecteur AB. /7 suptsi45chap0cours

2 Définition. Soit z = x + i un nombre complexe, on appelle nombre complexe conjugué de z le nombre complexe z = x i. Propriété. Soit z un nombre complexe, les points M et M du plan complexe d affixes respectives z et z sont smétriques par rapport à l axe des réels. M(z) x M (z) Exercice 3. Calculer la forme algébrique du nombre complexe z = 3 i +i dénominateur par le conjugué du dénominateur). (on pourra multiplier numérateur et Propriété. Soient z,z C on a : z +z = z +z z z = z z z z = z z pour z 0, ( z z ) = z z Définition 3. Soit z = x+i un nombre complexe, on appelle module de z le nombre réel z = x +. Propriété 3. Soit z un nombre complexe et M son point image dans le plan complexe alors M = z. z M(z) Exercice 4. Dans le plan complexe, on considère deux points A et B d affixes respectives z A et z B. Interpréter géométriquement z B z A. /7 suptsi45chap0cours

3 Propriété 4. Soient z,z,z C on a : zz = z z = z z = z z = 0 si et seulement si z = 0 z z = z z pour z 0, z = z pour z 0, z = z z z z +z z + z (inégalité triangulaire) Démonstration. Exigible - Pour la compatibilité avec le produit, on utilise z = zz et pour la preuve de l inégalité triangulaire, on remarque que z +z = z + z +Re(z z ). Écriture trigonométrique d un nombre complexe non nul. Trigonométrie sinθ M Définition 4. Le plan étant muni d un repère orthonormal direct (, i, j ), on considère un point M du cercle de centre et de raon et on note θ = ( i, M). La fonction de R dans [ ;] qui à θ associe l abscisse du point M est appelée fonction cosinus et est notée cos et la fonction de R dans [ ;] qui à θ associe l ordonnée du point M est appelée fonction sinus et est notée sin. j θ i cosθ Propriété 5. Les fonctions cosinus et sinus sont π-périodiques : pour tout x R, on a cos(x+π) = cos(x) sin(x + π) = sin(x) La fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire : pour tout x R, on a cos( x) = cos(x) sin( x) = sin(x) Propriété 6. Pour tout x R, on a (cosx) +(sinx) =. Exercice 5. Exprimer cos(x+π), sin(x+π), cos(x+ π ), sin(x+ π ), cos(π x) et sin(π x) en fonction de cosx et sinx en utilisant des smétries sur le cercle trigonométrique. 3/7 suptsi45chap0cours

4 Propriété 7. Valeurs remarquables du cosinus et du sinus x 0 π cosx 6 3 sin x 0 π 4 π π Propriété 8. Soient a et b des nombres réels, alors : cos(a+b) = cosacosb sinasinb sin(a+b) = sinacosb+cosasinb Démonstration. Non exigible - n exprime sur la figure ci-contre les longueurs N et PN en fonction de cosb et sinb. n en déduit les longueurs M, QN puis R ainsi que les longueurs PQ, MN et PR. b a P a Q R N M Corollaire. Soit x un nombre réel, alors : cos(x) = (cosx) (sinx) = (cosx) = (sinx) sin(x) = sinxcosx Exercice 6. Exprimer cos(a b) et sin(a b) en fonction de cosa, cosb, sina et sinb. Exercice 7. Factoriser cosp+cosq en posant p = a+b et q = a b.. Ensemble U des nombres complexes de module Propriété 9. Tout nombre complexe de module peut s écrire sous la forme cosθ +isinθ avec θ R, θ étant défini de manière unique à π près. sinθ θ cosθ Démonstration. Exigible - n remarque qu un point d affixe de module appartient au cercle trigonométrique. 4/7 suptsi45chap0cours

5 Propriété 0. n note z θ = cosθ+isinθ pour θ R, alors z θ = z θ = z θ et pour tous α et β appartenant à R on a z α z β = z α+β. Définition 5. Par analogie avec l exponentielle réelle, on note désormais e iθ = cosθ +isinθ pour θ R. Exercice 8. Calculer e iπ (formule d Euler), calculer e inπ pour n Z. Propriété. Soit θ R et n Z, alors : cosθ = eiθ +e iθ sinθ = eiθ e iθ i (formules d Euler) (cosθ +isinθ) n = cos(nθ)+isin(nθ) (formule de Moivre) Exercice 9. Montrer en utilisant les formules d Euler que (cosx) = cos(x)+. Exercice 0. Montrer en utilisant la formule de Moivre que cos(x) = (cosx) (sinx). Propriété. formulaire de trigonométrie cos(a+b) = cosacosb sinasinb sin(a+b) = sinacosb+cosasinb (ces formules se retrouvent à partir de l égalité e ia e ib = e i(a+b) ) cos(x) = (cosx) (sinx) = (cosx) = (sinx) sin(x) = sinxcosx (ces formules se retrouvent à partir de l égalité ( e ix) = e ix ).3 Forme trigonométrique d un nombre complexe non nul Propriété 3. Tout nombre complexe z = x+i non nul peut s écrire de manière unique sous la forme trigonométrique z = ρe iθ avec ρ un réel strictement positif et θ un réel défini à π près. De plus on a : ρ = z = x + cosθ = x x + sinθ = x + Le réel θ est appelé argument du nombre complexe z et noté arg(z). Démonstration. Exigible - n considère le nombre complexe z z. 5/7 suptsi45chap0cours

6 Propriété 4. Soit z = ρe iθ avec ρ R + et θ R un nombre complexe et M son point image dans le plan complexe alors le couple (ρ, θ) représente les coordonnées polaires du point M. ρ M(z) θ Exercice. n considère le nombre complexe z = +i. Écrire z sous forme trigonométrique, en déduire la forme algébrique de z 00. Exercice. n considère les nombres complexes z = i et z = 3+i. Écrire z et z sous forme trigonométrique, en déduire les modules et arguments de z z et z z. Propriété 5. Soient z, z et z trois nombres complexes non nuls, alors : arg(z) = arg(z) [π] arg( z) = arg(z)+π [π] arg(z z ) = arg(z )+arg(z ) [π] ( ) arg = arg(z) [π] z ( ) z arg = arg(z ) arg(z ) [π] z arg(z n ) = n arg(z) [π], n Z Démonstration. Exigible - n utilise la forme trigonométrique..4 Racines n-ièmes de l unité Propriété 6. L équation z n = avec z C et n N admet n solutions appelées racines n-ièmes de l unité et s exprimant sous la forme z k = e ikπ n pour k = 0,,...,n. n note U n = {z 0,z,...,z n } l ensemble des racines n-ièmes de l unité. Démonstration. Exigible - n utilise la forme trigonométrique. Exercice 3. Déterminer sous forme algébrique les racines cubiques de l unité et les représenter dans le plan complexe. Propriété 7. L équation z n = a avec z C, a C et n N admet n solutions s exprimant sous la forme z k = rne iα+kπ n pour k = 0,,...,n où r = a et α = arg(a). Démonstration. Exigible - n utilise la forme trigonométrique. Exercice 4. Résoudre dans C l équation z 3 = 8i puis l équation z 4 = /7 suptsi45chap0cours

7 .5 Exponentielle complexe Définition 6. n appelle exponentielle complexe d un nombre complexe z = x +i avec x et réels e z = e x e i. Remarque. Cette définition est compatible avec l exponentielle d un réel et l exponentielle d un nombre imaginaire pur et conserve de nombreuses propriétés. Propriété 8. Soit z, z et z des nombres complexes et n un entier relatif, alors : e z 0 e z = e z e z = e z e z +z = e z e z e z z = ez e z (e z ) n = e nz Exercice 5. Déterminer la forme algébrique de e i 3. 3 Équations du second degré à coefficients dans C 3. Racines carrées d un nombre complexe non nul Définition 7. n appelle racine carrée d un nombre complexe z, un nombre complexe dont le carré est égal à z. Remarque. Dans le cas où le nombre est réel, cette définition est incompatible avec celle de la fonction racine carrée. Propriété 9. Tout nombre complexe non nul admet exactement deux racines carrées opposées. Démonstration. Exigible - n utilise les écritures trigonométriques. Exercice 6. Déterminer les racines carrées du nombre complexe 5 + i. 3. Résolution des équations du second degré à coefficients dans C Théorème. Étant donnés trois nombres complexes a,b,c avec a 0, l équation az + bz + c = 0 de discriminant = b 4ac admet : Si = 0, une solution complexe z 0 = b a de plus az +bz +c = a(z z 0 ). Si 0, deux solutions complexes z = b δ a de plus az +bz +c = a(z z )(z z ). et z = b+δ a avec δ = Démonstration. Exigible - n utilise la forme canonique d un trinôme du second degré. Exercice 7. Résoudre dans C l équation z +(+6i)z 0 = 0. Remarque 3. Les solutions de l équation précédente ne sont pas conjuguées. 7/7 suptsi45chap0cours