,=LESfCOMPLEXESfAUfBACf2014e

Transcription

1 ,=LESfCOMPLEXESfAUfBACf01e 1 Nouvelle-Calédoe ovembre pots Le pla est rapporté à u repère orthoormal drect (O; u, v) O ote l esemble des ombres complexes Pour chacue des propostos suvates, dre s elle est vrae ou fausse e justfat la répose 1 Proposto : Pour tout eter aturel : (1 + ) = () Sot (E) l équato (z )(z z + 8) = 0 où z désge u ombre complexe Proposto : Les pots dot les affxes sot les solutos, das, de (E) sot les sommets d u tragle d are 8 3 Proposto : Pour tout ombre réel, 1 e e cos( ) Sot A le pot d affxe 1 za 1 et M le pot d affxe (z A ) où désge u eter aturel su- péreur ou égal à Proposto : s 1 est dvsble par, alors les pots O, A et M sot algés 5 Sot j le ombre complexe de module 1 et d argumet 3 Proposto : 1 + j + j = 0 Frace métropoltae ju 01 5 pots O désge par (E) l'équato z + z + 1 = 0 d'coue complexe z 1 Résoudre das l'équato Z + Z + 1 = 0 Écrre les solutos de cette équato sous ue forme expoetelle O désge par a le ombre complexe dot le module est égal à et dot u argumet est égal à 3 Calculer a sous forme algébrque E dédure les solutos das de l'équato z 3 O écrra les solutos sous forme algébrque 3 Resttuto orgasée de coassaces O suppose cou le fat que pour tout ombre complexe z x y où x et y, le cojugué de z est le ombre complexe z déf par z x y Démotrer que : pour tous ombres complexes z 1 et z, z1z z1 z pour tout ombre complexe z et tout eter aturel o ul, z z Démotrer que s z est ue soluto de l'équato (E) alors so cojugué z est égalemet ue soluto de (E) E dédure les solutos das de l'équato (E) O admettra que (E) admet au plus quatre solutos 1

2 ,=LESfCOMPLEXESfAUfBACf01e 3 Amérque du sud ovembre pots Le pla complexe est rapporté à u repère orthoormé drect O cosdère l équato (E) : z z Résoudre l équato (E) das l esemble des ombres complexes O cosdère la sute (M ) des pots d affxes a Vérfer que z 1 est ue soluto de (E) b Écrre z et z 3 sous forme algébrque z ( 1) e, défe pour 1 c Placer les pots M 1, M, M 3 et M sur la fgure doée e aexe et tracer, sur la fgure doée e aexe, les segmets [M 1, M ], [M, M 3 ] et [M 3, M ] 3 ( 1) 3 Motrer que, pour tout eter 1, z Calculer les logueurs M 1 M et M M 3 Pour la sute de l exercce, o admet que, pour tout eter 1, M M O ote M1M M M3 M M 1 a Motrer que, pour tout eter 1, 3 1 b Détermer le plus pett eter tel que l O

3 ,=LESfCOMPLEXESfAUfBACf01e Cet exercce est u QCM (questoare à chox multple) Pour chaque questo, ue seule des quatre réposes proposées est exacte Le caddat dquera sur la cope le uméro de la questo et la répose chose Chaque répose exacte rapporte u pot Aucue justfcato est demadée Aucu pot est elevé e l absece de répose ou e cas de répose fausse Le pla complexe est rapporté au repère orthoormal drect (O; u, v) Sot z u ombre complexe de la forme x + y, où x et y sot des réels 1 Sot z le ombre complexe d affxe (1 + ) L écrture expoetelle de z est : a e b c d Nouvelle-Calédoe mars 01 pots e e e L esemble des pots M du pla d affxe z = x + y tels que z 1 3 a pour équato : a (x 1) + (y + 1) = b (x + 1) + (y 1) = c (x 1) + (y + 1) = 3 1 d y x 3 O cosdère la sute de ombres complexes (Z ) défe pour tout eter aturel par Z 0 = 1 + et 1 Z1 Z O ote M le pot du pla d affxe Z a Pour tout eter aturel, le pot M appartet au cercle de cetre O et de rayo b Pour tout eter aturel, le tragle OM M +1 est équlatéral c La sute (U ) défe par U = Z est covergete Z1 Z d Pour tout eter aturel, u argumet de est Z Sot A, B, C tros pots du pla complexe d affxes respectves : Z A = 1 ; Z B = et Z C = ZC ZA O pose Z ZB ZA a Z est u ombre réel b Le tragle ABC est socèle e A c Le tragle ABC est rectagle e A d Le pot M d affxe Z appartet à la médatrce du segmet [BC] 3

4 ,=LESfCOMPLEXESfAUfBACf01e 5 Podchéry avrl 01 5 pots Le pla complexe est mu d u repère orthoormé (O; u, v) Pour tout eter aturel, o ote A le pot d affxe z déf par : 3 3 z0 1 et z1 z O déft la sute (r ) par r = z pour tout eter aturel 1 Doer la forme expoetelle du ombre complexe a Motrer que la sute (r ) est géométrque de raso b E dédure l expresso de r e focto de c Que dre de la logueur OA lorsque ted vers +? 3 O cosdère l algorthme suvat : Varables Etrée eter aturel R réel P réel strctemet postf Demader la valeur de P Tratemet R pred la valeur 1 pred la valeur 0 Tat que R > P pred la valeur R pred la valeur R F tat que Sorte Affcher a Quelle est la valeur affchée par l algorthme pour P = 0,5? b Pour P = 0,01 o obtet = 33 Quel est le rôle de cet algorthme? a Démotrer que le tragle OA A +1 est rectagle e A +1 e b O admet que z r Détermer les valeurs de pour lesquelles A est u pot de l axe des ordoées c Compléter la fgure doée e aexe, à redre avec la cope, e représetat les pots A, A 7, A 8 et A 9 Les trats de costructo serot apparets

5 ,=LESfCOMPLEXESfAUfBACf01e Lba ma 01 5 pots O cosdère la sute de ombres complexes (z ) défe par z0 3 et pour tout eter aturel : z1 (1 ) z Les partes A et B peuvet être tratées de faço dépedate Parte A Pour tout eter aturel, o pose u = z 1 Calculer u 0 Démotrer que (u ) est la sute géométrque de raso et de premer terme 3 Pour tout eter aturel, exprmer u e focto de Détermer la lmte de la sute (u ) 5 État doé u réel postf p, o souhate détermer, à l ade d u algorthme, la plus pette valeur de l eter aturel telle que u > p Recoper l algorthme c-dessous et le compléter par les structos de tratemet et de sorte, de faço à affcher la valeur cherchée de l eter Varables : u est u réel p est u réel est u eter Italsato : Affecter à la valeur 0 Affecter à u la valeur Etrée : Demader la valeur de p Tratemet : Parte B Sorte : 1 Détermer la forme algébrque de z 1 Détermer la forme expoetelle de z 0 et de 1 + E dédure la forme expoetelle de z 1 3 Dédure des questos précédetes la valeur exacte de cos 1 5

6 ,=LESfCOMPLEXESfAUfBACf01e O déft, pour tout eter aturel, les ombres complexes z par : z0 1 1 z1 z, pour tout eter aturel O ote r le module du ombre complexe z : r z Das le pla mu d u repère orthoormé drect d orge O, o cosdère les pots A d affxes z 1 a Calculer z 1, z et z 3 b Placer les pots A 1 et A sur le graphque de l aexe, à redre avec la cope c Écrre le ombre complexe 1 sous forme trgoométrque d Démotrer que le tragle OA 0 A 1 est socèle rectagle e A 1 Démotrer que la sute (r ) est géométrque, de raso La sute (r ) est-elle covergete? Iterpréter géométrquemet le résultat précédet O ote L la logueur de la lge brsée qu rele le pot A 0 au pot A e passat successvemet par les pots A 1, A, A 3, etc As 7 Cetres étragers ju 01 pots L 1 A A A A A A A A a Démotrer que pour tout eter aturel : A A +1 = r +1 b Doer ue expresso de L e focto de c Détermer la lmte évetuelle de la sute (L )