C I R C U I T S L I N E A I R E S E N R E G I M E S I N U S O I D A L F O R C E C I R C U I T R L C E T R E S O N A N C E

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1 ELECTROCINETIQE R.Duperray Lycée F.BISSON PTSI C I R C I T S L I N E A I R E S E N R E G I M E S I N S O I D A L F O R C E C I R C I T R L C E T R E S O N A N C E Nous allons étudier la réponse des circuits soumis à un signal i t ou u t de forme sinusoïdale, on parle de signaux alternatifs AC. Ces signaux jouent un rôle très important dans les sciences physiques: Ils sont présents dans de nombreux domaines oscillations mécaniques, physiques des ondes, optique, physique quantique, électricité Ils sont faciles à générer. EDF transport l énergie électrique sous formes de signaux sinusoïdaux. Dans les télécoms, les informations sont transportées par des ondes électromagnétiques de forme sinusoïdale ou plutôt par une somme d ondes sinusoïdales. On montre en mathématiques analyse de Fourier que tout signal périodique peut s écrire comme une somme infinie de fonctions sinusoïdales d ou le rôle universel joué par ces dernières. De plus, elles sont faciles à manipuler dériver, intégrer. I Signal sinusoïdal Nous allons travailler sur l exemple de u t, nous pourrions faire la même chose avec i t. n signal sinusoïdal s écrit sous la forme : u t m cos t + m amplitude en V, " pulsation en rad.s -1, " phase à l origine sans unité. La période T en s de ce signal et la fréquence f en Hz sont reliées à la pulsation par : T 1 f " Dans ce cours, nous travaillons avec la fonction cosinus mais nous pouvons utiliser, de façon équivalente, la fonction sinus. La différence entre les deux fonctions correspond simplement à un déphasage de. 1

2 Périodicité : u t +T u t m cos t +T + " u t +T m cos t + T + " la fonction cosinus est périodique de période. m cos t + + " m cos t + " u t car Déphasage entre deux signaux synchrones de même pulsation Soit u 1 t m1 cos t + " 1 et u t m cos t + " deux signaux synchrones. u 1 et u sont maximales quand t 1 + " 1 t + " 0 soit t " t t On retiendra le résultat 1 " + * pratique suivant : " T t " Rappels de trigonométrie sina cosb ± cosa sinb cosa cosb sina sinb sint cost sin a ± b cos a ± b sin t ± " cos t ± " sin t ± " ± cost cos t ± " sint II Représentation complexe d un signal sinusoïdal Il s agit d un outil mathématique très puissance dans notre étude des circuits électriques..1 Rappels sur les nombres complexes En sciences physiques, il est d usage d écrire j 1 car la lettre i est déjà utilisée pour désigner l intensité du courant électrique. Soit z un nombre complexe, on peut l écrire sous trois formes équivalentes :

3 " forme rectangulaire : z x + j y forme polaire : z r cos + j sin forme exponentielle : z re j r x + y le module tan y x la phase ou argument x r cos y r sin Si z z 1 z alors z r 1 r e j 1 + Si z z 1 z alors z r 1 e j 1 " r z r e j " x j y Si z z 1 + z x 1 + x + j y 1 + y. Représentation complexe d une tension d une intensité périodique j t +" Soit u t m cos t + ". On peut écrire que u t Re m e. Nous allons associer à la tension u t un nombre complexe appelé amplitude complexe phasor en anglais défini par : Définition de lamplitude complexe: m e j m cos t + u t " e j " m REPRESENTATION TEMPORELLE u t " Re e jt REPRESENTATION COMPLEXE Nous verrons que dans un circuit en régime sinusoïdal forcé, toutes les grandeurs électriques oscillent à la même pulsation en régime permanent. Par contre l amplitude et la phase seront propres à chaque grandeur, c est pourquoi la grandeur pertinente à étudier est l amplitude complexe m e j. Notre travail principal sera la détermination de l amplitude m et de la phase. L amplitude complexe a donc une amplitude une norme et une phase direction, elle se comporte comme un vecteur. 3

4 On peut donc représenter une amplitude complexe par un vecteur dans un diagramme dit de Fresnel figure ci-dessus. Sur ce dernier, l amplitude complexe est une «photo» à l instant t 0 du nombre complexe e jt, dont la partie réelle correspond à u t. Ainsi, dans le plan complexe, e jt a un mouvement de rotation à la vitesse angulaire dans le sens trigonométrique..3 Dérivation et intégration dans le domaine complexe a dérivation du t d m Comme e j j. cos t + " m sin t + " m cos t + " + * Re e jt e j" e j m *. du t j, Re j e du t jt. L amplitude complexe associée à correspond à b Intégration u t m " sin "t + m " cos "t + + * Re m " e j"t e j e j +. * Comme e j " j, u t Re j" e j"t. L amplitude complexe associée à u t correspond à j. c Conclusion du t " REPRESENTATION TEMPORELLE " u t " REPRESENTATION TEMPORELLE j REPRESENTATION COMPLEXE j REPRESENTATION COMPLEXE Dans le domaine complexe, les opérations dérivations et intégrations sont beaucoup plus simples, ils suffit respectivement de multiplier par j et de diviser par j l amplitude complexe. Sur le diagramme de Fresnel ci-dessous on a représenté les amplitudes complexes, j et. j est avance de sur. j est en retard de sur. j 4

5 III Loi d Ohm en notation complexe, admittance et impédance On travaille dans ce paragraphe en convention récepteur. 3.1 Résistance Représentation temporelle : R i t u t Représentation complexe : R I Diagramme de Fresnel i t I m cos t + " I I m e j" u t R I m cos t + " R I m e j" u t et i t sont en phases. 3. Bobine Représentation temporelle : L di t u t Représentation complexe : jl I Diagramme de Fresnel 5

6 i t I m cos t + " I I m e j" L di t u t L I m " sin "t + L I m " cos "t + + * + "L I e j + m * jl" I u t est en avance de sur i t. 3.3 Condensateur Représentation temporelle : C du t i t Représentation complexe : I jc Diagramme de Fresnel u t m cos t + " m e j" C du t i t C m " sin "t + C m " cos "t + + * + I " C e j + m * jc" u t est en retard de sur i t. Nous pouvons résumer les résultats importants obtenus ci-dessus dans le tableau suivant. Elément Représentation temporelle Représentation complexe R u R i R I L C u L di i C du jl I I jc 3.4 Impédance et admittance complexe D après les paragraphes précédents, nous constatons, qu en représentation complexe, et I sont proportionnelles. Par généralisation de la loi d Ohm, on définit pour un dipôle quelconque l impédance et l admittance complexe on dira simplement impédance et admittance : 6

7 Impédance complexe: Z I ou Z I Admittance complexe: Y 1 Z Pour les trois dipôles fondamentaux, nous avons les impédances et les admittances suivantes : Elément Impédance Admittance R Z R R Y R 1 R L Z L jl Y L 1 jl C Z C 1 jc Y C jc On remarque que : " haute fréquence Z L " circuit ouvert Z C 0 court circuit " 0 base fréquence Z L 0 court circuit Z C " circuit ouvert Pour un dipôle résultant d une association quelconque de résistances, de bobines et de condensateur, on peut définir une impédance et admittance nombres complexes que l on écrira sous la forme : Z R + j X Z e j R Re Z X Im Z résistance réactance Z R + X et tan X R On peut écrire de la même façon l admittance sous la forme Y G + j B mais nous l utiliserons peu. 7

8 IV Théorème généraux en représentation complexe Les théorèmes généraux que nous avons rencontrés pour des régimes temporels quelconques se généralisent immédiatement en régime sinusoïdal forcé. 4.1 Loi des nœuds de Kirchhoff " n I n 0 avec n n +1 si I n arrive au noeud n 1 si I n repart du noeud Dans l exemple suivant : I 1 + I + I 3 I 4 0. En effet si i 1 I m1 cos t + " 1, I m1 cos t + " 1 I m4 cos t + " 4 0 I 1 I 4 0. Re I 1 I 4 e jt 0 Re I m1 e j t +" 1 Im4 e j t +" Loi des mailles de Kirchhoff " n n 0 avec n n +1 si n orienté dans le sens de la maille n 1 si n orienté dans le sens contraire de la maille Dans l exemple suivant : La démonstration est analogue à celle sur la loi des nœuds. 8

9 4.3 Association d impédances complexes a Association en série et pont diviseur de tension 1 + I + Z I + Z I Z eq I " La généralisation à N impédances en série est immédiate : Z eq Z eq + Z Z N Z n N n 1 Revenons au cas de deux impédances en série : 1 I. On arrive à des expressions très + Z I utiles pour calculer des tensions sans passer par les intensités, on parle de pont diviseur de tension : 1 Pont diviseur de tension: + Z Z + Z Dans le cas de N impédances en série, on obtient de même : n expression sera peu utilisée. Z n + Z Z N. Cette b Association parallèle et pont diviseur de courant I I 1 + I Y 1 +Y Y 1 +Y Y eq " La généralisation à N impédances en parallèle est immédiate : Y eq Y eq Y 1 +Y Y N Y n N n 1 1 Z eq Z Z N N 1 n 1 Z n 9

10 Notons que pour deux impédances en parallèle, on peut écrire : Il s agit d un résultat très pratique. Z eq Z + Z Revenons au cas de deux impédances en parallèle : I 1 I Y 1. On arrive à des expressions Y 1 +Y très utiles pour calculer les courants sans passer par les tensions, on parle de pont diviseur de courant : Pont diviseur de courant: I 1 I Y 1 Y 1 +Y I Y Y 1 +Y I Z + Z I + Z I Dans le cas de N impédances en parallèle, on obtient de même : I n expression sera peu utilisée. Y n Y 1 +Y Y N I. Cette c Deux exemples importants 10

11 4.4 Générateur de Thévenin et générateur de Norton Modèle de THEVENIN générateur de tension Modèle de NORTON générateur de courant Th Z Th I I I No Y No Passage de l un à l autre Z Th Z No Z Th ZI No I No Th Z V Réponse d un circuit RLC série à une excitation sinusoïdale et phénomène de résonance 5.1 Position du problème OBJECTIF : Déterminer u c t, i t 11

12 5. Equation intégro-différentielle qui gouverne l intensité La loi des mailles nous donne : u GBF t Ri t On dérive cette équation par rapport au temps : d i t + R L 0 Q di t + L di t t + 1 C i t + 1 i t " LC L sin m t 0 Solution : i t i RT t + i RP t i RT t solution général sans second membre, solution du régime transitoire libre DEJA V: 0 Q > 1 Q < 1 Q 1 régime pseudo-périodique régime apériodique " régime critique ce régime va disparaître au bout de quelques L R i RP t solution particulière avec second membre, solution du régime permanent forcé NOVEA : Quelle solution prendre? Le générateur va imposer à toutes les grandeurs du circuit tension, intensité d osciller à la même pulsation que lui donc : i RP t I m cos t + " : connue, imposée par la générateur I m et " : inconnue, à déterminer, fonction de Dans la suite de ce chapitre, nous allons nous intéresser uniquement à la détermination de i RP t que nous noterons simplement i t. En effet lorsque t >, i t i RP t, nous sommes alors en régime permanent dont l étude est l objectif principal de ce chapitre cf figure cicontre. Régime transitoire Régime permanent Figure réalisée avec MAPLE, cf TD d informatique n 1

13 5.3 Recherche de la solution du régime permanent forcé par la représentation complexe, utilisation des amplitudes complexes u GBF REPRESENTATION TEMPORELLE u GBF t m cos t i t I m cos t + " t Ri t d + L di t + 1 i t i t C i 0 REPRESENTATION COMPLEXE m e j 0 m I I m e j j" 1 j" RI + jli + 1 jc I Equation différentielle, difficile à résoudre Inconnue i t Equation algébrique, facile à résoudre Inconnue I Nous allons donc résoudre l équation algébrique : RI + jli + 1 jc I " Z I avec Z R + j L 1 eq eq C On retrouve l expression de l impédance équivalente du groupement RLC série. Au final : I " R + j L 1 C EGALITE ENTRE DEX NOMBRES COMPLEXE Egalité des modules : Egalité des arguments : I m m R + L " 1 C tan " L" 1 C" R On a résolue le problème, c est-à-dire déterminer I m et " qui sont fonction de la pulsation imposée par le générateur. On peut faire apparaître les grandeurs suivantes : 13

14 0 " 1 LC la pulsation propre du circuit. Q L" 0 R 1 RC" 0 le facteur de qualité du circuit sans unité. x " " 0 la pulsation réduite sans unité. Avec les notations suivantes, on peut réécrire : I m x m R 1 " 1 + Q x 1 x et tan x " Q x 1 x 5.4 Résonance en intensité On constate que pour x 1 0 Q, on parle de RESONANCE EN INTENSITE., I m atteint sa valeur maximale, quelque soit la valeur de " I max m m R 0 0 I m 0 quelque soit la valeur de Q On appelle BANDE PASSANTE l intervalle " " " 1 ou x x " x 1 tel que, par définition, I m max I m I m max sinusoïdal. le facteur a un lien avec l énergie, cf cours sur la puissance en régime " I max m I m 1, m R m R + L 1 C I max m ou I m x x 1, m m R R Q x " 1 x 1 + Q x " 1 x 1 Q x " 1 x x " 1 x 1 soit x x 1 0. On a donc 4 Q Q solutions dont positives qu il faut garder. x 1 1 Q + 1 x 1 Q Q + 4 " 1 Q + 4 x 1 et x dépendant de Q x x x 1 1 Q 1 0 Q R * L 14

15 On constate que plus le facteur de qualité est grand faible amortissement plus la résonance est étroite. 5.5 Représentation graphique de l amplitude et de la phase a Graphe de I m x - Quand x 0, " 0, I m 0. - Quand x ", ", I m 0. I m I m max - Quand x 1, " 0, I m m R. Q 5; ;1; 1 ; 0, b Graphe de x - Quand x 0, " 0, ". - Quand x ", ", ". - Quand x 1, " 0, 0. - Quand x x 1,, " arctan ±1 ± 4. Pour chaque valeur de " 0, il y a une valeur de x 1 et x différente. Q 5; ;1; 1 ; 0, 15

16 Le phénomène de résonance est très général en physique mécanique, optique, physique des particules. Il y a résonance quand on excite un système avec une fréquence identique à sa fréquence propre. 5.6 Résonance en tension a Recherche de la pulsation de résonance Nous cherchons à présent à déterminer u c t aux bornes du condensateur sous la forme u c t cm cos t + " c. Il faut donc trouver cm et c qui dépendant de la pulsation du générateur. Nous passons en représentation complexe : u c t cm cos t + " c c cm e j" c C du t c I jc c i t c 1 LC" + j"rc EGALITE ENTRE DEX NOMBRES COMPLEXE Egalité des modules : Egalité des arguments : cm m 1 " x + x Q tan c " x Q 1 x Il y a RESONANCE EN TENSION aux bornes du condensateur quand cm est maximale. On cherche la pulsation réduite x r pour laquelle cm x x r max cm. cm est maximale quand 1 x + x est minimale : Q " " d 1 x + x Q dx 0 1 x r x r + Q x 0 x r r 1 1 Q x x r > 0. x r n existe que si Q > 1. Si Q > 1, il y a résonance en tension et x r 1 1 Q ou r 0 1 " 1 Q. Si Q < 1, il n y a pas de résonance en tension. 16

17 Contrairement à la résonance en intensité, la résonance en tension n existe que si Q > 1. De plus la pulsation de résonance r dépend du facteur de qualité Q. b Graphe de cm x - Quand x 0, " 0, cm m. - Quand x ", ", c m 0. cm m - Quand Q augmente et Q > 1 x r 1. c Graphe de x Il y a une subtilité ici car la fonction tan est défini à près. - Quand x 0, " 0, c " 0. 0 x 1 ainsi tan c " 0 donc " c 0. - Quand x ", ", c " x 1 ainsi tan c " 0. On choisi le domaine " c " car c doit être continue cf figure ci-dessous. 17