3 Types de régimes. Signaux et phénomènes de transports Chapitre 3 : Régimes transitoires du premier ordre. Exercices d application

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1 Feuille d exercices P06 Lycée Hoche BCPST1A A. Guillerand Signaux et phénomènes de transports Chapitre 3 : Régimes transitoires du premier ordre Exercices d application 1 Relation entre et pour un condensateur Donner la relation entre et puis entre et dans les situations suivantes. 3 Types de régimes Dans les exemples suivants, distinguer les différentes phases du signal. 1. Haut-parleur Un haut-parleur, posé horizontalement, est relié à un oscilloscope. On laisse tomber une bille sur la membrane du haut-parleur et on enregistre la tension que provoque la percussion au niveau de la membrane. Figure 1 2 Conditions initiales et valeurs en régime stationnaire On analyse le fonctionnement du circuit de la figure 1. À l instant on ferme l interrupteur, le condensateur étant déchargé. 2. Masse oscillante Figure 3 : Oscillogramme Une masse initialement à l équilibre est mise en mouvement d oscillation grâce à un système motorisé. Sa position est mesurée grâce à un système d acquisition. Figure 2 : Circuit étudié 1. Déterminer la valeur de et. Au bout d un certain temps après avoir fermé l interrupteur, le régime stationnaire est atteint. 2. En dessinant le circuit équivalent en régime stationnaire, déterminer la valeur limite de et de. Figure 4 : Évolution de la position de la masse en fonction du temps Signaux et phénomènes de transports Chapitre 3 : Régimes transitoires du premier ordre Page 1

2 Feuille d exercices P06 Lycée Hoche BCPST1A A. Guillerand Analyse d un oscillogramme On analyse le fonctionnement du circuit de la figure 5. A un instant donné, on ferme l interrupteur, le condensateur étant déchargé. Figure 5 : Circuit étudié On enregistre l évolution de sur un oscilloscope en mode balayage (figure 6). La base de temps est de 1ms/division et la sensibilité verticale est de 5V/division. Figure 6 : Oscillogramme enregistré 1. Donner une estimation de la valeur numérique de. 2. Par deux méthodes différentes, estimer la valeur numérique de, temps caractéristique du régime transitoire. Signaux et phénomènes de transports Chapitre 3 : Régimes transitoires du premier ordre Page 2

3 Exercices d entraînement 5 Réseau RC On analyse le fonctionnement du circuit de la figure 4. A l instant on ferme l interrupteur. On suppose qu avant le circuit de droite avait atteint un régime permanent. 7 Circuit à deux positions de charges On étudie le circuit suivant : Figure 1 : Circuit étudié 1. Que vaut la ddp juste avant de fermer le circuit? Justifier brièvement mais rigoureusement. 2. En utilisant les équivalences des dipôles de Thévenin et Norton, déterminer le circuit RC série équivalent au circuit étudié (pour ). En déduire l équation différentielle vérifiée par. 3. Déterminer l expression temporelle de et la représenter graphiquement. Application numérique : ; ;. 6 Réponse d un réseau RC à un échelon de courant Un générateur de courant réel alimente à le groupement série (R,C) figure 2. Pour, l interrupteur est ouvert. Déterminer pour. Figure 3 : circuit étudié L interrupteur en position permet de charger le condensateur à l aide du générateur de Thévenin (, l interrupteur en position permet de charger le condensateur à l aide du générateur de Norton (. La situation étudiée est la suivante : pour l interrupteur est en position et le régime permanent est atteint. À on bascule l interrupteur en position. Pour déterminer l expression de en fonction du temps et exprimer la constante de temps caractéristique du circuit. Tracer le graphe en précisant la valeur en, la valeur asymptotique et en reportant la constante de temps (vous analyserez graphiquement deux cas distincts). 8 Modélisation de l oscilloscope On souhaite étudier la charge d un condensateur à l oscilloscope. Voici le circuit d étude : Figure 2 : Circuit étudié Figure 4 : circuit étudié Signaux et phénomènes de transports Chapitre 3 : Régimes transitoires du premier ordre Page 3

4 1. Représentez le circuit tel que vous allez le construire et les branchements de l oscilloscope permettant de visualiser en voie 1 la tension aux bornes du condensateur. 2. Donner l équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur de ce circuit. Donner l expression de la constante de temps de ce circuit. Le fonctionnement interne de l oscilloscope peut se modéliser de la façon suivante. Il possède une résistance interne notée et une capacité interne notée qui peuvent donc entraîner des perturbations dans le circuit d étude Lors d une inhibition l interrupteur est ouvert et est fermé, Lors d un état de repos les deux interrupteurs sont ouverts. Lors d une excitation de durée finie, on observe une diminution exponentielle de la différence de potentiel avec une constante de temps de et lors d une désexcitation ( et ouverts) un retour à avec une constante de temps. 1. Déduire des valeurs de et une relation entre et. 2. Déduire de ces valeurs la réponse du neurone à un signal d inhibition de durée dans les deux cas suivants (on ne demande que des résolutions numériques) : 2.1. lorsque la cellule est au départ ( ) au repos ( toujours ouvert) puis retourne au repos pour. tracer le graphe lorsque la cellule est au départ excitée ( s ouvrant à ), puis retourne au repos pour. tracer le graphe 10 Flash d appareil photographique Figure 5 : modélisation de l oscilloscope 3. Déterminer l équation différentielle vérifiée par la tension aux bornes du condensateur de ce circuit en tenant compte des perturbations apportées par l oscilloscope. Donner l expression de la nouvelle constante de temps de ce circuit. 4. Quelles conditions doivent vérifier et pour que la perturbation engendrée par l oscilloscope soit négligeable? 9 Modélisation électrocinétique d un neurone La membrane d un neurone peut être grossièrement représentée par le modèle électrique de la figure 8, avec et. Figure 4 : Modélisation électrocinétique d un neurone Lors d une excitation l interrupteur est ouvert, est fermé et Un flash d appareil photo est modélisé par le circuit de la figure 5. Figure 5 : Modélisation du flash Lors de l étape de charge, l interrupteur K est en position (1) : le condensateur de capacité est alimenté par une pile de fem et de résistance interne. Lors de la décharge (flash), l interrupteur bascule en position (2) et alimente la lampe, assimilée à un conducteur ohmique de résistance. 1. Estimations Les réponses sont attendues sans longues démonstrations, mais avec les connaissances acquises sur le circuit RC série Donner une estimation du temps de charge du flash 1.2. Quelle est la ddp aux bornes du condensateur chargé quand l interrupteur est ouvert (position entre (1) et (2)? 1.3. Donner une estimation de la durée de l éclair lumineux. Signaux et phénomènes de transports Chapitre 3 : Régimes transitoires du premier ordre Page 4

5 2. Flash : évolution du condensateur Le photographe commence à charger le flash à l instant puis prend la photo s plus tard. Donner l évolution de u(t) tout au long du processus. (Remarque : il pourra être astucieux d effectuer un changement d origine des temps lors de la décharge.) Tracer la courbe ), en calculant en particulier les instants pour lesquels. 3. Intensité Donner l expression de l intensité circulant dans le condensateur et tracer son évolution temporelle. 11 Le refroidissement d un steak Après une dure journée de chasse, un inuit rentre dans son igloo pour se restaurer ; il décide de se faire cuire un steak. Le steak est assimilé à un pavé de dimension (épaisseur), (largeur) et (longueur). En fin de cuisson il atteint une température. Il est alors sorti de la poêle et posé sur une plaque à découper en bois. On suppose que cette plaque de bois est un bon isolant thermique. La température de l air à l intérieur de l igloo est. La capacité thermique massique du steak vaut et sa masse volumique vaut. La convection naturelle entraîne une perte thermique pendant l intervalle de temps qui suit la loi de Newton : avec, appelé coefficient d échange, valant Le steak possède la capacité d emmagasiner de l énergie. La variation de l énergie interne du steak (notée ) est directement proportionnelle à la variation de température du steak, par la formule : avec la variation élémentaire de température du steak et la variation élémentaire de liée à cette variation de température et la capacité thermique du steak (grandeur constante) On suppose que la température dans le steak reste uniforme et ne dépend que du temps : 1. Écrire l équation du bilan thermique (bilan d énergie) pour ce steak refroidi par convection naturelle et donner l équation différentielle qui régit 2. Quelle est la constante de temps caractéristique du refroidissement de ce système? Application numérique. 3. Exprimer l expression de la température en fonction du temps et des données du problème. Tracer le graphe en fonction de 4. Au bout de combien le steak est-il à? 5. Modéliser ces transferts énergétiques par un circuit électrique vérifiant la même équation différentielle. Vous préciserez à chaque fois à quoi correspondent chaque composant électrique et chaque grandeur. 6. Quelle approximation fait-on en disant que la température dans le steak reste uniforme? 12 Chauffage d une pièce avec pertes thermiques On considère une pièce d habitation et on nomme «parois» l ensemble des murs (avec porte(s) et fenêtre(s)), sol et plafond qui la délimite. La température extérieure est constante, et on admet que l ensemble {air intérieur + parois} de capacité thermique, est à chaque instant à une température uniforme. La pièce possède la capacité de stocker de l énergie. La variation de l énergie interne de la pièce (notée ) est directement proportionnelle à la variation de température du steak, par la formule : avec la variation élémentaire de température de la pièce et la variation élémentaire de liée à cette variation de température et la capacité thermique de la pièce (grandeur constante) On note la résistance thermique des parois qui séparent la pièce de l extérieur. La pièce est chauffée par un radiateur de puissance thermique libérée mis en route à l instant, instant auquel la température intérieure initiale vaut. 1. Établir, en précisant le système considéré, une équation différentielle vérifiée par. 2. En déduire l expression de en fonction du temps en introduisant un temps caractéristique. Tracer le graphe en fonction de. Calculer et la valeur atteinte par si le radiateur fonctionne pendant un temps très long. Données :,, et Modéliser ces transferts énergétiques par un circuit électrique vérifiant la même équation différentielle. Vous préciserez à chaque fois à quoi correspondent chaque composant électrique et chaque grandeur. Signaux et phénomènes de transports Chapitre 3 : Régimes transitoires du premier ordre Page 5

6 13 Diffusion à travers une membrane 1. L expression du flux de molécules à travers toute la membrane s écrit sous la forme : Le système suivant est constitué de deux volumes et contenant des molécules identiques et séparés par une membrane poreuse. On note les densités particulaires de chaque compartiment et : nombre de molécules par unité de volume. Au départ. Avec la résistance particulaire, Figure 6 : Système étudié On note le coefficient de diffusion des molécules. La membrane poreuse a une largeur et une surface en contact avec les volumes et comporte par unité de surface pores cylindriques de rayon. Dans chaque pore s établit un flux de molécules suivant l axe tendant à égaliser les densités particulaires. On note l écart entre les densités particulaires dans les deux volumes. A quoi correspond le terme? Vérifier la cohérence de cette formule. Donner l unité de. 2. En effectuant un bilan de particules dans le système déterminer une équation reliant le flux de molécules et les dérivés de nombre de molécules par rapport au temps et. 3. Déterminer une équation différentielle vérifiée par et la résoudre. Tracer le graphe en fonction de. 4. Calculer le temps au bout duquel au bout duquel Données :,,,,,. Modéliser les transferts de molécules par un circuit électrique vérifiant la même équation différentielle. Vous préciserez à chaque fois à quoi correspondent chaque composant électrique et chaque grandeur. Signaux et phénomènes de transports Chapitre 3 : Régimes transitoires du premier ordre Page 6