G(dB) 4. Filtrage graphique Soit le diagramme de Bode asymptotique de la fonction de transfert H donné ci-contre.

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1 PSI FEUILLE D EXEIES DE SIENES PHYSIQUES N 1 3/9/ /217 Thème: évisions 1ère année APPLIATIONS DIETES : 1. Modèle de Thévenin : Donner le schéma électrocinétique d un générateur de Thévenin. Orienter courant et tension, et donner la relation entre ces deux grandeurs. Un générateur réel (donc de Thévenin) présente une différence de potentiel de 22 V quand il est traversé par un courant de 2A. La différence de potentiel monte à 3 V lorsque l intensité du courant descend à 1,2 A. Déterminer la fém et la résistance interne du générateur de Thévenin, ainsi que la valeur de la résistance de charge (résistance placée aux bornes de ce générateur) qui permet d obtenir les valeurs de tension et d intensité dans les deux situations de l énoncé. 2. ircuit L Un circuit série composé d une bobine idéale d inductance L associée en série avec une résistance est soumis à un échelon de tension. On enregistre le régime transitoire aux bornes de la résistance à l aide d une interface Sysam et de Latis pro. Après avoir justifié les valeurs prises par cette tension à l instant initial et en régime permanent, représenter l allure de la courbe obtenue. Mêmes questions si on s intéresse à la tension aux bornes de la bobine. Déterminer l équation différentielle dont est solution la tension aux bornes de la résistance. En déduire l équation différentielle dont est solution la tension aux bornes de la bobine. 3. Système d ordre 1 On donne la réponse à un échelon d un système d ordre 1. Déterminer la valeur numérique de la constante de temps de ce système. Pour quelles valeurs de t (en ms sur le graphe) a-t-on le régime transitoire? Le régime permanent? Le régime permanent est-il stationnaire ou sinusoïdal forcé? Le système d ordre 1 est un circuit série où le condensateur est initialement déchargé. Sachant que s 2 est une tension, aux bornes de quel dipôle a-t-elle été relevée? Est-ce que s 2 est une fonction continue du temps? Quelle est la valeur de l échelon? Ecrire l équation différentielle dont s 2 (t) est solution. Tracer le portrait de phase de s 2. Dessiner le circuit qui permet d étudier la réponse fréquentielle correspondant à cette réponse indicielle. S agit-il d un filtre d ordre 1 ou 2? En remplaçant le condensateur par son dipôle équivalent en haute et basse fréquence déterminer la nature du filtre. Donner sa fonction de transfert et la valeur numérique de sa pulsation de coupure. 4. Filtrage graphique Soit le diagramme de Bode asymptotique de la fonction S de transfert H donné ci-contre. E Déterminer la nature, l ordre et la bande passante de ce filtre. Sachant que les tensions sont exprimées en V et le temps en s, déterminer l expression de s(t) si : e 1 (t) =, G(dB) (rad) f(hz)

2 e 2 (t) =,2. cos(2 *1 *t) e 3 (t) = 4. cos(2 *1 2 *t) e 4 (t) = 5. cos(2 *1 3 *t) e 5 (t) = 5. cos(2 *1 4 *t) eprésenter graphiquement e 1 (t) et s 1 (t) sur le même graphe ; e 2 (t) et s 2 (t) sur le même graphe ; e 3 (t) et s 3 (t) sur le même graphe ; e 4 (t) et s 4 (t) sur le même graphe. Tracer le spectre de Fourier de e(t) = e 1 (t) + e 2 (t) + e 3 (t) + e 4 (t) + e 5 (t) puis celui de s(t). Quels noms particuliers donne-t-on à e 1 (t) et s 1 (t) dans e(t) et s(t)? Tracer à l aide de votre calculatrice e(t) et s(t). 5. aractéristiques d un système d ordre 2 Une bobine réelle, en série avec un condensateur de capacité o forme un circuit résonant, dont le modèle électrique est représenté ci-dessous. A t= le condensateur est initialement chargé la tension à ses bornes vaut K L v () U, et on ferme l interrupteur. c 1) Après avoir rappelé quelles sont les grandeurs électrocinétiques continues pour un condensateur et une bobine, déterminer v (t= + ) et i(t= + ). En déduire la valeur de la tension aux bornes de la bobine à l instant t = +. Que deviennent ces valeurs lorsque le régime permanent est atteint? On a enregistré sur l oscilloscope numérique la courbe suivante : i(t) v c t o (b) u (b) (t) y 1,88 y 2,19,88 t 1 t 2 t (ms) 2) Quelle est la grandeur mesurée? 3) Etablir l équation différentielle dont i(t) est solution. On posera 4) D après la courbe précédente quelle condition a-t-on sur m? 1 L et m 2L.

3 2 5) On pose = o 1 m. Quel nom donne-t-on à cette grandeur? Déterminer sa valeur numérique à l aide de la courbe précédente. 6) Donner la forme de y 1 (t) en fonction du produit m o et de 7) Montrer comment la connaissance du rapport des amplitudes y 1 (t 1 ) et y 2 (t 2 ) permet de trouver la valeur du produit m. AN 8) En déduire une expression de o en fonction du produit m o et de, puis calculer la valeur numérique de o. EXEIES : I. Les différentes réponses d un système linéaire Soit le circuit ci-contre avec = L, on pose =. e L s 1. Etablir l équation différentielle liant l entrée e(t) à la sortie s(t). 2. Quelle est la forme de la réponse libre? 3. alculer la fonction de transfert de deux manières : directement, puis à partir du résultat de la 1 ère question. 4. e(t) = e o cos( t). Quelle est la réponse en régime sinusoïdal forcé? 5. Pour t< e(t) =. On applique alors e(t) = e o cos( t). Quelle est la forme de la sortie? On ne cherchera pas à déterminer les constantes, mais on établira les relations permettant de les obtenir. II. Filtrage On utilise le filtre ci-contre : e(t) s(t) a) En effectuant un schéma équivalent en BF (basse fréquence), puis un autre en HF (haute fréquence), déterminer sans calcul la nature de ce filtre. b) Déterminer la fonction de transfert H(x) de ce filtre en fonction de x = c) Déterminer sa pulsation de coupure c, en fonction de et. d) On a tracé ci-dessus le diagramme de Bode en gain de ce filtre. Déterminer un ordre de grandeur du produit.

4 e) En haute fréquence, pourquoi parle-t-on d'une intégration? omment vérifie-t-on cette propriété sur le diagramme de Bode en gain? Vers quelle valeur tend alors le déphasage de s(t) par rapport à e(t)? III. Etude d un filtre passif Soit le filtre ci- contre : 1. Déterminer les comportements asymptotiques haute et basse L fréquence de ce filtre. En déduire la nature (passe-bas, passehaut, passe-bande) et l ordre de ce filtre. 2. Déterminer la fonction de transfert complexe H(j ) = s / e. La e H o mettre sous la forme : H(j ) = j j Q o o Exprimer H o, Q et o en fonction de, L et. 3. On prend 4 rad.s -1, proposer des valeurs réalistes pour L et. On veut Q =,1 proposer une valeur réaliste pour. Que vaut H o? Etait-ce prévisible? 4. On donne le diagramme de Bode en amplitude du filtre, en posant x = o. Tracer le diagramme de Bode asymptotique complet de ce filtre. 5. Déterminer graphiquement la bande passante à -3dB. Donner un ordre de grandeur de la pulsation de coupure c. 6. Si e(t) = 3 V, que vaut s(t)? Même question si e(t) = 3 cos (1 8.t) (en V, t en s), puis si e(t) = 3 cos(1 4.t ). eprésenter, dans ce cas e(t) et s(t) sur le même graphique. 7. Que peut-on dire de la nature de la réponse indicielle de ce filtre? IV. onditions initiales et finales Soit le circuit ci-contre, i où le condensateur est initialement déchargé. A t = on abaisse l interrupteur. Déterminer à l instant t = +, L K l intensité dans chaque branche, la tension aux bornes di de chaque dipôle, ainsi que L du et E i L u. dt dt Que deviennent ces grandeurs lorsque le régime permanent est atteint? Etablir l équation différentielle dont u (t) et solution et la mettre sous sa forme canonique. A quelle condition sur, L et le régime est-il pseudo périodique? Tracer alors l allure de u (t) sans résoudre l équation différentielle. Mêmes questions pour le régime apériodique. V. Nombre d oscillations d un système d ordre 2 Un système d ordre 2, de fréquence propre f o = =,163 Hz et de facteur d amortissement =,2 s -1, initialement au repos, est soumis à un échelon de position d amplitude X o. Il démarre avec une vitesse v nulle. On suppose que le régime est pseudopériodique et on pose, sa pseudopulsation. On s intéresse à la position x(t) du système au cours du temps. Exprimer x(t) en fonction de X o, et d un éventuel déphasage. s

5 De quelle équation différentielle est solution x(t)? En déduire l expression de en fonction de o et. AN : calculer numériquement et o, puis T = et T o = 1/f o. Quels noms donne-ton à ces deux grandeurs? ésoudre entièrement l équation différentielle et tracer x(t) à l aide de votre calculatrice. En déduire un ordre de grandeur du dépassement D. En déduire numériquement t le temps de réponse à 5%. omparer t et 1/ alculer numériquement t / T ainsi que f o /. Quelle signification physique peut-on donner à ces résultats? VI. Gabarit d un filtre : L émetteur qui assure la diffusion de France Inter sur les grandes ondes, transmet deux signaux autour de f o = 162 khz : Un signal analogique qui contient les informations sonores. Il occupe une bande de fréquence comprise entre 5 Hz et 5 khz de chaque côté de f o. Un signal numérique qui porte les informations horaires (date et heure). est ce signal qui permet de synchroniser les horloges des gares ou des dispositifs radiocommandés des particuliers. Il occupe une bande de fréquence de 8 Hz centrée autour de f o. omment récupérer le signal horaire?