PHYSIQUE I. À propos de l oscillateur à pont de Wien

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1 PHYSIQUE I À propos de l oscillateur à pont de Wien Les amplificateurs opérationnels (notés AO par la suite) utilisés dans ce problème sont identiques et supposés idéaux La tension de saturation en sortie de ces AO est notée V sat et on suppose que, dans tous les montages proposés, la saturation en courant n est jamais atteinte Toutes les valeurs numériques utiles sont regroupées ci-après : V sat = 14 V, = 1 nf, = 1 kω, 2 = 6 Ω, r = 1 kω, = 2 Ω, V p = 3 V et énoncé propose plusieurs graphes dont les échelles sont : Échelle des abscisses : t en secondes ( s) Échelle des ordonnées des graphes 4, 5 et 6 : V 1 ou en volts ( V) Partie I - Préliminaire On considère une fonction du temps t, V() t, solution de l équation différentielle : V d 2 V V en Volt dt 2 + bω dv ω 2 V = dt Graphe 1 b et ω désignent des coefficients 1 réels et constants, ω est positif 5 IA - Quelles sont les dimensions de b et ω Justifier t(s) brièvement votre réponse IB - Le graphe 1 représente -5 la fonction V() t en Volt pour un couple de valeurs de b et de ω -1 IB1) aractériser brièvement l allure de la courbe Quel est le signe de b? Quel est le signe du discriminant associé à oncours entrale-supélec 2 1/8

2 l équation différentielle ci-dessus? Que peut-on dire de la valeur de V à l instant initial? Justifier brièvement vos réponses IB2) En mesurant directement sur le graphe 1 les amplitudes et la pseudopériode des oscillations, expliquer pourquoi on peut négliger b 2 devant l unité et en déduire les valeurs numériques approximatives des coefficients b et ω V en Volt Graphe 2 25 V V en Volt Graphe début de la courbe début de la courbe I - Le graphe 2 représente la fonction V() t en Volt pour une seconde valeur du coefficient b ( ω n ayant pas été modifié) aractériser brièvement l allure de la courbe Quel est le signe de b? Quel est le signe du discriminant associé à l équation différentielle? Que peut-on dire de la valeur de V à l instant initial? Justifier brièvement vos réponses ID - eprendre la question I) dans le cas du graphe 3 où l on a donné au coefficient b une troisième valeur ( ω n ayant pas été modifié) Partie II - Montage de base IIA - IIA1) Dans le montage amplificateur (A) de la figure 1, montrer que, lorsque l AO fonctionne en régime linéaire, on peut écrire = GV 1 et exprimer le gain G de l amplificateur (A) en fonction de 1 et 2 oncours entrale-supélec 2 2/8

3 IIA2) Dans quel domaine de tensions V 1 peut-il varier sans provoquer la saturation de l AO On définira ainsi une valeur critique V 1 de la tension d entrée que l on exprimera en fonction de V sat et G IIA3) Tracer la courbe représentant en fonction de V 1 pour V 1 variant de V sat à +V sat + i 3 i 4 = V V 3 V 4 Figure 1 : Amplificateur (A) Figure 2 : filtre de Wien ( W) IIB - On considère le «filtre de Wien» ( W) représenté figure 2 et on suppose qu aucun courant ne sorte de ce filtre ( i 4 = ) Les équations demandées dans les questions qui suivent seront établies directement sans passer par la notation complexe IIB1) Exprimer le courant d entrée i 3 en fonction de,, de V 4 et de la dérivée dv 4 dt IIB2) Montrer que les tensions d entrée V 3 et de sortie V 4 sont liées par l équation différentielle : d 2 V 4 dv 4 2 dv dt 2 + aω ω dt V 4 = ω dt Exprimer le coefficient ω en fonction de et et déterminer la valeur numérique du paramètre a, valeur que l on utilisera ultérieurement II - On relie l amplificateur (A) + et le filtre ( W) suivant le schéma de V 1 la figure Figure 3 : oscillateur à pont de Wien oncours entrale-supélec 2 3/8

4 II1) Montrer que l on peut utiliser l équation obtenue à la question IIB2 II2) Montrer que la tension V 1 est régie par le système d équations différentielles d 2 V 1 dv dt 2 + b 1 ω ω dt V 1 = si V 1 V 1 d 2 V 1 dv si dt 2 + b 2 ω ω dt V 1 = V 1 > V 1 Exprimer le coefficient b 1 en fonction du gain G de l amplificateur (A) et déterminer la valeur numérique du coefficient b 2 II3) Montrer que la tension V 1 et sa dérivée dv 1 dt sont nécessairement des fonctions continues du temps II4) Quelle valeur minimale G doit-on donner au gain G pour faire fonctionner l oscillateur? Pourquoi? Dans toute la suite de ce problème, on supposera évidemment G G > IID - Première simulation : V on donne à la valeur 1 (V) Graphe 4 G G 1 = 31, et on observe la tension V 1 4 représentée sur le graphe 4 IID1) En vous aidant des résultats établis lors de la partie 2 I (Préliminaire), commenter de manière précise et claire la forme du graphe On distingue en particulier deux régimes successifs : un régime transitoire -2 où l amplitude des oscillations augmente et un régime établi où l amplitude des oscillations reste -4 constante ; expliquer pourquoi il en est ainsi IID2) Tracer, en conservant approximativement comme échelle des temps celle du graphe 4, l allure de la tension en fonction du temps t IID3) On se place en régime établi Mesurer la période des oscillations, en déduire la valeur numérique de la pulsation correspondante et comparer celleci à la valeur numérique de ommenter brièvement ω oncours entrale-supélec 2 4/8

5 IIE - Seconde simulation : on donne à G la valeur G 2 = 1 et on observe la tension V 1 représentée sur le graphe 5 6 V 1 (V) Graphe 5 IIE1) En vous aidant encore des résultats établis lors de la partie I, 4 commenter de manière précise et claire la forme du graphe Le régime transitoire 2 existe-t-il toujours? IIE2) Tracer, en conservant approximativement comme échelle des -2 temps celle du graphe 5, l allure de la -4 tension en fonction du temps t IIE3) Mesurer la période des -6 oscillations en régime établi ; est-elle très différente de celle mesurée en IID Pourquoi? IIE4) etrouver, à partir d une mesure adéquate sur le graphe, l ordre de grandeur de la valeur numérique de G 2 IIF - Est-il possible avec le montage proposé de régler l amplitude des oscillations? Pourquoi? + V 1 D TE 2 ( 1 k)r D i S G r i G = kr Figure 4 : oscillateur à amplitude contrôlée oncours entrale-supélec 2 5/8

6 Partie III - Montage avec contrôle de l amplitude des oscillations On remplace dans le montage la résistance 1 (V) Graphe 6 par un transistor à effet de 2 champ (noté TE sur la figure 4) Un TE est un dispositif électronique à trois bornes respectivement appelées 1 source S, drain D et grille G r ; on admettra que le courant i G entrant en G r est toujours nul On constate alors que, moyennant un bon choix des différents composants (choix que nous sup- poserons évidemment réalisé), l AO -1 fonctionne toujours en régime linéaire et, en régime établi, les tensions V 1 et sont pratiquement sinusoïdales -2 (graphe 6) Dans toute la suite, on se place donc en régime établi et on suppose les tensions V 1 et parfaitement sinusoïdales de même pulsation Ω et d amplitudes respectives V 1 et ( Ω, V 1, et sont des constantes réelles positives) IIIA - onsidérons la partie de l oscillateur représentée figure 5 alimentée par la tension sinusoïdale () t = cosωt de période T = 2π Ω La diode D i est supposée idéale, sans tension de seuil, le coefficient constant k est réglable entre et 1 (les résistances kr et ( 1 k)r forment en réalité un potentiomètre), le courant i G est nul On suppose en outre que la résistance r et la capacité vérifient r Ω» 1 IIIA1) Étude du circuit lorsque le condensateur de capacité est débranché : déterminer la tension V G () t et tracer l une en dessous de l autre et avec les mêmes échelles de temps et de tension les courbes représentant les tensions () t et V G () t IIIA2) Étude du circuit complet, condensateur branché : décrire qualitativement, en régime établi, l évolution temporelle de la tension V G () t On i D pourra s aider d une représentation graphique Sur i ( 1 k)r une période, à partir de quel instant t la diode i cesse-t-elle de conduire? Montrer que G = V G ( t ) k omment la tension V G () t évoluet-elle ensuite? V G kr V IIIA3) On désigne par V G la valeur moyenne et Figure 5 : détecteur de crête par V G l amplitude de l oscillation de la tension oncours entrale-supélec 2 6/8

7 V G () t sur une période Montrer que V G est sensiblement proportionnelle à la période T et est très faible devant V G ; exprimer (en faisant toutes approximations utiles) V G en fonction de k et et le rapport V G V G en fonction de r, et Ω IIIA4) Application numérique : déterminer la valeur minimale à donner à la capacité pour que le rapport V G V G soit inférieur à 1% On prendra pour valeur numérique de Ω celle qui correspond à ω Dans toute la suite on assimilera la tension V G () t à sa valeur moyenne V G IIIB - Dans le montage amplificateur (A ) de la figure 6 (partie de la figure 4), le TE se comporte entre les points S et D comme une résistance DS variable + contrôlée par la tension continue : DS = V 1 + G V P V G V 1 2 D k 2 V P k 2 Les constantes positives et V P sont caractéristiques du TE Dans ces conditions, G r i G = les tensions V DS = V D V S et TE V GS = V G V S doivent vérifier respectivement : 1V V et S DS 1V V G V P V GS Figure 6 : IIIB1) Exprimer le gain G' de l amplificateur amplificateur (A ) à amplitude contrôlée (A ) en fonction de DS et de 2 IIIB2) En utilisant la valeur de V G trouvée à la question IIIA3) exprimer G' en fonction de l amplitude de la tension () t et des paramètres V P,, et IIIB3) Quelle est la différence de phase entre les tensions V 1 et? IIIB4) Exprimer l amplitude en fonction de celle V 1 de la tension V 1 () t et de,, et III - On considère le filtre de Wien ( W) de la figure 2 en régime sinusoïdal III1) Déterminer la fonction de transfert complexe H( jω) de ce filtre (on note j le nombre complexe tel que j 2 = 1 ) en fonction de ω et Ω III2) Pour quelle valeur de la pulsation Ω les tensions V 3 et V 4 sont-elles en phase? Quelle est alors la relation entre les amplitudes V 3 et V 4 de ces tensions? IIID - Dans le montage oscillateur de la figure 4, on a relié amplificateur (A ) et filtre de Wien ( W) oncours entrale-supélec 2 7/8

8 V V IIID1) Montrer qu une oscillation sinusoïdale ne peut exister dans l oscillateur que si sa pulsation Ω possède une certaine valeur que l on exprimera en fonction de ω On supposera cette condition réalisée dans toute la suite IIID2) Tracer sur le même graphe deux courbes différentes de l amplitude de la tension en fonction de celle V 1 de la tension V 1 (cf questions IIIB4) et III2) En déduire les valeurs des amplitudes V 1 et de l oscillation en fonction de, 2, k, V P Quelle doit être la valeur minimale (à exprimer en fonction de ) de la résistance 2 pour que cette oscillation puisse exister? IIID3) Application numérique : alculer V 1 et en fonction du coefficient k Un bon fonctionnement du TE impose certaines conditions sur les tensions et à ses bornes (cf question IIIB) Montrer que ces conditions ne DS GS permettent pas de faire varier k entre et 1 mais dans un domaine plus restreint que l on précisera Vérifier que l AO fonctionne bien en régime linéaire emarque : pour obtenir des oscillations d amplitude plus élevée et pour ne pas être «ennuyé» par la condition restrictive sur le coefficient k, on place en général une résistance en série avec le TE pour permettre à ce dernier de toujours se comporter comme une résistance variable, même lorsque l amplitude des oscillations est plus importante IIID4) Le graphe 6 représente la tension () t à la sortie de l amplificateur (A ) En mesurant l amplitude de cette tension, en déduire la valeur du coefficient k du montage IIID5) Montrer, en utilisant le graphe établi à la question IIID2, que l amplitude de l oscillation reste stable FIN oncours entrale-supélec 2 8/8