D.M : Résolution des équations différentielles Méthode d'euler

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1 D.M : Résoluion des équaions différenielles Méhode d'uler I - La méhode d'uler : les bases mahémaiques - définiion du nombre dérivée en un poin Soi y = f(x la foncion considérée (supposée coninue e dérivable La valeur de la dérivée au poin x o es obenue par : f '(x = lim h 2 - Déerminaion d'une soluion approchée d'une équaion différenielle f (x + h f (x h Le problème es de déerminer une foncion don on connaî l'expression de la dérivée e la valeur iniiale : f'(x es connue e f(x = y De l'expression précédene, on dédui en première approximaion dans le cas où h rese pei, la valeur de f(x +h connaissan la valeur de f(x e sa dérivée au poin x : f(x +h f(x + h. f '(x n posan x = x + h, on obien : y = f(x f(x + h. f'(x De même f(x +h f(x + h. f '(x n posan x 2 = x + h, on obien : y 2 = f(x 2 f(x + h. f '(x n généralisan, on obien : y n = f(x n f(x n- + h. f '(x n- iniiale Pour h voisin de, les poins M (x n ; y n son proches de la courbe de la primiive f de f' vérifian la condiion Aspec graphique (T Soi C la représenaion graphique de la foncion f(x. f(x +h.f'(x f(x +h f(x r j r i M M x x +h C f(x f'(x es la valeur du coefficien direceur de la angene (T à la courbe C au poin M. Le poin M de la courbe C es el que y(m = f(x = f(x +h Sur le graphe apparaî l'écar enre f(x +h e f(x + h.f'(x. Il es donc nécessaire que l'incrémen h soi le plus pei possible pour la foncion calculée soi la plus proche possible de la primiive recherchée. 3 - Applicaion aux siuaions physiques : la méhode d'uler Désignons par l'inervalle de emps (acquisiion informaisée, séquence vidéo, enregisremen sur able à coussin d'air la dae, y la grandeur physique éudiée, on pourra écrire : y( i+ = y( i +. y'( i exemples cas d'une ension : u( i+ = u( i +. u'( i cas d'une viesse : v( i+ = v( i +. v'( i = v( i +. a( i avec a( i accéléraion à la dae i. cas d'une posiion : x( i+ = x( i +. x'( i = x( i +. v( i avec v( i viesse à la dae i. La connaissance des grandeurs à la dae i perme de déerminer la siuaion à la dae i+. Par récurrence on déermine ainsi les valeurs successives. Tou repose évidemmen - sur la valeur à la dae = : condiions iniiales - l'expression de la dérivée à cee dae.

2 II - un exemple en physique : la charge du condensaeur - L'analyse physique L'éude de la charge du condensaeur condui à l'équaion différenielle : C R U c du U c + c = d qu'on écrira sous la forme : u + u' = qui perme d'exprimer u e u' : u = - u' e u' = ( - u l'écriure en faisan apparaîre la variable : u( = - u'( e u'( = ( - u( 2 - la soluion analyique Dans ce cas, on connaî la soluion analyique de cee équaion différenielle : u = ( - e = ( - e Cee foncion peu êre représenée dans un ableur. 3 - la résoluion par la méhode d'uler Les condiions iniiales à o = : u( = e u'( = L'évoluion en foncion du emps donne : = dae = u( = u( +. u'( e u'( = ( - u( e ainsi de suie ce qui peu se résumer sous forme de ableau : dae u analyique u( u'( = u = ( - e u( = u'( = = u = ( - e u( = u( +. u'( = u'( = ( - u( u'( 2 = ( - u(2 2 = 2. u = ( - e u( 2 = u( +. u'( On consae que chaque ligne du ableau peu se calculer par référence aux cellules de la ligne ou de la ligne précédene. 4 - Uilisaion d'un ableur (xcel 4. - grandeurs physiques Saisir les paramères du circui (A3:A7 e leurs valeurs (B4:B6 Calculer la valeur de la consane de emps en B7 : = B5*B6 Saisir les paramères pour monrer l'influence du pas sur la méhode d'uler. Ici le choix du pas a éé fai par rappor à la durée de charge prise égale à 5. On divise cee durée par un nombre noé k. On enrera la valeur de k en D5 e le pas sera alors calculé en D6 par = 5 * B7 / D5.

3 4.2 - ableau des calculs Ligne 9 : les ires lignes les condiions iniiales ligne e suivanes les calculs. en colonne A la dae es calculée avec un incrémen de. voir ableau ci-dessous. paramères du circui paramères pour monrer l'influence de condiions iniiales = =5 * B7 / D5 = =$B$4/$B$7 saisie en 2 ème ligne =A+$D$6 =C+$D$6*D =($B$4-C/$B$7 =$B$4*(-XP(-A/$B$7 recopier vers le bas en B Sélecionner les cellules A à D e recopier vers le bas sur 55 lignes remarque : la noaion $B$4 consiue une référence absolue e A une référence relaive : lors de la recopie la référence relaive es incrémenée (ligne A, A2... ou colonne B,C... selon la direcion de recopie alors que la référence absolue es conservée représenaions graphiques Sélecionner les cellules A à C559 Choisir l'icône représenaion graphique : sélecionner nuage de poins e affichage des courbes lissées sans poins - séries en colonnes. Fixer l'échelle en x (axe des emps en échelle manuelle à,6 s : sélecionner la zone de raçage e le menu opions du graphique : échelle. Ce choix de fixer l'échelle en abscisse évie l'ajusemen auomaique en foncion du pas qui es choisi afin d'avoir une visualisaion fixe de la courbe analyique. 5 Influence du pas dans la méhode d'uler : Faire varier la valeur de k : observer les résulas quand on donne à k des valeurs qui von de 5 à 5 par exemple. Conclusion. Imprimer les différenes courbes. III- Faire la même chose avec la décharge d un condensaeur - L'analyse physique 2 - la soluion analyique 3 - la résoluion par la méhode d'uler 4 - Uilisaion d'un ableur (xcel Faire varier la valeur de k : observer les résulas quand on donne à k des valeurs qui von de 5 à 5 par exemple. Conclusion. Imprimer les différenes courbes.

4 CORRCTION Charge d un condensaeur : influence du pas dans la méhode d uler

5 Décharge d un condensaeur - L'analyse physique L'éude de la charge du condensaeur condui à l'équaion différenielle : du U c + c = d qu'on écrira sous la forme : u + u' = qui perme d'exprimer u e u' : u = - u' e u' = - (u R C l'écriure en faisan apparaîre la variable : u( = - u'( e u'( = - u( 2 - la soluion analyique Dans ce cas, on connaî la soluion analyique de cee équaion différenielle : u = -. e = -. Cee foncion peu êre représenée dans un ableur. e 3 - la résoluion par la méhode d'uler Les condiions iniiales à o = : u( = e u'( = - L'évoluion en foncion du emps donne : = dae = u( = u( +. u'( e u'( = - u( e ainsi de suie ce qui peu se résumer sous forme de ableau : dae u analyique u( u'( = u = -. e u( = u'( = - = u = -. e u( = u( +. u'( = u'( = - u( u'( 2 =- u(2 2 = 2. u = -. e u( 2 = u( +. u'( On consae que chaque ligne du ableau peu se calculer par référence aux cellules de la ligne ou de la ligne précédene. ension en V ,2,4,6 dae en s k=2