1) Déterminer la solution générale de l'équation différentielle E : y' 5y = 0.

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1 EXERCICES SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Exercice 1 Au cours de la raversée d'un milieu ransparen, l'énergie lumineuse es d'une par absorbée par le milieu, d'aure par diffusée (effe Compon). La variaion de flux énergéique Φ (en was) en foncion de la longueur raversée x (en mères) es donnée par l'équaion différenielle suivane : dφ = µ Φ dx - Le coefficien µ es appelé coefficien d'aénuaion linéique : µ = 4 10 (en m -1 ). 1) Résoudre l'équaion différenielle. 4 ) Déerminer sa soluion vérifian Φ ( 1000) = 14,3 10. Exercice (D après suje de Bac Pro MRBT Session 199) 1) Déerminer la soluion générale de l'équaion différenielle E : y' 5y = 0. ) Déerminer la soluion pariculière de l'équaion E prenan la valeur y(0) = 37 pour x = 0. Exercice 3 Le problème prend comme suppor l'éude mahémaique de la charge d un condensaeur à ravers une résisance, en réponse à une ension consane. Les paries A, B e C son indépendanes. PARTIE A L'éude de la différence de poeniel aux bornes du condensaeur mène à la résoluion de l'équaion différenielle suivane : u u E avec 3 3 '( ) + 10 ( ) = 5.10 ( ) 0 1) Déerminez les foncions u 1 soluions de l'équaion différenielle sans second membre : u 3 '( ) + 10 u( = 0 ) Vérifiez que la foncion u définie par u ( = 5 es soluion de l'équaion différenielle avec second membre : 3 3 u'( + 10 u( = ) On adme que oue soluion u de l'équaion différenielle (E) es une foncion définie, pour 0, par : u () = u() + u() 1 où u l es l'une quelconque des foncions rouvées dans la quesion 1. Déerminez complèemen u( si u(0) = 0. Exercices sur les équaions différenielles 1/5

2 PARTIE B Éude de la foncion u définie pour 0 par u( = 5(1 e ) avec a = Dans cee formule désigne le emps exprimé en secondes (s), e u( désigne la ension exprimée en vols (V). On désigne par (C) la courbe représenaive de u. 1) Déerminez la dérivée de la foncion u. ) Éudiez le signe de la dérivée sur l'inervalle [0 ; ], auremen di sur [0 ; 5/a]. 3) Dressez le ableau de variaion de u sur [0 ; ] 4) Déerminez une équaion de la angene T à la courbe (C) au poin d'abscisse 0 = 0. 5) Représenez dans un repère orhogonal la angene T e la courbe (C) pour apparenan à [0 ; ]. Prenez comme échelles : sur l'axe des abscisses cm pour s. sur l'axe des ordonnées cm pour 1 V. PARTIE C Calcul de la valeur moyenne de u avec u( = 5(1 e ) avec a = ) Calculez l'inégrale I = u( d 0 - On rappelle qu'une des primiives de f définie par f ( es la foncion F elle que : F( = 1 e a ) Que représene graphiquemen l'inégrale I? 3) Déerminez la valeur moyenne de u en vol sur l'inervalle [0 ; ] Exercice 4 (D après suje de Bac Pro Mainenance des réseaux bureauiques e élémaiques Session 1994) On applique enre les bornes A e B d'un circui RC une différence de poeniel u sinusoïdale elle que : u ( = 10sin(100π. Les valeurs de la résisance e de la capacié son respecivemen : R = (en Ω ) ; C = 1, (en F). Pendan la phase de décharge du condensaeur, la loi d'évoluion de la différence de poeniel y aux bornes de la résisance es donnée par l'équaion différenielle : y y ' + = 0 RC 1) Vérifier que oue foncion y elle que y( = Ke avec K consane réelle, es une soluion de l'équaion différenielle précédene. ) Exprimer y( dans le cas pariculier où R = Ω ; C = 10-7 F e y(0)=-10 (en V). y( 0 ) 3) Calculer pour que y( = (D après suje de Bac Pro MRBT Session 1988) Exercices sur les équaions différenielles /5 - RC

3 Exercice 5 Lors des essais du BUS NUMERIS de la salle de commande de la cenrale de producion nucléaire du CRUAS, des oscillaions conformes à la représenaion ci-dessous on éé relevées : La durée d'un éa binaire, soi T/, sera considérée comme égale à 5 µs. (ceci pour simplifier les calculs). On éudiera cee oscillaion auour d'une valeur moyenne dans l'inervalle [0 ; T/]. Au niveau du poin de mesure, le circui se compore comme un circui RLC ; on peu définir les oscillaions du signal comme une variaion de la charge q à l'inérieur du circui en foncion du emps au moyen de l'équaion différenielle : ² 1 d q dq q = 0 d² d l ère quesion : Résoluion de l'équaion différenielle 1) L'équaion différenielle ci-dessus adme pour équaion caracérisique r + 10 r = 0 Monrer que cee équaion adme deux racines disinces dans l'ensemble des nombres complexes. Écrire ces racines sous la forme α + jβ (α e β éan réels e j le nombre complexe el que j = -1) ) Résoudre l'équaion différenielle 1 y'' + 10 y' y = 0 où y es une foncion deux fois dérivable de la variable réelle. 3) Déerminer la soluion pariculière q de cee équaion vérifian les condiions q(0) = 0 e q(0, ) = 0,441 Exercices sur les équaions différenielles 3/5

4 ème quesion : Éude du signal A - A la récepion le signal es de la forme y = u sinω avec ω = 4π10 rad/s L'ampliude u es une foncion exponenielle du emps définie par 1 10 u( 1) Donner le ableau de variaion de la foncion u dans l'inervalle [0 ; ] ) Tracer la courbe représenaive C de u sur ce inervalle dans un repère orhogonal d'uniés : 4 cm pour 10 - s sur l'axe des abscisses e 10 cm pour 1 V sur l'axe des ordonnées. 3) Consruire la courbe symérique de C par rappor à l'axe des abscisses. B - Soi w la foncion de la variable réelle, définie par : w ( = sin(4π10 1) Déerminer la période T' du signal associé à cee foncion. ) Compléer le ableau suivan : 0 T /4 T / 3T /4 T 1 10 u( w ( = sin(4π10 s ( = u( w( 3) À parir des valeurs numériques précédenes donner l'allure de la courbe représenaive du signal amori s défini par s( = u( sin 3 ème quesion : Calcul d'une inégrale avec a = 10 e ω = 4π10. Soi S = e sin ωd On admera qu'une primiive de la foncion s peu s'écrire : 1 a ω S( sinω + cosω a² + ω² a² + ω² Calculer S. (D après suje de Bac Pro Mainenance des réseaux bureauiques e élémaiques Session 199) Exercices sur les équaions différenielles 4/5

5 Exercice Le condensaeur de capacié C se charge à ravers l'élémen résisif de résisance R sous l'acion d'une source de ension de force élecromorice coninue E. L équaion différenielle correspondane s'écri : dq q E ( 1) + = où q es la charge du condensaeur à l'insan. d RC R 1) Monrer que q 1 = CE es une soluion pariculière de l'équaion (1). q ) Résoudre l'équaion différenielle sans second membre q ' + = 0 RC 3) Sachan que les soluions de l'équaion y' + ay = f ( x) s'obiennen en ajouan à l'une d'enre elles oues les soluions de l'équaion différenielle sans second membre y' + ay = 0, écrire en uilisan les quesions 1) e ) la soluion générale de l'équaion différenielle (1). Que devien cee expression si à = 0, on a q = 0? (D après suje de Bac Pro Mainenance de l audiovisuel élecronique Session 1990) Exercices sur les équaions différenielles 5/5

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