CHAPITRE CP1 C Conversion électromagnétique statique

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1 PSI Brizeux Ch. CP1: Conversion électromagnétique statique 1 CHAPITRE CP1 C Conversion électromagnétique statique Les sources d énergie, naturelles ou industrielles, se trouvent sous deux formes : thermique (centrales thermiques à combustion d hydrocarbures, énergie solaire, centrales nucléaires) ou mécanique (chutes d eau, vent). Le plus simple moyen de transporter l énergie est de le faire sous forme électrique. Il est donc nécessaire de transformer les deux formes d énergie citées ci-dessus en énergie électrique. Nous étudierons, dans un prochain chapitre, le principe de la conversion électromécanique et son application aux machines tournantes (permettant de convertir de l énergie mécanique en énergie électrique). Nous nous intéresserons dans ce chapitre à la conversion de puissance qui s opère entre les lignes hautes tensions et l utilisateur. L énergie électrique est en effet transportée sous hautes tensions (typiquement 00 à 400 kv) : à puissance donnée, plus la tension est élevée, plus le courant (et donc les pertes par effet Joule) sont faibles. La distribution se fait, quant à elle, sous des tensions beaucoup plus basses (0 V). La conversion à opérer, appelée conversion électromagnétique statique, se fait dans les transformateurs qui permettent entre autres choses, d alimenter une charge sous une tension différente de celle de la source. Ces transformateurs permettent plus généralement de transférer, en régime alternatif, de la puissance électrique d une source placée à l entrée du transformateur (circuit dit primaire) à une charge placée à sa sortie (circuit dit secondaire). 1. LES MATERIAUX MAGNETIQUES 1.1. Le phénomène d aimantation Le phénomène fondamental intervenant dans les milieux magnétiques est le phénomène d aimantation : l'application d'un champ B extérieur aboutit à la création de moments dipolaires magnétiques moyens non nuls au sein de ce type de milieu, soit par création puis orientation de dipôles magnétiques microscopiques, soit simplement par orientation de dipôles déjà existants. On peut décrire macroscopiquement ce phénomène par une densité volumique de moment dipolaire M, appelée vecteur aimantation, telle que dans tout volume élémentaire du milieu apparaisse le moment dipolaire élémentaire : dm = M d" M : vecteur aimantation Le milieu est alors dit aimanté. Le vecteur aimantation s exprime en A.m - 1.

2 PSI Brizeux Ch. CP1: Conversion électromagnétique statique 1.. Le vecteur excitation magnétique H Cette assemblée de dipôles, même partiellement orientés est à son tour source de champ magnétique. L étude détaillée de ce champ montre qu il a la même expression que celui crée par une distribution de courants équivalents appelée courants d aimantation de densité volumique : j M = rotm. L équation de Maxwell-Ampère liant le champ magnétique à ses sources doit être modifiée en tenant compte des courants d aimantation. #E Dans l ARQS (où on néglige, rappelons-le, les courants dits de déplacement " 0 face aux #t courants de conduction j et aussi, dans les milieux magnétiques, aux courants d aimantation) l équation de Maxwell - Ampère s écrit : rotb = µ 0 ( j + j M ) Or nous avons vu que j M = rotm. Il vient alors : # B & rot% " M( = j $ µ 0 ' En posant équation : H = B µ 0 " M, on peut donc substituer à l équation de Maxwell-Ampère la nouvelle roth = j avec H = B µ 0 " M H est appelé vecteur excitation magnétique et peut être déterminé, dans des cas à symétrie simple, directement à partir des courants (n'incluant pas les courants d'aimantation). Au "théorème de Gauss des milieux diélectriques" répond le "théorème d'ampère des milieux magnétiques" : " Hdl = I enlacé C 1.3. Relations de continuité à la traversée de la surface séparant deux milieux Rappelons le problème : deux milieux notés 1 et sont séparés par une surface pouvant éventuellement présenter une répartition superficielle de courants j s, conçue comme un cas limite de ( ) et on a le couple ( ) dans le répartition j. Dans le milieu 1, on a le couple de champs B 1,H 1 B,H milie. L'équation divb= 0 n est pas modifiée dans un milieu magnétique et nous permet tout de suite d'affirmer :

3 PSI Brizeux Ch. CP1: Conversion électromagnétique statique 3 Bn = Bn1 L'autre équation nous donnera : Ht " Ht1 = j s # n 1 n La composante normale du champ magnétique est donc continue tandis que la composante tangentielle de l excitation magnétique est discontinue s il existe uns densité surfacique de courants Les milieux linéaires homogènes et isotropes (LHI) Il existe des milieux magnétiques, appelés milieux linéaires homogènes isotropes, pour lesquels l aimantation M est proportionnelle au champ magnétique B. Cette proportionnalité entraîne également une proportionnalité entre H et M qui a servi, pour des raisons historiques, à la définition d'une susceptibilité magnétique. On peut ainsi poser : M = " m H χ m susceptibilité magnétique qui conduit à la relation très simple : B H = µ " m ( ) = B µ 0 µ r = B µ Il y a proportionnalité entre relative du milieu. H et B, la constante sans dimensions µ r est appelée perméabilité Si enfin nous revenons à l équation de Maxwell-Ampère dans l ARQS pour ces milieux, nous obtenons : rotb = µj On revient donc aux équations de Maxwell du vide, en substituant la constante µ à la constante µ 0. Par conséquent, dans le cas où tout l'espace vide est remplacé par un milieu LHI, tous les calculs menés en magnétostatique du vide resteront valables à condition d'effectuer cette substitution Ainsi par exemple, un solénoïde circulaire infini entièrement rempli d'un milieu LHI aura une µ" S inductance propre L = et le champ interne vaudra B = µni. L

4 PSI Brizeux Ch. CP1: Conversion électromagnétique statique Les différents types de matériaux Il existe des différences entre deux types de milieux magnétiques LHI : Milieux Diamagnétiques : - le phénomène de diamagnétisme concerne tous les matériaux, il est lié au phénomène d induction : des milieux à qui on «impose» un champ magnétique réagissent par une aimantation tentant de s opposer par ses effets à ce champ magnétique. - χ m est donc négatif, de l'ordre de 10-5 (solides et liquides) à 10-9 (gaz) - χ m est indépendant de la température. Paramagnétisme : - le phénomène de paramagnétisme ne concerne que les matériaux possédant déjà un moment magnétique microscopique. L excitation magnétique appliquée tend à orienter ces dipôles. - χ m est alors positif, de l'ordre de le paramagnétisme, quand il existe, masque donc le diamagnétisme - χ m dépend de la température : χ m = où C est la constante de Curie. Les valeurs numériques de la susceptibilité pour les milieux dia et paramagnétiques restent faibles devant 1 si bien que la perméabilité relative µ r reste, elle, voisine de 1 : la différence de comportement par rapport au magnétisme du vide reste faible. Le magnétisme des milieux matériels pourrait donc être confondu avec celui du vide s il n existait un troisième type de milieux, les milieux ferromagnétiques, pour lesquels les différences de comportement sont très sensibles. Ces milieux, non linéaires, feront l objet d une étude spécifique en TP cours.

5 PSI Brizeux Ch. CP1: Conversion électromagnétique statique 5. LES CONSTITUANTS D UN TRANSFORMATEUR.1. Description Un transformateur est constitué d un circuit magnétique fermé (matériaux ferromagnétiques du fait de leurs perméabilités élevées) sur lequel sont réalisés deux enroulements conducteurs (fil de cuivre bobiné) électriquement indépendants : l enroulement primaire (relié à la source) et l enroulement secondaire (relié à la charge). enroulement primaire noyau magnétique (ici de forme torique) enroulement secondaire Du fait de sa perméabilité élevée, le noyau magnétique canalise les lignes de champ magnétique, assurant un fort couplage entre les circuits primaire et secondaire par induction mutuelle (voir cours d électromagnétisme sur l auto et la mutuelle induction).. Conventions d orientation On oriente le circuit magnétique de façon arbitraire, ce qui impose l orientation (commune) de toutes les sections du tore. Les spires bobinées sont ainsi également orientées. On a deux façons, représentées ci-dessous, d enrouler un fil autour d un tore: orientation du tore orientation du tore orientation du primaire orientation du secondaire orientation du primaire orientation du secondaire On indique par un point noir les bornes, dites bornes homologues, qui sont les bornes par où rentrerait un courant positif avec les conventions précédemment définies.

6 PSI Brizeux Ch. CP1: Conversion électromagnétique statique 6 3. LE TRANSFORMATEUR PARFAIT 3.1. Hypothèses simplificatrices Sur les enroulements : On néglige les pertes par effet Joule en considérant que le matériau dont on s est servi pour les enroulements est parfaitement conducteur. Sur le matériau constituant le noyau magnétique : On le considère comme linéaire, homogène et isotrope (matériau L.H.I.). On a donc B = µ 0 µ r H. Une hypothèse plus forte encore sera de considérer la perméabilité relative du matériau comme infinie (hypothèse justifiée par le fait que pour un matériau ferromagnétique par exemple, on a µ r >> 1). Sur le champ magnétique dans le noyau : On considère Bext = 0 ce qui revient à supposer le couplage parfait entre les circuits primaire et secondaire et donc la canalisation parfaite des lignes de champ. Le noyau se comporte donc comme un tube de champ. Comme le champ magnétique est à flux conservatif, son flux est constant à travers toute section du noyau magnétique. On considèrera de plus, mais ceci n est pas une hypothèse fondamentale et n a pour but que de simplifier les calculs, que B est uniforme en tout point d une section du tore. Cette hypothèse se justifie par le fait que R >>d. R d 3.. Equations du transformateur parfait Relation entre les tensions : Le théorème d Ampère le long d une ligne de champ donne, avec les conventions de la figure cicontre (a) : "RB πrh = n 1 i 1 + n i =. µ 0 µ r Remarque : avec les conventions de la figure (b), on aurait : πrh = n 1 i 1 - n i (a) (b) i 1 i u 1 i 1 i u 1

7 PSI Brizeux Ch. CP1: Conversion électromagnétique statique 7 n Le flux de B à travers une section S du tore vaut donc : φ c = 1 i 1 + n i "R µ 0µ r S. Il est appelé flux commun. Il est en effet identique pour toute section du tore du fait de l hypothèse des fuites négligeables (canalisation parfaite des lignes de champ). Le flux du champ magnétique à travers les n 1 spires du circuit primaire est donc φ 1 = n 1 φ c. Celui à travers les n spires du secondaire est φ = n φ c. Du fait des variations temporelles des intensités des courants, il apparaît des phénomènes d induction aux bornes des circuits primaire et secondaire. Les tensions aux bornes de ces circuits prennent, avec les conventions présentées ci-contre, les valeurs : d" u 1 = - e 1 = n c d" 1 et = - e = n c dt dt. u 1 e 1 e u 1 On a donc la relation : = n 1 n soit aussi : u 1 = n n 1 = m rapport de transformation. d" Remarque : on peut aussi écrire : u 1 = n c 1 dt = n 1 "R µ di 0µ r S 1 dt + n 1 n "R µ di 0µ r S dt = L di 1 1 dt + M di dt d" et = n c dt = n "R µ di 0µ r S dt + n 1 n "R µ di 0µ r S 1 dt = L di dt + M di 1 dt. Les équations couplées entre les circuits primaire et secondaire du transformateur sont donc : " di u 1 = L 1 1 dt + M di $ dt # $ di = L dt + M di 1 % dt Dans ces formules, L 1 et L sont les inductances propres des enroulements primaire et secondaire et M l inductance mutuelle entre les deux circuits. On constate que dans le cadre de nos hypothèses, pour le transformateur parfait : L 1 L = M. Cette relation est caractéristique d un couplage total entre les deux enroulements. En cas de couplage partiel (canalisation imparfaite des lignes de champ magnétique), on aurait : L 1 L > M. Relation entre les courants : En considérant µ r comme infini, alors que φ c doit rester fini, cela implique forcément que : n 1 i 1 + n i = 0 soit encore : i i 1 = " n 1 n = " 1 m

8 PSI Brizeux Ch. CP1: Conversion électromagnétique statique 8 Symbole du transformateur parfait : Les relations précédemment établies grâce aux hypothèses faites sont donc celles du transformateur parfait dont le symbole est le suivant : i 1 i u Le transformateur et les composantes continues Une composante continue dans le primaire crée une composante de φ c constante qui ne donne donc aucune f.é.m. induite aux bornes des bobinages. Il est donc primordial de noter que les relations précédemment établies ne sont valables que pour des signaux de valeur moyenne nulle. Les composantes continues injectées dans le circuit primaire sont «coupées» par le transformateur qui se comporte donc, vis-à-vis des signaux continus, comme un court-circuit Puissances instantanées Dans ce modèle de transformateur parfait, la puissance instantanée absorbée au primaire est p 1 = u 1 i 1 = - i. C est donc aussi la puissance instantanée cédée au secondaire. Dans un transformateur parfait, il n y a donc ni stockage, ni dissipation d énergie. La puissance instantanée fournie au primaire du transformateur parfait est intégralement transférée à la charge par le secondaire. On a donc aussi forcément la même relation pour les puissances moyennes : le rendement du transformateur parfait est donc 1. Celui du transformateur réel est bien sûr inférieur à cette valeur maximum théorique, cependant, il ne s en éloigne pas trop. C est ce qui fait qu on l utilise pour la conversion de puissance. Un matériau L.H.I. de perméabilité finie permet d obtenir une conversion de puissance de rendement unité. Dans ce cas cependant, on a stockage d énergie dans le matériau magnétique sans déperdition d énergie totale Transfert d impédance Vu du primaire, l ensemble {transformateur + charge} est équivalent à un dipôle dont nous pouvons déterminer l impédance équivalente appelée «impédance ramenée» et notée ici Z r. On se place en régime sinusoïdal permanent de pulsation ω. La charge du secondaire est un dipôle linéaire d impédance Z c.

9 PSI Brizeux Ch. CP1: Conversion électromagnétique statique 9 On a, par définition : Z r = U 1 I 1. Or U 1 = 1 m U et I 1 = - m I d où Z r = - 1 m U I = 1 m Z c. i 1 i u 1 Z c Z r = 1 m Z c On constate donc que l impédance vue du primaire du transformateur parfait a la même phase que l impédance de charge. En particulier, une résistance de charge sera vue du primaire comme une résistance, une capacité en charge sera vue comme une capacité. Cette notion de transfert d impédance a cependant une application importante, l «adaptation d impédance». Celle-ci est nécessaire lorsqu il s agit de transférer le maximum de puissance d un générateur d impédance interne Z g à une impédance de charge Z c. Revenons sur cette notion déjà abordée dans le cours de 1 ère année. La puissance moyenne que dissipe le générateur dans l impédance Z c est p = 1 Re(u.i*). On a u = Z c Z c +Z g e et i = e Z c +Z g d où p = 1 Re(Z c) e Z c +Z g. e g Z g u i Z c Si on pose Z c = R c + jx c et Z g = R g + jx g cela donne p = 1 e R c (R c +R g ) + (X c +X g ). Cette puissance est donc maximum pour : X g = - X c (résultat immédiat) et R g = R c (résultat obtenu après calculs). p est donc maximum pour Z g = Z c * Par exemple, disposant d un générateur de résistance interne de 50 Ω, et voulant alimenter une résistance de 5000 Ω, on pourra interposer un transformateur (parfait) de rapport de transformation 10 entre le générateur et la charge pour avoir une puissance maximale transférée à cette résistance de charge. La puissance alors transmise à la charge est alors p = 1 e 4R g Transformateur d isolement On utilise souvent un transformateur dit d isolement, lorsque l on cherche à visualiser la caractéristique d un dipôle sur un oscilloscope. C est pour ne pas être confronté au problème de masse qu on est amené à interposer un transformateur (de rapport de transformation unitaire) entre le générateur et le reste du circuit selon le schéma suivant.

10 PSI Brizeux Ch. CP1: Conversion électromagnétique statique 10 Voie X de l oscillo R masse de l oscillo dipôle à étudier masse du générateur Voie Y de l oscillo En mode XY, l oscilloscope pourra ainsi donner la courbe u = f(i) du dipôle à étudier, la voie X donnant une tension aux bornes d une résistance, proportionnelle à l intensité du courant parcourant le dipôle, la voie Y donnant directement la tension aux bornes de ce dipôle. Sans le transformateur d isolement, les masses du générateur et de l oscilloscope court-circuiteraient le dipôle à étudier. 4. MODELE LINEAIRE DU TRANSFORMATEUR REEL Deux catégories de corrections sont à apporter au modèle précédent pour tenir compte de la réalité : celles liées au matériau magnétique qui en toute rigueur n est pas linéaire (ces défauts, non linéaires, seront mis en évidence en séance de T.P.) et celles dont que l on peut modéliser par des corrections linéaires. Nous nous intéresserons dans ce cours uniquement à cette dernière catégorie de corrections Perméabilité du matériau Courant magnétisant Le théorème d Ampère nous a donné la relation : n 1 i 1 + n i = πr µ 0 µ r S φ ce qui peut encore s écrire : i 1 = -mi + i m avec i m = 1 n 1. πr µ 0 µ r S φ appelé courant magnétisant. La mise en évidence expérimentale de ce courant magnétisant se fait simplement : alors que le secondaire est en circuit ouvert (i = 0) on peut constater et mesurer un courant non nul au primaire qui s identifie au courant magnétisant : i 1 = i m (secondaire ouvert). Dans le cas général, on a i >> i m et on néglige le courant magnétisant, ce qui revient à considérer la loi des courants comme correctement vérifiée, sauf bien entendu lorsque le secondaire est en circuit ouvert ou en charge sur une résistance élevée (auquel cas i est faible et le courant magnétisant non négligeable face à i ), comme on vient de le voir. dφ c On peut toujours écrire : u 1 = n 1 dt = n 1 πr.µ rµ 0 S. di m dt = L di m 1 dt.

11 PSI Brizeux Ch. CP1: Conversion électromagnétique statique 11 On pourra donc modéliser la perméabilité non infinie du matériau par le modèle linéaire suivant : i 1 i 1 - i m i u 1 L 1 transfo.parfait 4.. Résistance des bobinages Pertes cuivre Le fil utilisé pour réaliser le bobinage possède une résistivité ρ. Si sa longueur est l et s sa section, sa résistance est R = ρl s. On peut tenir compte des résistances équivalentes des enroulements primaire et secondaire en les faisant figurer dans le modèle linéaire représenté ci-dessous : R 1 R i 1 i 1 - i m i u 1 L 1 transfo.parfait di m Dans le cadre de ce modèle, on a : u 1 = R 1 i 1 + L 1 dt avec L di m 1 dt = n dφ c 1 dt La résistance des bobinages est une première cause de dissipation de puissance dans un transformateur. Les pertes correspondantes sont des pertes liées à l effet Joule et sont appelées «pertes cuivre» (par opposition aux pertes fer qui sont des pertes se produisant dans le noyau, généralement constitué d un matériau ferromagnétique. Ces pertes seront étudiées en T.P.) Inductances de fuite Ce modèle des inductances de fuite permet de prendre en compte le fait qu une faible partie des lignes de champ traversant le circuit primaire n est pas parfaitement canalisée par le circuit magnétique et ne traverse donc pas le circuit secondaire. On rappelle que dans le modèle du transformateur parfait, on avait considéré comme parfait le couplage entre les circuits primaire et secondaire. En réalité, on a B ext 0 : le matériau magnétique ne canalise pas parfaitement le champ magnétique entre les enroulements. Pour chaque enroulement, il apparaît un flux du champ magnétique qui n est pas commun à l autre enroulement. On en tient relativement bien compte en écrivant : i 1 i φ 1 = n 1 φ c + L f1 i 1 et φ = n φ c + L f i lignes de B

12 PSI Brizeux Ch. CP1: Conversion électromagnétique statique 1 L f1 et L f sont appelées inductances de fuite au niveau du primaire et du secondaire. La f.é.m. d induction au niveau du circuit primaire s écrit : e 1 = - dφ 1 dt = -n dφ c 1 dt - L di 1 f1 dt. Le modèle linéaire complet du transformateur réel est donc le suivant : L f1 R i 1 R i 1 1 -i L f m i u 1 L Autres limitations Les autres limitations du modèle de transformateur parfait sont liées au matériau magnétique constitutif du noyau. Les phénomènes qui s y produisent sont non linéaires et sont source de deux types de pertes, appelées «pertes fer»: les pertes par courant de Foucault (le champ magnétique variable est source de champ électrique lui-même source de courant dans le matériau magnétique conducteur) et les pertes par hystérésis. On limite les premières en feuilletant le noyau dans la direction du champ magnétique et les secondes en utilisant un matériau ferromagnétique «doux» dont l aire du cycle d hystérésis est plus faible que celle des matériaux «durs». On donne parfois un schéma permettant de prendre en compte ces pertes dans un modèle linéaire simplifié qui est le suivant : L f1 R i 1 R 1 i 1 -i L f m i u 1 Z 1 Z 1 contient, en plus de la partie inductive permettant de rendre compte du courant magnétisant, une partie résistive dont la valeur de résistance est choisie de sorte que la puissance moyenne dissipée dans cette résistance soit égale aux pertes fer.

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