N d ordre : 02 ISAL 0102 Année 2002 THESE. Présentée DEVANT L INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON. pour obtenir LE GRADE DE DOCTEUR

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1 N d ordre : 02 ISAL 0102 Année 2002 THESE Présentée DEVANT L INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON pour obtenir LE GRADE DE DOCTEUR FORMATION DOCTORALE : Mécanique ECOLE DOCTORALE : Ecole Doctorale des sciences pour l ingénieur de Lyon : Mécanique, Energétique, Génie Civil, Acoustique (MEGA) Par : Jean CAMPEDELLI Ingénieur I.N.S.A. MODELISATION GLOBALE STATIQUE DES SYSTEMES MECANIQUES HYPERSTATIQUES PRE-CHARGES APPLICATION A UN BOGIE MOTEUR Soutenue le : 11 décembre 2002 devant la commission d Examen Jury MM. - J. BERTHEAU Examinateur - G. GOGU Rapporteur - J. PASTOR Rapporteur - J.-P. PELLE Examinateur - D. PLAY Directeur - J.-F. RIGAL Examinateur Cette Thèse a été préparée au Laboratoire de Conception et Analyse des Systèmes Mécaniques de l INSA de Lyon

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3 INSA DE LYON DEPARTEMENT DES ETUDES DOCTORALES ET RELATIONS INTERNATIONALES SCIENTIFIQUES MARS 2002 Ecoles Doctorales et Diplômes d Etudes Approfondies habilités pour la période ECOLES DOCTORALES n code national RESPONSABLE PRINCIPAL CORRESPONDANT INSA DEA INSA n code national RESPONSABLE DEA INSA CHIMIE DE LYON (Chimie, Procédés, Environnement) EDA206 M. D. SINOU UCBL Sec Fax M. R. GOURDON Sec Fax Chimie Inorganique Sciences et Stratégies Analytiques ECONOMIE, ESPACE ET MODELISATION DES COMPORTEMENTS (E 2 MC) M.A. BONNAFOUS LYON Sec Fax Mme M. ZIMMERMANN Fax Sciences et Techniques du Déchet Villes et Sociétés Dimensions Cognitives et Modélisation M. R. GOURDON Tél Fax Mme M. ZIMMERMANN Tél Fax M. L. FRECON Tél Fax EDA417 ELECTRONIQUE, ELECTROTECHNIQUE, AUTOMATIQUE (E.E.A.) EDA160 M. G. GIMENEZ INSA DE LYON Fax Automatique Industrielle Dispositifs de l Electronique Intégrée Génie Electrique de Lyon Images et Systèmes M. M. BETEMPS Tél Fax M. D. BARBIER Tél Fax M. J.P. CHANTE Tél Fax Mme I. MAGNIN Tél Fax EVOLUTION, ECOSYSTEME, MICROBIOLOGIE, MODELISATION (E2M2) EDA403 M. J.P FLANDROIS UCBL Sec Fax M. S. GRENIER Fax Analyse et Modélisation des Systèmes Biologiques M. S. GRENIER Tél Fax INFORMATIQUE ET INFORMATION POUR LA SOCIETE (EDIIS) M. J.M. JOLION INSA DE LYON Fax Documents Multimédia, Images et Systèmes d Information Communicants Extraction des Connaissances à partir des Données M. A. FLORY Tél Fax M. J.F. BOULICAUT Tél Fax EDA 407 INTERDISCIPLINAIRE SCIENCES- SANTE (EDISS) EDA205 M. A.J. COZZONE UCBL Sec Fax M. M. LAGARDE Fax Informatique et Systèmes Coopératifs pour l Entreprise Biochimie M. A. GUINET Tél Fax M. M. LAGARDE Tél Fax MATERIAUX DE LYON UNIVERSITE LYON 1 EDA 034 M. J. JOSEPH ECL Sec Fax M. J.M. PELLETIER Fax Génie des Matériaux : Microstructure, Comportement Mécanique, Durabilité Matériaux Polymères et Composites M. J.M.PELLETIER Tél Fax M. H. SAUTEREAU Tél Fax Matière Condensée, Surfaces et Interfaces M. G. GUILLOT Tél Fax MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE FONDAMENTALE (Math IF) M. NICOLAS UCBL Fax M. J. POUSIN Fax Analyse Numérique, Equations aux dérivées partielles et Calcul Scientifique M. G. BAYADA Tél Fax EDA 409 MECANIQUE, ENERGETIQUE, GENIE CIVIL, ACOUSTIQUE (MEGA) EDA162 M. J. BATAILLE ECL Sec Fax M. G.DALMAZ Fax Acoustique Génie Civil Génie Mécanique Thermique et Energétique M. J.L. GUYADER Tél Fax M. J.J.ROUX Tél Fax M. G. DALMAZ Tél Fax M. J. F. SACADURA Tél Fax En grisé : Les Ecoles doctorales et DEA dont l INSA est établissement principal

4 MARS 2002 INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON Directeur : STORCK.A Professeurs : AUDISIO S. BABOT D. BABOUX J.C. BALLAND B. BAPTISTE P. BARBIER D. BASTIDE J.P. BAYADA G. BENADDA B. BETEMPS M. BIENNIER F. BLANCHARD J.M. BOISSON C. BOIVIN M. (Prof. émérite) BOTTA H. BOTTA-ZIMMERMANN M. (Mme) BOULAYE G. (Prof. émérite) BOYER J.C. BRAU J. BREMOND G. BRISSAUD M. BRUNET M. BRUNIE L. BUREAU J.C. CAVAILLE J.Y. CHANTE J.P. CHOCAT B. COMBESCURE A. COUSIN M. DAUMAS F. (Mme) DOUTHEAU A. DUFOUR R. DUPUY J.C. EMPTOZ H. ESNOUF C. EYRAUD L. (Prof. émérite) FANTOZZI G. FAVREL J. FAYARD J.M. FAYET M. FERRARIS-BESSO G. FLAMAND L. FLORY A. FOUGERES R. FOUQUET F. FRECON L. GERARD J.F. GERMAIN P. GIMENEZ G. GOBIN P.F. (Prof. émérite) GONNARD P. GONTRAND M. GOUTTE R. (Prof. émérite) GOUJON L. GOURDON R. GRANGE G. GUENIN G. GUICHARDANT M. GUILLOT G. GUINET A. GUYADER J.L. GUYOMAR D. HEIBIG A. JACQUET RICHARDET G. JAYET Y. JOLION J.M. JULLIEN J.F. JUTARD A. (Prof. émérite) KASTNER R. KOULOUMDJIAN J. LAGARDE M. LALANNE M. (Prof. émérite) LALLEMAND A. LALLEMAND M. (Mme) LAREAL P. LAUGIER A. LAUGIER C. PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE CONT. NON DESTR. PAR RAYONNEMENT IONISANTS GEMPPM*** PHYSIQUE DE LA MATIERE PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERS PHYSIQUE DE LA MATIERE LAEPSI**** MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUE LAEPSI**** AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERS LAEPSI**** VIBRATIONS-ACOUSTIQUE MECANIQUE DES SOLIDES UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Développement Urbain UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Développement Urbain INFORMATIQUE MECANIQUE DES SOLIDES CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Thermique du bâtiment PHYSIQUE DE LA MATIERE GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE MECANIQUE DES SOLIDES INGENIERIE DES SYSTEMES D INFORMATION CEGELY* GEMPPM*** CEGELY*- Composants de puissance et applications UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Hydrologie urbaine MECANIQUE DES CONTACTS UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Structures CETHIL Energétique et Thermique CHIMIE ORGANIQUE MECANIQUE DES STRUCTURES PHYSIQUE DE LA MATIERE RECONNAISSANCE DES FORMES ET VISION GEMPPM*** GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE GEMPPM*** PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERS BIOLOGIE APPLIQUEE MECANIQUE DES SOLIDES MECANIQUE DES STRUCTURES MECANIQUE DES CONTACTS INGENIERIE DES SYSTEMES D INFORMATION GEMPPM*** GEMPPM*** INFORMATIQUE MATERIAUX MACROMOLECULAIRES LAEPSI**** CREATIS** GEMPPM*** GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE CEGELY*- Composants de puissance et applications CREATIS** GEMPPM*** LAEPSI****. GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE GEMPPM*** BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIE PHYSIQUE DE LA MATIERE PRODUCTIQUE ET INFORMATIQUE DES SYSTEMES MANUFACTURIERS VIBRATIONS-ACOUSTIQUE GENIE ELECTRIQUE ET FERROELECTRICITE LAB. MATHEMATIQUE APPLIQUEES LYON MECANIQUE DES STRUCTURES GEMPPM*** RECONNAISSANCE DES FORMES ET VISION UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Structures AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Géotechnique INGENIERIE DES SYSTEMES D INFORMATION BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIE MECANIQUE DES STRUCTURES CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Energétique et thermique CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Energétique et thermique UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Géotechnique PHYSIQUE DE LA MATIERE BIOCHIMIE ET PHARMACOLOGIE

5 LEJEUNE P. LUBRECHT A. MAZILLE H. MERLE P. MERLIN J. MIGNOTTE A. (Mle) MILLET J.P. MIRAMOND M. MOREL R. MOSZKOWICZ P. MOURA A. NARDON P. (Prof. émérite) NIEL E. NORTIER P. ODET C. OTTERBEIN M. (Prof. émérite) PARIZET E. PASCAULT J.P. PAVIC G. PELLETIER J.M. PERA J. PERRIAT P. PERRIN J. PINARD P. (Prof. émérite) PINON J.M. PONCET A. POUSIN J. PREVOT P. PROST R. RAYNAUD M. REDARCE H. REYNOUARD J.M. RIGAL J.F. RIEUTORD E. (Prof. émérite) ROBERT-BAUDOUY J. (Mme) (Prof. émérite) ROUBY D. ROUX J.J. RUBEL P. RUMELHART C. SACADURA J.F. SAUTEREAU H. SCAVARDA S. SOUIFI A. SOUROUILLE J.L. THOMASSET D. UBEDA S. THUDEROZ C. UNTERREINER R. VELEX P. VIGIER G. VINCENT A. VRAY D. VUILLERMOZ P.L. (Prof. émérite) GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMES MECANIQUE DES CONTACTS PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE GEMPPM*** GEMPPM*** INGENIERIE, INFORMATIQUE INDUSTRIELLE PHYSICOCHIMIE INDUSTRIELLE UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Hydrologie urbaine MECANIQUE DES FLUIDES LAEPSI**** GEMPPM*** BIOLOGIE APPLIQUEE AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE DREP CREATIS** LAEPSI**** VIBRATIONS-ACOUSTIQUE MATERIAUX MACROMOLECULAIRES VIBRATIONS-ACOUSTIQUE GEMPPM*** UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Matériaux GEMPPM*** ESCHIL Equipe Sciences Humaines de l Insa de Lyon PHYSIQUE DE LA MATIERE INGENIERIE DES SYSTEMES D INFORMATION PHYSIQUE DE LA MATIERE MODELISATION MATHEMATIQUE ET CALCUL SCIENTIFIQUE GRACIMP Groupe de Recherche en Apprentissage, Coopération et Interfaces Multimodales pour la Productique CREATIS** CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Transferts Interfaces et Matériaux AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE UNITE DE RECHERCHE EN GENIE CIVIL - Structures MECANIQUE DES SOLIDES MECANIQUE DES FLUIDES GENETIQUE MOLECULAIRE DES MICROORGANISMES GEMPPM*** CENTRE DE THERMIQUE DE LYON Thermique de l Habitat INGENIERIE DES SYSTEMES D INFORMATION MECANIQUE DES SOLIDES CENTRE DE THERMIQUE DE LYON - Transferts Interfaces et Matériaux MATERIAUX MACROMOLECULAIRES AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE PHYSIQUE DE LA MATIERE INGENIERIE INFORMATIQUE INDUSTRIELLE AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE CENTRE D INNOV. EN TELECOM ET INTEGRATION DE SERVICES ESCHIL Equipe Sciences Humaines de l Insa de Lyon CREATIS** MECANIQUE DES CONTACTS GEMPPM*** GEMPPM*** CREATIS** PHYSIQUE DE LA MATIERE Directeurs de recherche C.N.R.S. : BERTHIER Y. CONDEMINE G. COTTE-PATAT N. (Mme) FRANCIOSI P. MANDRAND M.A. (Mme) POUSIN G. ROCHE A. SEGUELA A. MECANIQUE DES CONTACTS UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUE UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUE GEMPPM*** UNITE MICROBIOLOGIE ET GENETIQUE BIOLOGIE ET PHARMACOLOGIE MATERIAUX MACROMOLECULAIRES GEMPPM*** Directeurs de recherche I.N.R.A. : FEBVAY G. GRENIER S. RAHBE Y. Directeurs de recherche I.N.S.E.R.M. : PRIGENT A.F. (Mme) MAGNIN I. (Mme) BIOLOGIE APPLIQUEE BIOLOGIE APPLIQUEE BIOLOGIE APPLIQUEE BIOLOGIE ET PHARMACOLOGIE CREATIS** * CEGELY CENTRE DE GENIE ELECTRIQUE DE LYON ** CREATIS CENTRE DE RECHERCHE ET D APPLICATIONS EN TRAITEMENT DE L IMAGE ET DU SIGNAL ***GEMPPM GROUPE D'ETUDE METALLURGIE PHYSIQUE ET PHYSIQUE DES MATERIAUX ****LAEPSI LABORATOIRE D ANALYSE ENVIRONNEMENTALE DES PROCEDES ET SYSTEMES INDUSTRIELS

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7 TABLE DES MATIERES TABLE DES MATIERES.. 5 AVANT PROPOS.. 11 INTRODUCTION GENERALE CHAPITRE 1 : TECHNIQUE GLOBALE D ANALYSE STATIQUE 1. NOTION DE MECANISME LES ELEMENTS DE STRUCTURE LES ELEMENTS DE LIAISON Le modèle des liaisons cinématiques Le modèle des éléments technologiques de liaison LES EFFORTS INTERNES MODELES NUMERIQUES ET METHODES DE RESOLUTION MODELES NUMERIQUES METHODES DE RESOLUTION OPTIMISATION : LA SOUS-STRUCTURATION STATIQUE Introduction Principe global de résolution du système non linéaire Condensation et calculs de restitution MODELISATION DES ELEMENTS DE STRUCTURE OUTIL INFORMATIQUE HYPOTHESES SUR LE COMPORTEMENT PRE-CHARGE D UN ELEMENT DE STRUCTURE Principe Mise en œuvre MODELISATION DES ELEMENTS DE LIAISON LES PALIERS A ROULEMENTS LES ENGRENAGES LES CONTACTS AVEC JEUX MISE EN ŒUVRE INFORMATIQUE INTRODUCTION ARCHITECTURE DE L ENSEMBLE LOGICIEL DEVELOPPEMENT DES LOGICIELS SISFER PRESIS CONCLUSION

8 CHAPITRE 2 : PRESENTATION DU SYSTEME ETUDIE : LE BOGIE DE TRAIN 1. CONSTITUTION DU MECANISME ET PROBLEMATIQUE OBJECTIF DE L ETUDE DECOMPOSITION FONCTIONNELLE DU MECANISME MISE EN EVIDENCE DES BOUCLES DE CHARGES Analyse cinématique des liaisons Les boucles locales pré-chargées Les boucles globales SOLLICITATIONS ETUDIEES Paramètres de fonctionnement étudiés Conditions aux limites en déplacement LES MODELES DES ELEMENTS LINEAIRES DE STRUCTURES LES TYPES D ELEMENTS FINIS UTILISES LES MODELES DES BOITES D ESSIEUX LES MODELES DES ARTICULATIONS ELASTIQUES DE BOITES D ESSIEUX LE MODELE DU CHASSIS LES MODELES DES ESSIEUX ET DES ROUES LES MODELES DES CARTERS DE REDUCTEUR, DES ARBRES ET DES BIELLES MODELES DES ELEMENTS SPECIFIQUES DU BOGIE LES MODELES DES ELEMENTS DE STRUCTURES PRE-CHARGES : LES RESSORTS LES MODELES DES ELEMENTS DE LIAISON Les paliers à roulements Les engrenages Les zones de contact avec jeux des ressorts CONCLUSION...55 CHAPITRE 3 : COMPORTEMENT DES RESSORTS DE SUSPENSION DE BOGIE 1. DEFINITION DU MODELE NUMERIQUE DESCRIPTION DES SYSTEMES ETUDIES PRINCIPE DE DEFINITION DU MODELE NUMERIQUE Les paramètres géométriques Les paramètres de simulation MODELE GEOMETRIQUE PARAMETRE Définition de la géométrie Géométrie théorique des ressorts Géométrie des ressorts réels MODELE NUMERIQUE Le maillage éléments finis Prise en compte des non linéarités : la pré-charge Simulation des interfaces par zones de contact GRANDEURS PHYSIQUES CALCULEES

9 2. RESULTATS DES SIMULATIONS RESSORT N RESSORT N RESSORT N COMPARAISON ENTRE UN RESSORT REEL ET UN RESSORT PARFAIT INFLUENCE DE L ETENDUE DES FACES D APPUI CONCLUSION : ANALYSE DES RESULTATS INFLUENCE DE LA MODELISATION DE L APPUI LATERAL INFLUENCE DU NOMBRE D ELEMENTS DE CONTACT PARAMETRES INFLUENÇANT L EFFORT DE CHASSE CHAPITRE 4 : METHODE D ANALYSE DU COMPORTEMENT DU BOGIE 1. NOTATIONS ET FORME DES RESULTATS RECHERCHES DENOMINATION DES RESSORTS DENOMINATION DES LIAISONS PIVOT ET DES PALIERS A ROULEMENTS NOTATION DES TORSEURS D EFFORTS PRESENTATION DU CHARGEMENT DES ELEMENTS DE CORPS ROULANTS MECANISME DE CHARGEMENT DES ROULEMENTS A ROULEAUX CONIQUES BUT DE L ETUDE MODELE DE COMPORTEMENT PROPOSE REPONSE A UN DEPLACEMENT AXIAL DE PRE-CHARGE Sollicitations étudiées Répartition de la force axiale sur les roulements Evolution de la force axiale interne avec le déplacement de pré-charge REPONSE A UNE FORCE RADIALE EXTERIEURE Sollicitations étudiées Répartition de la force axiale sur les roulements Couple induit par la force radiale Répartition de la force radiale entre les roulements Evolution des efforts internes avec la force radiale COMBINAISON D UNE PRE-CHARGE AXIALE ET D UNE FORCE RADIALE Sollicitations étudiées Répartition de la force axiale sur les roulements REPONSE A UN COUPLE EXTERIEUR Sollicitations étudiées Réponse des roulements à un couple extérieur RELATIONS ANALYTIQUES GENERALES Liaison pivot de boîte d essieux Liaison pivot principale Liaison pivot moteur Liaison pivot intermédiaire

10 3. DEFINITION D UN ETAT DE REFERENCE POUR L ETUDE DU BOGIE PROBLEMATIQUE CONTROLE DE LA DIRECTION DES EFFORTS DE CHASSE Définition de l effort de chasse Charge verticale à appliquer sur le châssis Orientation des ressorts Efforts de chasse sous charge ANALYSE DES EFFORTS TRANSMIS PAR LES PALIERS Chargement des liaisons pivot Analyse du chargement des paliers d une des liaisons pivot de boîte CONCLUSION CHAPITRE 5 : ANALYSE DU COMPORTEMENT GLOBAL STATIQUE D UN BOGIE DE TRAIN SOUS CHARGE 1. INFLUENCE DE L EFFORT DE CHASSE DES RESSORTS PROBLEMATIQUE ORIENTATION DES RESSORTS EFFORTS DE CHASSE SOUS CHARGE ANALYSE DES EFFORTS TRANSMIS PAR LES PALIERS Chargement des liaisons pivot Analyse du chargement des paliers d une des liaisons pivot de boîte Comparaison avec l état de référence INFLUENCE D UN EFFORT LATERAL APPLIQUE SUR LE CHASSIS PROBLEMATIQUE ANALYSE DES EFFORTS TRANSMIS PAR LES PALIERS Chargement des liaisons pivot Analyse du chargement des roulements d une des liaisons pivot Comparaison avec l état de référence INFLUENCE DU COUPLE MOTEUR PROBLEMATIQUE ANALYSE DES EFFORTS APPLIQUES PAR LES REDUCTEURS SUR LES ESSIEUX EQUILIBRE DES EFFORTS DANS LES REDUCTEURS ANALYSE DES EFFORTS DANS LE REDUCTEUR AVANT Analyse du chargement des liaisons pivot Liaison pivot principale Liaison pivot intermédiaire Liaison pivot moteur ANALYSE DES EFFORTS DANS LE REDUCTEUR ARRIERE ANALYSE DES EFFORTS TRANSMIS PAR LES PALIERS DE BOITES D ESSIEUX Comparaison avec l état de référence

11 4. INFLUENCE DE L ENVIRONNEMENT SUR LE CHARGEMENTS DES PALIERS PROBLEMATIQUE LIAISON PIVOT DE BOITE D ESSIEUX LIAISONS PIVOT DE REDUCTEUR Liaison pivot principale Liaison pivot intermédiaire Liaison pivot moteur CONCLUSION CONCLUSION GENERALE REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES ANNEXE A : PRINCIPALES METHODES DE CALCUL A1. METHODE DE NEWTON-RAPHSON A2. METHODE DE CONDENSATION STATIQUE ANNEXE B : PRE-CHARGE D'UNE PIECE MECANIQUE MODELISEE PAR ELEMENTS FINIS ANNEXE C : PLANS DU REDUCTEUR. 178 ANNEXE D : ETUDES COMPLEMENTAIRES SUR LES RESSORTS D1. EVOLUTION DES JEUX ENTRE SPIRES DU RESSORT N D2. VALIDATION DE LA MODELISATION DU CONTACT ENTRE SPIRES DU RESSORT N ANNEXE E : CARACTERISTIQUES DES LIAISONS PIVOT ANNEXE F : RESULTATS DE LA SIMULATION DU BOGIE F1. ETAT DE REFERENCE DU BOGIE F1.1 LIAISON PIVOT DE BOITE AVANT-GAUCHE F1.2 LIAISON PIVOT DE BOITE AVANT-DROITE F1.3 LIAISON PIVOT DE BOITE ARRIERE-GAUCHE F1.4 LIAISON PIVOT DE BOITE ARRIERE -DROITE F2. INFLUENCE DE L ORIENTATION DES RESSORTS SUR LE COMPORTEMENT DU BOGIE F2.1 LIAISON PIVOT DE BOITE AVANT-GAUCHE F2.2 LIAISON PIVOT DE BOITE AVANT-DROITE F2.3 LIAISON PIVOT DE BOITE ARRIERE-GAUCHE F2.4 LIAISON PIVOT DE BOITE ARRIERE-DROITE F3. INFLUENCE D UNE FORCE LATERALE APPLIQUEE SUR LE CHASSIS F3.1 LIAISON PIVOT DE BOITE AVANT-GAUCHE F3.2 LIAISON PIVOT DE BOITE AVANT-DROITE F3.3 LIAISON PIVOT DE BOITE ARRIERE-GAUCHE F3.4 LIAISON PIVOT DE BOITE ARRIERE-DROITE

12 F4. INFLUENCE D UN COUPLE MOTEUR SUR LE COMPORTEMENT DU BOGIE F4.1 TORSEUR D EFFORTS TRANSMIS PAR LES LIAISONS PIVOT DE BOITES F4.2 LIAISON PIVOT DE BOITE AVANT-GAUCHE F4.3 LIAISON PIVOT DE BOITE AVANT-DROITE F4.4 LIAISON PIVOT DE BOITE ARRIERE-GAUCHE F4.5 LIAISON PIVOT DE BOITE ARRIERE-DROITE F4.6 TORSEURS D EFFORTS TRANSMIS PAR LES LIAISONS PIVOT DU REDUCTEUR ARRIERE F4.7 LIAISON PIVOT PRINCIPALE DE REDUCTEUR ARRIERE F4.8 LIAISON PIVOT INTERMEDIAIRE DE REDUCTEUR ARRIERE F4.9 LIAISON PIVOT MOTEUR DE REDUCTEUR ARRIERE FOLIO ADMINISTRATIF

13 AVANT PROPOS Cette thèse a été réalisée au Laboratoire de Conception et Analyse des Systèmes Mécaniques (CASM) de l Institut National des Sciences Appliquées de Lyon sous la direction de Monsieur le Professeur D. PLAY que je remercie de m avoir accueilli dans son Laboratoire et de m avoir fait confiance pour mener à bien ces travaux de recherche. Je tiens à exprimer ma plus sincère reconnaissance à Adeline BOURDON, Maître de Conférence, et à Jean-François RIGAL, Professeur à l INSA de Lyon qui m ont guidé et soutenu tout au long de ce travail. Cette étude a été menée en collaboration avec la société ALSTOM Transport, Etablissement du Creusot, sous la responsabilité de Messieurs P. DUCRET puis de J. BERTHEAU. Je tiens à les remercier, ainsi que Monsieur G. BOIVIN, pour m avoir fourni les informations techniques nécessaires à l étude. Je suis très sensible à l honneur que me font Messieurs les Professeurs G. GOGU de l IFMA et J. PASTOR de l ESIGEC en acceptant de juger ce travail et d en être rapporteurs et membres du jury. Je souhaite également remercier Monsieur le Professeur J.-P. PELLE de l E.N.S. Cachan pour l importance qu il accorde à mon travail en acceptant d être membre du jury. J adresse mes remerciements à toutes les personnes qui de manière directe ou indirecte ont contribué à l aboutissement de ce travail. Parmi eux, un remerciement particulier à l ensemble des membres du Laboratoire CASM : Damien, Michèle, Jean-Pierre, Jarir, Didier, Yvan, Colin, Sandrine, Lionel, Christophe, pour leur aide et leur sympathie. J ai également une pensée chaleureuse pour ma famille, pour Matthieu et pour Zoé

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15 INTRODUCTION GENERALE Les systèmes mécaniques de transmission de puissance doivent être de plus en plus fiables. Cette tendance est vraie pour tous les systèmes de transport, les appareils de manutention, etc. Pour atteindre ces objectifs, les bureaux d études en mécanique exploitent de plus en plus les résultats de simulations numériques des modèles construits à la fois avec des logiciels de C.A.O. (Conception assistée par ordinateur) et avec des logiciels basés sur la M.E.F. (Méthode des éléments finis). Cette situation est observable dans l industrie depuis plus de vingt ans. Cependant, pendant cette même période, on note une forte évolution des outils informatiques. Séparés au départ, les logiciels de CAO et de MEF sont aujourd hui plus largement «intégrés». Par ailleurs, les capacités des ordinateurs ont également augmentées. Tout ceci débouche sur une situation plus récente caractérisée par le terme de «maquette numérique». Cette maquette numérique se révèle être intéressante industriellement mais on peut lui reprocher de ne pas encore être suffisamment associée à des modèles fiables de comportement physique et mécanique. Ce soucis est réel et bien identifié. De nombreux travaux de recherche et développement sont en cours dans ce sens. Pour sa part, le laboratoire Conception et Analyse des Systèmes Mécaniques de l INSA de Lyon travaille sur le thème de la maquette numérique du comportement mécanique depuis plus de 15 ans. Une méthode d analyse globale du comportement s est ainsi construite. Les travaux se sont d abord développés pour la simulation du comportement des boîtes de transmission principales (BTP) d hélicoptères. Ces systèmes mécaniques sont isostatiques et les structures sont assez souples. Une recherche a ensuite été conduite avec les boîtes de vitesses d automobiles sur des mécanismes à la fois moins souples et moins proches des modèles isostatiques parfaits. Dans ce document, nous présenterons notre propre contribution à ces travaux de recherche en mécanique. Cette contribution porte sur les mécanismes de transmission de puissance dans le domaine ferroviaire. Le support technique de nos développement est un bogie moteur. Ce type de mécanisme combine à la fois les caractéristiques cinématiques des deux précédents types étudiés. Il est à la fois hyperstatique pour certaines parties et isostatique pour d autres. Il présente par ailleurs des montages pré-chargés et des types d éléments élastiques qui n ont pas été intégrés dans les études précédentes. Les ressorts de suspension jouent un rôle important dans le bogie et voisinent avec les réducteurs de vitesse. Les méthodologies utilisées pour mettre en œuvre cette méthode d analyse globale des mécanismes sont présentées dans le premier chapitre. Nous préciserons les développements spécifiques que nous avons réalisés pour coupler le logiciel CATIA (module ELFINI) et le nouveau logiciel d analyse globale adapté aux mécanismes ferroviaires. Dans le deuxième chapitre, nous présenterons le bogie étudié dans notre application. Nous analyserons en quoi son architecture rend la méthode d analyse développée indispensable pour la prévision de son comportement. Les modèles numériques des constituants sont décrits. Le troisième chapitre porte sur l étude du comportement des ressorts de suspensions. Nous verrons que ce comportement est loin du comportement idéal considéré usuellement dans l industrie et dans les formations universitaires. L objectif de ce chapitre est double. Il s agit d abord de caractériser les actions des ressorts de suspension sur le reste du bogie. Il s agit aussi de mieux définir et de mieux poser un certain nombre de généralités valables pour les ressorts de compression spirales à spires extrêmes aplaties

16 Introduction générale L objectif du quatrième chapitre est de définir la méthode et les outils nécessaires à l étude du comportement d un système tel que le bogie moteur. Nous présenterons d abord la forme des résultats que nous recherchons pour étudier le comportement mécanique. Ensuite, une part importante du chapitre est consacrée à une discussion sur le comportement des paliers à roulements à rouleaux coniques montés par paires. C est un des éléments centraux de nombreux systèmes de transmission de puissance et il s est révélé que c est un de ceux qui pose le plus de problèmes dans le bogie en exploitation. Nous présentons enfin les points caractéristiques du comportement du bogie dans une situation idéale de chargement. Dans le cinquième chapitre, nous considérons enfin les sollicitations réelles du système en exploitation. Les résultats obtenus sont présentés suivant les principes et avec les outils exposés au chapitre 4. Les résultats correspondant aux situations réelles sont ainsi comparés à ceux de la situation idéale du chapitre 4 pour aboutir à des conclusions et des remarques exploitables industriellement. La conclusion générale précise notre contribution au développement de la méthode globale d analyse pour une maquette numérique du comportement mécanique des systèmes et rappelle les principaux résultats obtenus en conception pour les ressorts et pour les mécanismes ferroviaires tels que les bogies moteurs

17 CHAPITRE 1 TECHNIQUE GLOBALE D ANALYSE STATIQUE Le but de ce chapitre est d exposer les techniques d analyse globale développées pour la prévision du comportement statique des mécanismes de transmission de puissance hyperstatiques. L aspect général de la méthode permet de l appliquer à des mécanismes de composition et d architecture diverses. Dans ce chapitre, la première partie rappelle ce qu est un mécanisme sur le plan théorique en établissant une classification de ses composants en deux catégories : les éléments de structure (carters, arbres, ), et les éléments de liaison (roulements, engrenages, ). La deuxième partie présente la forme mathématique donnée au problème et les méthodes numériques utilisées pour le résoudre. La troisième partie présente la modélisation des éléments de structure et leur traitement dans des mécanismes hyperstatiques pré-chargés. La quatrième partie présente la modélisation des éléments de liaison dans une approche bibliographique. Enfin, la dernière partie présente les outils informatiques utilisés pour mettre en œuvre cette méthode. Le développement ou l adaptation de ces outils a représenté la plus grande partie du travail. 1. NOTION DE MECANISME D une manière générale, un mécanisme est un assemblage de milieux continus élastiques appelés «éléments de structure» (pièces ou groupe de pièces mécaniques) connectés les uns aux autres par des éléments de liaison. Des conditions aux limites externes en efforts et déplacements sont appliquées en différents points du mécanisme. Elles ont pour conséquence de générer des déformations et des efforts dans tous les éléments. Domaine étudié «mécanisme» Efforts externes «éléments de liaison» Efforts internes Sous-domaines «éléments de structure» Conditions aux limites externes «liaison au bâti» Figure 1.1 : Les différents composants d un mécanisme

18 CHAPITRE 1 : Technique globale d analyse statique 1.1 Les éléments de structure Chaque sous-domaine peut être assimilé à une pièce mécanique, un groupe de pièces ou une partie de pièce. Il peut être considéré comme un milieu continu au comportement élastique. Suivant la nature des matériaux, la géométrie et les sollicitations exercées, le comportement peut être linéaire ou non. Dans l approche développée dans cette étude, les éléments de structure sont supposés conserver de petites déformations relatives et avoir un comportement, soit élastique linéaire, soit élastique non linéaire suite à des changements de géométrie sous charge importants. Dans ce dernier cas, les équations du comportement sont alors linéarisées au voisinage du point de fonctionnement. La méthode est détaillée dans la partie Les éléments de liaison Les éléments de structure sont connectés par des liaisons qui peuvent être considérées selon deux modèles : Le modèle des liaisons cinématiques Le modèle des liaisons cinématiques correspond à des relations de dépendance entre les déplacements de deux sous-domaines différents. Elles sont localisées sur les frontières des sousdomaines étudiés. Ces relations sont associées aux notions classiques de liaison en cinématique. Le cas le plus simple à traiter est la liaison d encastrement qui empêche tout mouvement relatif à l interface entre deux sous-domaines. Les autres types de liaison (liaison pivot, pivot glissant, appui-plan, ) se caractérisent par une immobilisation relative d une partie seulement des degrés de liberté Le modèle des éléments technologiques de liaison D un point de vue technologique, les liaisons cinématiques sont assurées par des dispositifs, tels que les paliers à roulements ou les engrenages. La prise en compte du comportement souvent complexe de ces éléments est d un grand intérêt pour l étude du mécanisme. Pour ce type d éléments de liaison, la notion de liaison cinématique ne rend pas compte du comportement non linéaire. Parfois, il peut être avantageux de considérer de tels éléments technologiques comme des sous-domaines particuliers encastrés avec les sous-domaines «pièces» dont ils assurent les liaisons. Contrairement aux éléments de structures, ces sous-domaines sont considérés dans leur globalité et non en tant que milieu continu discrétisé. La notion d élément technologique de liaison peut être étendue aux zones de contact avec jeux (appuis plans, paliers lisses, ) même si elles ne sont pas, à proprement parler, des dispositifs physiques. En effet, elles introduisent des non-linéarités dues aux jeux, eux-mêmes conditionnés par les déformations des massifs en contact. Dans l approche développée ici, le choix a été fait d utiliser essentiellement des liaisons d encastrement et des éléments de liaison non linéaires de type «éléments technologiques»

19 CHAPITRE 1 : Technique globale d analyse statique 1.3 Les efforts internes Les efforts appliqués sur le mécanisme sont de deux types : les efforts extérieurs au mécanisme qui traduisent l action du milieu extérieur sur la frontière du mécanisme, les efforts internes initiaux. Le torseur résultant de la somme des efforts internes initiaux est nul en vertu du principe de l action et de la réaction. Nous distinguerons deux origines différentes aux efforts internes initiaux : les efforts dus à l action réciproque de contact de deux pièces du mécanisme, les efforts de pré-charge au sein des éléments de structure ou de liaison. Dans le milieu continu d un élément de structure sous charge, le champ de déplacements induit des contraintes et des efforts aux l interfaces avec les autres éléments du mécanisme. En général, les déplacements sont calculés depuis un état de référence «à vide» non contraint. Cependant, dans les systèmes hyperstatiques, il se peut que les conditions de montage des pièces soient telles qu il n existe aucun champ de déplacement qui rendent les contraintes nulles dans toutes les pièces. Pour respecter les conditions de montage, les déplacements dans certaines pièces sont alors considérés depuis un état pré-contraint. Les efforts initiaux au sein de ces pièces sont qualifiés d efforts de précharge. Cette notion, associée à celle de non-linéarité géométrique est détaillé dans le paragraphe MODELES NUMERIQUES ET METHODES DE RESOLUTION 2.1 Modèles numériques Pour l étude de mécanismes industriels, étant donnée la complexité de la géométrie des pièces mécaniques, seules les techniques numériques d approximation basées sur une discrétisation du milieu continu sont à même de permettre la résolution des équations d équilibre statique. Parmi ces techniques, la Méthode de Eléments Finis (M.E.F.) est bien adaptée et communément utilisée dans différents secteurs de l industrie. Le système mécanique est discrétisé en sous-domaines de formes géométriques simples, reliés à des «nœuds». Des fonctions de formes permettent d interpoler les grandeurs physiques à l intérieur des sous-domaines en fonction de leurs valeurs aux nœuds. Les problèmes de milieux continus se ramènent alors à des problèmes discrets avec un nombre fini de paramètres inconnus évalués aux nœuds. Ces paramètres sont appelés les degrés de libertés (DDL). Selon la méthode employée, ces paramètres sont, soit les forces et les contraintes résultantes dans les éléments (méthode des forces), soit les déplacements et éventuellement leurs dérivés aux nœuds du modèle (méthode des déplacements)

20 CHAPITRE 1 : Technique globale d analyse statique Les principes et les techniques des méthodes par éléments finis sont largement décrits dans les ouvrages de J.F. Imbert ([18]), K.J. Bathe([2]), G. Dhatt et G. Thouzot ([6]). Aujourd hui, en calcul de structures, la méthode des déplacements est généralement appliquée aux problèmes statiques de la mécanique. Les n équations régissant l équilibre statique d un système mécanique (ou d un sous-système de type pièce) se mettent sous la forme : où : [ ]{ u} { F} K = (1.1) [ K ] est la matrice de rigidité, symétrique, de dimension n x n, caractérisant la rigidité du système. Elle est formée par l assemblage des matrices de rigidité élémentaires associées à chaque sous-domaine. La dimension n est égale au produit du nombre de nœuds par le nombre de déplacements élémentaires associés à chacun, {} u est le vecteur, de dimension n, des déplacements des nœuds de la structure, { F } est le vecteur, de dimension n, des efforts ponctuels généralisés appliqués sur les nœuds de la structure. Les déplacements en tous points du milieu continu sont alors déduits du vecteur { u } et des fonctions de forme. Les tenseurs de déformations et de contraintes en tout points en découlent également grâce aux lois de comportement du matériaux. Les éléments de liaison ne sont pas modélisés en tant que milieux continus mais comme des entités globales ou un groupe d entités globales. Ils reposent sur une logique opposée. Ils font le lien entre les maillages des différents éléments de structure. Leur comportement se traduit par des relations matricielles non linéaires analogues à celles obtenues par la méthode des éléments finis, liant les déplacements de certains nœuds des éléments de structure, appelés «nœuds de connexion». Les matrices de rigidité des éléments non linéaires dépendent des déplacements des nœuds de connexion et sont assemblées aux matrices issues de la méthode des éléments finis pour donner un système caractérisant le comportement statique du mécanisme complet du type : [ ({ u} )]{ u} { F} K = (1.2) Les résultats concernant les éléments de liaison (déplacements, déformations ou efforts) sont des valeurs discrètes aux nœuds de connexion ou sur les composants internes à l élément technologique. 2.2 Méthodes de résolution Les méthodes de résolution de systèmes matriciels non-linéaires sont nombreuses (Bathe [2], Imbert [18], Oden ([30]). Certaines sont très performantes pour la résolution des problèmes spécifiques mais présentent de faibles performances dans d autres cas. Dans le cadre de la modélisation des systèmes de transmission de puissance, les travaux de I.S. Choi ([9], [10], [11], [12]) l ont conduit à retenir la méthode de Newton-Raphson

21 CHAPITRE 1 : Technique globale d analyse statique Idéalement, l équation (1.2) doit être exactement satisfaite. Mais à cause des non linéarités, les équations d équilibre sont résolues à l aide d un processus itératif. Elles ne sont donc satisfaites qu avec un certain degré de précision. Le système s exprime par l équation : { R( {} u )} [ K( { u} )]{ u} { F} { 0} = (1.3) { ({} u )} déterminer, pour un chargement extérieur { } R est le vecteur des forces de déséquilibre ou des résidus. La résolution consiste à vecteur nul. Le vecteur { * } F donné, le vecteur { * * u } tel que { ({ u }) } R soit égal au u ainsi obtenu correspond à la déformée statique du système. La recherche de la solution est conduite de manière itérative à partir d une valeur initiale des u 0 (Dhatt et Touzot [6]) : déplacements { } Divergence Non Estimation initiale de u 0 { } Algorithme de résolution amélioré Convergence? R < oui, R lim Convergence * u = u Solution { } {} i oui, R > Rlim {} u = {} u + { u} i+ 1 i Figure 1.2 : Principe de résolution des systèmes non-linéaires A l itération i+1, la détermination de { u} s effectue à partir d un développement en série de Taylor au premier ordre et au voisinage de { u } i de l équation (1.3) : { R( {} u i+ 1 )} = { R( { u} i + { u} )} { ({})} { R} (1.4) = R u i + { u} {} u { } d i [ K ({ u} )] La matrice [ K T ({} u i )] est la matrice de rigidité tangente du système calculée en { } i s exprime en fonction des dérivés partielles de la matrice de rigidité [ ] extérieurs : [ K ({} u )] T i { F} + [ K( {} u i )] {} u {} u i T i [ K( { u} )] {} u {} u u. Elle K et du vecteur des efforts = + (1.5) {} u i

22 CHAPITRE 1 : Technique globale d analyse statique A chaque itération, le problème se ramène à la résolution d un problème linéaire d inconnue u : { } [ K ({ u} )]{ u} = { R( { u} )} Le processus itératif s arrête lorsque, pour une tolérance ε donnée, T i T (1.6) { u}{ u} T {}{} u u i i ε i (1.7) L algorithme détaillé de la méthode de Newton-Raphson est donné en annexe A Optimisation : la sous-structuration statique Introduction Pour la majorité des mécanismes considérés, le nombre de degrés de liberté (DDL) liés à des éléments de liaison non linéaires est très inférieur au nombre total de déplacements inconnus. Par exemple, le bogie de train considéré par la suite, constitué de 21 éléments de structure, est discrétisé en plus de nœuds au total (environs DDL). Seuls 2500 de ces nœuds seront connectés à des éléments non linéaires. L utilisation de techniques de condensation ou de sousstructuration statique apparaît indispensable pour diminuer le temps de calcul (Imbert [16], Rigal [33]). La résolution non linéaire est effectuée sur un système «réduit» qui ne contient que les nœuds situés aux interfaces entre éléments. Les déplacements dans l ensemble des éléments de structure sont ensuite déterminés par des calculs de restitution afin de connaître la répartition des efforts et des contraintes Principe global de résolution du système non linéaire Tous les nœuds d attache des éléments de liaison appartiennent à des maillages d éléments de structure et sont appelés nœuds de connexion. Le processus de calcul global retenu se fait par les étapes suivantes : définition des maillages des éléments de structure, définition des nœuds de connexion et des éléments de liaison, condensation des matrices de rigidité des éléments de structure sur les nœuds de connexion, assemblage des matrices réduites et résolution itérative non linéaire avec les matrices des éléments de liaison, calculs de restitution pour obtenir les déplacements sur tous les nœuds du système

23 CHAPITRE 1 : Technique globale d analyse statique Condensation Nœud Elément de structure Elément de liaison Figure 1.3 : Réduction du nombre de nœuds par condensation Condensation et calculs de restitution La méthode de condensation statique est une technique numérique permettant de diminuer le nombre d inconnues d un modèle éléments finis (Imbert [18]). Elle consiste en une partition des n degrés de liberté du modèle en n i DDL internes et n c DDL de connexion. Les degrés de liberté internes, éliminés par condensation, ne peuvent pas être connectés ultérieurement à d autres éléments. Le modèle initial est alors équivalent à un super-élément défini aux nœuds de connexion. Le principe de la condensation est d exprimer, à une constante près, l énergie potentielle d un super-élément en fonction de ses déplacements externes. D un point de vue numérique, cette méthode est tout à fait similaire à une méthode d élimination de Gauss par blocs. Pour chaque élément de structure la partition des degrés de liberté du modèle éléments finis se fait de la manière suivante : les DDL de connexion, indicés «c», sont les DDL associés aux éléments de liaison non linéaires, les DDL internes, indices «i», sont les DDL complémentaires. Le vecteur { u } des déplacements généralisés de l élément de structure devient donc : {} u ui = uc DDL internes DDL de connexion (1.8) Des partitions identiques de la matrice de rigidité [ K ] et du vecteur des efforts extérieurs { F } permettent d écrire l équilibre statique de l élément de structure de la façon suivante : K T K ii ic K K ic cc ui Fi = uc Fc (1.9)

24 CHAPITRE 1 : Technique globale d analyse statique Après condensation (cf. annexe A2), le système linéaire (1.9) est équivalent au système u : (1.10) d inconnues { } c [ ]{ u } { F } K = (1.10) cc c La matrice [ K cc ] est la matrice condensée aux DDL de connexion de l élément de structure. Elle est définie par (Imbert [17]) : T 1 [ K ] = [ K ] [ K ][ K ] [ K ] (1.11) cc cc c ic ii ic Le vecteur { F c } est le vecteur des efforts nodaux condensés appliqués sur les nœuds de connexion : T 1 { F } = { F } [ K ] [ K ] { F } (1.12) c c ic ii i Les relations (1.11) et (1.12) sont utilisées pour condenser chaque élément de structure séparément. Les matrices de rigidité et les vecteurs d efforts condensés obtenus sont assemblés. Ils sont indépendants des déplacements. A chaque itération de la résolution du système global non linéaire, les matrices de rigidité tangentes des éléments non linéaires sont calculées en fonction du vecteur des déplacements et assemblées avec les matrices de rigidité condensées. Après convergence, les déplacements de tous les nœuds de connexion du mécanisme sont obtenus. Un calcul linéaire de restitution est effectué sur chaque élément de structure pour déterminer les déplacements { u i } sur les DDL internes du modèle à partir des déplacements { u c } des DDL de ces nœuds de connexion. Le système à résoudre est : [ K ]{ u } { F } [ K ]{ u } ii i = (1.13) i ic c 3. MODELISATION DES ELEMENTS DE STRUCTURE 3.1 Outil informatique Les nombreux travaux réalisés sur la Méthode des Eléments Finis depuis une cinquantaine d années couplés au fort développement des moyens informatiques ont permis de mettre en place des «éléments» de poutres, de plaques, de coques et de volumes ainsi que des règles de modélisation permettant d obtenir des modèles statiques performants. La validité de ces modèles a été vérifiée expérimentalement. La justesse générale de la méthode des éléments finis et le développement de nombreux éléments permettent une exploitation industrielle de cette technique. Néanmoins, comme toute méthode de modélisation, elle repose sur un certain nombre d hypothèses qu il est nécessaire de garder présentes à l esprit pour réaliser des modèles permettant d obtenir des résultats significatifs. La validité d un modèle de données doit être vérifiée cas par cas. Le développement des outils de conception assistée par ordinateur en général et des logiciels de modélisation par éléments finis en particulier (ABAQUS, NASTRAN, ANSYS, CATIA, )

25 CHAPITRE 1 : Technique globale d analyse statique permet aujourd hui de disposer d outils performants pour réaliser des maillages de pièces industrielles complexes : maillages automatiques ou semi-automatiques et pour résoudre les équations de comportement. Les modèles éléments finis des différents éléments de structure (arbres, carters, ) utilisés dans cette étude seront supposés représenter correctement le comportement statique des éléments de notre application sur le bogie de train. L outil choisi pour traiter cela est le module ELFINI du logiciel CATIA. 3.2 Hypothèses sur le comportement Dans les mécanismes de transmission de puissance, nous distinguons deux types d architecture : l architecture des mécanismes comportant des pièces rigides telles que des carters ou des arbres de transmission. Ces mécanismes sont généralement isostatiques grâce à des éléments de liaison adaptés. Ils sont aussi conçus pour ne pas générer d efforts internes au mécanisme supplémentaires par rapport aux efforts de fonction. Les mécanismes comportant des pièces souples telles que des ressorts ou des articulations élastiques comportant des montages hyperstatiques destinés à augmenter la rigidité de l ensemble. Dans les mécanismes du premier type (boîte de vitesses automobiles, boîte de transmission principale d hélicoptère, ), on trouve fréquemment des montages de roulements localement hyperstatiques (roulements à rouleaux coniques montés en «O» ou en «X») qui forment une cartouche dont la fonction est de réaliser une liaison cinématique simple. Néanmoins, ces mécanismes sont globalement isostatiques contrairement à ceux du deuxième type (bogie ferroviaire, ). Dans les mécanismes hyperstatiques, les composants sont connectés les uns aux autres en formant une chaîne fermée. Dans certains cas, les dimensions des composants rendent leur assemblage impossible dans leur état «à vide». Pour refermer la boucle il est alors nécessaire d introduire au moins un des constituants dans un état initial déformé appelé «état pré-chargé». Le choix du constituant à pré-charger n est pas unique. En effet, à l équilibre la pré-charge se répartit dans tous les constituants de la boucle selon le principe de minimisation de l énergie de déformation. De plus, si la boucle pré-chargée contient un élément de grande flexibilité qui subit des changements de géométrie importants, la notion de pré-charge sera associée à un comportement géométriquement non linéaire, dû au changement des points d application des efforts. Le modèle doit prendre en compte ces spécificités afin de permettre le traitement de tous les mécanismes de transmission de puissance. Le comportement des éléments de structure est supposé respecter les hypothèses suivantes dans la gamme de fonctionnement étudié : petites déformations relatives, matériau élastique linéaire. Les seules non linéarités de comportement prises en compte sont liées aux grands déplacements

26 CHAPITRE 1 : Technique globale d analyse statique 3.3 Pré-charge d un élément de structure L objectif de cette partie est de définir la manière de prendre en compte la pré-charge d un élément de structure dans le calcul par éléments finis. L élément est supposé avoir un comportement non linéaire, lié à des changements de géométrie notables (Desai C. S. et Abel J. F.[7]) Principe Le comportement statique de l élément de structure au sein du mécanisme est traduit par la relation : où : [ ({ u })]{ u } { F } K = (1.14) e { u e } est le vecteur des déplacements nodaux à l équilibre statique, mesuré depuis l état initial «à vide», [ K ({ u e })] est la matrice de rigidité, géométriquement non linéaire, de la pièce mécanique soumise au champs de déplacement { u e }, { F e } est le vecteur des efforts nodaux extérieurs à l élément (somme des efforts extérieurs au mécanisme et des efforts appliqués par les autres éléments de structure ou les éléments de liaison en contact avec lui. e e Pré-charger l élément de structure consiste à déplacer les nœuds de son maillage éléments finis d une quantité { u r } permettant de respecter les contraintes dimensionnelles de montage dans le mécanisme. Ceci revient à opérer un changement de l état de référence pour la mesure des déplacements nodaux. Ainsi, le déplacement à l équilibre depuis l état «à vide» s écrit : u = u + u~ (1.15) { } { } { } où { u ~ e } est le déplacement depuis le nouvel état de référence. e r e La relation (1.14) devient alors : [ K( { u })]{ u ~ } { F } [ K( { u })]{ u } e e = (1.16) e e r La matrice de rigidité à l équilibre [ K ({ })] ne peut pas être évaluée à priori car { } u e u est l inconnue du problème. Cependant, elle peut être d évaluée pour un déplacement donné en effectuant un r lage sur la position déformée considérée. Si le déplacement de référence { } r u est proche du déplacement à l équilibre { u } comportement peut être linéarisé au voisinage de cette position et la relation (1.16) est remplacée par : e e, le

27 où [ r ] [ K( { u r })] déplacés de { r } CHAPITRE 1 : Technique globale d analyse statique [ K ]{ u ~ } { F } [ K ]{ u } r e = (1.17) e K = est la matrice de rigidité obtenue à partir du maillage dont les nœuds ont été u depuis la position initiale «à vide». r r Mise en œuvre La seule contrainte théorique à laquelle doit obéir le déplacement de référence { u r } est de rendre les dimensions de l élément de structure pré-chargé, compatibles avec son introduction dans l assemblage. Cependant, plus l état de référence est choisi proche de l état d équilibre, meilleure sera l approximation introduite par la linéarisation de l équation (1.17). La méthode retenue pour déterminer le déplacement { u r } est de résoudre le système linéaire : [ K0 ]{ ur} = { 0} (1.18) où [ K 0 ] = [ K( {} 0 )] est la matrice de rigidité de l élément de structure calculée à partir du maillage initial non déformé. Le système (1.18) est résolu avec des déplacements imposés sur les nœuds de connexion avec les autres éléments du mécanisme tels que les contraintes dimensionnelles de montage soient respectées. Après déplacement des nœuds d une quantité { u r }, la matrice de rigidité [ r ] l effort nodal extérieur { F } [ K ]{ u } K est évaluée et r = r r est appliqué sur les nœuds de la structure déformée qui est alors traitée de la même manière qu un élément de structure ordinaire. Utilisé dans un calcul global, u ~ conformément à l équation (1.17). le modèle pré-chargé permet d obtenir le déplacement { } e Le tenseur des contraintes en tout point du milieu continu pré-chargé découle des déplacements nodaux calculés et des fonctions de formes. Il doit être déterminé sur la structure initiale «à vide», u = u + u~. à partir du déplacement { } { } { } e r e 4. MODELISATION DES ELEMENTS DE LIAISON 4.1 Les paliers à roulements De nombreux travaux ont été réalisés pour élaborer des modèles statiques de paliers à roulements en prenant en compte les relations non linéaires entre les efforts et les déplacements lors des contacts entre les éléments roulants et les pistes. Ainsi, A. Palmgren [31] a établi des formules approchées des relations efforts-déplacements reposant sur des hypothèses simplifiées (angles de contact ne variant pas, bagues rigides). Par la suite, de nombreux travaux ont été réalisés pour créer des modèles qui prennent en compte la géométrie fine des roulements : les modèles analytiques de S. Andreason [1] permettent de déterminer l'équilibre des corps roulants en prenant en compte, pour