Correction Essec II Voie économique

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1 Correcton Essec II 06 - Voe économque Premère parte. a Décomposons l événement [X > ] en unon de événements ncompatbles : [X > ] [X ] [X > ] car les valeurs strctement supéreures sont la valeur et les valeurs strctement supéreures à. Ans, PX > PX + PX > PX PX > PX > b Sot p un enter naturel non nul, PX PX > PX > p + PX > 0 0 d après. pus lnéarté de la somme PX > en posant le changement d ndce p p PX > + PX > p PX > 0 p p PX > PX > lnéarté de la somme p PX > + PX > p p PX > p + PX > 0 0 p PX > p PX > p + 0 PX >. a. X admet une espérance donc d après la défnton de l espérance, PX converge absolument donc converge.. p+ PX PX PX EX PX EX EX 0 p +

2 . p PX > p p P p p+ p+ p+ + p+ [X ] PX p PX PX unon d événements à ncompatbles lnéarté sommaton d négalté b. car s p +, + alors p donc p PX PX car Px 0. v. D après.b, on a : p PX > 0 PX + p PX > p qu admet donc ben une lmte lorsque p tend vers + comme somme de deux sutes convergentes d après.a. et.a. v. On fat tendre p vers + dans l égalté précédente, on obtent : v p+ v p 0 0 PX > PX + p PX > PX > 0 p 0 lm p + p PX > p µ + 0 µ p PX > +PX > p La sute v p est crossante donc admet une lmte fne ou tend vers +.. D après la queston.b, on a PX v p car p PX > p 0 0 PX > 0 PX > PX > p 0 car v p est crossante donc sous sa lmte. La sére de terme général PX est crossante en tant que sére à terme général postf et maorée d après la queston.b. donc elle est convergente d après le théorème de la lmte monotone. Elle est donc auss absolument convergente car à termes postfs. Par défnton de l espérance, X admet ben une espérance. c D après la queston.a, s X admet une espérance alors la sére de terme général PX > converge. D après la queston.b, la récproque est vrae. Ans, les proprétés sont ben équvalentes. 3. a D après la queston.a, on a pour tout : Ans, PX PX > PX > +

3 N, + crossance de x x sur R + + l nverse sur R +, donc PX 0. N, Ans, N PX N + PX On défnt donc ben une lo de probablté. N+ par télescopage. lm N + N + décrossance de b D après la queston.c, on sat que X admet une espérance s et seulement s la sére de terme général PX > converge. Or PX > +. On reconnat le terme général d une sére de Remann qu converge s et seulement s >. Donc par théorème de comparason, X admet une espérance s et seulement s >. c N, PX d. f est défne car + x > 0 sur [0, ] et dérvable sur [0, ] comme composée et somme de fonctons usuelles dérvables sur [0, ]. [ ] x [0, ], f x + x +x +x+ + +x. + Ans, comme > 0 et x [0, ], f x est du sgne de + x + 0 car + x donc + x + +. f est donc décrossante sur [0, ].. On sat par décrossance de f que x [0, ], fx f0 0. On pose alors x car donc 0. on obtent : [0, ] Ans, d après 3.c, + + e On remarque que X + 0, ans, par développement lmté d ordre on a : + + donc + PX o o + o + + o f D après la queston précédente, comme > 0, on obtent + PX PX PX +. On reconnat le terme général d une sére de Remann convergente s et seulement s > >. Ans X admet une varance s et seulement s X admet un moment d ordre, s et seulement s la sére de terme général PX converge absolument, s et seulement s > par théorème de comparason avec la sére de Remann c-dessus. 3

4 Deuxème parte : Etude de la probablté de panne un our donné. 4. a On a l égalté d événements A [X ] car l événement A sgnfe qu un composant tombe en panne à l nstant premer nstant, l s agt forcément du premer composant pusqu aucun composant n a pu tomber en panne précédemment. Ans, P A P X u p. b. On décompose l événement A sur le s.c.e { A, A } : A A A A A L événement A A sgnfe qu un composant est tombé en panne à l nstant forcément le premer composant et un composant est tombé en panne à l nstant forcément le deuxème composant ; ans A A [X ] [X ]. L événement A A sgnfe que le premer composant tombe en panne à l nstant donc A A [X ]. On a ben : A [X ] [X ] [X ]. Les événements de l unon c-dessus sont ncompatbles donc u PA PX + P[X ] [X ] PX + PX PX par ndépendance de X et X p + p car X et X ont même lo c. On sat que X est une sute de varables mutuellement ndépendantes donc X, X X, X X 3,... sont mutuellement ndépendantes par lemme des coaltons. De plus, d après l énoncé,, X X + a même lo que X.. Sot < n, on sat d après l énoncé que l événement A n sgnfe qu un composant tombe en panne le our n.e. : A n [T n] donc par dstrbutvté de l unon par rapport à l ntersecton, A n [X ] [X ] [T n] [X ] [T n] car [X ] [T n] [X ] [X n] [X ] [ + X + X X n] [X ] [X + X X n ] [X ] [ X + X X n ] [X ] [ X + X X n ] changement d ndce [X ] [ X + X X n ] 4

5 . < n, P [X]A n PA n [X ] PX P [X ] [ X + X X n ] PX PX P X + X X n d après 4.c. PX par ndépendance des événements de l ntersecton d après 4.c. et par lemme des coaltons et ncompatblté à des év. de l unon P X + X X n PT n car X + X X a même lo que T en tant que somme de v.a.r. ndépendantes, toutes de même lo que X P PT n PA n d Par formule des probabltés totales sur le s.c.e [X ], on a : PA n PX P [X]A n n PX P [X]A n + n PX P [X]A n + n+ n+ PX P [X]A n 0 car s > n, un composant ne peut pas tomber en panne à l nstant n alors que le premer composant tombe en panne à l nstant > n n PX PA n + PX n P [Xn]A n n p u n + p n p u n + p u n p n u + p n u 0 car u 0 e Uzeros,n+ U for :n do U+0 for : do U+ U++P*U+- end end dspun+ 5. a PX > + λ. + PX + + λ λ λ + d après 4.c. λ λ λ λ b P [X>]X + P[X>] [X+] PX > Ans, P [X>]X + λ λ λ λ. PX+ PX > car [X + ] [X > ]. 5

6 c Démontrer par récurrence forte sur n N, la proprété P n : PA n λ : PA PX λ λ 0 λ donc P est vrae. Supposons qu l exste un rang n N tel que, n, P est vrae ; calculons PA n+ : PA n+ u n+ λ n+ p u n+ n p u n+ + p n+ u 0 n p λ + p n+ n p + p n+ d après 4.d λ PX n + PX n + par hypothèse de récurrence λ λ PX > n + PX n + [ λ PX > n λ PX ] n + PX > n λ PX > n [ λ P [X>n]X n + ] λ PX > n [λ λ] d après 5.b λ Concluson, par prncpe de récurrence forte, P n est vra pour tout n N. 6. a La famlle d événement [X ] forme un s.c.e donc + p p + p + + p p + p + + p + p Or cette somme est à termes tous postfs donc comme cette somme est nulle, tous les termes sont nuls. Ans, 3, p 0 b Sot la matrce M un pun + pu n u n u n Or, d après 4.d, u n p u n + p u n p n u + p n u 0 pu n + pu n + n 3 0u n pu n + pu n. 3 Ans, M un pun + pu n un u n u n u n c. On cherche les valeurs λ telles que M λi non nversble par méthode du pvot, on trouve : SpM {, p } On remarque que, comme 0 < p <, alors < p < 0 donc M a deux valeurs propres dstnctes. Ans, elle est ben dagonalsable. On résout les équatons MX X et MX p X d nconnue X M, R, on trouve p respectvement E M Vect et E p M Vect. p 0 Ans, s on pose P et D, par formule de changement de base, 0 p on a M P DP. 6

7 d. Montrons par récurrence sur n N la proprété P n : M n p p p. p n p p p p p + p 0 p p p I M 0 donc P est vrae. Supposons qu l exste un rang n tel que P n est vrae. Alors, p + p + p p + p p 0 p + p 0 p M n M n M p p n p p p p + par hypothèse de récur p p p 0 p p p p n p p p p + p p 0 p 0 p p n p p + après calcul des produts matrcels p p p Ans, n N, P n P n +. Concluson : P n est vrae pour tout n N.. D après le résultats 6.b, on peut prouver par une récurrence évdente que M n u p M u n. 0 On calcule la premère lgne de ce produt matrcel, on obtent : un u n. u n p n+ p u n n + p n+ p p car < p < 0 <. Trosème parte : Etude de la durée de fonctonnement. 7. la sute X est une sute de v.a.r. dentquement dstrbuées donc, X a une espérance et EX µ. Ans, par lnéarté de l espérance, T a une espérance, qu vaut : ET EX µ 8. On suppose, dans cette queston, que est strctement supéreur à. X admet donc une varance σ. a Les varables X,..., X n étant ndépendantes,.d., T admet donc une varance qu vaut : VT VX σ b T admettant une varance, on peut applquer l négalté de Benaymé-Tchebychev avec ε > 0 : P T ET ε VT ε c On passe à l événement contrare, on obtent : P T µ ε σ ε σ ε P T µ < ε P T µ ε σ ε Or, [ T µ < ε] [ ε < T µ < ε] [µ ε < T < µ+ε] [ µ ε < T < µ + ε ]. Ans, P µ ε < T < µ + ε P T µ < ε σ ε + par théorème d encadrement. 7

8 9. Effectuons une dsoncton de cas sur le s.c.e. {[X m], [X > m]} : S X m alors Y m S X > m alors Y m Ans, + Z m X + 0 X. + Z m 0 + X X. Y m + Z m X a { b. Posons f m la foncton défne sur R par f m x x s x > m,. 0 snon. Alors, Z m f m X. Ans, par théorème de transfert, sous réserve de convergence absolue, on a : EZ m Ef m X f m P X m f m P X + m 0P X + m+ m+ f m P X P X Or > donc X admet une espérance donc la sére de terme général P X converge absolument. Z m admet ben une espérance et EZ m m+ m+ P X d après 3.d.. On applque la méthode de comparason sére-ntégrale : Montrons que pour tout m +, x dx : x,, x x x. On ntègre l négalté obtenue sur [, ], on obtent : Sommons l négalté obtenue sur m +, + : m+ Ans,. A m : A m x dx + m+ A m x dx + m EZ m x dx x dx par relaton de Chasles. m+ [ x dx + x + ] A m + m x dx + A + + m + A + m + v. car > > 0 donc A + A 0. A + Z m 0 car X 0 et 0 0 donc EZ m 0. EZ m + Ans, Or, m x dx m + d après 9.b. et 9.b. 0 EZ m m + lm m + m + 0 donc, par théorème d encadrement, lm m + EZm 0. 8

9 v. Y m X Z m donc par lnéarté de l espérance, Y m admet une espérance qu vaut EY m EX EZ m m + µ 0 µ c. D après la défnton de Y m, on a Y m X et Y m m car s X m alors Y m X m et s X > m alors Y m 0 m < X. Ans, Y m Y m Y m mx.. Y m 0 et X admet une espérance donc mx admet une espérance, par théorème de comparason, Y m admet alors un moment d ordre.e. admet une varance. De plus, par théorème de Koeng-Huygens, on a VY m EY m EY m EY m EmX m EX mµ d e f m m ε. Z m EZ m 0 donc par défnton de la lmte, ε > 0, l exste m 0 N tel que m m 0, m + U m + V m Y m + Z m Y m + Z m X T f m X est de même lo que Z m f m X car X et X ont même lo donc EZ m. Ans, par lnéarté de l espérance, V m admet une espérance qu vaut EV m EZ m EZ m m d après 9.b. et.. V m 0 et admet une espérance donc on peut applquer l négalté de Marov : PV m ε m EV m ε ε d après 9.f. g. U m EU m T V m donc ET EV m µ EV m µ m d après 9.f.. D après la queston précédente, EU m µ m ε d après 9.d. On sat que U m T V m T donc EU m Ans, ε EU m µ ε EU m µ ε. µ donc EU m µ 0 ε.. Montrons que S [ U m S U m [ U m µ ε] alors U m µ ε alors U m ε donc EU m µ ε. S U m Ans, donc µ ε alors U m d après 9.g. EU m [ U m µ ε] [ U m EU m ε] : µ ε ou U m µ +ε : EU m EU m U m U m µ ε donc µ EU m µ ε] [ U m P U m µ ε P U m µ + µ EU m ε + 0 µ + µ EU m ε ε car ε. EU m ε] EU m ε 9

10 h v. Les varables X, X,..., X sont mutuellement ndépendantes donc, par lemme des coaltons, les varables Y m, Y m,...,y m sont ans mutuellement ndépendantes. Elles sont toutes de même lo que Y m. Ans, U m admet une varance qu vaut VU m VY m VY m mµ d après 9.c. v. P U m µ ε. Par formule du Crble, on a P U m EU m ε d après 9.g. m VU ε par négalté de Benaymé-Tchebychev mµ ε d après 9.g v. mµ ε PA B PA + PB PA B or PA B en tant que probablté donc PA B, d où : PA B PA + PB.. On remarque que s l événement A B se produt alors : T U m + V m < µ + ε + ε µ + 3ε. T U m + V m > µ ε + 0 > µ 3ε car V m de varables postves. Ans, on a ustfé que :. A B T ]µ 3ε, µ + 3ε[ D où P T ]µ 3ε, µ + 3ε[ PA B P D après la queston 9.f., on sat que P m ε. D après la queston 9.gv., on sat que P P U m µ ε mµ ε. Ans, d après 9.h., P T ]µ 3ε, µ + 3ε[ V m < ε V m < ε +P est postf comme somme U m P ]µ ε, µ + ε[ V m ε U m ]µ ε, µ + ε[ P U m µ < ε m + mµ ε ε m mµ ε ε v. Pour tout, donc l exste un enter m [, ]. On a alors m, d où m sur R + car < 0. Ans, ε µ ε Ans, par théorème d encadrement, ]µ 3ε, µ + 3ε[ donc par théorème d encadre- car > donc < 0. De plus, m ment, ε m µ ε lm + P T lm P T + m ε m ε par décrossance de x x m µ ε m µ ε ε µ ε ]µ 3ε, µ + 3ε[. 0