Chapitre 4 : Angles et trigonométrie.

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1 Chapitre 4 : Angles et trigonométrie. I Le radian 1. Quelle est la longueur d un cercle de rayon 1? D un demi-cercle de rayon 1? 2. SoitC un cercle de rayon 1. Les points A et M sont deux points du cerclec. n note α la mesure de l angle ÂM et x la longueur exacte de l arc AM. Compléter le tableau suivant : α x M A Définition 1 (Radian) Sur un cercle de rayon 1, un angle au centre qui intercepte un arc de cercle de longueur 1 mesure... M A AM= 1 ÂM=... Conséquences : La mesure en radians d un angle ÂM correspond à la longueur de l arc AM. π radians correpond à... degrés. La mesure d un angle en radians est proportionnelle à la mesure d un angle en degrés. Exemple 1 1. Donner la mesure en degrés de chaque angle : a. π 5 rad :... b. 3π 4 rad :... c. 5π 3 rad : Donner la mesure en radians de chaque angle : a. 9 :... b. 72 :... c. 105 :... 1 ere S

2 II Mesure des angles orientés 1 Repérage sur le cercle trigonométrique Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct(, ı, ). Définition 2 Le cerclec de centre et de rayon 1 orienté dans le sens direct (le sens inverse des aiguilles d une montre) est le cercle trigonométrique. n fixe les points I(1,0) et A(1 ;1) et on enroule la droite réelle (IA) autour dec. Le point d abscisse t de la droite (IA) vient s appliquer sur un unique point M dec appelé point image de t. Activité : J A K I L 1. Déterminer ou construire les points images des réels suivants : a. 0, π 2, 3π 2, 3π 2, 5π 2, π, 3π. b. π 4, π 3, π 6, 11π 4, 15π Déterminer : a. Deux réels positifs associés à L. b. Deux réels négatifs associés à I. c. Un réel de l intervalle] π;π] associé à K. 1 ere S

3 d. Un réel de l intervalle[3π;5π] associé à J :. Définition 3 Par enroulement de la droite réelle sur le cerclec à partir de leur origine commune I, à tout nombre réel t correspond un unique point M sur le cercle trigonométrique. t est alors la mesure en radians de l angle ÂM. n dit que M est l image de t sur le cercle trigonométrique. Proposition 1 Tout point M du cercle trigonométrique est l image d une infinité de nombres réels. Si t est l un d eux, les autres sont les réels de la forme t+k 2π où k Z. Exemple : Exemple 2 1. a. Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, placer le point M repéré par le réel 5π 4. J I b. Indiquer tous les réels de l intervalle] 3π;3π] repérant M. 2. a. Représenter l ensembleldes points du cercle trigonométrique repérés par les réels de l intervalle [ 5π 4 ; π 3 ]. 1 ere S

4 b. A quel intervalle est associé le complémentaire del? 2 Mesure des angles orientés Activité "mesures d angles orientés" Exercices 1 à 6 p. 284 Définition 4 (Mesures des angles orientés) Soit u et v deux vecteurs non nuls etc le cercle trigonométrique de centre. n note M et N les points d intersection dec avec les demi-droites d origine dirigées par u et v. Les mesures en radian de l angle orienté( u ; v)sont les réels... où s et t sont des réels respectivement associés aux points M et N par "enroulement de la droite réelle sur le cerclec". J I Exemple 3 Sur le cercle trigonométrique, les points M et N sont respectivement repérés par : x m = 3π 5 et x N= π 6 1. Donner une mesure de l angle( M, N), puis de l angle( N, M). 2. Déterminer une autre mesure de ces angles. Définition 5 (Mesure principale) Si x est une mesure de l angle orienté( u, v)alors toutes les mesures de( u, v)sont de la forme... avec k Z. De plus, il existe une et une seule mesure, α appartenant à l intervalle] π;π] : cette mesure est appelée... de l angle( u, v). n note : ( u, v)=... Exemple 4 ABCD est un carré de centre direct. Lire graphiquement : 1. Deux mesures de l angle( AB, AD). 2. les mesures principales des angles( C, B),( C, A),( DA, C). 1 ere S

5 III Propriétés des angles orientés Dans cette partie, u et v sont des vecteurs non nuls. 1 Angles et colinéarités Proposition 2 Deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si : ( u, v)=... ou ( u, v)=... v u u v Proposition 3 (Alignement) Trois points M, A et B sont alignés si et seulement si :... Exemple 5 Soit A et B deux points distincts du plan. Déterminer l ensemble E des points M tels que ( AB, AM)=0(2π) 2 Relation de Chasles Proposition 4 Pour tous vecteurs u, v et w on a : ( u, v)+( v, w)=... Démonstration : Proposition 5 (Angles associés) Angles opposés ( v, u)=... Angles égaux ( u, v)=... 1 ere S

6 Angles supplémentaires ( v, u)=... Exemple 6 ABC est un triangle tel que( AB, AC)= π 3. Trouver la mesure principale de l angle( AB, CA) IV Trigonométrie 1 Cosinus et sinus d un nombre réel (, ı, )est un repère orthonormé direct etc est le cercle trigonométrique de centre. Définition 6 M est le point dec associé au réel t. Le cosinus de t, noté cos(t), est... de M. Le sinus de t, noté sin(t), est... de M. Proposition 6 Pour tout réel t et tout entier relatif k,... cos(t) sin(t)... cos 2 (t)+sin 2 (t)=... cos(t+2kπ)=... sin(t+2kπ)=... Exemple 7 n sait que cos( π )=. 4 En déduire la valeur exacte de sin( π 5 ) 1 ere S

7 Quelques valeurs particulières à connaître : x 0 π 6 π 4 π 3 π 2 cosx sinx Cosinus et sinus d un angle orienté Définition 7 Soit u et v deux vecteurs non nuls et t+2kπ les mesures en radians de l angle ( u, v ). n définit alors le cosinus et le sinus de l angle orienté ( u, v ) par : cos( u, v)=... et sin( u, v)=... 3 Lignes trigonométriques Activité : Le plan est muni d un repère orthonormé direct(, ı, ).C est le cercle trigonométrique de centre. n considère surc un point M 0 de coordonnées(x;y), image d un réel t sur le cerclec. M 0 (x;y) 1. Sur la figure ci-dessus, placer les points : M 1 symétrique de M 0 par rapport à. M 2 symétrique de M 0 par rapport à (x) M 3 symétrique de M 0 par rapport à (y) 2. Exprimer les coordonnées de M 1, M 2 et M 3 en fonction de x et y. 3. De quels réels les points M 1, M 2 et M 3 sont-ils les images sur le cerclec? 4. En déduire les cosinus et sinus de t, t+π, π t en fonctions de ceux de t. 1 ere S

8 Proposition 7 Pour tout réel t, on a les égalités suivantes : cos( t)=... cos(t+π)=... sin( t)=... sin(t+π)=... cos(π t)=... cos( π 2 t)=... sin(π t)=... sin( π 2 t)=... cos( π 2 t)=... sin( π 2 t)=... Exemple 8 Calculer les valeurs exactes de : cos( 5π 6 ) ; sin(4π 3 ) ;cos(79π 4 ) 1 ere S

9 V Repérage polaire Activité "l écran d un radar" Définition 8 M est un point du plan distinct de et est un vecteur unitaire. Un couple de... de M dans le repère (, ) est un couple... où... et... Exemple 9 Dans le repère(, ) ci-dessous, construire le point A de coordonnées polaires( 2, 3π 4 ). Proposition 8 Dans un repère orthonormal direct(, ı, ), M a pour coordonnées cartésiennes(x;y) et pour coordonnées polaires(r,θ) dans le repère (, ). n a alors : r=... x=... et y=... Exemple Déterminer les coordonnées cartésiennes dans le repère(, ı, )du point A de l exemple précédent. 2. M a pour coordonnées(3; 3) dans le repère orthonormal direct(, ı, ). Déterminer les coordonnées polaires de M dans le repère(, ). 1 ere S

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