COURS. Le polyèdre représenté ci-dessus n est pas convexe : il n est pas situé tout entier du même côté du plan contenant la face JBCK.

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1 EC 9A : ELEMENTS DE MATHEMATIQUES GEOMETRIE DANS L ESPACE COURS Objectifs du chapitre : Reconnaître et utiliser les propriétés relatives aux faces, arêtes et sommets pour les solides suivants : cube, pavé droit, prisme droit, pyramide, tétraèdre, cylindre, cône. Représenter chacun de ces solides en perspective cavalière. Reconnaître et construire des patrons de ces solides. Repérer des arêtes perpendiculaires, des faces parallèles ou perpendiculaires à partir de la représentation en perspective cavalière des polyèdres ci-dessus ou en utilisant un raisonnement (démonstration). Calculer des mesures de longueurs sur des solides. Savoir déterminer la section d un solide par un plan. 1. Les solides a. Les polyèdres Définition : un polyèdre est un solide délimité par des faces qui sont toutes des polygones. Le mot vient du grec poly =»plusieurs» et de èdre = «face» Vocabulaire : L intersection de deux faces est une arête. Une arête est donc un segment. L intersection de deux arêtes est un sommet. Un sommet est donc un point. Un polyèdre est convexe s il est situé tout entier d un même côté de tout plan contenant une quelconque de ses faces. Le polyèdre représenté ci-dessus n est pas convexe : il n est pas situé tout entier du même côté du plan contenant la face JBCK. Géométrie dans l espace : cours 1 9

2 b. Des polyèdres particuliers. Le prisme droit est un polyèdre qui a deux faces superposables (base), les autres faces (faces latérales) sont des rectangles. Prismes particuliers : Le cube est un polyèdre qui a 6 faces carrées. Le parallélépipède rectangle (ou pavé droit) est un polyèdre qui a 6 faces rectangulaires. La pyramide est un polyèdre dont une face est un polygone (appelé base de la pyramide) et toutes les autres faces sont des triangles dont un côté est un côté de la base et qui ont toutes un sommet commun (appelé sommet de la pyramide). Si la base d une pyramide est un carré, on parlera de pyramide à base carrée. Si la base d une pyramide est un polygone régulier et si la projection orthogonale de son sommet est le centre de la base, alors on dit que la pyramide est régulière. Dans ce cas, toutes les faces autres que la base sont des triangles isocèles superposables. Pyramide particulière : le tétraèdre est une pyramide à base triangulaire, il a donc 4 faces, toutes triangulaires. Chacune de ses faces peut servir de base. Géométrie dans l espace : cours 2 9

3 c. Autres solides Tous les solides ne sont pas des polyèdres. En voici trois exemples : Un cylindre de révolution (appelé plus simplement cylindre) est un solide obtenu en faisant tourner un rectangle autour de l un de ses côtés. Il possède deux bases identiques et parallèles qui sont des disques. Un cône de révolution (appelé plus simplement cône) est un solide engendré par un triangle rectangle qui fait un tour complet autour de l un des côtés de l angle droit. La base est donc un disque. La sphère, de centre O et de rayon est l ensemble des points M de l espace situés à une distance de O égale à. Géométrie dans l espace : cours 3 9

4 2. La perspective cavalière Il y a plusieurs manières de représenter un solide dans le plan : en perspective, par vue de face, de dessus, de dessous, etc. Dans une perspective cavalière, on représente l image du solide par une projection sur un plan de projection qui est parallèle à une face du solide. Ainsi, les faces parallèles au plan de projection sont représentées sans déformation et en grandeur réelle (à une échelle près). Pour ces faces donc, les angles et les distances ne sont pas déformées. Les droites perpendiculaires au plan de projection se projettent selon une direction qui est toujours la même, appelée direction des fuyantes. L angle avec la direction horizontale est généralement de 30 ou de 45. Les distances sur cette direction sont réduites, le coefficient utilisé étant souvent pris entre 0,5 et 0,7 ; Les arêtes cachées sont représentées en pointillés. Attention : Dans la perspective cavalière, le parallélisme et le milieu des arêtes sont respectés. En revanche, l orthogonalité n est respectée que pour les faces avant et arrière. Géométrie dans l espace : cours 4 9

5 3. Les patrons de solides. Le patron d un solide est une figure géométrique plane telle que, uniquement par pliage, on puisse obtenir ce solide, sans chevauchement de faces. Géométrie dans l espace : cours 5 9

6 4. L orthogonalité et le parallélisme a. Droites et plans dans l espace Toute arête d un polyèdre est portée par une droite. De même, toute face est contenue dans un plan. Le plan, comme une droite, est illimité. Il est entièrement défini par trois points non alignés. Si deux points appartiennent à un plan, alors tous les points de la droite appartiennent à ce plan. b. Droites parallèles ou perpendiculaires dans l espace. Deux droites de l espace sont parallèles si elles sont dans le même plan et si elles sont parallèles dans ce plan (c est-à-dire si elles sont confondues ou si elles n ont aucun point commun). Deux droites de l espace sont orthogonales si leurs parallèles menées par un point sont perpendiculaires. Géométrie dans l espace : cours 6 9

7 c. Plans parallèles Deux plans sont parallèles s ils n ont aucun point commun ou s ils sont confondus. d. Droite orthogonale à un plan Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à toute droite de ce plan. Si une droite est orthogonale à deux droites sécantes du plan, alors elle est orthogonale au plan (donc à toutes droite du plan). 5. La section d un solide par un plan. La section d un solide par un plan est la surface constituée de l ensemble des points d intersection du plan et du solide. Géométrie dans l espace : cours 7 9

8 6. Rappels sur les volumes. Le volume est une relation grandeur qui caractérise des solides et qui peut être définie ainsi : deux solides S et S ont le même volume s il faut la même quantité d eau pour remplir S et S (ou si plongés dans une même quantité d eau contenue dans des récipients identiques, la hauteur de l eau montera de la même façon dans les deux récipients). La mesure du volume suppose le choix d une grandeur unité (c est souvent un cube) et représente le nombre de solides unités nécessaires pour remplir le solide. a. Unités Les unités en «cube» Le m 3 et ses sous multiples : o Le décimètre cube (dm 3 ), o Le centimètre cube (cm 3 ), o Le millimètre cube (mm 3 ). Le m 3 est le volume d un cube de 1m de côté. 1m 3 = 1 000dm 3 1dm 3 =1 000 cm 3 1cm 3 =1 000 mm 3 Ces relations permettent d effectuer des conversions. Les unités en «litre» Le litre (L) et ses multiples et sous-multiples : o L hectolitres (hl), o Le décalitre (dal), o Le décilitre (dl), o Le centilitre (cl), o Le millilitre (ml). Pour passer d un type d unité à l autre, on utilise la relation 1 L = 1 dm 3 Pour effectuer des conversions des unités de volume, on peut, comme avec les unités d aire, soit utiliser les formules telles que 1m 3 =1 000dm 3, soit utiliser un tableau de conversion : m 3 dm 3 cm 3 mm 3 L dl cl ml 0,3m 3 =..cm 3 =. 15cL = cm 3 = 4500mm 3 = Géométrie dans l espace : cours 8 9

9 b. Volume des solides usuels. Objet Dessin et caractéristiques Mesure du volume V Pavé droit (ou parallélépipède rectangle) V = Cube V = Prisme droit Cylindre V = Pyramide Cône V = Sphère V = Si on multiplie par k toutes les dimensions d un solide, son volume est multiplié par k 3. Attention, il n y a aucune corrélation entre la surface latérale d un solide et son volume. Géométrie dans l espace : cours 9 9