Chapitre 9 Équations de droites. Table des matières. Chapitre 9 Équations de droites TABLE DES MATIÈRES page -1

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1 Chapitre 9 Équations de droites TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre 9 Équations de droites Table des matières I Exercices I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I-4 24 Résolution graphique d un système de deux équations à deux inconnues I I I I-4 II Cours II-1 1 Deux types d équations de droites II-1 2 Déterminer l équation d une droite II-1 3 Droites parallèles II-3 4 Vérifier si un point appartient à une droite II-3 5 Points alignés II-3

2 Chapitre 9 Équations de droites TABLE DES MATIÈRES page -2 6 Intersection de deux droites II-4 7 Résolution de systèmes du 1er degré à deux inconnues II-4 8 Résolution graphique d un système de deux équations à deux inconnues II-5

3 Chapitre 9 Équations de droites I EXERCICES page I-1 I Exercices 1 Deux types d équations de droites Déterminer l équation d une droite Tracer un repère (O, I, J) du plan et tracer les droites d équations (d 1 ) y = 2x 3 (d 2 ) y = 1, 5x (d 3 ) y = 2 Ces droites sont les représentations graphiques respectives des fonctions affines définies par les égalités suivantes : f 1 (x) = 2x 3 f 2 (x) = 1, 5x f 3 (x) = Dans le repère de l exercice précédent, placer les points A (3 ; 3) B (5 ; 7). y B y A 2. Calculer x B x A 3. À quoi correspond ce résultat? Tracer un repère (O, I, J) du plan et placer les points : A (2 ; 2) B (6 ; 4) C (1 ; 1) D (4 ; 4) E (3 ; 5) F (7 ; 5) 2. Déterminer l équation y = mx + p (appelée équation réduite) de la droite (AB) (a) graphiquement ; (b) par le calcul. Explication pour calculer l ordonnée à l origine p : dans l équation y = mx + p, on remplace x et y par les coordonnées de A ou de B. 3. Mêmes consignes que 2a et 2b pour la droite (CD), puis pour la droite (EF). 1. Tracer un repère (O, I, J) du plan et placer les points : A ( 2 ; 5) B ( 1 ; 1) C (4 ; 1) D (8 ; 4) 2. Déterminer les équations réduites (y = mx + p) des droites (AB) et (CD) graphiquement et par le calcul. 1. Dans un repère (O, I, J) du plan, placer A(2 ; 1) B(3 ; 4) C (2 ; 1) D (4 ; 5) G( 3 ; 5) H( 3 ; 2) 2. Tracer la droite (AB), et déterminer son équation graphiquement, puis par le calcul. 3. Mêmes consignes pour la droite (CD). 4. Mêmes consignes pour la droite (GH). On constate qu il y a un problème. (a) Qu est ce que cette droite a de particulier par rapport aux précédentes? (b) Tous les points de la droite (GH) ont quelque chose en commun. Quoi? 1. Dans un repère (O, I, J) du plan, placer les points : A(5 ; 2) B (5 ; 4) C ( 2 ; 4) D ( 1 ; 1) E( 4 ; 5) F ( 4 ; 1) 2. Tracer les droites (AB), (CD), (EF) et déterminer graphiquement des équations de ces droites.

4 Chapitre 9 Équations de droites I EXERCICES page I Écrire un algorithme qui indique si une droite est parallèle à l axe des ordonnées ou non, à partir des coordonnées de deux points de cette droite. 1. Écrire un algorithme qui calcule l équation réduite d une droite, à partir des coordonnées de deux points de cette droite. Droites parallèles 9 1. Dans un repère (O, I, J) du plan, placer A( 2 ; 2) B(2 ; 3) C( 2 ; 0) 2. Calculer l équation de la droite (AB) 3. Tracer la droite (d) parallèle à (AB) passant par C. Quel est son coefficient directeur? 4. Calculer l équation de la droite (d). 10 Voici les équations réduites de plusieurs droites. Sans tracer ces droites, indiquer les droites parallèles. (d 1 ) : y = 5x+2 (d 2 ) : y = 1, 5 (d 3 ) : y = x+6 (d 4 ) : x = 4 (d 5 ) : y = 5x 5 (d 6 ) : y = 7 (d 7 ) : x = 11 (d 8 ) : y = 5x + 2 (d 9 ) : y = x Dans un repère (O, I, J) du plan, placer A ( 1 ; 3) et B(2 ; 0) 2. Tracer la droite (d 1 ) d équation : y = 2x 1 3. Calculer les équations (a) de la droite (AB) ; (b) de la droite (d 2 ), parallèle à (OJ) passant par A ; (c) de la droite (d 3 ), parallèle à (OI) passant par A ; (d) de la droite (d 4 ), parallèle à (d) passant par A. 1. Écrire un algorithme qui détermine si deux droites (AB) et (CD) sont parallèles ou non à partir des coordonnées de A, B, C, D. Vérifier si un point appartient à une droite 1. Tracer un repère (O, I, J) du plan, et tracer les droites (d 1 ) d équation y = 3x + 5 et (d 2 ) d équation x = 3 ; placer les points A(1 ; 2) et B(3 ; 3). 2. (a) Le point A appartient-il à la droite (d 1 )? Justifier. (b) Même consigne pour le point B et la droite (d 1 ). 3. Même consigne pour les points A et B par rapport à la droite (d 2 ).

5 Chapitre 9 Équations de droites I EXERCICES page I Écrire un algorithme qui vérifie si un point appartient à une droite, à partir des coordonnées de ce point et de l équation réduite de cette droite. Points alignés 1. Dans un repère (O, I, J) du plan, placer : A( 1 ; 2) B (1 ; 6) C ( 2 ; 1) D ( 2 ; 0) E(1 ; 3) F (1 ; 1) G (2 ; 5). 2. Les points A, B, C sont-ils alignés? Justifier. Indication : on peut calculer l équation de la droite (AB), puis vérifier si le point C appartient à la droite (AB) ou non. 3. Les points suivants sont-ils alignés? Justifier. (a) B, E, F (b) B, E, G 1. Dans un repère (O, I, J) du plan, placer A( 1 ; 3) B(1 ; 2) C(2 ; 4) D(3 ; 7) 2. Calculer l équation de la droite (AB). 3. Vérifier si les points suivants sont alignés : (a) A, B, C (b) A, B, D. 1. Dans un repère (O, I, J) du plan, placer A ( 2 ; 2) B (3 ; 5) C (2 ; 4) D (3 ; 1) 2. En justifiant, vérifier si les points suivants sont alignés : (a) A, B, C ; (b) B, C, D. 1. Écrire un algorithme qui vérifie si trois points sont alignés à partir des coordonnées de ces points. Intersections de deux droites 1. Dans un repère (O, I, J), tracer les droites (d 1 ), (d 2 ), (d 3 ) d équations (d 1 ) : y = 3x 4 (d 2 ) : y = 2x + 6 (d 3 ) : x = 4 2. (a) Justifier pourquoi les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes. (b) Calculer les coordonnées du point M d intersection des droites (d 1 ) et (d 2 ). 3. Mêmes consignes que 2a et 2b pour les droites (d 1 ) et (d 3 ) qui se coupent en N. 1. Dans un repère (O, I, J), tracer les droites (d 1 ), (d 2 ), (d 3 ) d équations (d 1 ) : y = 1, 5x 3 (d 2 ) : x = 3 (d 3 ) : y = 0, 5x Calculer les coordonnées du point M d intersection des droites (d 1 ) et (d 2 ). 3. Calculer les coordonnées du point N d intersection des droites (d 1 ) et (d 3 ).

6 Chapitre 9 Équations de droites I EXERCICES page I-4 21 Résoudre algébriquement ce système : 22 Sytèmes de deux équations à deux inconnues 2x + y = 8 Résoudre algébriquement ces deux systèmes : (1) 23 5x + y = 14 x + 4y = 7 1. Écrire un algorithme qui résout un système de deux équations à deux inconnues. (2) 3x + 4y = 21 5x 2y = Résolution graphique d un système de deux équations à deux inconnues 1. Résoudre algébriquement ce système : 2x + y = 5 x + 2y = 4 2. Transformer ces deux équations sous la forme y = mx + p 3. Tracer un repère (O, I, J), et tracer les droites correspondant à ces deux équations. 4. Retrouver graphiquement le couple solution du système de la question 1. Les étapes ci-dessus constituent la résolution graphique du système de la question Résoudre graphiquement les systèmes suivants : (1) 26 2x + 2y = 3 x + y = 4 27 x + y = 4 3x + y = 6 1. Transformer ces deux équations sous la forme y = mx + p (2) 2x + y = 3 x + y = 6 2. Tracer un repère (O, I, J), et tracer les droites correspondant à ces deux équations. 3. Expliquer pourquoi ce système n a pas de couple solution. Résoudre algébriquement et graphiquement les systèmes suivants : 3x + y = 5 2x + y = 2 (1) (2) x + 4y = 8 4x + 2y = 7

7 Chapitre 9 Équations de droites II COURS page II-1 II Cours 1 Deux types d équations de droites Remarque On sait qu une fonction affine est définie sous la forme f(x) = mx + p et que sa représentation graphique est une droite qui n est pas parallèle à l axe des ordonnées. Propriété Dans un repère du plan, toute droite a une équation. Une droite parallèle à l axe des ordonnées a une équation de la forme x = k. Une droite non parallèle à l axe des ordonnées a une équation de la forme y = mx + p, que l on appelle équation réduite de cette droite. Remarque : on apprend ultérieurement que toute droite du plan a une équation de la forme ax + by + c = 0 qui s appellera équation cartésienne de la droite. 2 Déterminer l équation d une droite Remarques Soit f une fonction affine définie par f(x) = mx + p et représentée par une droite (AB). On sait que le nombre m est le coefficient directeur et que le nombre p est l ordonnée à l origine. On utilise le même vocabulaire pour les équations de droites. On sait aussi que m = f(x B) f(x A ). On a donc la propriété ci-dessous. x B x A Propriété Soit deux points distincts du plan A(x A, y A ) et B(x B, y B ) et m le coefficient directeur de la droite (AB), alors m = y B y A x B x A Exemple 1 : déterminer l équation réduite de la droite (AB) pour les points A(2 ; 1) B(3 ; 4) dans un repère (O, I, J). Figure voir figure 1 page suivante. 1 re méthode : déterminer l équation réduite par des calculs L équation réduite de la droite (AB), est sous la forme y = mx + p Calcul du coefficient directeur m : m = y B y A = 4 1 x B x A 3 2 = 3 1 = 3 L équation réduite de la droite (AB) est donc : y = 3x + p Calcul de l ordonnée à l origine p : on remplace x et y par les coordonnées de A(2 ; 1) dans l équation y = 3x + b 1 = b b = b = 1 b = 1 6 = 5 Donc l équation réduite de la droite (AB) est : y = 3x + ( 5) soit y = 3x 5 2 e méthode : déterminer l équation réduite graphiquement y = mx + p

8 Chapitre 9 Équations de droites II COURS page II-2 Coefficient directeur ; le long des flèches en pointillés qui relient les points A et B, on lit + 3 et + 1, donc : m = = 3 Ordonnée à l origine ; à l intersection de la droite avec l axe des ordonnées (l axe vertical), on lit : p = 5 Équation réduite : y = 3x + ( 5) c est à dire y = 3x 5 Figure 1 4 B H J A O I G 5 6 Exemple 2 Soient les points G( 3 ; 5) H( 3 ; 2) dans le repère (O, I, J). Déterminons l équation de la droite (GH) Les deux points G et H ont la même abscisse : 3 Donc la droite (GH) est parallèle à l axe des ordonnées et une équation de la droite (GH) est x = 3.

9 Chapitre 9 Équations de droites II COURS page II-3 3 Droites parallèles Deux droites d équations x = c et x = c sont parallèles Deux droites d équations x = c et y = mx + p sont sécantes Deux droites d équation y = mx + p et y = m x + p sont parallèles si et seulement si leurs coefficients directeurs m et m sont égaux. 4 Vérifier si un point appartient à une droite Exemple 1 (corrigé de l exercice sur fiche n o 13) Les points A(1 ; 2) et B(3 ; 3) appartiennent-ils à la droite (d 1 ) d équation y = 3x + 5? On effectue les calculs pour savoir si les coordonnées de chaque point vérifient l équation de la droite ou non. Point A 3 x A + 5 = = 2 = y A donc A (d 1 ) Point B 3 x B + 5 = = 4 3 donc B (d 1 ) Exemple 2 Les points A(1 ; 2) et B(3 ; 3) appartiennent-ils à la droite (d 2 ) d équation x = 3? Dans ce cas, on n effectue aucun calcul. Point A : l abscisse de A est x A = 1 donc A (d 2 ). Point B : l abscisse de B est x B = 3 donc B (d 2 ). 5 Points alignés On considère trois points A, B, C disjoints deux à deux dont on connaît les coordonnées dans un repère. Comment démontrer si ils sont alignés ou non? Si les trois points ont la même abscisse, ils sont alignés. Si deux points ont la même abscisse et si le troisième a une abscisse différente, alors ils ne sont pas alignés. Si les abscisses des 3 points sont distinctes deux à deux trois méthodes sont possibles calculer l équation de la droite (AB) et vérifier si le point C appartient à la droite (AB) ; calculer les coefficients directeurs des droites (AB) et (AC) et comparer ; vérifier si les vecteurs AB et AC sont colinéaires ou non (cela sera traité dans un autre chapitre).

10 Chapitre 9 Équations de droites II COURS page II-4 6 Intersection de deux droites Exemple (exercice sur fiche n o 19) Dans un repère (O, I, J), les droites (d 1 ), (d 2 ), (d 3 ) ont pour équations réduites : (d 1 ) : y = 3x 4 (d 2 ) : y = 2x + 6 (d 3 ) : x = 4 1. Coordonnées du point M d intersection des droites (d 1 ) et (d 2 ). Les droites (d 1 ) et (d 2 ) se coupent parce qu elles n ont pas le même coefficient directeur. Le point M a des coordonnées (x ; y) qui vérifient à la fois les deux équations réduites de (d 1 ) et (d 2 ). On résout donc l équation 3x 4 = 2x x 4 = 2x + 6 3x + 2x = x = 10 x = 10 5 x = 2 Pour calculer y, l ordonnée de M, on remplace x par sa valeur dans une des deux équations y = 3x 4 = = 2 Donc les coordonnées du point M sont : M (2 ; 2) 2. Coordonnées du point N d intersection des droites (d 1 ) et (d 3 ). Les droites (d 1 ) et (d 3 ) se coupent parce que la droite (d 3 ) est parallèle à l axe des ordonnées alors que la droite (d 1 ) n est pas parallèle à l axe des ordonnées. Le point N a des coordonnées (x ; y) qui vérifient à la fois les deux équations réduites de (d 1 ) et (d 3 ). On sait donc que x = 4 Pour calculer y, l ordonnée de N, on remplace x par sa valeur dans l équation réduite de (d 1 ) y = 3x 4 = = 8 Donc les coordonnées du point N sont : M (4 ; 8) 7 Résolution de systèmes du 1er degré à deux inconnues Exemple : résolution du système 2x + y = 8 Résolution d un système par combinaison linéaire On effectue d abord des calculs pour éliminer une des deux inconnues, afin de calculer l autre inconnue. Ci-dessous, on va éliminer y et calculer x. 2x + y = 8 3 6x + 3y = 24 7x = 35 x = 35 7 x = 5 On remplace maintenant x dans une des deux équations et on calcule y. 5 3y = 8 3y = y = 6 y = 6 3 y = 2 Le couple solution est donc : (5 ; 2)

11 Chapitre 9 Équations de droites II COURS page II-5 Résolution d un système par substitution 2x + y = 8 On écrit une inconnue en fonction de l autre. Ici, on va écrire x en fonction de y. x = y On remplace maintenant x par y dans la deuxième équation. 2x + y = 8 2 (11 + 3y) + y = y + y = y + y = 8 7y = y = 14 y = 14 7 y = 2 Or, on sait que x = y, donc x = ( 2) = 11 6 = 5 Le couple solution est donc : (5 ; 2) 8 Résolution graphique d un système de deux équations à deux inconnues Exemple (exercice sur fiche n o 24) 2x + y = 5 x + 2y = 4 Transformons ces deux équations sous la forme y = mx + p : 2x + y = 5 y = 5 2x y = 2x + 5 x + 2y = 4 2y = 4 x y = 2x + 5 y = 2x + 5 y = x + 2, Traçons un repère (O, I, J), et les droites (d 1 ) et (d 2 ) d équations réduites : (d 1 ) : y = 2x + 5 (d 2 ) : y = x + 2, 5 Graphiquement, le couple solution du système de départ est donné par les coordonnées du point d intersection des deux droites : M (2, 5 ; 0) 4 2 (d 1 ) M (d 2 ) 2 4