GEFDYN - Tests de consolidation 1D d un sol bi-phasique saturé 1

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1 GEFDYN - Tests de consolidation D d un sol bi-phasique saturé Tests de consolidation D d un sol bi-phasique saturé 6 juin 26 Fernando Lopez-Caballero & Arezou Modaressi Version de Gefdyn : Dyn7229-PC Tests associés : conds_q44p conds3_q88p conds2_q84p conds3_stat_q88p Modèle élastique linéaire éléments à 4 noeuds - calcul dynamique Modèle élastique linéaire éléments à 8 noeuds - calcul dynamique Modèle élastique linéaire éléments à 8 noeuds - calcul dynamique Modèle élastique linéaire éléments à 8 noeuds - calcul statique Test de consolidation d un matériau élastique Afin d étudier le problème de consolidation unidimensionnelle d un matériau élastique, nous proposons d étudier la réponse d une colonne de sol sous une charge constante (Figure ).. Géométrie On utilise un modèle bidimensionnel en déformations planes. Le profil du sol est composé de 2 éléments. L épaisseur de chaque élément est de m et la hauteur totale du profil est de 2m (figure ). La nappe phréatique se trouve au niveau de la base de la colonne (i.e. m). F zz F zz 2 m 2 m Fig. Maillage utilisé. Le maillage comprend 2 éléments solides 2D de type quadrangle isoparamétrique de 4 à 8 noeuds (NPAR()=2) avec 4 points d intégration. Selon le cas étudié, 4 ou 8 noeuds sont utilisés pour les degrés de liberté en pression de chaque élément. Dans ce qui suit, les résultats des calculs sont donnés avec la convention suivante NuMp où N représente le nombre total de noeuds utilisés par élément et M le nombre de noeuds utilisés pour le degré de liberté en pression (e.g. 4u4p, 8u4p et 8u8p). Tous les noeuds (N) sont utilisés pour décrire les déplacements. Le modèle de comportement considéré pour simuler le comportement élastique linéaire du sol est celui de Mohr-Coulomb (MODEL=NPAR(5)=8).

2 GEFDYN - Tests de consolidation D d un sol bi-phasique saturé 2.2 Conditions aux limites et chargements.2. Conditions aux limites Les déplacements sur les frontières latérales du modèle sont considérés bloqués latéralement et l on permet uniquement le déplacement vertical. Les noeuds à la base sont bloqués en déplacement. Pour les conditions hydrauliques, tous les noeuds ont le degré de liberté libre sauf ceux qui se trouvent à la surface du maillage (i.e. 2m) afin de simuler la condition de drainage..2.2 Chargements mécaniques Une courbe de charge est donnée pour les noeuds se trouvant à la surface (Figure 2). Cette courbe correspond à une charge maximale de 5N. Elle va de à 5N sur une durée de t = s et elle reste constante par la suite. Le milieu est considéré non pesant (MODEL=NPAR(8)=) F zz [N] Fig. 2 Courbe de chargement utilisée..2.3 Propriétés du fluide La masse volumique du fluide interstitiel DENW (ρ w ) est égale à kg/m 3. Deux valeurs de compressibilité COMPRW ( ) ont été utilisées, 4.5 P a et 9.35 P a..3 Conditions initiales Les contraintes effectives initiales dans les éléments sont nulles..4 Paramètres numériques L intégration numérique est effectuée par la méthode de Gauss en utilisant 4 points d intégration par élément. La tolérance sur les déplacements est égale à. et la tolérance sur le déséquilibre est égal à.. L algorithme de Newton modifié est utilisé. L analyse est effectuée en dynamique. Le schéma d intégration dans le temps utilisé est celui de Newmark implicite avec γ =.625 et β = Résultats Afin de modéliser le comportement du sol, nous utilisons le modèle de comportement élastoplastique de Mohr-Coulomb (MODEL=NPAR(5)=8). Pour assurer le comportement élastique linéaire, des

3 GEFDYN - Tests de consolidation D d un sol bi-phasique saturé 3 valeurs de cohésion très élevées sont utilisées et l exposant de la loi élastique n el est égal à zéro. Les caractéristiques mécaniques du matériau utilisé sont données dans le tableau. Module de Young sous la pression de référence E ref (MP a) Coef. de Poisson ν.3 Exposant de la loi élastique n el. Angle de frottement φ ( o ) 3 Angle de dilatance ψ ( o ) Cohésion C (P a) 5 Pression de référence p ref (MP a) Coef.de poussée des terres initial ko. Perméabilité saturée à la porosité initiale (m/s) ou 5 Masse volumique ρ s (kg/m 3 ) 27 Porosité initiale n.35 Tab. Caractéristiques mécaniques utilisées pour le modèle Mohr-Coulomb. L influence de plusieurs paramètres sur la distribution de la pression interstitielle sera étudiée par la suite. Ces paramètres correspondent au pas de temps du calcul, au nombre des noeuds par élément, à la valeur de la compressibilité du fluide et à la valeur de la perméabilité saturée du matériau..5. Influence du pas de temps Afin d étudier l effet du pas de temps ( t) sur la valeur de la pression interstitielle ( ) obtenue, trois valeurs de t ont été utilisées.,. et s. La variation de en fonction de la profondeur pour les premières secondes de calcul, est montrée dans la figure 3. Ces calculs ont été réalisés avec des éléments à 8 noeuds et avec des valeurs de k w = (m/s) et = 4.5 P a. Ces paramètres correspondent à un milieu avec un fluide incompressible et très imperméable. Par conséquent, la charge totale imposée à la surface est prise instantanément par la pression interstitielle (i.e. = σ T zz =.kp a). On constate que la valeur de présente une grande oscillation pour les faibles valeurs de t. Cette oscillation tend à diminuer en profondeur lorsque l on utilise une valeur de t égale à s. D après les valeurs de obtenues au niveau de la surface, on remarque des valeurs de >.kp a, ce qui signifie l apparition des contraintes de traction sur le sol se trouvant à ce niveau..5.2 Influence de la valeur de la perméabilité saturée du matériau Deux valeurs de perméabilité saturée du matériau ( ) ont été utilisées, m/s et 5 m/s. La distribution de à s de calcul en fonction de la profondeur est montrée sur la figure 4. On constate qu avec le variation de la perméabilité, les oscillations se trouvant à la surface tendent à disparaître. Par contre, dû à la valeur de utilisée ( 5 m/s), les pressions interstitielles obtenues en surface sont dissipées rapidement (i.e. ). La figure 5 montre l évolution de en fonction du temps à deux profondeurs, pour les deux valeurs de perméabilité utilisées. On note que la dissipation de la pression interstitielle se réalise plus rapidement dans le cas où la perméabilité du matériau est plus élevée..5.3 Influence de la valeur de la compressibilité du fluide Deux valeurs de compressibilité COMPRW ( ) ont été utilisées, 4.5 P a et 9.35 P a. La figure 6 montre la distribution de avec la profondeur en variant la valeur de. On constate que pour les mêmes conditions (i.e. t et ), l augmentation de produit

4 GEFDYN - Tests de consolidation D d un sol bi-phasique saturé 4 t =. s t =. s 2 6 k = m/s s H = 4.5 Pa w t = s Fig. 3 Distribution de la pression interstitielle avec la profondeur, effet de t. 2 6 H = 4.5 Pa w t = s = m/s = 5 m/s Fig. 4 Distribution de la pression interstitielle avec la profondeur, effet de. une diminution dans la valeur de la pression interstitielle, ceci signifie que le fluide n est plus considéré comme incompressible. Si l on compare la variation de en fonction du temps, on remarque que des légères oscillations apparaissent pendant les premiers secondes du chargement (Figure 7)..5.4 Influence du nombre des noeuds par élément L influence du choix de nombre des noeuds par élément sur la réponse du modèle peut être illustrée sur deux aspects, la variation dans le temps et avec la profondeur. Pour ce qui concerne la variation de en fonction de la profondeur à la première seconde de chargement et si l on compare les réponses obtenues en utilisant des éléments à 4 et à 8 noeuds (i.e. 4u4p et 8u8p) (Figure 8 a), on observe moins d oscillations dans la réponse en profondeur lorsque l on utilise des éléments à 8 noeuds (quad8). Lorsque l on regarde la même distribution à t = 5s, on trouve des réponses identiques en profondeur.

5 GEFDYN - Tests de consolidation D d un sol bi-phasique saturé z =.78 m = 4.5 Pa.6.4 z = 9.78 m = 4.5 Pa.2 = m/s = 5 m/s (a).2 = m/s = 5 m/s (b) Fig. 5 Variation de la pression interstitielle avec le temps, effet de la valeur de la perméabilité du matériau : a) z = 2.78m, b) z = 9.78m. 2 6 t = 5 s k = 5 m/s s = 9.35 Pa = 4.5 Pa Fig. 6 Distribution de la pression interstitielle avec la profondeur, effet de. Maintenant si l on compare les réponses obtenues en utilisant des éléments à 8 noeuds mais en changeant le nombre de noeuds utilisés pour le degré de liberté en pression (i.e. 8u4p et 8u8p), on note une légère différence au niveau la valeur de obtenue à la surface..5.5 Influence des paramètres d intégration de Newmark Les paramètres d intégration γ et β utilisés, peuvent introduire une certaine quantité d atténuation numérique et stabiliser les analyses dynamiques. Afin d estimer cette amortissement numérique les réponses obtenues avec deux ensembles de paramètres d intégration (i.e. γ =.625 β =.375 et γ =.5 β =.25) sont comparées dans la figure 9. Dans le but de renforcer les effets de cette amortissement, on compare les réponses obtenues avec un t =.s. D après la figure 9 b, on constate une atténuation dans la variation de en fonction du temps lorsque l on utilise le premier jeu de paramètres. Par contre, cette différence est peu importante dans la distribution de avec la profondeur.

6 GEFDYN - Tests de consolidation D d un sol bi-phasique saturé 6 = 9.35 Pa = 4.5 Pa.9.8 = 9.35 Pa = 4.5 Pa z =.78 m k = 5 m/s s z = 9.78 m = 5 m/s (a) (b) Fig. 7 Variation de la pression interstitielle avec le temps, effet de la valeur de la compressibilité du fluide : a) z = 2.78m, b) z = 9.78m. 2 = 5 m/s t = s H = 4.5 Pa w 2 = 5 m/s t = 5 s H = 4.5 Pa w 6 quad4 4u4p quad8 8u4p (a) 6 quad4 4u4p quad8 8u4p (b) Fig. 8 Distribution de la pression interstitielle avec la profondeur, effet du nombre de noeuds par élément : a) t = s, b) t = 5s..5.6 Influence de la montée en charge Finalement, afin de montrer l influence de la montée en charge sur la réponse du modèle, on change la valeur du temps t de la courbe de charge donnée dans la figure 2. Elle est modifié de s pour.s. Pour un pas de temps de calcul t =.s, le premier cas, t = s, correspond à une montée progressive en étapes, alors que pour t =.s, une charge instantanée est simulé. Dans la figure, on compare la variation de en fonction du temps pour les deux cas. Les paramètres d intégration γ =.5 β =.25 sont utilisés dans ces analyses. D après cette figure la diminution de t, c est-à-dire la vitesse du chargement, accroît le niveau d oscillations dans la réponse en.

7 GEFDYN - Tests de consolidation D d un sol bi-phasique saturé = 4.5 Pa k = 5 m/s s t = s t =. s γ=.625 β=.375 γ=.5 β= (a) = 4.5 Pa = 5 m/s t =. s z = 9.78 m γ=.625 β=.375 γ=.5 β= (b) Fig. 9 Effet des paramètres d intégration de Newmark : a) distribution de la pression interstitielle avec la profondeur, b) variation de la pression interstitielle avec le temps = 4.5 Pa = 5 m/s γ=.5 β=.25.7 t =. s z = 9.78 m t = s t = Fig. Variation de la pression interstitielle avec le temps, effet de la valeur de t de la courbe de chargement.

8 GEFDYN - Tests de consolidation D d un sol bi-phasique saturé 8 Références [] Katona, M. G. and O. C. Zienkiewicz A unified set of single step algorithms Part 3: the Beta-m method, a generalization of the Newmarcheme. International Journal of Numerical Methods in Engineering, 2(7), , 985. [2] Modaressi-Farahmand Razavi, A. Modélisation des milieux poreux sous chargements complexes. Diplôme d Habilitation à Diriger des Recherches, Institut National Polytechnique de Grenoble, Grenoble, France, 23. [3] Modaressi, H. Modélisation numérique de la propagation des ondes dans les milieux poreux anélastiques. Thèse de Docteur, Ecole Centrale Paris, Châtenay Malabry, France, 987. [4] Zienkiewicz, O. C., A. H. C. Chan, M. Pastor, B. A. Schrefler and T. Shiomi Computational geomechanics with special reference to earthquake engineering. New York: Wiley; 998.

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